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第1讲　万有引力与相对论
2024年9月底,一颗小行星被地球引力捕获,成为一颗绕地球运行的“迷你月亮”。这颗新发现的小行星被命名为2024 PT5,直径在5至42 m之间,它于9月29日至11月25日期间,被地球引力捕获并绕地球运行。于11月25日离开地球轨道,返回日心轨道。请思考: (1)不同的小行星绕地球运动的轨道以及速度、周期等有何特点 (2)万有引力定律的内容、公式及适用条件是什么 (3)地球表面不同纬度的物体所受万有引力和重力有何关系 用什么方法可以计算出地球质量
　　　　　 　　　　　
(2024·江苏泰州期中)如图所示,神舟十四号载人飞船绕地球沿椭圆轨道运动,运动周期为T,图中虚线为飞船的运行轨迹,A、B、C、D是轨迹上的四个位置,其中A点距离地球最近,C点距离地球最远。B点和D点是弧线ABC和ADC的中点,则(　　)
[A] 飞船在C点速度最大
[B] 飞船在C点所受引力最大
[C] 飞船从A点经D到C点的运动时间小于
[D] 飞船从D点经C到B点的运动时间大于
【答案】 D
考点一　开普勒定律的理解与应用
把行星绕太阳的运动看作匀速圆周运动,请推导开普勒第三定律=k中的k值与中心天体质量的定量关系。
提示:由万有引力提供向心力,有G=m行r,解得=,故k=。
1.行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理。
2.由开普勒第二定律可得Δl1r1=Δl2r2,v1·Δt·r1=v2·Δt·r2,解得=,即行星在两个位置的速度大小之比与到太阳的距离成反比,近日点速度最大,远日点速度最小。
3.开普勒第三定律=k中,k值只与中心天体的质量有关,不同的中心天体k值不同,且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。
[例1] 【开普勒定律的理解】 对于开普勒行星运动定律的理解,下列说法正确的是(　　)
[A] 开普勒通过自己长期观测,记录了大量数据,通过对数据研究总结得出了开普勒行星运动定律
[B] 根据开普勒第一定律,行星围绕太阳运动的轨道是圆,太阳处于圆心位置
[C] 根据开普勒第二定律,行星距离太阳越近,其运动速度越大;距离太阳越远,其运动速度
越小
[D] 根据开普勒第三定律,行星围绕太阳运动的轨道半径跟它公转周期成正比
【答案】 C
【解析】 第谷进行了长期观测,记录了大量数据,开普勒通过对数据研究总结得出了开普勒行星运动定律,选项A错误;根据开普勒第一定律,行星围绕太阳运动的轨道是椭圆,太阳处于椭圆的一个焦点上,选项B错误;根据开普勒第二定律,行星距离太阳越近,其运动速度越大,距离太阳越远,其运动速度越小,选项C正确;根据开普勒第三定律,行星围绕太阳运动轨道的半长轴的三次方跟它公转周期的二次方成正比,选项D错误。
[例2] 【开普勒定律的应用】 (2024·山东青岛三模)天宫空间站是我国独立建设的空间站系统。空间站沿图中椭圆轨道逆时针运行,图表是空间站某阶段的运行参数。已知M、N是椭圆轨道短轴的两个端点,月球的公转周期为27天。则(　　)
轨道参数
近心点高度 350 km
远心点高度 450 km
轨道倾角 42°
轨道周期 90 min
[A] 空间站与地心连线和月球与地心连线在相等时间内扫过的面积相等
[B] 空间站从M点运行到N点的时间小于45 min
[C] 月球绕地球运行的轨道半长轴约为空间站绕地球运行轨道半长轴的18倍
[D] 空间站在M点和在N点时的加速度相同
【答案】 B
【解析】 空间站和月球不是同一物体,运行轨道不同,则空间站与地心连线和月球与地心连线在相等时间内扫过的面积不一定相等,故A错误;根据开普勒第二定律,空间站距离地球越近,速度越大,所以空间站从M点运行到N点的时间小于半个周期,即小于45 min,故B正确;根据=,得===36,故C错误;空间站在M点和N点所受地球万有引力大小相等,方向不同,所以加速度大小相等,方向不同,故D错误。
开普勒定律的适用范围
(1)开普勒第二定律及其引出的推论,不仅适用于绕太阳运转的所有行星,也适用于以行星为中心的卫星,还适用于单颗行星或卫星沿椭圆轨道运行的情况。但需要注意的是,不同行星的运行不能套用开普勒第二定律。
(2)开普勒第三定律不仅适用于太阳系,它对具有中心天体的引力系统(如行星-卫星系统)和双星系统[=,L为双星的距离]都成立。
考点二　万有引力定律的理解与应用
1.万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果:一是物体的重力mg,二是提供物体随地球自转的向心力Fn,如图所示(设地球质量为M)。
(1)在赤道上:G=mg1+mω2R。
(2)在两极上:G=mg2。
(3)在一般位置:万有引力G等于重力mg与向心力Fn的矢量和。越靠近南北两极g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小,常认为万有引力近似等于重力,即=mg,即GM=gR2(黄金代换)。
2.星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转):mg=G,可得g=。
(2)在地球上空距离地心r=R+h处的重力加速度g′:mg′=,可得g′=,所以=。
