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第3讲　小专题:卫星变轨问题　双星模型
考点一　卫星的变轨和对接问题
1.卫星发射与变轨原理
(1)为了节省能量,在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上,卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动,有G=m,如图所示。
(2)在A点(近地点)点火加速,由于速度变大,所需向心力变大,G(3)在椭圆轨道B点(远地点),G>m,将做近心运动,再次点火加速,使G=m,进入圆轨道Ⅲ。
2.两类变轨情况
两类变轨 离心运动 近心运动
示意图
变轨原因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小
万有引力 与向心力 的大小 关系 Gm
3.变轨过程中三个运行参量的分析
速度 设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3,在轨道Ⅱ上过A点和B点时的速率分别为vA、vB。在A点加速,则vA>v1,在B点加速,则v3>vB,又因v1>v3,故有vA>v1>v3>vB
加速度 因为在A点,卫星只受到万有引力的作用,故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点,卫星的加速度都相同;同理,经过B点加速度也相同
周期 设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行的周期分别为T1、T2、T3,轨道半径(半长轴)分别为r1、r2、r3,由开普勒第三定律=k可知T14.飞船对接问题
宇宙飞船与空间站的“对接”实际上就是两个做匀速圆周运动的物体的追赶问题,本质仍然是卫星的变轨问题,要使宇宙飞船与空间站成功“对接”,必须让宇宙飞船在稍低轨道上加速,通过速度v增大→所需向心力增大→做离心运动→轨道半径r增大→升高轨道的系列变速,从而完成宇宙飞船与空间站的成功对接。
[例1] 【卫星变轨问题中各物理量的比较】 (2024·湖北卷,4)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动,如图中实线所示。为了避开碎片,空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体,使空间站获得一定的反冲速度,从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示,其半长轴大于原轨道半径。则(　　)
[A] 空间站变轨前、后在P点的加速度相同
[B] 空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
[C] 空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小
[D] 空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
【答案】 A
【解析】 在P点变轨前、后空间站都只受到地球的万有引力且不变,根据牛顿第二定律可知空间站变轨前、后在P点的加速度相同,故A正确;变轨后其半长轴大于原轨道半径,根据开普勒第三定律可知空间站变轨后的运动周期比变轨前的大,故B错误;变轨后在P点因反冲运动获得竖直向下的速度,原水平向左的圆周运动速度不变,即合速度变大,故C错误;由于空间站变轨后在P点的速度比变轨前大,在近地点时的速度更大,则空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的小,故D错误。
[提升] 【卫星变轨过程的功能分析】 如图所示,飞船在半径为r1=r的圆轨道上做匀速圆周运动,在A点时使飞船加速进入椭圆轨道,到椭圆轨道的远地点B点时,再次改变飞船的速度,使飞船进入半径为r2=2r的圆轨道做匀速圆周运动。已知飞船在椭圆轨道时距地心的距离与速度的乘积为定值,飞船在椭圆轨道上A点时的速度为v,飞船的总质量为m,地球质量为M,引力常量为G,则发动机在A点对飞船做的功与在B点对飞船做的功之差为多少
【答案】 mv2-
【解析】 当在r1=r的圆轨道上运行时,有
G=m,
解得在圆轨道上运行时通过A点的速度为
v0=,
所以发动机在A点对飞船做的功为
W1=mv2-m=mv2-;
当在r2=2r的圆轨道上运行时,有
G=m,
解得在圆轨道上运行时通过B点的速度为
v0′=,
而根据题意可知在椭圆轨道上通过B点时的速度为v1=v=v,
故发动机在B点对飞船做的功为
W2=mv0′2-m=-mv2,
所以W1-W2=mv2-。
[例2] 【飞船对接问题】 2024年4月26日,“神舟十八号”飞船顺利对接“天和核心舱”再现“太空会师”。假设“天和核心舱”与“神舟十八号”都围绕地球做匀速圆周运动,为了实现“神舟十八号”飞船与“天和核心舱”的对接,下列措施可行的是(　　)
[A] 使飞船与“天和核心舱”在同一轨道上运行,然后飞船加速追上“天和核心舱”实现对接
[B] 使飞船与“天和核心舱”在同一轨道上运行,然后“天和核心舱”减速等待飞船实现对接
[C] 飞船先在比“天和核心舱”半径小的轨道上加速,加速后飞船逐渐靠近“天和核心舱”,两者速度接近时实现对接
[D] 飞船先在比“天和核心舱”半径小的轨道上减速,减速后飞船逐渐靠近“天和核心舱”,两者速度接近时实现对接
【答案】 C
【解析】 若使飞船与“天和核心舱”在同一轨道上运行,当飞船加速时,所需向心力变大,则飞船将脱离原轨道而进入更高的轨道,不能实现对接;若“天和核心舱”减速,所需向心力变小,则“天和核心舱”将脱离原轨道而进入更低的轨道,同样不能实现对接,故A、B错误。要想实现对接,可使飞船在比“天和核心舱”半径较小的轨道上加速,然后飞船将进入较高的“天和核心舱”轨道,逐渐靠近“天和核心舱”后,两者速度接近时实现对接,故C正确,D错误。
考点二　双星或多星模型
1.双星模型
(1)模型构建:绕公共圆心转动的两个星体组成的系统,我们称之为双星系统,如图所示。
