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第1讲　曲线运动　运动的合成与分解
1.如图所示为某战斗机在某次飞行过程中沿曲线MN加速向上爬升的轨迹示意图。 (1)请问在飞行过程中该战斗机所受合力与速度方向具有怎样的关系 (2)在图中最能表示该战斗机在P点的速度方向与其受到合力的方向分别是哪个 2.一艘炮舰正在沿河岸自西向东航行,在炮舰上射击北岸的敌方目标。要想击中目标,射击方向应直接对准目标还是应该偏东或偏西一些
[footnoteRef:1] [1:
1.(2024·湖北武汉模拟)有一个质量为4 kg 的质点在xOy平面内运动,在x方向的速度图像和y方向的位移图像分别如图甲、乙所示。下列说法正确的是(　　)
[A] 质点做匀变速直线运动
[B] 质点所受的合力大小为22 N
[C] t=2 s时质点的速度大小为 6 m/s
[D] 零时刻质点的速度大小为 5 m/s
【答案】 D
2.(多选)如图所示,小船从河岸的O点沿虚线匀速运动到河对岸的P点,河水的流速v水、船在静水中的速度v静与虚线的夹角分别为α、θ,河宽为L,且v静、v水的大小不变,下列说法正确的是(　　)
[A] 渡河时间t=
[B] 渡河时间t=
[C] v水越小,渡河时间越短
[D] 当α+θ=90°时,渡河的时间最短
【答案】 BD]
【答案】 切线　方向　变速　加速度　合力　分运动　合运动
实际效果　正交分解　矢量　矢量运算　时间　独立　效果
考点一　曲线运动的判断及运动轨迹的分析
1.曲线运动的轨迹判断及合力的效果
2.合力方向与速率变化的关系
[例1] 【曲线运动中合力与轨迹的关系】 (2024·陕西宝鸡二模)体育课上两位同学在室内羽毛球场进行羽毛球比赛,羽毛球在空中上升的运动轨迹如图中曲线所示,羽毛球合力方向示意图可能正确的是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 羽毛球在空中做曲线运动,可知羽毛球所受合力应指向轨迹的凹侧,故A、D错误;羽毛球处于上升过程,速度在减小,可知所受合力方向与速度方向之间的夹角为钝角,故B错误,C正确。
考点二　运动的合成与分解
1.合运动的性质判断
加速度(或合力)
加速度(或合力)方向与速度方向
加速度(或合力)为0:匀速直线运动或静止。
2.判断两个直线运动的合运动性质,关键看合初速度方向与合加速度方向是否共线。
两个互成角度的分运动 示意图 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线,为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线,为匀变速曲线运动
[例2] 【合运动轨迹分析】 两个同学玩游戏,同学甲找来一张白纸、一支铅笔、一把直尺,对同学乙说:“你用铅笔沿直尺(直尺平行于ab)向右匀速运动,而我会将白纸沿ca方向向上匀速移动。”请判断下列图中可能是同学乙在白纸上留下的痕迹的是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 笔尖在水平方向相对于白纸向右匀速运动,在竖直方向相对于白纸向下匀速运动,合运动轨迹为斜向右下方的直线,故C正确。
[例3] 【由分运动规律判断合运动的性质】 质点Q在xOy平面内运动,其在x轴方向和y轴方向的分运动图像分别如图甲和图乙所示,下列说法正确的是(　　)
[A] 质点Q做匀变速直线运动,合初速度为12 m/s
[B] 质点Q做匀变速曲线运动,合加速度为5 m/s2
[C] 质点Q做匀变速直线运动,2 s末的速度为 20 m/s
[D] 质点Q做匀变速曲线运动,2 s内的位移为45 m
【答案】 C
【解析】 根据匀变速直线运动位移与时间关系式x=v0t+at2,可得=axt+v0x,根据题图甲可得=k1t+v0x,所以质点在x轴上的分运动是匀变速直线运动,可得初速度v0x=6 m/s,加速度ax=2k1=2× m/s2=3 m/s2。根据题图乙可知,质点在y轴上的分运动是匀变速直线运动,初速度v0y=8 m/s,加速度ay=k2= m/s2=4 m/s2,因为==,可知质点的合初速度和合加速度在同一直线上,所以质点做匀变速直线运动,故B、D错误;合初速度为v0==10 m/s,合加速度为a==5 m/s2,2 s末的速度为v=v0+at=(10+5×2) m/s=20 m/s,故A错误,C正确。
[提升] 【运动合成与分解的综合问题】 (2024·安徽卷,9)(多选)一倾角为30°足够大的光滑斜面固定于水平地面上,在斜面上建立Oxy直角坐标系,如图甲所示。从t=0开始,将一可视为质点的物块从O点由静止释放,同时对物块施加沿x轴正方向的力F1和F2,其大小与时间t的关系如图乙所示。已知物块的质量为1.2 kg,重力加速度g取 10 m/s2,不计空气阻力。则(　　)
[A] 物块始终做匀变速曲线运动
[B] t=1 s时,物块的y坐标值为2.5 m
[C] t=1 s时,物块的加速度大小为5 m/s2
[D] t=2 s时,物块的速度大小为10 m/s
【答案】 BD