3.万有引力的“两个推论”
推论1:在匀质球壳空腔内的任意位置处,质点受到球壳的万有引力的合力为零,即∑F引=0。
推论2:在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力,即F=。
[例3] 【“挖补法”求解万有引力】 (2024·湖北武汉模拟)半径为R、质量分布均匀且为M的两个相同的球固定在水平面上,两球心之间的距离为4R,它们之间的万有引力大小为F。现在两球心的连线外侧各挖掉一个直径为R的小球,剩余部分放在相同位置,如图所示。则剩余部分之间的万有引力大小为(　　)
[A] F [B] F
[C] F [D] F
【答案】 D
【解析】 设小球对另一个大球的万有引力大小为F1,大球剩余部分对另一个大球的万有引力大小为F2,小球对小球的万有引力大小为F3,小球对另一个大球剩余部分的万有引力大小为F4,大球剩余部分对另一个大球剩余部分的万有引力大小为F5。由题可知,挖掉小球的质量M1=,F=,F1=G==F,F2=F-F1=F,F3==F,F4=F1-F3=F,所以F5=F2-F4=F,故选D。
[例4] 【万有引力与重力的关系】 某行星为质量分布均匀的球体,半径为R、质量为M。科研人员研究同一物体在该行星上的重力时,发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上的重力的1.1倍。已知引力常量为G,则该行星自转的角速度为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 设赤道处的重力加速度大小为g0,物体在两极时万有引力大小等于重力大小,即G=1.1mg0。在赤道时万有引力大小等于重力和自转所需的向心力的合力大小,即G=mg0+mω2R,由以上两式解得该行星自转的角速度为ω=。
[例5] 【星体上空及星体内部重力加速度的求解】 近几年来,我国生产的“蛟龙号”下潜突破7 000 m大关,我国的北斗卫星导航系统也成功实现全球组网。已知质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为零,将地球看成半径为R、质量分布均匀的球体,北斗卫星导航系统中的一颗卫星的轨道距离地面的高度为h,“蛟龙号”下潜的深度为d,则该卫星所在处的重力加速度与“蛟龙号”所在处的重力加速度的大小之比为(忽略地球自转)(　　)
[A] [B] ()2
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 设地球的密度为ρ,在地球表面,重力和地球的万有引力大小相等,有G=mg,由于地球的质量M=ρV=ρ·πR3,联立解得g=πGρR,在深度为d的地球内部,“蛟龙号”受到地球的万有引力等于半径为R-d的球体表面的重力,“蛟龙号”在海里所处位置的重力加速度为g1=πGρ(R-d),联立可得g1=g,卫星在高度h处受到的重力,即为该处受到的万有引力,即mg2=,解得加速度g2==g,所以=,故C正确。
考点三　天体质量和密度的计算
1.利用“天体表面的重力加速度g和天体半径R”——“自力更生法”。
(1)由G=mg,得天体质量M=。
(2)天体密度ρ===。
2.利用绕行天体的“周期和轨道半径”——“环绕法”。
(1)由G=mr,得天体的质量M=。
(2)若已知天体的半径R,则天体的密度ρ===。
(3)若卫星绕天体表面附近运行时,可认为轨道半径r等于天体半径R,则天体密度ρ=,可见,只要测出近地卫星环绕天体表面运动的周期T,就可估算出中心天体的密度。
[例6] 【“自力更生法”】 (多选)航天员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球,经过时间t小球落回原处。若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球,需经过时间5t小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地=1∶4,地球表面重力加速度为g,设该星球表面附近的重力加速度大小为g′,空气阻力不计,忽略地球和星球自转的影响。则(　　)
[A] M星∶M地=1∶20
[B] M星∶M地=1∶80
[C] ρ星∶ρ地=16∶5
[D] ρ星∶ρ地=4∶5
【答案】 BD
【解析】 设初速度为v0,由对称性可知竖直上抛的小球在空中运动的时间t=,因此==,由G=mg得M=,则==×()2=,选项A错误,B正确;根据密度公式ρ=,V=πR3可得ρ星∶ρ地=4∶5,选项C错误,D正确。
[例7] 【“环绕法”】 (2024·新课标卷,16)天文学家发现,在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行,其中行星GJ1002c的轨道近似为圆,轨道半径约为日地距离的0.07倍,周期约为0.06年,则这颗红矮星的质量约为太阳质量的(　　)
[A] 0.001倍 [B] 0.1倍
[C] 10倍 [D] 1 000倍
【答案】 B
【解析】 设红矮星质量为M1,行星质量为m1,轨道半径为r1,周期为T1,太阳质量为M2,地球质量为m2,日地距离为r2,周期为T2,根据万有引力定律有G=m1r1,G=m2r2,联立可得=()3·()2,代入数据,得≈0.1,B正确。