(2)特点。
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供,即
=m1r1,=m2r2。
②两颗星的周期、角速度相同,即T1=T2,ω1=ω2。
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为 r1+r2=L。
④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比,即=。
⑤双星的运动周期T=2π。
⑥双星的总质量m1+m2=。
2.多星模型
所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力,除中央星体外,各星体的角速度或周期相同。常见的多星模型及规律:
+=man
×cos 30°×2=man
×cos 45°×2+=man
×cos 30°×2+=man
[例3] 【双星模型】 (2024·河北邢台一模)(多选)2017年,人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程,在两颗中子星合并前约100 s时,它们间的距离为r,绕两者连线上的某点每秒转动n圈,将两颗中子星都看作质量均匀分布的球体,引力常量为G,下列说法正确的是(　　)
[A] 两颗中子星转动的周期均为n(s)
[B] 两颗中子星转动时所需向心力之比等于它们的转动半径之比
[C] 两颗中子星的转动半径之比等于它们质量的反比
[D] 两颗中子星的质量之和为
【答案】 CD
【解析】 根据题意可知, 两颗中子星绕两者连线上的某点每秒转动n圈,则周期为T=(s),故A错误;设两颗星的质量分别为m1、m2,两颗中子星转动时所需的向心力由二者之间的万有引力提供,即向心力大小均为F=G,故B错误;设两颗星的轨道半径分别为r1、r2,相距r,根据万有引力提供向心力可知G=m1r1=m2r2,可得=,即两颗中子星的转动半径与它们的质量成反比,同时将上述向心力公式化简可得m1+m2==,故C、D正确。
[例4] 【三星模型】 (多选)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式,一种是三颗星位于同一直线上,两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行,如图a所示,另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行,如图b所示。设这三个星体的质量均为M,并设两种系统的运动周期相同,则(　　)
　　　　　 　a　　　　　　　　 b
[A] 直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同
[B] 直线三星系统的运动周期为T=4πR
[C] 三角形三星系统中星体间的距离为L=R
[D] 三角形三星系统的线速度大小为
【答案】 BC
【解析】 直线三星系统中甲星和丙星角速度相同,运动半径相同,由v=ωR,甲星和丙星的线速度大小相等,方向不同,故A错误;由万有引力提供向心力有G+G=MR,得T=4πR,故B正确;根据题意可得,三角形三星系统中任意星体所受合力为F=2×cos 30°×G=,又万有引力提供向心力,可得 F=Mr,因为两种系统的运动周期相同,即T′=T,轨道半径r与边长L的关系为L=r,解得L=R,故C正确;三角形三星系统的线速度大小为v=,得v=·,故D错误。
宇宙多星问题的分析思路
考点三　星球“瓦解”及黑洞问题　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.星球的瓦解问题
当星球自转越来越快时,星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时,物体将会“飘起来”,进一步导致星球瓦解,瓦解的临界条件是“赤道”上的物体所受星球的引力恰好提供向心力,即=mω2R,得ω=。当ω>时,星球瓦解,当ω≤时,星球稳定运行。
2.黑洞
黑洞是一种密度极大、引力极大的天体,以至于光都无法逃逸,科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞。当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的 倍)超过光速时,该天体就是黑洞。
[例5] 【星球的瓦解问题】 我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318+0253”,其自转周期T=5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体,已知引力常量为 6.67×10-11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　)
[A] 5×109 kg/m3　 [B] 5×1012 kg/m3
[C] 5×1015 kg/m3　 [D] 5×1018 kg/m3
【答案】 C
【解析】 毫秒脉冲星稳定自转,万有引力提供向心力,则有G≥mr,又知M=ρ·πr3,整理得密度ρ≥≈5×1015 kg/m3,故选C。
[例6] 【黑洞问题】 (2024·安徽安庆二模)史瓦西半径是任何具有质量的物质都存在的一个临界半径特征值。该值的含义是:如果一个特定质量的物质被压缩到此临界半径时,该物质就被压缩成一个黑洞,即此时它的逃逸速度等于光速。已知某星球的逃逸速度为其第一宇宙速度的 倍,该星球半径R=6 400 km,表面重力加速度g取10 m/s2,不考虑星球的自转,则该星球的史瓦西半径约为(　　)
[A] 9 nm [B] 9 mm
[C] 9 cm [D] 9 m
【答案】 B
【解析】 星球表面附近有=mg,临界状态光速恰好等于其逃逸速度,可得第一宇宙速度可表示为v1=,根据万有引力提供向心力可得 =m,联立解得R′≈0.009 m=9 mm。
(满分:50分)
对点1.卫星的变轨和对接问题