【解析】 根据题图乙可得F1=4-t(N),F2=3t(N),故两力的合力为F=4+2t(N),物块在y轴方向受到的力不变为mgsin 30°,x轴方向的力在改变,合力在改变,故物块做的不是匀变速曲线运动,故A错误;在y轴方向的加速度为ay==gsin 30°=5 m/s2,故t=1 s时,物块的y坐标值为y=ay=2.5 m,故B正确;t=1 s时,F=6 N,故此时加速度大小为a== m/s2=5 m/s2,故C错误;沿x轴正方向,对物块根据动量定理得t2=mvx-0,由于F与时间t成线性关系,故可得0～2 s内= N=6 N,联立解得vx=10 m/s,此时y轴方向速度为vy=ayt2=5×2 m/s=10 m/s,故此时物块的速度大小为v==10 m/s,故D正确。
考点三　小船渡河问题
1.船的实际运动:船随水漂流的运动和船相对静水的运动的合运动。
2.三种速度:船在静水中的速度v船、水流的速度v水、船的实际速度v。
3.两类问题、三种情境
渡河时 间最短 当船头方向垂直于河岸时,渡河时间最短,最短时间 tmin=
渡河位 移最短 如果v船>v水,当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ=v水时,合速度垂直于河岸,最短渡河位移lmin=d
如果v船[例4] 【渡河时间】 如图,小船以大小为v1=5 m/s(在静水中的速度)、船头与上游河岸成θ=60°角的方向从A处渡河,经过一段时间正好到达正对岸B处。已知河宽d=180 m,则下列说法正确的是(　　)
[A] 河中水流速度为 m/s
[B] 小船以最短位移渡河的时间为24 s
[C] 小船渡河的最短时间为24 s
[D] 小船以最短时间渡河时到达对岸的位移大小是85 m
【答案】 B
【解析】 河中水流速度为v2=v1cos 60°=2.5 m/s,选项A错误;小船以最短位移渡河的时间为t==24 s,选项B正确;当船头方向指向正对岸时渡河时间最短,则小船渡河的最短时间为tmin== s=36 s,到达对岸时沿水流方向的位移大小是x=v2tmin=90 m,则总位移大小x′==90 m,选项C、D错误。
考点四　关联速度问题
(1)A、B两物体通过一根跨过光滑轻质定滑轮的不可伸长的轻绳相连放在水平面上,沿绳方向上的速度有什么特点
提示:由于是同一根绳,其长度不变,故定滑轮两边沿绳方向的速度大小相等。
(2)在(1)中,若物体A以v1的速度向右匀速运动(绳始终有拉力),当绳被拉成与水平面夹角分别是α、β时,如图所示,试写出物体B的运动速度vB的表达式。
提示:将物体B的运动速度分解如图甲所示,则有v绳B=vBcos β,物体A的合运动对应的速度为v1,速度分解如图乙所示,则有v绳A=v1cos α,由于v绳B=v绳A,联立可得vB=。
1.关联速度模型
(1)模型特点。
与绳(杆)相连的物体的运动方向与绳(杆)不在一条直线上时,物体沿绳(杆)方向的速度分量大小相等。
(2)绳(杆)端速度的分解思路。
2.常见的速度分解模型
[例5] 【绳端速度的分解】 (多选)如图所示,物体P套在光滑的细杆上,P和Q通过轻质细绳连接并跨过定滑轮,一水平力F拉着水平面上的物体Q向左运动。在某一小段时间内,P沿细杆匀速向上运动通过AB段的过程中,下列说法正确的是(　　)
[A] Q做加速直线运动
[B] Q做减速直线运动
[C] 细绳对P的拉力在增大
[D] 杆对P的弹力在减小
【答案】 BC
【解析】 设绳与竖直方向夹角为θ,将P的速度vP进行分解,如图所示,则vP′=vPcos θ=vQ,当P匀速向上运动,θ增大时,Q做减速直线运动,故A错误,B正确;对P有mg=FTcos θ,θ增大时绳子拉力FT增大,杆对P的弹力FN=FTsin θ增大,故C正确,D错误。
[例6] 【杆端速度的分解】 (2024·辽宁大连质检)如图所示,质量相同的小球A、B通过质量不计的细杆相连接,紧靠竖直墙壁放置。由于轻微扰动,小球A、B分别沿水平地面和竖直墙面滑动,滑动过程中小球和杆始终在同一竖直平面内,当细杆与水平方向成37°角时,小球B的速度大小为v,重力加速度为g,忽略一切摩擦和阻力,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。则下列说法正确的是(　　)
[A] 小球A速度为v
[B] 小球A速度为v
[C] 小球A速度为v
[D] 小球A速度为v
【答案】 C
【解析】 小球B的速度大小为v,设小球A的速度大小为v′,将两小球的速度分解,如图所示,由连接体的速度关联关系有vsin 37°=v′cos 37°,解得v′=v,故C正确,A、B、D错误。
三步法求解绳(杆)连接体的速度问题
(满分:50分)
对点1.曲线运动的判断及运动轨迹的分析
1.(4分)在某次表演中,飞机先水平向右,再沿曲线ab向上(如图),最后沿陡斜线直入云霄。设飞行路径在同一竖直面内,飞行速率不变。则沿ab段曲线飞行时,飞机(　　)
[A] 所受合力大小为零
[B] 所受合力方向竖直向上
[C] 竖直方向的分速度逐渐增大
[D] 水平方向的分速度不变
【答案】 C