(满分:60分)
对点1.开普勒定律的理解与应用
1.(4分)(2025·内蒙古高考适应性考试)紫金山—阿特拉斯彗星由紫金山天文台首次发现,其绕太阳运行周期约为6万年。该彗星轨道的半长轴与日地平均距离的比值约为(　　)
[A] 1.5×103 [B] 1.5×104
[C] 1.5×106 [D] 1.5×107
【答案】 A
【解析】 由开普勒第三定律得=,该彗星轨道的半长轴与日地平均距离的比值为==≈1.5×103,故选A。
2.(4分)如图所示,1、2分别是A、B两颗卫星绕地球运行的轨道,1为圆轨道,2为椭圆轨道,椭圆轨道的长轴(近地点和远地点间的距离)是圆轨道半径的4倍。P点为椭圆轨道的近地点,M点为椭圆轨道的远地点,TA是卫星A的周期。则下列说法正确的是(　　)
[A] B卫星在由近地点向远地点运动过程中受到地球的引力将先增大后减小
[B] 地心与卫星B的连线在 TA 时间内扫过的面积为椭圆面积
[C] 卫星B的周期是卫星A的周期的8倍
[D] 1轨道圆心与2轨道的一个焦点重合
【答案】 D
【解析】 根据万有引力定律有F=G,可知B卫星在由近地点向远地点运动过程中受到地球的引力逐渐减小,A错误;根据开普勒第三定律得=,解得TB=2TA,所以地心与卫星B的连线在 TA时间内扫过的面积小于椭圆面积,B、C错误;1轨道圆心在地心,2轨道的一个焦点也在地心,所以二者重合,D正确。
3.(4分)(2024·安徽卷,5)2024年3月20日,我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时,鹊桥二号开始进行近月制动,并顺利进入捕获轨道运行,如图所示,轨道的半长轴约为51 900 km。后经多次轨道调整,进入冻结轨道运行,轨道的半长轴约为9 900 km,周期约为24 h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时(　　)
[A] 周期约为144 h
[B] 近月点的速度大于远月点的速度
[C] 近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度
[D] 近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度
【答案】 B
【解析】 冻结轨道和捕获轨道的中心天体是月球,根据开普勒第三定律得=,整理得T2=T1≈288 h,A错误;根据开普勒第二定律得,近月点的速度大于远月点的速度,B正确;从捕获轨道到冻结轨道鹊桥二号进行近月制动,可知在捕获轨道运行时近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度,C错误;鹊桥二号在两轨道的近月点所受的万有引力相同,根据牛顿第二定律可知,在捕获轨道运行时近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度,D错误。
对点2.万有引力定律的理解与应用
4.(4分)(2024·河北石家庄模拟)2024年5月3日,嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射,自此开启世界首次月球背面采样返回之旅。若将来航天员在月球(视为质量分布均匀的球体)表面以大小为v0的初速度竖直上抛一物体(视为质点),已知引力常量为G,月球的半径为R、密度为ρ。物体从刚被抛出到刚落回月球表面的时间为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 设月球表面的重力加速度为g0,则有G=mg0,解得g0==×πR3ρ=,根据竖直上抛运动的规律可知,落回月球表面的时间t==2v0×=,C正确。
5.(4分)(2024·重庆九龙坡模拟)如图甲所示,一半径为R、密度均匀的球体,在与球心O相距2R的P处有一质量为m的质点,球体对该质点的万有引力大小为F。现从球体中挖去半径为的小球体(球心在O、P连线上,右端位于O点),如图乙所示,则剩余部分对该质点的万有引力大小为(　　)
[A] F [B] F
[C] F [D] F
【答案】 C
【解析】 设球体的密度为ρ,球体的质量为M,可得M=ρ·πR3,则小球体的质量M′=ρ·π()3=,球体对该质点的万有引力大小F=G,故挖去小球体后,剩余部分对该质点的万有引力大小F剩余=F-G,解得F剩余=F,故选C。
6.(4分)(2024·甘肃卷,3)小杰想在离地表一定高度的天宫实验室内,通过测量以下物理量得到天宫实验室轨道处的重力加速度,可行的是(　　)
[A] 用弹簧秤测出已知质量的砝码所受的重力
[B] 测量单摆摆线长度、摆球半径以及摆动周期
[C] 从高处释放一个重物,测量其下落高度和时间
[D] 测量天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径
【答案】 D
【解析】 在天宫实验室内,物体处于完全失重状态,万有引力提供了物体绕地球做匀速圆周运动的向心力,故A、B、C中的实验均无法得到天宫实验室轨道处的重力加速度。由万有引力提供天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的向心力得mg′=G=mr,整理得天宫实验室轨道处的重力加速度为g′=r,故通过测量天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径可行,D正确。