1.(6分)(多选)据中国载人航天工程办公室消息,“神舟十八号”载人飞船入轨后,于2024年4月26日成功对接于“空间站”天和核心舱径向端口,“神舟十八号”成功对接“空间站”,在对接之前的某段时间内,“神舟十八号”和“空间站”分别在圆形轨道Ⅰ和Ⅱ上做匀速圆周运动(如图所示),已知对接后组合体可看作绕地球做匀速圆周运动,运行轨道距地面高度为h,地球半径为R,地球表面重力加速度为g,下列说法正确的是(　　)
[A] 对接前“神舟十八号”的运行周期小于“空间站”的运行周期
[B] “神舟十八号”与“空间站”对接后,“空间站”质量增大,加速度减小
[C] “神舟十八号”需要通过加速才能和“空间站”实现对接
[D] 组合体的运行速度为
【答案】 AC
【解析】 卫星绕地球做匀速圆周运动,由万有引力提供向心力得G=mr,解得T=,对接前“神舟十八号”处于低轨道,轨道半径小,则对接前“神舟十八号”的运行周期小于“空间站”的运行周期,故A正确;根据牛顿第二定律可得 G=ma,解得a=G,“神舟十八号”与“空间站”对接后,“空间站”轨道半径一定,其加速度不变,故B错误;“神舟十八号”在低轨道需要通过加速才能变轨到高轨道和“空间站”实现对接,故C正确;对于组合体有G=m1,在地球表面的物体有G=m′g,解得v=,即组合体的运行速度为,故D错误。
2.(6分)(2024·湖南长沙二模)(多选)我国探月工程四期嫦娥六号已于2024年5月3日成功发射升空。嫦娥六号被月球俘获后进入椭圆轨道Ⅰ上运行,当经过近月点M点时启动点火装置,完成变轨后进入圆形轨道Ⅱ上运行。已知月球半径为R,圆形轨道Ⅱ距月球表面距离为nR,椭圆轨道Ⅰ远月点距月球表面距离为kR,如图所示,忽略其他天体对嫦娥六号的影响,关于嫦娥六号的运动,下列说法正确的是(　　)
[A] 由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需要在M点点火使其加速才能完成
[B] 在轨道Ⅰ上的近月点速度比轨道Ⅱ的速度大
[C] 在轨道Ⅰ上运行周期是轨道Ⅱ上运行周期的倍
[D] 在轨道Ⅱ上运行速度为月球第一宇宙速度的 倍
【答案】 BC
【解析】 由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ嫦娥六号做近心运动,速度要减小,需要在M点点火制动,使其减速才能完成,故在轨道Ⅰ上的近月点速度比轨道Ⅱ的速度大,故A错误,B正确;根据题意可得,轨道Ⅰ的半长轴a==,轨道Ⅱ的轨道半径为R′=(n+1)R,设嫦娥六号在轨道Ⅰ上运行周期为T1,在轨道Ⅱ上运行周期为T2,根据开普勒第三定律有=,可得==,故C正确;设月球的质量为M,嫦娥六号的质量为m,根据万有引力充当向心力可得 G=m,解得v=,卫星环绕月球表面做圆周运动时的速度即为第一宇宙速度,即月球的第一宇宙速度为v1=,而嫦娥六号在轨道Ⅱ上运行时的速度v2=,由此可得=,故D错误。
对点2.双星或多星模型
3.(4分)(2024·重庆卷,7)在万有引力作用下,太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动,假设a、b两个天体的质量均为M,相距为2r,其连线的中点为O,另一天体(图中未画出)质量为m(m M),若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置,a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周,且相对位置不变,忽略其他天体的影响。引力常量为G。则(　　)
[A] c的线速度大小为a的 倍
[B] c的向心加速度大小为b的一半
[C] c在一个周期内的路程为2πr
[D] c的角速度大小为
【答案】 A
【解析】 a、b、c三个天体角速度相同,由于m M,则对a天体有G=Mω2r,解得ω=,故D错误;设c与a、b的连线与a、b连线中垂线的夹角为α,对c天体有2Gcos α=mω2,解得α=30°,则c的轨道半径为rc==r,由v=ωr可知,c的线速度大小为a的倍,故A正确;由an=ω2r,可知c的向心加速度大小是b的倍,故B错误;c在一个周期内运动的路程为s=2πrc=2πr,故C错误。
4.(6分)(多选)如图为一种四颗星体组成的稳定系统,四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方形四个顶点,四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动,忽略其他星体对它们的作用,引力常量为G。下列说法正确的是(　　)
[A] 星体做匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心
[B] 每个星体做匀速圆周运动的角速度均为
[C] 若边长L和星体质量m均是原来的两倍,星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍
[D] 若边长L和星体质量m均是原来的两倍,星体做匀速圆周运动的线速度大小不变
【答案】 BD
【解析】 四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动,所以星体做匀速圆周运动的圆心一定是正方形的中心,故A错误;由G+G=mω2·L,可知ω=,故B正确;由 G+G=ma可知,若边长L和星体质量m均为原来的两倍,星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的,故C错误;由G+G=m可知,星体做匀速圆周运动的线速度大小为v=,所以若边长L和星体质量m均是原来的两倍,星体做匀速圆周运动的线速度大小不变,故D正确。
对点3.星球“瓦解”及黑洞问题
5.(4分)一近地卫星的运行周期为T0,地球的自转周期为T,则地球的平均密度与地球不致因自转而瓦解的最小密度之比为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 D