【解析】 因为飞机做速率不变的曲线运动,所以合力不为零且方向始终与速度方向垂直,故A、B错误;对任一点的速度正交分解,如图所示,vy=vcos α,vx=vsin α,根据题意知α减小,则vy增大,vx减小,故C正确,D错误。
2.(4分)如图所示,某运动员主罚任意球时,踢出快速旋转的“落叶球”,则“落叶球”(　　)
[A] 在空中的运动轨迹是对称的
[B] 运动到最高点时速度为零
[C] 相比正常轨迹的球,下落更快
[D] 在最高点时加速度方向一定竖直向下
【答案】 C
【解析】 “落叶球”被踢出后还在快速旋转,在空气作用力的影响下,轨迹不对称,故A错误;“落叶球”运动到最高点时,速度方向沿轨迹切线方向,速度不为零,故B错误;“落叶球”在运动过程中还受到了指向曲线轨迹内侧的空气作用力,故“落叶球”下落更快,故C正确;“落叶球”在最高点时还受到空气作用力,因此加速度方向一定不是竖直向下,故D错误。
对点2.运动的合成与分解
3.(4分)(2024·广东广州一模)如图为自动控制货品运动的智能传送带,其奥秘在于面板上蜂窝状的小正六边形部件,每个部件上有三个导向轮A、B、C,在单个方向轮子的作用下,货品可获得与导向轮同向的速度v,若此时仅控制A、C两个方向的轮子同时按图示箭头方向等速转动,则货品获得的速度大小为(　　)
[A] v [B] v
[C] v [D] 2v
【答案】 C
【解析】 货品参与了两个方向的运动,两个分速度的夹角为60°,根据矢量合成可知,合速度为v实际=2vcos 30°=v,故A、B、D错误,C正确。
4.(6分)(2024·辽宁大连模拟)(多选)在体育场的水平地板上建立平面直角坐标系,一辆电动玩具小车在地板上运动,坐标原点O为t=0时刻小车的位置坐标,如图甲所示,其沿y轴正方向的速度随时间变化规律如图乙所示,沿x轴正方向的位移随时间的变化规律如图丙所示(图线为抛物线的一部分,坐标原点O为抛物线的顶点),则(　　)
[A] 小车的加速度大小为5 m/s2
[B] t=3 s时刻小车的速度大小为9 m/s
[C] t=2 s时刻小车的位移大小为8 m
[D] t=4 s时刻小车的位置坐标为(32 m,24 m)
【答案】 AD
【解析】 由题图乙可知,小车沿y轴正方向的运动为初速度为零的匀加速直线运动,加速度大小ay=3 m/s2,由题图丙可知,沿x轴正方向的运动也为初速度为零的匀加速直线运动,根据x=axt2,加速度大小为ax=4 m/s2,所以小车的实际加速度大小为a==5 m/s2,方向与x轴正方向成37°角,A正确;由v=at可知,t=3 s时刻小车的速度大小为v3=15 m/s,B错误;由运动学公式可得t=2 s时刻小车的位移大小为x2=a=10 m,C错误;同理可知t=4 s时刻小车的位移大小为x4=a=40 m,x′=x4cos 37°=32 m,y′=x4sin 37°=24 m,即t=4 s时刻小车的位置坐标为(32 m,24 m),D正确。
对点3.小船渡河问题
5.(6分)(2024·湖北黄冈二模)(多选)船在静水中速度与时间的关系如图甲所示,河水流速与到某河岸边的距离的变化关系如图乙所示,则(　　)
[A] 船渡河的最短时间为50 s
[B] 要使船以最短时间渡河,船在行驶过程中,船头必须始终与河岸垂直
[C] 船在河水中航行的轨迹是一条直线
[D] 船以最短时间渡河,船在河水中的最大速度是5 m/s
【答案】 BD
【解析】 当船头与河岸垂直时,渡河时间最短,最短时间为t== s=100 s,故A错误,B正确;船在沿河岸方向上做变速运动,在垂直于河岸方向上做匀速直线运动,两运动的合运动轨迹是曲线,故C错误;船以最短时间渡河,即船头与河岸垂直,船在河水中的最大速度是vm= m/s =5 m/s,故D正确。
6.(4分)如图所示,某河流中水流速度大小恒为v1,A处的下游C处是个漩涡,A点和漩涡的连线与河岸的最大夹角为θ。为使小船从A点出发以恒定的速度安全到达对岸,小船航行时在静水中速度的最小值为(　　)
[A] v1sin θ [B] v1cos θ
[C] v1tan θ [D]
【答案】 A
【解析】 如图所示,设小船航行时在静水中速度为v2,当v2垂直AB时速度最小,由三角函数关系可知v2=v1sin θ,故A正确。
对点4.关联速度问题
7.(4分)甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用铰链与轻直杆连接,乙球处于光滑水平地面上,甲球套在光滑的竖直杆上,初始时轻杆竖直,杆长为4 m。无初速度释放甲球,使得乙球沿水平地面向右滑动,当乙球距离起点3 m时,甲球的速度为v1,乙球的速度为v2,如图所示,下列说法正确的是(　　)
[A] v1∶v2=∶3
[B] v1∶v2=3∶7
[C] 甲球即将落地时,乙球的速度与甲球的速度大小相等
[D] 甲球即将落地时,乙球的速度达到最大
【答案】 B
【解析】 设当乙球距离起点3 m时,轻杆与竖直方向的夹角为θ,则v1在沿杆方向的分量为v1杆=v1cos θ,v2在沿杆方向的分量为v2杆=v2sin θ,而v1杆=v2杆,由题意有cos θ=,sin θ=,解得=,选项A错误,B正确;甲球即将落地时,有θ=90°,此时甲球的速度达到最大,而乙球的速度为零,选项C、D错误。
