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第2讲　抛体运动
投壶是古人宴会时礼节性的游戏。若将箭水平投出,不计箭所受空气阻力,请思考: (1)投出的箭做什么性质的运动 通常如何来研究和处理该运动 (2)箭的下落时间和水平位移分别由哪些因素决定
[footnoteRef:1] [1:
【答案】 重力　匀变速　匀速直线　自由落体　gt　　v0t　gt2　　　重力　匀变速　抛物线　v0cos θ　v0sin θ-gt]
如图甲所示是网球发球机,某次室内训练时将发球机放在距地面一定的高度,然后向竖直墙面发射网球。假定网球均水平射出,某两次射出的网球碰到墙面时速度与水平方向夹角分别为30°和60°,如图乙所示,若不考虑空气阻力,则(　　)
[A] 两次发射的初速度大小之比为3∶1
[B] 碰到墙面前在空中运动时间之比为1∶
[C] 下落高度之比为1∶
[D] 碰到墙面时速度大小之比为3∶1
【答案】 B
考点一　平抛运动基本规律的应用
(1)如图甲所示,物体下落到空中的A点时,设其位移与水平方向的夹角为α,在A点速度偏转角为θ,试证明tan θ=2tan α。
甲
提示:由tan θ==,tan α==可得tan θ=2tan α。
(2)物体在下落过程中某时刻恰好在空中的A点,此时瞬时速度的反向延长线通过水平位移的B点,如图乙所示,试证明xB=。
乙
提示:由tan θ=,tan α=,tan θ=2tan α 可得xB=。
1.平抛运动四个基本特点
飞行 时间 由t=知,飞行时间取决于下落高度h,与初速度v0无关
水平 射程 x=v0t=v0,即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定,与其他因素无关
落地 速度 v==,落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关
速度 变化量 任意相等时间间隔Δt内的速度变化量Δv=gΔt相同,方向恒为竖直向下,如图所示。 注意:平抛运动中任意相等时间间隔Δt内的速率变化量一定不相等
2.两个重要推论
(1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
(2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处,速度方向与水平方向的夹角θ和位移方向与水平方向的夹角α的关系为tan θ=2tan α。
[例1] 【平抛运动规律的理解】 (2024·重庆沙坪坝三模)一质点做平抛运动,先后经过空中的P、Q两点,经过P点时速度方向与水平方向的夹角为30°,经过Q点时速度方向与水平方向的夹角为60°,则(　　)
[A] P到Q过程质点做非匀变速运动
[B] P、Q连线与水平方向夹角为60°
[C] 质点经过P、Q两点时竖直速度之比为1∶3
[D] 从抛出点到P、Q两点的水平位移之比为1∶2
【答案】 C
【解析】 平抛运动过程只受重力作用,加速度不变,所以P到Q过程质点做匀加速曲线运动,故A错误;由题意可知P、Q连线与水平方向夹角介于30°～60°之间,故B错误;由平抛运动水平方向为匀速直线运动,则tan 30°=,tan 60°=,所以=,故C正确;平抛运动竖直方向为自由落体运动,由vy=gt可知运动到P、Q两点的时间关系为==,由时间关系得水平位移关系为==,故D错误。
[例2] 【平抛运动规律的应用】 在跨越河流表演中,一人骑车以25 m/s的速度水平冲出平台,恰好跨越宽d=25 m的河流落在河对岸平台上,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2,则两平台的高度差h为(　　)
[A] 0.5 m [B] 5 m
[C] 10 m [D] 20 m
【答案】 B
【解析】 人和车做平抛运动,设运动时间为t,竖直方向有h=gt2,水平方向有d=v0t,其中d=25 m,v0=25 m/s,解得h=5 m。
考点二　与斜面或圆弧面有关的平抛运动
1.落点在斜面上的三种情境分析
模型