【解析】 对近地卫星,有G=m()2R,地球的质量M=ρ1·πR3,联立解得ρ1=,以地球赤道处一质量为m0的物体为研究对象,只有当它受到的万有引力大于或等于它随地球一起旋转所需的向心力时,地球才不会瓦解,设地球不致因自转而瓦解的最小密度为ρ2,则有G=m0()2R,M=ρ2·πR3,联立解得ρ2=,所以=。
6.(4分)科学研究表明,当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)大于光速时,该天体就是黑洞。已知某天体与地球的质量之比为k,地球的半径为R,地球的环绕速度(第一宇宙速度)为v1,光速为c,则要使该天体成为黑洞,其半径应小于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 D
【解析】 地球的第一宇宙速度为v1=,设当该天体的半径小于r时,能成为黑洞,则v2=,
并且有v2>c,联立解得r<。
7.(4分)(2024·山东淄博模拟)为顺利完成月球背面的“嫦娥六号”探测器与地球间的通信,需在地月拉格朗日L2点处定位某一卫星,该卫星可以在几乎不消耗燃料的情况下与月球同步绕地球做匀速圆周运动。已知地球、月球球心间的距离约为L2点与月球球心距离的6倍,如图所示。则地球与月球质量的比值约为(　　)
[A] 36 [B] 49 [C] 83 [D] 216
【答案】 C
【解析】 设地月距离为L,则对月球有G=M月ω2L,对卫星有G+G=mω2(L+),联立解得≈83。
8.(6分)(2024·山东滨州二模)(多选)2024年4月24日为第九个中国航天日,主题是“极目楚天,共襄星汉”。飞船和空间站的变轨对接可简化为如图所示的过程,飞船在停泊轨道Ⅰ上,进行信息确认,后经转移轨道Ⅱ进入对接轨道Ⅲ,轨道Ⅰ和Ⅱ、Ⅱ和Ⅲ分别相切于A、B两点,已知轨道Ⅰ为圆轨道,半径近似为地球半径R0,轨道Ⅱ为椭圆轨道,其焦点在地心,轨道Ⅲ为圆轨道,半径为R,地球表面的重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
[A] 飞船在轨道Ⅰ上经过A点时的加速度大于在轨道Ⅱ上经过A点时的加速度
[B] 飞船在轨道Ⅱ上经过A点时的速率小于在轨道Ⅲ上经过B点时的速率
[C] 飞船在轨道Ⅱ上经过A点和B点的速率之比等于
[D] 飞船在轨道Ⅱ上从A点运动到B点的时间为
【答案】 CD
【解析】 根据万有引力提供向心力可知G=ma,解得a=,飞船在轨道Ⅰ上经过A点时的加速度等于在轨道Ⅱ上经过A点时的加速度,A错误;飞船在轨道Ⅰ和轨道Ⅲ上运行时,根据万有引力提供向心力可知G=m,解得v=,可知在轨道Ⅲ上经过B点时的速率小于在轨道Ⅰ上经过A点时的速率,飞船在轨道Ⅰ上运行时,在A点需加速变轨做离心运动到轨道Ⅱ上,所以经过A点时的速率轨道Ⅱ上的更大,故飞船在轨道Ⅱ上经过A点时的速率大于在轨道Ⅲ上经过B点时的速率,B错误;根据开普勒第二定律可知vAtR0=vBtR,解得=,C正确;根据开普勒第三定律可知,在轨道Ⅲ上=k,结合万有引力定律可知G=mR,解得=,又因为GM=g,==k,根据开普勒第三定律,可知在轨道 Ⅱ 上的运行周期满足=k,所以其周期T′=·,飞船在轨道 Ⅱ 从A运动到B所用时间为t==,D正确。
9.(6分)(2024·重庆模拟)(多选)如图所示,航天器c位于日地系统中拉格朗日L1点处,与太阳a、地球b构成稳定的等边三角形,大圆为地球绕太阳中心做匀速圆周运动的轨迹。实际上,a、b、c是一个“三星”系统,由于航天器的质量远小于天体的质量,a、b、c绕着a、b构成的“双星”连线中的O点转动。忽略其他天体的影响,则(　　)
[A] c的周期大于b的周期
[B] c的向心加速度大于b的向心加速度
[C] c的向心力指向太阳中心
[D] c的线速度大于b的线速度
【答案】 BD
【解析】 在“三星”系统中,由于航天器与太阳a、地球b构成稳定的等边三角形,则三者圆周运动的角速度大小ω相等。航天器质量远小于天体质量,在太阳、地球构成的“双星”系统中,二者之间的万有引力大小相等,因为地球质量小于太阳质量,则地球环绕半径大于太阳环绕半径,O点更靠近太阳,三星系统中,三者的半径分别为Oa、Ob、Oc,根据几何关系可知Oc>Ob>Oa,根据圆周运动规律可知周期T=,三者角速度大小相等,所以周期也相等,故A错误;根据an=ω2r,因为c的环绕半径大于b的环绕半径,所以c的向心加速度大于b的向心加速度,故B正确;三星系统中c的向心力指向圆周运动的中心O点,故C错误;线速度v=ωr,因为c的环绕半径大于b的环绕半径,所以c的线速度大于b的线速度,故D正确。
10.(4分)(2024·山东日照二模)2021年11月,中科院国家天文台发布了目前世界上最大时域多星光谱星表,为科学家研究宇宙中的多星系统提供了关键数据支持。科学家观测到有三颗星A、B、C保持相对静止,相互之间的距离均为l,且一起绕着某点做周期为T的匀速圆周运动。已知mA=m,mB=mC=(+1)m,不计其他星体对它们的影响。关于这个三星系统,下列说法正确的是(　　)
[A] 三颗星做匀速圆周运动的轨道半径相等
[B] 三颗星A、B、C的线速度大小之比为∶1∶1
[C] 若距离l均不变,A、B、C的质量均变为原来的2倍,则周期变为T
[D] 若A、B、C的质量不变,距离均变为2l,则周期变为T
【答案】 B
【解析】 由于三颗星保持相对静止,一起绕着某点做圆周运动,三颗星角速度与周期相等,根据对称性,B、C轨道半径相等,作出三颗星运动轨迹,如图所示,
对A星体有2Gcos 30°=mω2RA,对B、C星体,两星体各自所受引力的合力大小相等,设为F,根据余弦定理有F2=[G]2+[G]2-2G·Gcos 120°,对B、C星体,两星体各自做圆周运动,B、C轨道半径相等,设为RB=RC=R0,则有F=(+1)mω2R0,解得=,可知三颗星A、B、C的半径大小之比为∶1∶1,故A错误;根据线速度与角速度的关系有v=ωR,三颗星A、B、C的角速度相等,线速度之比等于半径之比,结合上述可知,三颗星A、B、C的线速度大小之比为∶1∶1,故B正确;距离l均不变,对A星体有2Gcos 30°=mRA,若A、B、C的质量均变为原来的2倍,根据对称性可知,三星圆周运动的圆心不变,即轨道半径不变,则有2Gcos 30°=2mRA,解得T1=,即若距离l均不变,A、B、C的质量均变为原来的2倍,则周期变为T,故C错误;若A、B、C的质量不变,距离均变为2l,根据对称性可知,三颗星圆周运动的圆心不变,即轨道半径均变为先前的2倍,则对A星有2Gcos 30°=m·2RA,解得T2=2T,即若A、B、C的质量不变,距离均变为2l,则周期变为2T,故D错误。