8.(4分)(2024·湖南郴州模拟)如图,跨过光滑定滑轮的轻绳一端系着铁球(大小不可忽略,轻绳延长线过球心)、一端连在水平台上的玩具小车上,车牵引着绳使球沿光滑竖直墙面从较低处竖直上升。则在球匀速竖直上升且未离开墙面的过程中(　　)
[A] 绳对球的拉力大小变小
[B] 墙面对球的支持力大小变小
[C] 玩具小车做加速运动
[D] 玩具小车做减速运动
【答案】 D
【解析】 设绳与竖直方向的夹角为θ,如图甲所示,将球的速度v分解,可知沿绳方向的分速度(即绳子的速度)为v绳=vcos θ,因球匀速上升过程中θ角将增大,所以v绳将减小,故小车做减速运动,故C错误,D正确;球受三个力作用处于平衡状态,如图乙所示,设球所受重力大小为G,则绳对球的拉力大小FT、墙对球的支持力大小FN分别为FT=,FN=Gtan θ,所以,随θ的增大,FT、FN均增大,故A、B错误。
9.(4分)(2024·辽宁沈阳模拟)在某次登岛演习过程中,要渡过一条宽度为d的小河。现有甲、乙两个小组分别乘两艘小船渡河,船头朝向如图所示,渡河时两小船船头与河岸夹角都是θ,两船在静水中的速率都为v,水流速率为v0,此时甲船恰好能到小河正对岸的A点,则(　　)
[A] 甲船渡河时间为
[B] 乙船比甲船更早到达对岸
[C] 靠岸时两船间距增大了(v0+vcos θ)
[D] 如果河水流速增大,甲船不改变船头方向也能到达A点
【答案】 C
【解析】 将小船的运动分解为平行于河岸和垂直于河岸两个方向,根据分运动和合运动具有等时性,可知甲、乙两船到达对岸的时间均为t=,故两船同时到达对岸,故A、B错误;靠岸时两船间距增大了x=v相对t=(v0+vcos θ),故C正确;水流速率为v0,此时甲船恰好能到小河正对岸的A点,则vcos θ=v0,故如果河水流速增大,要使甲船仍到达A点,小船船头与河岸夹角应减小,故D错误。
10.(6分)(2024·广东佛山二模)(多选)如图所示,在一条玻璃生产线上,宽3 m的待切割玻璃板以0.4 m/s 的速度向前匀速平移。在切割工序处,金刚石切割刀的移动速度为0.5 m/s,下列说法正确的是(　　)
[A] 切割一块矩形玻璃需要10 s
[B] 切割得到的矩形玻璃长为2.4 m
[C] 切割刀的移动轨迹与玻璃板平移方向夹角为37°,可使割下的玻璃呈矩形
[D] 切割刀的移动轨迹与玻璃板平移方向夹角为143°,可使割下的玻璃呈矩形
【答案】 AC
【解析】 设金刚石切割刀的移动轨迹方向与玻璃板运动的速度方向的夹角为θ,可使割下的玻璃呈矩形,如图所示,其中v=0.5 m/s,v1=0.4 m/s,根据几何关系得cos θ===0.8,则有θ=37°,垂直于玻璃板运动方向的速度大小为v2=vsin θ,解得v2=0.3 m/s,切割一块矩形玻璃需要的时间为t== s=10 s,故A正确;切割得到的矩形玻璃长为L=v1t=0.4×10 m=4 m,故B错误;根据以上分析可知,切割刀的移动轨迹与玻璃板平移方向夹角为37°,可使割下的玻璃呈矩形,故C正确,D错误。
11.(4分)(2024·江苏苏州检测)如图所示,竖直平面内放一直角杆MON,杆的水平部分粗糙,动摩擦因数μ=0.2,杆的竖直部分光滑。两部分各套有质量均为1 kg的小球A和B,A、B球间用细绳相连。A球在水平拉力F的作用下向右做速度大小为2 m/s的匀速运动。g取10 m/s2,那么在该过程中(　　)
[A] 拉力F为恒力,大小为4 N
[B] A球所受的摩擦力为恒力,大小为4 N
[C] B球向上做速度大小为2 m/s的匀速运动
[D] B球向上做加速运动,当OA=3 m,OB=4 m时,B球的速度大小为1.5 m/s
【答案】 D
【解析】 设某时刻细绳与竖直方向的夹角为θ,如图甲,因绳子不可伸长,所以有vAsin θ=vBcos θ,化简得vB=vAtan θ,在运动过程中,绳子与竖直方向的夹角θ一直在增大,所以B球的速度一直增大,选项C错误;当OA=3 m,OB=4 m时,B球的速度vB=vAtan θ=1.5 m/s,选项D正确;分别对A、B受力分析如图乙,根据前面分析有vB=vAtan θ,由数学知识可知B球的速度增加得越来越快,即加速度越来越大,设某时刻B球的加速度为a,这时绳的拉力的竖直分量FT′cos θ=mg+ma,对A球有FT=FT′,FN2=FTcos θ+mg=2mg+ma,则摩擦力Ff=μFN2=μ(2mg+ma),由于加速度a变化,则A球所受的摩擦力不为恒力,选项B错误;由于A球匀速运动,所以拉力F=Ff+FTsin θ=μ(2mg+ma)+(mg+ma)tan θ,由于加速度a和θ不断增大,则拉力F不是恒力,选项A错误。
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)第1讲　曲线运动　运动的合成与分解
1.如图所示为某战斗机在某次飞行过程中沿曲线MN加速向上爬升的轨迹示意图。 (1)请问在飞行过程中该战斗机所受合力与速度方向具有怎样的关系 (2)在图中最能表示该战斗机在P点的速度方向与其受到合力的方向分别是哪个 2.一艘炮舰正在沿河岸自西向东航行,在炮舰上射击北岸的敌方目标。要想击中目标,射击方向应直接对准目标还是应该偏东或偏西一些
