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2024-2025 学年江西科技学院附中高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法正确的是( )
A.若| | = | |，则 =± B.零向量的长度是 0
C.长度相等的向量叫相等向量 D.共线向量是在同一条直线上的向量
2.在△ 中，内角 ， 13， 的对边分别为 ， ， ，且 = 4， = 7 ， = 4，则 =( )
A. 7 23 B.
12 2 C. 24 27 7 D. 4 2
3.若 ∈ (0, ) 44 ，sin( + 4 ) = 5，则 =( )
A. 210 B.
2
10 C.
7 2 7 2
10 D. 10
4.已知向量 = (2,3)， = (2, 3)， = (2, )，若( + )// ，则 2 =( )
A. 4 3 45 B. 2 C. 4 D. 3
5.非零向量 ， 满足：| | = 3| |， ( ) = 0，则 与 夹角的大小为( )
A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°
6.如图，在△ 中， = 2 , = 2 , 与 的交点为 ，则 △ ： △ =( )
A. 1：3
B. 2：5
C. 3：7
D. 4：9
7.记△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 = 2 6, ( ) + 2 3 = ，
则 边上的中线 长度的最小值为( )
A. 1 B. 22 2 C. 2 D. 2 2
8.已知平面向量 ， ， 满足： 与 的夹角为锐角. | | = 4，| | = 2，| | = 1，且| + |的最小值为 3，向
量( 12 ) (
)的最大值是( )
A. 1 B. 3 + 2 2 C. 3 D. 3 + 2 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于平面向量的说法中正确的是( )
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A.设 , 为非零向量，若| + | = | |，则 ⊥
B.若| | = 2| |，则 = 2 或 = 2
C.设 , , 为非零向量，则( ) = ( )
D.若点 为△ 的重心，则 + + = 0
10.已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则下列说法正确的是( )
A.若 = 60°， = = 2，则△ 有一解
B.若 = 30°, = 2, = 4 3，则△ 无解
C.若 = 150°， = 3， = 4，则△ 有一解
D.若 = 45°, = 2, = 3，则△ 有两解
11.如图，已知圆内接四边形 中， = 2， = 6， = = 4.下列
说法正确的是( )
A.四边形 的面积为 8 3
B. 2 21该外接圆的直径为 3
C. = 4
D.过 作 ⊥ 交 于 点，则 = 10
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 2 81° 51°. 39 = ______．
13.已知点 为△ 的外心，且向量 = + (1 ) ， ∈ ，若向量 在向量 上的投影向量为
1
4
.则 的值为______．
14.在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 = 3 ，∠ 的平分线交 于点 ，
且 = 3，则 + 3 的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知平面向量 ， ， ，且 = ( 1,0)， = ( 1,1)．
(1)若 // ，且| | = 5，求 的坐标；
(2)若向量 + 与 + 2 的夹角是锐角，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)

已知函数 ( ) = sin(2 6 ) + 3sin( 3 + 2 )( ∈ )．
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(1)求 ( )的最小正周期及对称轴、对称中心；
(2)若当 ∈ [ 4 , 4 ]时，不等式 ( ) ≥ 恒成立，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
△ + 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 2 = ．
(1)求 ；
(2)若△ 为锐角三角形， = 3，求 2 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
如图所示，在△ 中， 为 边上一点.过 点的直线 与直线 相交于 点，与直线 相交于 点( ,
两点不重合)．
(1)若 = 2 ，
(ⅰ)用 ， 表示 ；

(ⅱ)若 = ， = 1 2，求 + 的值．
(2)若 = ， = 2， 是线段 上任意一点，求 ( + )最大值．
19.(本小题 17 分)

已知 ， ， 分别为△ 三个内角 ， ， 的对边，满足 = 3， 3 + = 2 3．
(1)求 ；
(2)若△ 为锐角三角形，且外接圆圆心为 ．
( )求 的取值范围；
( )求△ 和△ 面积之差的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 3
13.12
14.4 + 2 3
15.解：(1)已知平面向量 ， ， ，且 = ( 1,0)， = ( 1,1)，
若 // ，且| | = 5，
设 = ( , )，∵ = ( 1,0)， / / ，∴ 0 + = 0，即 = 0，
| | = 5 ∴ 2 + 2 = 25 = 5, = 5,又 ， ，解得 = 0, 或 = 0,
∴ = ( 5,0)或(5,0)；
(2)由题可知， + = ( 1,0) + ( 1,1) = ( 1, )， + 2 = ( 3,2)，
∵ + 与 + 2 的夹角是锐角，∴ ( + ) ( + 2 ) = 3 + 3 + 2 > 0 > 3，解得 5，
又 + 与 + 2 不共线，∴ 3 ≠ 2 2，即 ≠ 2，
∴ 3实数 的取值范围是( 5 , 2) ∪ (2, + ∞)．
16.解：(1)因为 ( ) = sin(2 6 ) + 3sin(