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)第3讲　小专题:卫星变轨问题　双星模型
考点一　卫星的变轨和对接问题
1.卫星发射与变轨原理
(1)为了节省能量,在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上,卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动,有G=m,如图所示。
(2)在A点(近地点)点火加速,由于速度变大,所需向心力变大,G(3)在椭圆轨道B点(远地点),G>m,将做近心运动,再次点火加速,使G=m,进入圆轨道Ⅲ。
2.两类变轨情况
两类变轨 离心运动 近心运动
示意图
变轨原因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小
万有引力 与向心力 的大小 关系 Gm
3.变轨过程中三个运行参量的分析
速度 设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3,在轨道Ⅱ上过A点和B点时的速率分别为vA、vB。在A点加速,则vA>v1,在B点加速,则v3>vB,又因v1>v3,故有vA>v1>v3>vB
加速度 因为在A点,卫星只受到万有引力的作用,故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点,卫星的加速度都相同;同理,经过B点加速度也相同
周期 设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行的周期分别为T1、T2、T3,轨道半径(半长轴)分别为r1、r2、r3,由开普勒第三定律=k可知T14.飞船对接问题
宇宙飞船与空间站的“对接”实际上就是两个做匀速圆周运动的物体的追赶问题,本质仍然是卫星的变轨问题,要使宇宙飞船与空间站成功“对接”,必须让宇宙飞船在稍低轨道上加速,通过速度v增大→所需向心力增大→做离心运动→轨道半径r增大→升高轨道的系列变速,从而完成宇宙飞船与空间站的成功对接。
[例1] 【卫星变轨问题中各物理量的比较】 (2024·湖北卷,4)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动,如图中实线所示。为了避开碎片,空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体,使空间站获得一定的反冲速度,从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示,其半长轴大于原轨道半径。则(　　)
[A] 空间站变轨前、后在P点的加速度相同
[B] 空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
[C] 空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小
[D] 空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
[提升] 【卫星变轨过程的功能分析】 如图所示,飞船在半径为r1=r的圆轨道上做匀速圆周运动,在A点时使飞船加速进入椭圆轨道,到椭圆轨道的远地点B点时,再次改变飞船的速度,使飞船进入半径为r2=2r的圆轨道做匀速圆周运动。已知飞船在椭圆轨道时距地心的距离与速度的乘积为定值,飞船在椭圆轨道上A点时的速度为v,飞船的总质量为m,地球质量为M,引力常量为G,则发动机在A点对飞船做的功与在B点对飞船做的功之差为多少
[例2] 【飞船对接问题】 2024年4月26日,“神舟十八号”飞船顺利对接“天和核心舱”再现“太空会师”。假设“天和核心舱”与“神舟十八号”都围绕地球做匀速圆周运动,为了实现“神舟十八号”飞船与“天和核心舱”的对接,下列措施可行的是(　　)
[A] 使飞船与“天和核心舱”在同一轨道上运行,然后飞船加速追上“天和核心舱”实现对接
[B] 使飞船与“天和核心舱”在同一轨道上运行,然后“天和核心舱”减速等待飞船实现对接
[C] 飞船先在比“天和核心舱”半径小的轨道上加速,加速后飞船逐渐靠近“天和核心舱”,两者速度接近时实现对接
[D] 飞船先在比“天和核心舱”半径小的轨道上减速,减速后飞船逐渐靠近“天和核心舱”,两者速度接近时实现对接
考点二　双星或多星模型
1.双星模型
(1)模型构建:绕公共圆心转动的两个星体组成的系统,我们称之为双星系统,如图所示。
(2)特点。
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供,即
=m1r1,=m2r2。
②两颗星的周期、角速度相同,即T1=T2,ω1=ω2。
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为 r1+r2=L。
④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比,即=。
⑤双星的运动周期T=2π。
⑥双星的总质量m1+m2=。
2.多星模型
所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力,除中央星体外,各星体的角速度或周期相同。常见的多星模型及规律:
+=man
×cos 30°×2=man
×cos 45°×2+=man
×cos 30°×2+=man
[例3] 【双星模型】 (2024·河北邢台一模)(多选)2017年,人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程,在两颗中子星合并前约100 s时,它们间的距离为r,绕两者连线上的某点每秒转动n圈,将两颗中子星都看作质量均匀分布的球体,引力常量为G,下列说法正确的是(　　)