考点一　曲线运动的判断及运动轨迹的分析
1.曲线运动的轨迹判断及合力的效果
2.合力方向与速率变化的关系
[例1] 【曲线运动中合力与轨迹的关系】 (2024·陕西宝鸡二模)体育课上两位同学在室内羽毛球场进行羽毛球比赛,羽毛球在空中上升的运动轨迹如图中曲线所示,羽毛球合力方向示意图可能正确的是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
考点二　运动的合成与分解
1.合运动的性质判断
加速度(或合力)
加速度(或合力)方向与速度方向
加速度(或合力)为0:匀速直线运动或静止。
2.判断两个直线运动的合运动性质,关键看合初速度方向与合加速度方向是否共线。
两个互成角度的分运动 示意图 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线,为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线,为匀变速曲线运动
[例2] 【合运动轨迹分析】 两个同学玩游戏,同学甲找来一张白纸、一支铅笔、一把直尺,对同学乙说:“你用铅笔沿直尺(直尺平行于ab)向右匀速运动,而我会将白纸沿ca方向向上匀速移动。”请判断下列图中可能是同学乙在白纸上留下的痕迹的是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
[例3] 【由分运动规律判断合运动的性质】 质点Q在xOy平面内运动,其在x轴方向和y轴方向的分运动图像分别如图甲和图乙所示,下列说法正确的是(　　)
[A] 质点Q做匀变速直线运动,合初速度为12 m/s
[B] 质点Q做匀变速曲线运动,合加速度为5 m/s2
[C] 质点Q做匀变速直线运动,2 s末的速度为 20 m/s
[D] 质点Q做匀变速曲线运动,2 s内的位移为45 m
[提升] 【运动合成与分解的综合问题】 (2024·安徽卷,9)(多选)一倾角为30°足够大的光滑斜面固定于水平地面上,在斜面上建立Oxy直角坐标系,如图甲所示。从t=0开始,将一可视为质点的物块从O点由静止释放,同时对物块施加沿x轴正方向的力F1和F2,其大小与时间t的关系如图乙所示。已知物块的质量为1.2 kg,重力加速度g取 10 m/s2,不计空气阻力。则(　　)
[A] 物块始终做匀变速曲线运动
[B] t=1 s时,物块的y坐标值为2.5 m
[C] t=1 s时,物块的加速度大小为5 m/s2
[D] t=2 s时,物块的速度大小为10 m/s
考点三　小船渡河问题
1.船的实际运动:船随水漂流的运动和船相对静水的运动的合运动。
2.三种速度:船在静水中的速度v船、水流的速度v水、船的实际速度v。
3.两类问题、三种情境
渡河时 间最短 当船头方向垂直于河岸时,渡河时间最短,最短时间 tmin=
渡河位 移最短 如果v船>v水,当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ=v水时,合速度垂直于河岸,最短渡河位移lmin=d
如果v船[例4] 【渡河时间】 如图,小船以大小为v1=5 m/s(在静水中的速度)、船头与上游河岸成θ=60°角的方向从A处渡河,经过一段时间正好到达正对岸B处。已知河宽d=180 m,则下列说法正确的是(　　)
[A] 河中水流速度为 m/s
[B] 小船以最短位移渡河的时间为24 s
[C] 小船渡河的最短时间为24 s
[D] 小船以最短时间渡河时到达对岸的位移大小是85 m
考点四　关联速度问题
(1)A、B两物体通过一根跨过光滑轻质定滑轮的不可伸长的轻绳相连放在水平面上,沿绳方向上的速度有什么特点
提示:由于是同一根绳,其长度不变,故定滑轮两边沿绳方向的速度大小相等。
(2)在(1)中,若物体A以v1的速度向右匀速运动(绳始终有拉力),当绳被拉成与水平面夹角分别是α、β时,如图所示,试写出物体B的运动速度vB的表达式。
提示:将物体B的运动速度分解如图甲所示,则有v绳B=vBcos β,物体A的合运动对应的速度为v1,速度分解如图乙所示,则有v绳A=v1cos α,由于v绳B=v绳A,联立可得vB=。
1.关联速度模型
(1)模型特点。
与绳(杆)相连的物体的运动方向与绳(杆)不在一条直线上时,物体沿绳(杆)方向的速度分量大小相等。
(2)绳(杆)端速度的分解思路。
2.常见的速度分解模型
[例5] 【绳端速度的分解】 (多选)如图所示,物体P套在光滑的细杆上,P和Q通过轻质细绳连接并跨过定滑轮,一水平力F拉着水平面上的物体Q向左运动。在某一小段时间内,P沿细杆匀速向上运动通过AB段的过程中,下列说法正确的是(　　)
[A] Q做加速直线运动
[B] Q做减速直线运动
[C] 细绳对P的拉力在增大
[D] 杆对P的弹力在减小