对点3.天体质量和密度的计算
7.(4分)(2024·海南卷,6)嫦娥六号进入环月圆轨道,周期为T,轨道高度与月球半径之比为k,引力常量为G,则月球的平均密度为(　　)
[A] [B]
[C] [D] (1+k)3
【答案】 D
【解析】 设月球半径为R,质量为M,对嫦娥六号,根据万有引力提供向心力G=m·(k+1)R,月球的体积V=πR3,月球的平均密度ρ=,联立可得ρ=(1+k)3。
8.(6分)(2024·山东威海二模)(多选)如图所示,某卫星沿半径为r的圆周绕地球运动,若卫星要返回地面,可在圆周上适当位置降低速率,变轨后沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动,椭圆和地球表面在M点相切,椭圆与圆轨道在N点相切,N点到地球表面的最近距离为h。已知引力常量为G,地球表面的重力加速度为g,下列说法正确的是(　　)
[A] 卫星由M运动到N的时间为
[B] 卫星由M运动到N的时间为
[C] 地球的密度为
[D] 地球的密度为
【答案】 AC
【解析】 卫星做圆周运动时,有G=mr,由开普勒第三定律有=,从M到N的时间为t==,故A正确,B错误;地球表面重力加速度为g,有=mg,地球的体积为V=×π(r-h)3,密度为ρ==,故C正确,D错误。
9.(4分)(2024·山东卷,5)“鹊桥二号”中继星环绕月球运行,其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r,则月球与地球质量之比可表示为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 D
【解析】 “鹊桥二号”中继星在24小时椭圆轨道运行时,根据开普勒第三定律有=k,同理,对地球的同步卫星有=k′,对于地球同步卫星,有=,解得=,故可得开普勒常量与中心天体的质量成正比,所以=,联立可得=。
10.(6分)(2024·湖南长沙三模)(多选)2024年4月25日,“神舟十八号”载人飞船在我国酒泉卫星发射中心成功发射,26日“神舟十八号”入轨后,成功对接天和核心舱径向对接口,05时04分,“神舟十八号”三名航天员顺利进驻中国空间站,和“神舟十七号”三名航天员会师。若地球表面重力加速度为g,地球半径为R,空间站轨道离地高度约为h,则下列说法正确的是(　　)
[A] 空间站绕地球运行的周期为
[B] 航天员们在空间站里能完成弹簧振子的实验
[C] “神舟十八号”载人飞船从发射到进入预定轨道的整个过程均处于失重状态
[D] 仅考虑狭义相对论效应,航天员们在空间站中观察到时钟走过20 s,理论上站在地面上的观察者手里的时钟走过的时间会大于20 s
【答案】 BD
【解析】 根据万有引力提供向心力,有G=m(R+h),根据万有引力与重力的关系G=mg,解得空间站绕地球运行的周期为T=,故A错误;在空间站内,虽然航天员们处于完全失重状态,但仍然能完成弹簧振子的实验,故B正确;“神舟十八号”载人飞船在加速升空阶段加速度的方向向上,处于超重状态,卫星进入预定轨道后围绕地球做匀速圆周运动,卫星的加速度等于重力加速度,处于完全失重状态,故C错误;根据狭义相对论时间延缓效应,理论上站在地面上的观察者手里的时钟走过的时间大于20 s,故D正确。
11.(16分)如图所示,假定地球为密度均匀分布的球体,忽略地球的自转,已知地球的半径为R。理论和实验证明:质量均匀分布的球壳对壳内物体的万有引力为零。求:
(1)地面上方高h的山顶A处和地面处重力加速度大小之比gA∶g0;
(2)如图甲所示,地面下方深h的矿井底B处和地面处重力加速度大小之比gB∶g0;
(3)根据上述两问的结论,在图乙中定性作出重力加速度g随离地心的距离r而变化的函数曲线(图乙中R为地球半径,g0为地球表面处的重力加速度)。
【答案】 (1)　(2)　(3)图见解析
【解析】 (1)忽略地球自转,万有引力等于重力,
mg=,
可得g=∝,
可得=。
(2)B以外的球壳对B处物体的万有引力为零,设地球总质量为M地,B以内部分地球的总质量为M′,均匀球体质量M=ρ×πr3∝r3,
因此=,
重力加速度g=∝,
得=·=。
(3)根据以上分析,当离地心的距离r小于地球半径时,有g=g0;
当r=R时,g=g0;
当离地心的距离r大于地球半径时,有g=g0,
如图所示。
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2024年9月底,一颗小行星被地球引力捕获,成为一颗绕地球运行的“迷你月亮”。这颗新发现的小行星被命名为2024 PT5,直径在5至42 m之间,它于9月29日至11月25日期间,被地球引力捕获并绕地球运行。于11月25日离开地球轨道,返回日心轨道。请思考: (1)不同的小行星绕地球运动的轨道以及速度、周期等有何特点 (2)万有引力定律的内容、公式及适用条件是什么 (3)地球表面不同纬度的物体所受万有引力和重力有何关系 用什么方法可以计算出地球质量
　　　　　 　　　　　
(2024·江苏泰州期中)如图所示,神舟十四号载人飞船绕地球沿椭圆轨道运动,运动周期为T,图中虚线为飞船的运行轨迹,A、B、C、D是轨迹上的四个位置,其中A点距离地球最近,C点距离地球最远。B点和D点是弧线ABC和ADC的中点,则(　　)