[A] 两颗中子星转动的周期均为n(s)
[B] 两颗中子星转动时所需向心力之比等于它们的转动半径之比
[C] 两颗中子星的转动半径之比等于它们质量的反比
[D] 两颗中子星的质量之和为
[例4] 【三星模型】 (多选)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式,一种是三颗星位于同一直线上,两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行,如图a所示,另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行,如图b所示。设这三个星体的质量均为M,并设两种系统的运动周期相同,则(　　)
　　　　　 　a　　　　　　　　 b
[A] 直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同
[B] 直线三星系统的运动周期为T=4πR
[C] 三角形三星系统中星体间的距离为L=R
[D] 三角形三星系统的线速度大小为
宇宙多星问题的分析思路
考点三　星球“瓦解”及黑洞问题　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.星球的瓦解问题
当星球自转越来越快时,星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时,物体将会“飘起来”,进一步导致星球瓦解,瓦解的临界条件是“赤道”上的物体所受星球的引力恰好提供向心力,即=mω2R,得ω=。当ω>时,星球瓦解,当ω≤时,星球稳定运行。
2.黑洞
黑洞是一种密度极大、引力极大的天体,以至于光都无法逃逸,科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞。当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的 倍)超过光速时,该天体就是黑洞。
[例5] 【星球的瓦解问题】 我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318+0253”,其自转周期T=5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体,已知引力常量为 6.67×10-11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　)
[A] 5×109 kg/m3　 [B] 5×1012 kg/m3
[C] 5×1015 kg/m3　 [D] 5×1018 kg/m3
[例6] 【黑洞问题】 (2024·安徽安庆二模)史瓦西半径是任何具有质量的物质都存在的一个临界半径特征值。该值的含义是:如果一个特定质量的物质被压缩到此临界半径时,该物质就被压缩成一个黑洞,即此时它的逃逸速度等于光速。已知某星球的逃逸速度为其第一宇宙速度的 倍,该星球半径R=6 400 km,表面重力加速度g取10 m/s2,不考虑星球的自转,则该星球的史瓦西半径约为(　　)
[A] 9 nm [B] 9 mm
[C] 9 cm [D] 9 m
(满分:50分)
对点1.卫星的变轨和对接问题
1.(6分)(多选)据中国载人航天工程办公室消息,“神舟十八号”载人飞船入轨后,于2024年4月26日成功对接于“空间站”天和核心舱径向端口,“神舟十八号”成功对接“空间站”,在对接之前的某段时间内,“神舟十八号”和“空间站”分别在圆形轨道Ⅰ和Ⅱ上做匀速圆周运动(如图所示),已知对接后组合体可看作绕地球做匀速圆周运动,运行轨道距地面高度为h,地球半径为R,地球表面重力加速度为g,下列说法正确的是(　　)
[A] 对接前“神舟十八号”的运行周期小于“空间站”的运行周期
[B] “神舟十八号”与“空间站”对接后,“空间站”质量增大,加速度减小
[C] “神舟十八号”需要通过加速才能和“空间站”实现对接
[D] 组合体的运行速度为
2.(6分)(2024·湖南长沙二模)(多选)我国探月工程四期嫦娥六号已于2024年5月3日成功发射升空。嫦娥六号被月球俘获后进入椭圆轨道Ⅰ上运行,当经过近月点M点时启动点火装置,完成变轨后进入圆形轨道Ⅱ上运行。已知月球半径为R,圆形轨道Ⅱ距月球表面距离为nR,椭圆轨道Ⅰ远月点距月球表面距离为kR,如图所示,忽略其他天体对嫦娥六号的影响,关于嫦娥六号的运动,下列说法正确的是(　　)
[A] 由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需要在M点点火使其加速才能完成
[B] 在轨道Ⅰ上的近月点速度比轨道Ⅱ的速度大
[C] 在轨道Ⅰ上运行周期是轨道Ⅱ上运行周期的倍
[D] 在轨道Ⅱ上运行速度为月球第一宇宙速度的 倍
对点2.双星或多星模型
3.(4分)(2024·重庆卷,7)在万有引力作用下,太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动,假设a、b两个天体的质量均为M,相距为2r,其连线的中点为O,另一天体(图中未画出)质量为m(m M),若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置,a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周,且相对位置不变,忽略其他天体的影响。引力常量为G。则(　　)
[A] c的线速度大小为a的 倍
[B] c的向心加速度大小为b的一半
[C] c在一个周期内的路程为2πr
[D] c的角速度大小为
4.(6分)(多选)如图为一种四颗星体组成的稳定系统,四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方形四个顶点,四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动,忽略其他星体对它们的作用,引力常量为G。下列说法正确的是(　　)