方法 分解速度,构建速度三角形,找到斜面倾角θ与速度方向的关系 分解速度,构建速度的矢量三角形 分解位移,构建位移三角形,隐含条件:斜面倾角θ等于位移与水平方向的夹角
基本规律 水平方向:vx=v0 竖直方向:vy=gt 合速度:v= 方向:tan θ= 水平方向:vx=v0 竖直方向:vy=gt 合速度:v= 方向:tan θ= 水平方向:x=v0t 竖直方向:y=gt2 合位移:s= 方向:tan θ=
2.落点在曲面上的三种情境分析
运动情境 物理量分析
tan θ= = →t=
在半圆内的平抛运动,R+ =v0t→t=
小球恰好从圆柱体的Q点沿切线飞过,此时半径OQ垂直于速度方向,圆心角θ与速度的偏转角相等
[例3] 【与斜面有关的平抛运动】 跳台滑雪是一项勇敢者的滑雪运动,运动员在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出,在空中飞一段距离后落地。如图所示,运动员从跳台A处沿水平方向以v0=20 m/s 的速度飞出,落在斜坡上的B处,斜坡与水平方向的夹角θ为37°,不计空气阻力,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g取10 m/s2,求:
(1)运动员在空中飞行的时间;
(2)运动员落在B处时的速度大小;
(3)运动员在空中离坡面的最大距离。
【答案】 (1)3 s　(2)10 m/s　(3)9 m
【解析】 (1)运动员做平抛运动,设在空中飞行的时间为t,则有 x=v0t,y=gt2,
由题图可知 tan θ=,
整理得t=,
代入数据,解得 t=3 s。
(2)运动员落在B处时有vx=v0,vy=gt,
根据矢量合成,有vB=,
解得 vB=10 m/s。
(3)取沿斜坡向下方向与垂直于斜坡向上方向分析运动员的运动,则在垂直于斜坡方向上有
vy′=v0sin θ,ay=-gcos θ,
当vy′=0时,运动员在空中离坡面的距离最大,则有 d=,
代入数据,解得d=9 m。
灵活建立坐标系解决平抛问题
(1)坐标系的建立是任意的,和斜面结合的平抛运动也可以沿斜面方向和垂直斜面方向建立直角坐标系。
(2)如求解本题第(3)问时,把初速度v0、重力加速度g分解成沿斜坡方向和垂直斜坡方向的两个分量。沿斜坡方向为初速度为v0cos θ、加速度大小为gsin θ的匀加速直线运动,垂直斜坡方向为初速度为v0sin θ、加速度大小为gcos θ的类竖直上抛运动。这样仅用垂直斜坡方向的分运动即可求解离坡面的最大距离(垂直斜坡方向分速度减为零时)。
[例4] 【与弧面有关的平抛运动】 如图所示,一竖直圆弧形槽固定于水平地面上,O为圆心,AB为沿水平方向的直径。若在A点以初速度v1沿AB方向平抛一小球,小球将击中槽壁上的最低点D点;若A点小球抛出的同时,在C点以初速度v2沿BA方向平抛另一相同质量的小球并也能击中D点,已知∠COD=60°,且不计空气阻力,则(　　)
[A] 两小球同时落到D点
[B] 两小球初速度大小之比为 ∶
[C] 两小球落到D点时的速度方向与OD夹角相等
[D] 两小球落到D点时的瞬时速率之比为∶1
【答案】 B
【解析】 由于A、C两点到D点的竖直高度不同,两球在空中运动时间不同,选项A错误;设圆弧形槽半径为R,对从A点抛出的小球,R=v1tA,R=g,则v1=,对从C点抛出的小球,Rsin 60°=v2tC,R-Rcos 60°=g,则v2=,v1∶v2=∶,选项B正确;设小球在D点速度方向与OD夹角为θ,竖直分速度为vy,水平分速度为v0,则tan θ=,由v1∶v2=∶ 和∶=tA∶tC=∶1可知tan θ1≠tan θ2,选项C错误;由运动学知识可得=2gR,=gR,设两小球落到D点时的瞬时速率分别为vA、vC,vA==,vC==,则vA∶vC=∶,选项D错误。
考点三　类平抛运动与斜抛运动问题
1.类平抛运动
类平抛运动特点 求解技巧
(1)受力特点:物体所受合力为恒力,与初速度方向垂直。 (2)运动特点:在初速度v0方向做匀速直线运动,在合力方向做初速度为零的匀加速直线运动,加速度a= (1)常规分解法:将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向的匀加速直线运动。 (2)特殊分解法:以抛出点为原点建立适当的直角坐标系,将加速度分解为ax、ay,初速度v0分解为vx、vy,然后分别在x、y方向列方程求解