[A] 飞船在C点速度最大
[B] 飞船在C点所受引力最大
[C] 飞船从A点经D到C点的运动时间小于
[D] 飞船从D点经C到B点的运动时间大于
考点一　开普勒定律的理解与应用
把行星绕太阳的运动看作匀速圆周运动,请推导开普勒第三定律=k中的k值与中心天体质量的定量关系。
提示:由万有引力提供向心力,有G=m行r,解得=,故k=。
1.行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理。
2.由开普勒第二定律可得Δl1r1=Δl2r2,v1·Δt·r1=v2·Δt·r2,解得=,即行星在两个位置的速度大小之比与到太阳的距离成反比,近日点速度最大,远日点速度最小。
3.开普勒第三定律=k中,k值只与中心天体的质量有关,不同的中心天体k值不同,且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。
[例1] 【开普勒定律的理解】 对于开普勒行星运动定律的理解,下列说法正确的是(　　)
[A] 开普勒通过自己长期观测,记录了大量数据,通过对数据研究总结得出了开普勒行星运动定律
[B] 根据开普勒第一定律,行星围绕太阳运动的轨道是圆,太阳处于圆心位置
[C] 根据开普勒第二定律,行星距离太阳越近,其运动速度越大;距离太阳越远,其运动速度
越小
[D] 根据开普勒第三定律,行星围绕太阳运动的轨道半径跟它公转周期成正比
[例2] 【开普勒定律的应用】 (2024·山东青岛三模)天宫空间站是我国独立建设的空间站系统。空间站沿图中椭圆轨道逆时针运行,图表是空间站某阶段的运行参数。已知M、N是椭圆轨道短轴的两个端点,月球的公转周期为27天。则(　　)
轨道参数
近心点高度 350 km
远心点高度 450 km
轨道倾角 42°
轨道周期 90 min
[A] 空间站与地心连线和月球与地心连线在相等时间内扫过的面积相等
[B] 空间站从M点运行到N点的时间小于45 min
[C] 月球绕地球运行的轨道半长轴约为空间站绕地球运行轨道半长轴的18倍
[D] 空间站在M点和在N点时的加速度相同
开普勒定律的适用范围
(1)开普勒第二定律及其引出的推论,不仅适用于绕太阳运转的所有行星,也适用于以行星为中心的卫星,还适用于单颗行星或卫星沿椭圆轨道运行的情况。但需要注意的是,不同行星的运行不能套用开普勒第二定律。
(2)开普勒第三定律不仅适用于太阳系,它对具有中心天体的引力系统(如行星-卫星系统)和双星系统[=,L为双星的距离]都成立。
考点二　万有引力定律的理解与应用
1.万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果:一是物体的重力mg,二是提供物体随地球自转的向心力Fn,如图所示(设地球质量为M)。
(1)在赤道上:G=mg1+mω2R。
(2)在两极上:G=mg2。
(3)在一般位置:万有引力G等于重力mg与向心力Fn的矢量和。越靠近南北两极g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小,常认为万有引力近似等于重力,即=mg,即GM=gR2(黄金代换)。
2.星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转):mg=G,可得g=。
(2)在地球上空距离地心r=R+h处的重力加速度g′:mg′=,可得g′=,所以=。
3.万有引力的“两个推论”
推论1:在匀质球壳空腔内的任意位置处,质点受到球壳的万有引力的合力为零,即∑F引=0。
推论2:在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力,即F=。
[例3] 【“挖补法”求解万有引力】 (2024·湖北武汉模拟)半径为R、质量分布均匀且为M的两个相同的球固定在水平面上,两球心之间的距离为4R,它们之间的万有引力大小为F。现在两球心的连线外侧各挖掉一个直径为R的小球,剩余部分放在相同位置,如图所示。则剩余部分之间的万有引力大小为(　　)
[A] F [B] F
[C] F [D] F
[例4] 【万有引力与重力的关系】 某行星为质量分布均匀的球体,半径为R、质量为M。科研人员研究同一物体在该行星上的重力时,发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上的重力的1.1倍。已知引力常量为G,则该行星自转的角速度为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
[例5] 【星体上空及星体内部重力加速度的求解】 近几年来,我国生产的“蛟龙号”下潜突破7 000 m大关,我国的北斗卫星导航系统也成功实现全球组网。已知质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为零,将地球看成半径为R、质量分布均匀的球体,北斗卫星导航系统中的一颗卫星的轨道距离地面的高度为h,“蛟龙号”下潜的深度为d,则该卫星所在处的重力加速度与“蛟龙号”所在处的重力加速度的大小之比为(忽略地球自转)(　　)
[A] [B] ()2
[C] [D]
考点三　天体质量和密度的计算
1.利用“天体表面的重力加速度g和天体半径R”——“自力更生法”。
(1)由G=mg,得天体质量M=。