[例6] 【杆端速度的分解】 (2024·辽宁大连质检)如图所示,质量相同的小球A、B通过质量不计的细杆相连接,紧靠竖直墙壁放置。由于轻微扰动,小球A、B分别沿水平地面和竖直墙面滑动,滑动过程中小球和杆始终在同一竖直平面内,当细杆与水平方向成37°角时,小球B的速度大小为v,重力加速度为g,忽略一切摩擦和阻力,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。则下列说法正确的是(　　)
[A] 小球A速度为v
[B] 小球A速度为v
[C] 小球A速度为v
[D] 小球A速度为v
三步法求解绳(杆)连接体的速度问题
(满分:50分)
对点1.曲线运动的判断及运动轨迹的分析
1.(4分)在某次表演中,飞机先水平向右,再沿曲线ab向上(如图),最后沿陡斜线直入云霄。设飞行路径在同一竖直面内,飞行速率不变。则沿ab段曲线飞行时,飞机(　　)
[A] 所受合力大小为零
[B] 所受合力方向竖直向上
[C] 竖直方向的分速度逐渐增大
[D] 水平方向的分速度不变
2.(4分)如图所示,某运动员主罚任意球时,踢出快速旋转的“落叶球”,则“落叶球”(　　)
[A] 在空中的运动轨迹是对称的
[B] 运动到最高点时速度为零
[C] 相比正常轨迹的球,下落更快
[D] 在最高点时加速度方向一定竖直向下
对点2.运动的合成与分解
3.(4分)(2024·广东广州一模)如图为自动控制货品运动的智能传送带,其奥秘在于面板上蜂窝状的小正六边形部件,每个部件上有三个导向轮A、B、C,在单个方向轮子的作用下,货品可获得与导向轮同向的速度v,若此时仅控制A、C两个方向的轮子同时按图示箭头方向等速转动,则货品获得的速度大小为(　　)
[A] v [B] v
[C] v [D] 2v
4.(6分)(2024·辽宁大连模拟)(多选)在体育场的水平地板上建立平面直角坐标系,一辆电动玩具小车在地板上运动,坐标原点O为t=0时刻小车的位置坐标,如图甲所示,其沿y轴正方向的速度随时间变化规律如图乙所示,沿x轴正方向的位移随时间的变化规律如图丙所示(图线为抛物线的一部分,坐标原点O为抛物线的顶点),则(　　)
[A] 小车的加速度大小为5 m/s2
[B] t=3 s时刻小车的速度大小为9 m/s
[C] t=2 s时刻小车的位移大小为8 m
[D] t=4 s时刻小车的位置坐标为(32 m,24 m)
对点3.小船渡河问题
5.(6分)(2024·湖北黄冈二模)(多选)船在静水中速度与时间的关系如图甲所示,河水流速与到某河岸边的距离的变化关系如图乙所示,则(　　)
[A] 船渡河的最短时间为50 s
[B] 要使船以最短时间渡河,船在行驶过程中,船头必须始终与河岸垂直
[C] 船在河水中航行的轨迹是一条直线
[D] 船以最短时间渡河,船在河水中的最大速度是5 m/s
6.(4分)如图所示,某河流中水流速度大小恒为v1,A处的下游C处是个漩涡,A点和漩涡的连线与河岸的最大夹角为θ。为使小船从A点出发以恒定的速度安全到达对岸,小船航行时在静水中速度的最小值为(　　)
[A] v1sin θ [B] v1cos θ
[C] v1tan θ [D]
对点4.关联速度问题
7.(4分)甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用铰链与轻直杆连接,乙球处于光滑水平地面上,甲球套在光滑的竖直杆上,初始时轻杆竖直,杆长为4 m。无初速度释放甲球,使得乙球沿水平地面向右滑动,当乙球距离起点3 m时,甲球的速度为v1,乙球的速度为v2,如图所示,下列说法正确的是(　　)
[A] v1∶v2=∶3
[B] v1∶v2=3∶7
[C] 甲球即将落地时,乙球的速度与甲球的速度大小相等
[D] 甲球即将落地时,乙球的速度达到最大
8.(4分)(2024·湖南郴州模拟)如图,跨过光滑定滑轮的轻绳一端系着铁球(大小不可忽略,轻绳延长线过球心)、一端连在水平台上的玩具小车上,车牵引着绳使球沿光滑竖直墙面从较低处竖直上升。则在球匀速竖直上升且未离开墙面的过程中(　　)
[A] 绳对球的拉力大小变小
[B] 墙面对球的支持力大小变小
[C] 玩具小车做加速运动
[D] 玩具小车做减速运动
9.(4分)(2024·辽宁沈阳模拟)在某次登岛演习过程中,要渡过一条宽度为d的小河。现有甲、乙两个小组分别乘两艘小船渡河,船头朝向如图所示,渡河时两小船船头与河岸夹角都是θ,两船在静水中的速率都为v,水流速率为v0,此时甲船恰好能到小河正对岸的A点,则(　　)
[A] 甲船渡河时间为
[B] 乙船比甲船更早到达对岸
[C] 靠岸时两船间距增大了(v0+vcos θ)
[D] 如果河水流速增大,甲船不改变船头方向也能到达A点
10.(6分)(2024·广东佛山二模)(多选)如图所示,在一条玻璃生产线上,宽3 m的待切割玻璃板以0.4 m/s 的速度向前匀速平移。在切割工序处,金刚石切割刀的移动速度为0.5 m/s,下列说法正确的是(　　)
[A] 切割一块矩形玻璃需要10 s
[B] 切割得到的矩形玻璃长为2.4 m
[C] 切割刀的移动轨迹与玻璃板平移方向夹角为37°,可使割下的玻璃呈矩形
[D] 切割刀的移动轨迹与玻璃板平移方向夹角为143°,可使割下的玻璃呈矩形