[A] 星体做匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心
[B] 每个星体做匀速圆周运动的角速度均为
[C] 若边长L和星体质量m均是原来的两倍,星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍
[D] 若边长L和星体质量m均是原来的两倍,星体做匀速圆周运动的线速度大小不变
对点3.星球“瓦解”及黑洞问题
5.(4分)一近地卫星的运行周期为T0,地球的自转周期为T,则地球的平均密度与地球不致因自转而瓦解的最小密度之比为(　　)
[A] [B] [C] [D]
6.(4分)科学研究表明,当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)大于光速时,该天体就是黑洞。已知某天体与地球的质量之比为k,地球的半径为R,地球的环绕速度(第一宇宙速度)为v1,光速为c,则要使该天体成为黑洞,其半径应小于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
7.(4分)(2024·山东淄博模拟)为顺利完成月球背面的“嫦娥六号”探测器与地球间的通信,需在地月拉格朗日L2点处定位某一卫星,该卫星可以在几乎不消耗燃料的情况下与月球同步绕地球做匀速圆周运动。已知地球、月球球心间的距离约为L2点与月球球心距离的6倍,如图所示。则地球与月球质量的比值约为(　　)
[A] 36 [B] 49 [C] 83 [D] 216
8.(6分)(2024·山东滨州二模)(多选)2024年4月24日为第九个中国航天日,主题是“极目楚天,共襄星汉”。飞船和空间站的变轨对接可简化为如图所示的过程,飞船在停泊轨道Ⅰ上,进行信息确认,后经转移轨道Ⅱ进入对接轨道Ⅲ,轨道Ⅰ和Ⅱ、Ⅱ和Ⅲ分别相切于A、B两点,已知轨道Ⅰ为圆轨道,半径近似为地球半径R0,轨道Ⅱ为椭圆轨道,其焦点在地心,轨道Ⅲ为圆轨道,半径为R,地球表面的重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
[A] 飞船在轨道Ⅰ上经过A点时的加速度大于在轨道Ⅱ上经过A点时的加速度
[B] 飞船在轨道Ⅱ上经过A点时的速率小于在轨道Ⅲ上经过B点时的速率
[C] 飞船在轨道Ⅱ上经过A点和B点的速率之比等于
[D] 飞船在轨道Ⅱ上从A点运动到B点的时间为
9.(6分)(2024·重庆模拟)(多选)如图所示,航天器c位于日地系统中拉格朗日L1点处,与太阳a、地球b构成稳定的等边三角形,大圆为地球绕太阳中心做匀速圆周运动的轨迹。实际上,a、b、c是一个“三星”系统,由于航天器的质量远小于天体的质量,a、b、c绕着a、b构成的“双星”连线中的O点转动。忽略其他天体的影响,则(　　)
[A] c的周期大于b的周期
[B] c的向心加速度大于b的向心加速度
[C] c的向心力指向太阳中心
[D] c的线速度大于b的线速度
10.(4分)(2024·山东日照二模)2021年11月,中科院国家天文台发布了目前世界上最大时域多星光谱星表,为科学家研究宇宙中的多星系统提供了关键数据支持。科学家观测到有三颗星A、B、C保持相对静止,相互之间的距离均为l,且一起绕着某点做周期为T的匀速圆周运动。已知mA=m,mB=mC=(+1)m,不计其他星体对它们的影响。关于这个三星系统,下列说法正确的是(　　)
[A] 三颗星做匀速圆周运动的轨道半径相等
[B] 三颗星A、B、C的线速度大小之比为∶1∶1
[C] 若距离l均不变,A、B、C的质量均变为原来的2倍,则周期变为T
[D] 若A、B、C的质量不变,距离均变为2l,则周期变为T
(
第
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高中总复习·物理
第3讲　
小专题:卫星变轨问题　
双星模型
1.卫星发射与变轨原理
2.两类变轨情况
两类变轨 离心运动 近心运动
示意图
变轨原因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小
3.变轨过程中三个运行参量的分析
4.飞船对接问题
宇宙飞船与空间站的“对接”实际上就是两个做匀速圆周运动的物体的追赶问题,本质仍然是卫星的变轨问题,要使宇宙飞船与空间站成功“对接”,必须让宇宙飞船在稍低轨道上加速,通过速度v增大→所需向心力增大→做离心运动→轨道半径r增大→升高轨道的系列变速,从而完成宇宙飞船与空间站的成功对接。
[例1] 【卫星变轨问题中各物理量的比较】 (2024·湖北卷,4)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动,如图中实线所示。为了避开碎片,空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体,使空间站获得一定的反冲速度,从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示,其半长轴大于原轨道半径。则(　　)
[A] 空间站变轨前、后在P点的加速度相同
[B] 空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
[C] 空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小
[D] 空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
A
【解析】 在P点变轨前、后空间站都只受到地球的万有引力且不变,根据牛顿第二定律可知空间站变轨前、后在P点的加速度相同,故A正确;变轨后其半长轴大于原轨道半径,根据开普勒第三定律可知空间站变轨后的运动周期比变轨前的大,故B错误;变轨后在P点因反冲运动获得竖直向下的速度,原水平向左的圆周运动速度不变,即合速度变大,故C错误;由于空间站变轨后在P点的速度比变轨前大,在近地点时的速度更大,则空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的小,故D错误。