(2)天体密度ρ===。
2.利用绕行天体的“周期和轨道半径”——“环绕法”。
(1)由G=mr,得天体的质量M=。
(2)若已知天体的半径R,则天体的密度ρ===。
(3)若卫星绕天体表面附近运行时,可认为轨道半径r等于天体半径R,则天体密度ρ=,可见,只要测出近地卫星环绕天体表面运动的周期T,就可估算出中心天体的密度。
[例6] 【“自力更生法”】 (多选)航天员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球,经过时间t小球落回原处。若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球,需经过时间5t小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地=1∶4,地球表面重力加速度为g,设该星球表面附近的重力加速度大小为g′,空气阻力不计,忽略地球和星球自转的影响。则(　　)
[A] M星∶M地=1∶20
[B] M星∶M地=1∶80
[C] ρ星∶ρ地=16∶5
[D] ρ星∶ρ地=4∶5
[例7] 【“环绕法”】 (2024·新课标卷,16)天文学家发现,在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行,其中行星GJ1002c的轨道近似为圆,轨道半径约为日地距离的0.07倍,周期约为0.06年,则这颗红矮星的质量约为太阳质量的(　　)
[A] 0.001倍 [B] 0.1倍
[C] 10倍 [D] 1 000倍
(满分:60分)
对点1.开普勒定律的理解与应用
1.(4分)(2025·内蒙古高考适应性考试)紫金山—阿特拉斯彗星由紫金山天文台首次发现,其绕太阳运行周期约为6万年。该彗星轨道的半长轴与日地平均距离的比值约为(　　)
[A] 1.5×103 [B] 1.5×104
[C] 1.5×106 [D] 1.5×107
2.(4分)如图所示,1、2分别是A、B两颗卫星绕地球运行的轨道,1为圆轨道,2为椭圆轨道,椭圆轨道的长轴(近地点和远地点间的距离)是圆轨道半径的4倍。P点为椭圆轨道的近地点,M点为椭圆轨道的远地点,TA是卫星A的周期。则下列说法正确的是(　　)
[A] B卫星在由近地点向远地点运动过程中受到地球的引力将先增大后减小
[B] 地心与卫星B的连线在 TA 时间内扫过的面积为椭圆面积
[C] 卫星B的周期是卫星A的周期的8倍
[D] 1轨道圆心与2轨道的一个焦点重合
3.(4分)(2024·安徽卷,5)2024年3月20日,我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时,鹊桥二号开始进行近月制动,并顺利进入捕获轨道运行,如图所示,轨道的半长轴约为51 900 km。后经多次轨道调整,进入冻结轨道运行,轨道的半长轴约为9 900 km,周期约为24 h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时(　　)
[A] 周期约为144 h
[B] 近月点的速度大于远月点的速度
[C] 近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度
[D] 近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度
对点2.万有引力定律的理解与应用
4.(4分)(2024·河北石家庄模拟)2024年5月3日,嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射,自此开启世界首次月球背面采样返回之旅。若将来航天员在月球(视为质量分布均匀的球体)表面以大小为v0的初速度竖直上抛一物体(视为质点),已知引力常量为G,月球的半径为R、密度为ρ。物体从刚被抛出到刚落回月球表面的时间为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
5.(4分)(2024·重庆九龙坡模拟)如图甲所示,一半径为R、密度均匀的球体,在与球心O相距2R的P处有一质量为m的质点,球体对该质点的万有引力大小为F。现从球体中挖去半径为的小球体(球心在O、P连线上,右端位于O点),如图乙所示,则剩余部分对该质点的万有引力大小为(　　)
[A] F [B] F
[C] F [D] F
6.(4分)(2024·甘肃卷,3)小杰想在离地表一定高度的天宫实验室内,通过测量以下物理量得到天宫实验室轨道处的重力加速度,可行的是(　　)
[A] 用弹簧秤测出已知质量的砝码所受的重力
[B] 测量单摆摆线长度、摆球半径以及摆动周期
[C] 从高处释放一个重物,测量其下落高度和时间
[D] 测量天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径
对点3.天体质量和密度的计算
7.(4分)(2024·海南卷,6)嫦娥六号进入环月圆轨道,周期为T,轨道高度与月球半径之比为k,引力常量为G,则月球的平均密度为(　　)
[A] [B]
[C] [D] (1+k)3