11.(4分)(2024·江苏苏州检测)如图所示,竖直平面内放一直角杆MON,杆的水平部分粗糙,动摩擦因数μ=0.2,杆的竖直部分光滑。两部分各套有质量均为1 kg的小球A和B,A、B球间用细绳相连。A球在水平拉力F的作用下向右做速度大小为2 m/s的匀速运动。g取10 m/s2,那么在该过程中(　　)
[A] 拉力F为恒力,大小为4 N
[B] A球所受的摩擦力为恒力,大小为4 N
[C] B球向上做速度大小为2 m/s的匀速运动
[D] B球向上做加速运动,当OA=3 m,OB=4 m时,B球的速度大小为1.5 m/s
(
第
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)(共56张PPT)
高中总复习·物理
第1讲　
曲线运动　运动的合成与分解
情境导思
1.如图所示为某战斗机在某次飞行过程中沿曲线MN加速向上爬升的轨迹示意图。
(1)请问在飞行过程中该战斗机所受合力与速度方向具有怎样的关系
(2)在图中最能表示该战斗机在P点的速度方向与其受到合力的方向分别是哪个
2.一艘炮舰正在沿河岸自西向东航行,在炮舰上射击北岸的敌方目标。要想击中目标,射击方向应直接对准目标还是应该偏东或偏西一些
知识构建
切线
方向
变速
加速度
合力
知识构建
分运动
合运动
实际效果
正交分解
矢量
矢量运算
时间
独立
效果
小题试做
1.(2024·湖北武汉模拟)有一个质量为4 kg 的质点在xOy平面内运动,在x方向的速度图像和y方向的位移图像分别如图甲、乙所示。下列说法正确的是(　　)
[A] 质点做匀变速直线运动
[B] 质点所受的合力大小为22 N
[C] t=2 s时质点的速度大小为 6 m/s
[D] 零时刻质点的速度大小为 5 m/s
D
小题试做
2.(多选)如图所示,小船从河岸的O点沿虚线匀速运动到河对岸的P点,河水的流速v水、船在静水中的速度v静与虚线的夹角分别为α、θ,河宽为L,且v静、v水的大小不变,下列说法正确的是(　 　)
BD
1.曲线运动的轨迹判断及合力的效果
2.合力方向与速率变化的关系
[例1] 【曲线运动中合力与轨迹的关系】 (2024·陕西宝鸡二模)体育课上两位同学在室内羽毛球场进行羽毛球比赛,羽毛球在空中上升的运动轨迹如图中曲线所示,羽毛球合力方向示意图可能正确的是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
C
【解析】 羽毛球在空中做曲线运动,可知羽毛球所受合力应指向轨迹的凹侧,故A、D错误;羽毛球处于上升过程,速度在减小,可知所受合力方向与速度方向之间的夹角为钝角,故B错误,C正确。
1.合运动的性质判断
加速度(或合力)为0:匀速直线运动或静止。
2.判断两个直线运动的合运动性质,关键看合初速度方向与合加速度方向是否共线。
两个互成角度的分运动 示意图 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
[例2] 【合运动轨迹分析】 两个同学玩游戏,同学甲找来一张白纸、一支铅笔、一把直尺,对同学乙说:“你用铅笔沿直尺(直尺平行于ab)向右匀速运动,而我会将白纸沿ca方向向上匀速移动。”请判断下列图中可能是同学乙在白纸上留下的痕迹的是(　　)
C
[A] [B] [C] [D]
【解析】 笔尖在水平方向相对于白纸向右匀速运动,在竖直方向相对于白纸向下匀速运动,合运动轨迹为斜向右下方的直线,故C正确。
[例3] 【由分运动规律判断合运动的性质】 质点Q在xOy平面内运动,其在x轴方向和y轴方向的分运动图像分别如图甲和图乙所示,下列说法正确的是
(　　)
[A] 质点Q做匀变速直线运动,合初速度为12 m/s
[B] 质点Q做匀变速曲线运动,合加速度为5 m/s2
[C] 质点Q做匀变速直线运动,2 s末的速度为 20 m/s
[D] 质点Q做匀变速曲线运动,2 s内的位移为45 m
C
BD
1.船的实际运动:船随水漂流的运动和船相对静水的运动的合运动。
2.三种速度:船在静水中的速度v船、水流的速度v水、船的实际速度v。
3.两类问题、三种情境
B
(1)A、B两物体通过一根跨过光滑轻质定滑轮的不可伸长的轻绳相连放在水平面上,沿绳方向上的速度有什么特点
提示:由于是同一根绳,其长度不变,故定滑轮两边沿绳方向的速度大小
相等。
(2)在(1)中,若物体A以v1的速度向右匀速运动(绳始终有拉力),当绳被拉成与水平面夹角分别是α、β时,如图所示,试写出物体B的运动速度vB的表达式。
1.关联速度模型
(1)模型特点。
与绳(杆)相连的物体的运动方向与绳(杆)不在一条直线上时,物体沿绳(杆)方向的速度分量大小相等。
(2)绳(杆)端速度的分解思路。
2.常见的速度分解模型
[例5] 【绳端速度的分解】 (多选)如图所示,物体P套在光滑的细杆上,P和Q通过轻质细绳连接并跨过定滑轮,一水平力F拉着水平面上的物体Q向左运动。在某一小段时间内,P沿细杆匀速向上运动通过AB段的过程中,下列说法正确的是(　 　)
[A] Q做加速直线运动
[B] Q做减速直线运动
[C] 细绳对P的拉力在增大
[D] 杆对P的弹力在减小
BC