3 + 2 )

= sin(2 6 ) + 3sin( 2 + 2 6 )
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= sin(2 6 ) + 3cos(2 6 )
1 3
= 2[2 sin(2 6 ) + 2 cos(2 6 )]

= 2 [(2 6 ) + 3 ]
= 2 (2 + 6 )，
即 ( ) = 2 (2 + 6 )，
所以 ( ) 2 的最小正周期 = 2 = ；
2 + 令 6 = 2 + ， ∈ ，
所以 2 = + 3， ∈ ，
解得 = 6 +

2， ∈ ，

故函数的对称轴为 = 6 + 2， ∈ ；
令 2 + 6 = ， ∈ ，
则 2 = 6， ∈ ，
= 解得 12 + 2， ∈ ，
( 故对称中心为 12 + 2 , 0)， ∈ ．
(2)当 ∈ [ 4 ,

4 ]时，2 +

6 ∈ [
2
3 , 3 ]，
所以 sin(2 + 6 ) ∈ [
3
2 , 1]，
则 ( ) 在[ 4 , 4 ]上的值域为[ 3, 2]，
因为不等式 ( ) ≥ 恒成立，
所以 ≤ 3，
即实数 的取值范围为( ∞, 3]．
17. (1) + 解： 因为 2 = ，

则 ( 2 ) = ，
故 2 = 2

2 cos

2 ，
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在△ 中，0 < < ，0 < < ，
所以 0 < 2 < 2，
则 ≠ 0，cos 2 ≠ 0，
1
可得 sin 2 = 2，

所以2 = 6，
= 所以 3．
(2) 3由正弦定理可得 2 = = = = 3 = 2，
2
所以 = 2 ， = 2 ，
所以 2 = 4 2 ( 2 3 ) = 3 3 = 2 3sin(

6 )，
因为△ 为锐角三角形，
0 < < 2
则
0 < 2 <
，
3 2

解得6 < <

2，

则 6 ∈ (0, 3 )，
3
即 sin( 6 ) ∈ (0, 2 )，
故 2 ∈ (0,3)，
即 2 的取值范围为(0,3)．
18.解：(1)(ⅰ)如图，在△ 中，
因为 = 2 ，
所以 = + = + 2 3
=
2
+ 3 (
)
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= 1 2 3 + 3
，

(ⅱ)因为 = ， = ，
所以 = 1 ， = 1 ，
又 = 1 + 2 3 3 ，
所以 = 1 2 3 + 3 ，
又 ， ， 三点共线，且 在线外，
1 2
所以3 + 3 = 1
1 2
，即 + = 3；.
(2)因为 = ，
所以 + = 2 ，
则
2
( + ) = 2 = 2| | | |
|+| | 2 | ≤ 2( 2 ) =
| |
2 = 2，
当且仅当| | = | |时取等号，故 ( + )最大值为 2．
19. (1) = 解： 由正弦定理得， ，
3
所以 3 =

sin( + )，即 = 2 ，
2 sin(

3+ )
①
又 3 + = 2 3，
所以 2 ( + 3 ) = 2 3②，
由①②得，2 32 = 2 3，
所以 = 2．
(2)( )由题意知， = ( ) = ，
1 2 2
而 = 2 =
1 2， = 1 2 2 =
1
2
2，
所以 = 12 (
2 2)，
由余弦定理得， 2 = 2 + 2 2 = 4 + 2 2 ，即 2 2 = 4 2 ，
1
所以 = 22 (
2) = 2 ，

由正弦定理得， = ，

所以 = 2 ( + )
2 (3+ )= = 3 + 3 ， = = + 1
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因为△ 为锐角三角形，
0 < < 2
所以 2 ，解得 < < ，0 < 3 <
6 2
2
所以 ∈ ( 3 , + ∞)，3
所以 = 3 ， + 1 ∈ (1,4)
所以 = 2 ∈ ( 2,1)．
( )设△ 2 1外接圆半径为 ，则 = = = ，且 2 = = ，即 = ，
因为∠ = 2 ，∠ = 2 = 2 3，
1
所以 2△ = 2 sin∠ =
1
2
1
sin2 2 =
1
2
1 1
sin2 2 = ，
1 2 2 2△ = 2 sin∠ =
1 1
2 sin2 sin
2 = 33 4
sin +cos 3 1
，
sin2 = 4 (1 + tan2 )
1 3 1 3 1 1 3
所以 △ △ = 4 (1 + tan2 ) = ，4 tan2 + 4
由( )知， ∈ ( 3 ，3 , + ∞)
1
令 = ∈ (0, 3)，
则 = ( ) = 3 2 + 3 = 3 ( 2 3 2 3△ △ ) + ，4 4 4 3 12
所以当 = 2 3，即3 =
3时， 3
2 △
△ 取得最大值 ．12
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