2.斜抛运动的处理方法
图示
处理 方法 水平竖直正交分解化曲为直 最高点一分为二变平抛运动逆向处理 将初速度和重力加速度沿斜面方向和垂直于斜面方向分解
基本 规律 水平方向:v0x=v0cos θ x=v0cos θ·t 竖直方向:v0y=v0sin θ y=v0sin θ·t-gt2 最高点:hm= 落回等高处射程:s=v0cos θ·t==,对于给定的v0,当θ=45°时,射程达到最大值,smax=。 最高点速度水平:v0x=v0cos θ 垂直斜面:g1=gcos α v01=v0sin θ y=v0sin θ·t-g1t2 沿着斜面:g2=gsin α v02=v0cos θ x=v0cos θ·t+g2t2 最高点:hm=
[例5] 【类平抛运动】 (2024·山东泰安模拟)(多选)如图所示,光滑斜面长为l,宽为b,顶角为θ,一物块从斜面左上方顶点P以平行于底边的初速度水平射入,沿斜面运动,恰好从底端Q离开斜面,物块可看成质点,则(　　)
[A] 物块的初速度v0=b
[B] 物块的初速度v0=b
[C] 物块到达Q点时的速度vQ=
[D] 物块到达Q点时的速度vQ=
【答案】 BC
【解析】 物块在斜面上做类平抛运动,有b=v0t,l=at2,物块沿斜面方向的加速度为a==gcos θ,联立解得物块的初速度v0=b,故A错误,B正确;在Q点的沿斜面向下的分速度为vy=at,物块到达Q点时的速度vQ==,故C正确,D错误。
[例6] 【逆向思维法处理斜抛运动】 (多选)利用足球发球机可以极大地提高守门员的训练效率,为了测试足球发球机的性能,某次试验时发球机向球门网架发射足球,当发球机向网架水平移动时,发球口先后在A点与B点发射的两相同足球1、2刚好沿水平方向打在横梁上同一点P,已知在A点、B点的发射速度与水平方向所成的角度分别为α、β。不考虑足球在空中受到的阻力,下列说法正确的是(　　)
[A] 1、2两球的初速度之比为sin α∶sin β
[B] 1、2两球在P点的速度之比为tan β∶tan α
[C] 1、2两球的水平位移之比为tan α∶tan β
[D] 1、2两球在A、B两点重力的瞬时功率之比为1∶1
【答案】 BD
【解析】 发球口先后在A点与B点发射的两相同足球1、2刚好沿水平方向打在横梁上同一点P,可由逆向思维法看成从P点做平抛运动,因竖直位移y相同,则由y=gt2,vy=gt可知,从P点运动到A点和B点的时间t相同,竖直速度vy相同,由vA=,vB=,解得=,故A错误;1、2 两球在P点的速度即为平抛的水平速度,有vA0=,vB0=,可得=,故B正确;1、2两球的水平位移为x=v0t,可得==,故C错误;1、2两球在A、B两点重力的瞬时功率为PG=mgvy,因竖直速度vy相同,则重力的瞬时功率之比为1∶1,故D正确。
[例7] 【分解法处理斜抛运动】 (2024·山东卷,12)(多选)如图所示,工程队向峡谷对岸平台抛射重物,初速度v0大小为20 m/s,与水平方向的夹角为30°,抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°,重力加速度大小取10 m/s2,忽略空气阻力。重物在此运动过程中,下列说法正确的是(　　)
[A] 运动时间为2 s
[B] 落地速度与水平方向夹角为60°
[C] 重物离PQ连线的最远距离为10 m
[D] 轨迹最高点与落点的高度差为45 m
【答案】 BD
【解析】 将初速度分解为沿PQ方向分速度v1和垂直于PQ方向分速度v2,则有v1=v0cos 60°=10 m/s,v2=v0sin 60°=10 m/s,将重力加速度分解为沿PQ方向分加速度a1和垂直于PQ方向分加速度a2,则有a1=gsin 30°=5 m/s2,a2=gcos 30°=5 m/s2,垂直于PQ方向,根据对称性可得重物运动时间为t=2·=4 s,重物离PQ连线的最远距离为dmax==10 m,故A、C错误;重物落地时竖直分速度大小为vy=-v0sin 30°+gt=30 m/s,则落地速度与水平方向夹角正切值为tan θ===,可得θ=60°,故B正确;从抛出到最高点所用时间为t1==1 s,则从最高点到落地所用时间为t2=t-t1=3 s,轨迹最高点与落点的高度差为h=g=45 m,故D正确。