【解析】 设绳与竖直方向夹角为θ,将P的速度vP进行分解,如图所示,则vP′=vPcos θ=vQ,当P匀速向上运动,θ增大时,Q做减速直线运动,故A错误,B正确;对P有mg=FTcos θ,θ增大时绳子拉力FT增大,杆对P的弹力FN=FTsin θ增大,故C正确,D错误。
[例6] 【杆端速度的分解】 (2024·辽宁大连质检)如图所示,质量相同的小球A、B通过质量不计的细杆相连接,紧靠竖直墙壁放置。由于轻微扰动,小球A、B分别沿水平地面和竖直墙面滑动,滑动过程中小球和杆始终在同一竖直平面内,当细杆与水平方向成37°角时,小球B的速度大小为v,重力加速度为g,忽略一切摩擦和阻力,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。则下列说法正确的是
(　　)
C
规律总结
三步法求解绳(杆)连接体的速度问题
1.(4分)在某次表演中,飞机先水平向右,再沿曲线ab向上(如图),最后沿陡斜线直入云霄。设飞行路径在同一竖直面内,飞行速率不变。则沿ab段曲线飞行时,飞机(　　)
[A] 所受合力大小为零
[B] 所受合力方向竖直向上
[C] 竖直方向的分速度逐渐增大
[D] 水平方向的分速度不变
对点1.曲线运动的判断及运动轨迹的分析
基础对点练
C
【解析】 因为飞机做速率不变的曲线运动,所以合力不为零且方向始终与速度方向垂直,故A、B错误;对任一点的速度正交分解,如图所示,vy=vcos α,
vx=vsin α,根据题意知α减小,则vy增大,vx减小,故C正确,D错误。
2.(4分)如图所示,某运动员主罚任意球时,踢出快速旋转的“落叶球”,则“落叶球”(　　)
[A] 在空中的运动轨迹是对称的
[B] 运动到最高点时速度为零
[C] 相比正常轨迹的球,下落更快
[D] 在最高点时加速度方向一定竖直向下
C
【解析】 “落叶球”被踢出后还在快速旋转,在空气作用力的影响下,轨迹不对称,故A错误;“落叶球”运动到最高点时,速度方向沿轨迹切线方向,速度不为零,故B错误;“落叶球”在运动过程中还受到了指向曲线轨迹内侧的空气作用力,故“落叶球”下落更快,故C正确;“落叶球”在最高点时还受到空气作用力,因此加速度方向一定不是竖直向下,故D错误。
对点2.运动的合成与分解
C
4.(6分)(2024·辽宁大连模拟)(多选)在体育场的水平地板上建立平面直角坐标系,一辆电动玩具小车在地板上运动,坐标原点O为t=0时刻小车的位置坐标,如图甲所示,其沿y轴正方向的速度随时间变化规律如图乙所示,沿x轴正方向的位移随时间的变化规律如图丙所示(图线为抛物线的一部分,坐标原点O为抛物线的顶点),则(　 　)
[A] 小车的加速度大小为5 m/s2
[B] t=3 s时刻小车的速度大小为9 m/s
[C] t=2 s时刻小车的位移大小为8 m
[D] t=4 s时刻小车的位置坐标为(32 m,24 m)
AD
5.(6分)(2024·湖北黄冈二模)(多选)船在静水中速度与时间的关系如图甲所
示,河水流速与到某河岸边的距离的变化关系如图乙所示,则(　 　)
[A] 船渡河的最短时间为50 s
[B] 要使船以最短时间渡河,船在行驶过程中,船头必须始终与河岸垂直
[C] 船在河水中航行的轨迹是一条直线
[D] 船以最短时间渡河,船在河水中的最大速度是5 m/s
BD
对点3.小船渡河问题
A
【解析】 如图所示,设小船航行时在静水中速度为v2,当v2垂直AB时速度最小,由三角函数关系可知v2=v1sin θ,故A正确。
B
对点4.关联速度问题
8.(4分)(2024·湖南郴州模拟)如图,跨过光滑定滑轮的轻绳一端系着铁球
(大小不可忽略,轻绳延长线过球心)、一端连在水平台上的玩具小车上,车牵引着绳使球沿光滑竖直墙面从较低处竖直上升。则在球匀速竖直上升且未离开墙面的过程中(　　)
[A] 绳对球的拉力大小变小
[B] 墙面对球的支持力大小变小
[C] 玩具小车做加速运动
[D] 玩具小车做减速运动
D
综合提升练
C
10.(6分)(2024·广东佛山二模)(多选)如图所示,在一条玻璃生产线上,宽3 m的待切割玻璃板以0.4 m/s 的速度向前匀速平移。在切割工序处,金刚石切割刀的移动速度为0.5 m/s,下列说法正确的是(　 　)
[A] 切割一块矩形玻璃需要10 s
[B] 切割得到的矩形玻璃长为2.4 m
[C] 切割刀的移动轨迹与玻璃板平移方向夹角为37°,可使割下的玻璃呈矩形
[D] 切割刀的移动轨迹与玻璃板平移方向夹角为143°,可使割下的玻璃呈
矩形
AC
11.(4分)(2024·江苏苏州检测)如图所示,竖直平面内放一直角杆MON,杆的水平部分粗糙,动摩擦因数μ=0.2,杆的竖直部分光滑。两部分各套有质量均为
1 kg的小球A和B,A、B球间用细绳相连。A球在水平拉力F的作用下向右做速度大小为2 m/s的匀速运动。g取10 m/s2,那么在该过程中(　　)
[A] 拉力F为恒力,大小为4 N
[B] A球所受的摩擦力为恒力,大小为4 N
[C] B球向上做速度大小为2 m/s的匀速运动
[D] B球向上做加速运动,当OA=3 m,OB=4 m时,B球的速度大小为1.5 m/s
D

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