8.(6分)(2024·山东威海二模)(多选)如图所示,某卫星沿半径为r的圆周绕地球运动,若卫星要返回地面,可在圆周上适当位置降低速率,变轨后沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动,椭圆和地球表面在M点相切,椭圆与圆轨道在N点相切,N点到地球表面的最近距离为h。已知引力常量为G,地球表面的重力加速度为g,下列说法正确的是(　　)
[A] 卫星由M运动到N的时间为
[B] 卫星由M运动到N的时间为
[C] 地球的密度为
[D] 地球的密度为
9.(4分)(2024·山东卷,5)“鹊桥二号”中继星环绕月球运行,其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r,则月球与地球质量之比可表示为(　　)
[A] [B] [C] [D]
10.(6分)(2024·湖南长沙三模)(多选)2024年4月25日,“神舟十八号”载人飞船在我国酒泉卫星发射中心成功发射,26日“神舟十八号”入轨后,成功对接天和核心舱径向对接口,05时04分,“神舟十八号”三名航天员顺利进驻中国空间站,和“神舟十七号”三名航天员会师。若地球表面重力加速度为g,地球半径为R,空间站轨道离地高度约为h,则下列说法正确的是(　　)
[A] 空间站绕地球运行的周期为
[B] 航天员们在空间站里能完成弹簧振子的实验
[C] “神舟十八号”载人飞船从发射到进入预定轨道的整个过程均处于失重状态
[D] 仅考虑狭义相对论效应,航天员们在空间站中观察到时钟走过20 s,理论上站在地面上的观察者手里的时钟走过的时间会大于20 s
11.(16分)如图所示,假定地球为密度均匀分布的球体,忽略地球的自转,已知地球的半径为R。理论和实验证明:质量均匀分布的球壳对壳内物体的万有引力为零。求:
(1)地面上方高h的山顶A处和地面处重力加速度大小之比gA∶g0;
(2)如图甲所示,地面下方深h的矿井底B处和地面处重力加速度大小之比gB∶g0;
(3)根据上述两问的结论,在图乙中定性作出重力加速度g随离地心的距离r而变化的函数曲线(图乙中R为地球半径,g0为地球表面处的重力加速度)。
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高中总复习·物理
第1讲　
万有引力与相对论
情境导思
2024年9月底,一颗小行星被地球引力捕获,成为一颗绕地球运行的“迷你月亮”。这颗新发现的小行星被命名为2024 PT5,直径在5至42 m之间,它于9月29日至11月25日期间,被地球引力捕获并绕地球运行。于11月25日离开地球轨道,返回日心轨道。请思考:
(1)不同的小行星绕地球运动的轨道以及速度、周期等有何特点
(2)万有引力定律的内容、公式及适用条件是什么
(3)地球表面不同纬度的物体所受万有引力和重力有何关系 用什么方法可以计算出地球质量
知识构建
小题试做
(2024·江苏泰州期中)如图所示,神舟十四号载人飞船绕地球沿椭圆轨道运动,运动周期为T,图中虚线为飞船的运行轨迹,A、B、C、D是轨迹上的四个位置,其中A点距离地球最近,C点距离地球最远。B点和D点是弧线ABC和ADC的中点,则(　　)
D
1.行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理。
[例1] 【开普勒定律的理解】 对于开普勒行星运动定律的理解,下列说法正确的是(　　)
[A] 开普勒通过自己长期观测,记录了大量数据,通过对数据研究总结得出了开普勒行星运动定律
[B] 根据开普勒第一定律,行星围绕太阳运动的轨道是圆,太阳处于圆心位置
[C] 根据开普勒第二定律,行星距离太阳越近,其运动速度越大;距离太阳越远,其运动速度
越小
[D] 根据开普勒第三定律,行星围绕太阳运动的轨道半径跟它公转周期成正比
C
【解析】 第谷进行了长期观测,记录了大量数据,开普勒通过对数据研究总结得出了开普勒行星运动定律,选项A错误;根据开普勒第一定律,行星围绕太阳运动的轨道是椭圆,太阳处于椭圆的一个焦点上,选项B错误;根据开普勒第二定律,行星距离太阳越近,其运动速度越大,距离太阳越远,其运动速度越小,选项C正确;根据开普勒第三定律,行星围绕太阳运动轨道的半长轴的三次方跟它公转周期的二次方成正比,选项D错误。
[例2] 【开普勒定律的应用】 (2024·山东青岛三模)天宫空间站是我国独立建设的空间站系统。空间站沿图中椭圆轨道逆时针运行,图表是空间站某阶段的运行参数。已知M、N是椭圆轨道短轴的两个端点,月球的公转周期为27天。则(　　)
B
轨道参数
近心点高度 350 km
远心点高度 450 km
轨道倾角 42°
轨道周期 90 min
[A] 空间站与地心连线和月球与地心连线在相等时间内扫过的面积相等
[B] 空间站从M点运行到N点的时间小于45 min
[C] 月球绕地球运行的轨道半长轴约为空间站绕地球运行轨道半长轴的18倍
[D] 空间站在M点和在N点时的加速度相同
规律总结
开普勒定律的适用范围
(1)开普勒第二定律及其引出的推论,不仅适用于绕太阳运转的所有行星,也适用于以行星为中心的卫星,还适用于单颗行星或卫星沿椭圆轨道运行的情况。但需要注意的是,不同行星的运行不能套用开普勒第二定律。
1.万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果:一是物体的重力mg,二是提供物体随地球自转的向心力Fn,如图所示(设地球质量为M)。
2.星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