建立斜坐标系处理斜抛运动
本题也可以建立初速度方向和竖直方向的斜坐标系,如图,
则初速度方向为匀速直线运动,竖直方向为自由落体运动。初速度方向有x=v0t,竖直方向有y=gt2,由几何关系得v0t=gt2,lPQ=v0t。
[提升] 【空间中的斜抛运动】 (2022·山东卷,11)(多选)如图所示,某同学将离地1.25 m的网球以 13 m/s 的速度斜向上击出,击球点到竖直墙壁的距离4.8 m。当网球竖直分速度为零时,击中墙壁上离地高度为8.45 m的P点。网球与墙壁碰撞后,垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍,平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取10 m/s2,网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为(　　)
[A] v=5 m/s [B] v=3 m/s
[C] d=3.6 m [D] d=3.9 m
【答案】 BD
【解析】 建立如图所示的三维坐标系,网球在竖直方向做竖直上抛运动,上升的最大高度h1=(8.45-1.25) m=7.20 m,所以在击球点竖直方向的分速度v0z==12 m/s,上升时间t1==1.2 s,则v0y= m/s=4 m/s,故沿x方向的分速度v0x==3 m/s;到达最高点P与墙壁碰撞后,沿x方向的分速度v0x′=3 m/s,沿y方向的分速度大小变为v0y′=4×0.75 m/s=3 m/s,所以网球碰撞以后的速度大小为v==3 m/s。下落的时间 t2= s=1.3 s,网球着地点到墙壁的距离d=v0y′t2=3.9 m。
(满分:50分)
对点1.平抛运动基本规律的应用
1.(4分)(2025·云南高考适应性考试)如图所示,“套圈”活动中,某同学将相同套环分两次从同一位置水平抛出,分别套中Ⅰ号、Ⅱ号物品。若套环可近似视为质点,不计空气阻力,则(　　)
[A] 套中Ⅰ号物品,套环被抛出的速度较大
[B] 套中Ⅰ号物品,重力对套环做功较小
[C] 套中Ⅱ号物品,套环飞行时间较长
[D] 套中Ⅱ号物品,套环动能变化量较小
【答案】 D
【解析】 套环在空中做平抛运动,由h=gt2得t=,可知下落高度越大,套环的飞行时间越长,故套中Ⅰ号物品时飞行时间较长,故C错误;由x=v0t知,套中Ⅱ号物品的套环抛出速度较大,故A错误;套环飞行过程中,重力做功的大小等于套环动能的变化量,即WG=ΔEk=mgh,故套中Ⅱ号物品时,套环下落的高度较小,重力对套环做功较小,套环的动能变化量较小,故B错误,D正确。
2.(4分)(2024·浙江1月选考卷,8)如图所示,小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍,在地面上平移水桶,水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h,直径为D,则水离开出水口的速度大小为(　　)
[A] [B]
[C] [D] (+1)D
【答案】 C
【解析】 设出水口到水桶中心的水平距离为x,则x=v0,水落到桶底A点时,x+=v0,解得v0=,故C正确。
对点2.与斜面或圆弧面有关的平抛运动
3.(4分)(2024·山东日照一模)如图所示,在水平地面上固定一倾角α=37°的斜面体,质量m=1 kg的小车A以P=100 W 的恒定功率沿斜面底端由静止开始向上运动,同时在小车A的正上方某处,有一物块B以v0=6 m/s的初速度水平抛出。当小车A运动到斜面上某点时恰好被物块B垂直于斜面击中。小车A、物块B均可看作质点,小车与斜面间的动摩擦因数μ=0.5,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。下列判断正确的是(　　)