[提升] 【卫星变轨过程的功能分析】 如图所示,飞船在半径为r1=r的圆轨道上做匀速圆周运动,在A点时使飞船加速进入椭圆轨道,到椭圆轨道的远地点B点时,再次改变飞船的速度,使飞船进入半径为r2=2r的圆轨道做匀速圆周运动。已知飞船在椭圆轨道时距地心的距离与速度的乘积为定值,飞船在椭圆轨道上A点时的速度为v,飞船的总质量为m,地球质量为M,引力常量为G,则发动机在A点对飞船做的功与在B点对飞船做的功之差为多少
规范答题
[例2] 【飞船对接问题】 2024年4月26日,“神舟十八号”飞船顺利对接“天和核心舱”再现“太空会师”。假设“天和核心舱”与“神舟十八号”都围绕地球做匀速圆周运动,为了实现“神舟十八号”飞船与“天和核心舱”的对接,下列措施可行的是(　　)
[A] 使飞船与“天和核心舱”在同一轨道上运行,然后飞船加速追上“天和核心舱”实现对接
[B] 使飞船与“天和核心舱”在同一轨道上运行,然后“天和核心舱”减速等待飞船实现对接
[C] 飞船先在比“天和核心舱”半径小的轨道上加速,加速后飞船逐渐靠近“天和核心舱”,两者速度接近时实现对接
[D] 飞船先在比“天和核心舱”半径小的轨道上减速,减速后飞船逐渐靠近“天和核心舱”,两者速度接近时实现对接
C
【解析】 若使飞船与“天和核心舱”在同一轨道上运行,当飞船加速时,所需向心力变大,则飞船将脱离原轨道而进入更高的轨道,不能实现对接;若“天和核心舱”减速,所需向心力变小,则“天和核心舱”将脱离原轨道而进入更低的轨道,同样不能实现对接,故A、B错误。要想实现对接,可使飞船在比“天和核心舱”半径较小的轨道上加速,然后飞船将进入较高的“天和核心舱”轨道,逐渐靠近“天和核心舱”后,两者速度接近时实现对接,故C正确,D错误。
1.双星模型
(1)模型构建:绕公共圆心转动的两个星体组成的系统,我们称之为双星系统,如图所示。
(2)特点。
2.多星模型
所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力,除中央星体外,各星体的角速度或周期相同。
常见的多星模型及规律:
CD
BC
　a　　　　　　　　 b
规律方法
宇宙多星问题的分析思路
1.星球的瓦解问题
2.黑洞
黑洞是一种密度极大、引力极大的天体,以至于光都无法逃逸,科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞。当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的 倍)超过光速时,该天体就是黑洞。
[例5] 【星球的瓦解问题】 我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318+0253”,其自转周期T=5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体,已知引力常量为 6.67×10-11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　)
[A] 5×109 kg/m3　 [B] 5×1012 kg/m3
[C] 5×1015 kg/m3　 [D] 5×1018 kg/m3
C
B
1.(6分)(多选)据中国载人航天工程办公室消息,“神舟十八号”载人飞船入轨后,于2024年4月26日成功对接于“空间站”天和核心舱径向端口,“神舟十八号”成功对接“空间站”,在对接之前的某段时间内,“神舟十八号”和“空间站”分别在圆形轨道Ⅰ和Ⅱ上做匀速圆周运动(如图所示),已知对接后组合体可看作绕地球做匀速圆周运动,运行轨道距地面高度为h,地球半径为R,地球表面重力加速度为g,下列说法正确的是(　 　)
[A] 对接前“神舟十八号”的运行周期小于“空间站”的运行周期
[B] “神舟十八号”与“空间站”对接后,“空间站”质量增大,加速度减小
[C] “神舟十八号”需要通过加速才能和“空间站”实现对接
对点1.卫星的变轨和对接问题
基础对点练
AC
BC
A
对点2.双星或多星模型
4.(6分)(多选)如图为一种四颗星体组成的稳定系统,四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方形四个顶点,四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动,忽略其他星体对它们的作用,引力常量为G。下列说法正确的是( 　 　)
BD
5.(4分)一近地卫星的运行周期为T0,地球的自转周期为T,则地球的平均密度与地球不致因自转而瓦解的最小密度之比为(　　)
D
对点3.星球“瓦解”及黑洞问题
D
7.(4分)(2024·山东淄博模拟)为顺利完成月球背面的“嫦娥六号”探测器与地球间的通信,需在地月拉格朗日L2点处定位某一卫星,该卫星可以在几乎不消耗燃料的情况下与月球同步绕地球做匀速圆周运动。已知地球、月球球心间的距离约为L2点与月球球心距离的6倍,如图所示。则地球与月球质量的比值约为(　　)
[A] 36 [B] 49
[C] 83 [D] 216
C
综合提升练
8.(6分)(2024·山东滨州二模)(多选)2024年4月24日为第九个中国航天日,主题是“极目楚天,共襄星汉”。飞船和空间站的变轨对接可简化为如图所示的过程,飞船在停泊轨道Ⅰ上,进行信息确认,后经转移轨道Ⅱ进入对接轨道Ⅲ,轨道Ⅰ和Ⅱ、Ⅱ和Ⅲ分别相切于A、B两点,已知轨道Ⅰ为圆轨道,半径近似为地球半径R0,轨道Ⅱ为椭圆轨道,其焦点在地心,轨道Ⅲ为圆轨道,半径为R,地球表面的重力加速度为g。下列说法正确的是( 　　)
CD
BD
三者角速度大小相等,所以周期也相等,故A错误;根据an=ω2r,因为c的环绕半径大于b的环绕半径,所以c的向心加速度大于b的向心加速度,故B正确;三星系统中c的向心力指向圆周运动的中心O点,故C错误;线速度v=ωr,因为c的环绕半径大于b的环绕半径,所以c的线速度大于b的线速度,故D正确。
B
【解析】 由于三颗星保持相对静止,一起绕着某点做圆周运动,三颗星角速度与周期相等,根据对称性,B、C轨道半径相等,作出三颗星运动轨迹,如图所示,

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