3.万有引力的“两个推论”
[例3] 【“挖补法”求解万有引力】 (2024·湖北武汉模拟)半径为R、质量分布均匀且为M的两个相同的球固定在水平面上,两球心之间的距离为4R,它们之间的万有引力大小为F。现在两球心的连线外侧各挖掉一个直径为R的小球,剩余部分放在相同位置,如图所示。则剩余部分之间的万有引力大小为(　　)
D
[例4] 【万有引力与重力的关系】 某行星为质量分布均匀的球体,半径为R、质量为M。科研人员研究同一物体在该行星上的重力时,发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上的重力的1.1倍。已知引力常量为G,则该行星自转的角速度为(　　)
B
C
1.利用“天体表面的重力加速度g和天体半径R”——“自力更生法”。
[例6] 【“自力更生法”】 (多选)航天员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球,经过时间t小球落回原处。若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球,需经过时间5t小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地=1∶4,地球表面重力加速度为g,设该星球表面附近的重力加速度大小为g′,空气阻力不计,忽略地球和星球自转的影响。则( 　 　)
[A] M星∶M地=1∶20
[B] M星∶M地=1∶80
[C] ρ星∶ρ地=16∶5
[D] ρ星∶ρ地=4∶5
BD
[例7] 【“环绕法”】 (2024·新课标卷,16)天文学家发现,在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行,其中行星GJ1002c的轨道近似为圆,轨道半径约为日地距离的0.07倍,周期约为0.06年,则这颗红矮星的质量约为太阳质量的
(　　)
[A] 0.001倍
[B] 0.1倍
[C] 10倍
[D] 1 000倍
B
1.(4分)(2025·内蒙古高考适应性考试)紫金山—阿特拉斯彗星由紫金山天文台首次发现,其绕太阳运行周期约为6万年。该彗星轨道的半长轴与日地平均距离的比值约为(　　)
[A] 1.5×103 [B] 1.5×104
[C] 1.5×106 [D] 1.5×107
对点1.开普勒定律的理解与应用
基础对点练
A
2.(4分)如图所示,1、2分别是A、B两颗卫星绕地球运行的轨道,1为圆轨道,2为椭圆轨道,椭圆轨道的长轴(近地点和远地点间的距离)是圆轨道半径的4倍。P点为椭圆轨道的近地点,M点为椭圆轨道的远地点,TA是卫星A的周期。则下列说法正确的是(　　)
D
3.(4分)(2024·安徽卷,5)2024年3月20日,我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时,鹊桥二号开始进行近月制动,并顺利进入捕获轨道运行,如图所示,轨道的半长轴约为51 900 km。后经多次轨道调整,进入冻结轨道运行,轨道的半长轴约为9 900 km,周期约为24 h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时(　　)
[A] 周期约为144 h
[B] 近月点的速度大于远月点的速度
[C] 近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度
[D] 近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度
B
4.(4分)(2024·河北石家庄模拟)2024年5月3日,嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射,自此开启世界首次月球背面采样返回之旅。若将来航天员在月球(视为质量分布均匀的球体)表面以大小为v0的初速度竖直上抛一物体(视为质点),已知引力常量为G,月球的半径为R、密度为ρ。物体从刚被抛出到刚落回月球表面的时间为(　　)
C
对点2.万有引力定律的理解与应用
C
6.(4分)(2024·甘肃卷,3)小杰想在离地表一定高度的天宫实验室内,通过测量以下物理量得到天宫实验室轨道处的重力加速度,可行的是(　　)
[A] 用弹簧秤测出已知质量的砝码所受的重力
[B] 测量单摆摆线长度、摆球半径以及摆动周期
[C] 从高处释放一个重物,测量其下落高度和时间
[D] 测量天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径
D
D
对点3.天体质量和密度的计算
AC
D
BD
综合提升练
11.(16分)如图所示,假定地球为密度均匀分布的球体,忽略地球的自转,已知地球的半径为R。理论和实验证明:质量均匀分布的球壳对壳内物体的万有引力为零。求:
(1)地面上方高h的山顶A处和地面处重力加速度大小之比gA∶g0;
(2)如图甲所示,地面下方深h的矿井底B处和地面处重力加速度大小之比gB∶g0;
(3)根据上述两问的结论,在图乙中定性作出重力加速度g随离地心的距离r而变化的函数曲线(图乙中R为地球半径,
G0为地球表面处的重力加速度)。

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