[A] 物块在空中运动的时间等于0.4 s
[B] 物块击中小车时小车的速度等于2 m/s
[C] 物块击中小车时的速度等于8 m/s
[D] 小车从开始运动到被物块击中时的位移等于10 m
【答案】 B
【解析】 当小车A运动到斜面上某点时恰好被物块B垂直于斜面击中,则tan α==,且vy=gt,物块在空中运动的时间为t=0.8 s,故A错误;物块B击中小车时,水平位移为x=v0t=4.8 m,对小车,根据动能定理有Pt-μmgcos α·-mgsin α·=mv2,解得物块击中小车时小车的速度为v=2 m/s,物块的速度为v物块==10 m/s,故B正确,C错误;小车从开始运动到被物块击中时的位移x小车== m=6 m,故D错误。
4.(6分)(2024·河北唐山模拟)(多选)如图为一半圆形的坑,坑边缘两点A、B与圆心O等高且在同一竖直平面内,在边缘A点将一小球以速度v1水平抛出,小球落到C点,运动时间为t1;第二次从A点以速度v2水平抛出,小球落到D点,运动时间为t2。不计空气阻力,则(　　)
[A] v1[B] t1[C] 小球落到D点时,速度方向可能垂直圆弧
[D] 小球落到C点时,速度与水平方向的夹角一定大于45°
【答案】 AD
【解析】 如图所示,连接AC和AD,设AC和AD在竖直方向上的高度分别为hAC和hAD,由图可知hAC>hAD,且由hAC=g,hAD=g,可得t1>t2,设AC和AD在水平方向上的长度分别为xAC和xAD,则由xAC5.(6分)(多选)如图所示,a、b两个小球同时以相同的初速度v0从斜面上水平抛出后均又落在斜面上,如果忽略空气阻力,下列说法正确的是(　　)
[A] a、b在相等的时间内速度的变化量相等
[B] a、b从抛出到落到斜面上的时间之比为1∶
[C] a、b落在斜面上的速度大小之比为1∶
[D] a、b落在斜面上的速度方向相同
【答案】 AB
【解析】 根据Δv=g·Δt,可知a、b在相等的时间内速度的变化量相等,故A正确;根据tan θ==,解得t=,可知a、b从抛出到落到斜面上的时间之比为ta∶tb=1∶,故B正确;根据v==可知,a、b落在斜面上的速度大小之比为va∶vb=∶,故C错误;设小球落在斜面上的速度方向与水平面夹角为α,则有tan α===2tan θ,可知a、b落在斜面上的速度方向不相同,故D错误。
对点3.类平抛运动与斜抛运动问题
6.(4分)(2024·甘肃兰州一模)海水因密度不同会造成“水下断崖”现象,潜艇从海水高密度区域驶入低密度区域,浮力顿减,如同疾驶的汽车掉下悬崖,专业上称之为“掉深”。设某一潜艇正在高密度海水区域沿水平方向航行,t=0时刻潜艇“掉深”,水平方向的xt图像和竖直方向的vt图像如图所示。重力加速度g取10 m/s2,不计水的阻力,对潜艇“掉深”后的运动,下列说法正确的是(　　)
[A] 依然能做直线运动
[B] 10 s末潜艇的速度约为21 m/s
[C] 竖直向下的最大位移为200 m
[D] 先超重后失重
【答案】 B
【解析】 根据潜艇水平方向的xt图像和竖直方向的vt图像分析知,“掉深”后潜艇水平方向做匀速直线运动,竖直方向先做匀加速直线运动,后做匀减速直线运动,故潜艇做曲线运动,故A错误;10 s末潜艇水平方向的速度为vx= m/s=5 m/s,竖直方向的速度为vy=20 m/s,故10 s末潜艇的速度约为v==5 m/s≈21 m/s,故B正确;竖直方向的速度减为零时,潜艇竖直向下的位移最大,根据vt图像所围的面积表示位移,知y=×30×20 m=300 m,故C错误;潜艇的加速度先向下后向上,故先失重后超重,故D错误。
7.(8分)(2024·山东临沂一模)某学习小组用如图所示的模型演示抛石过程。质量m=1 kg的石块装在长臂末端的口袋中,开始时口袋位于水平面并处于静止状态。现对短臂施力,当长臂转到与竖直方向夹角为θ=53°时立即停止转动,石块以v0=20 m/s 的速度被抛出后打在地面上,石块抛出点P离地面高度h=1.65 m,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2,取sin 53°=0.8,cos 53°=0.6,求:
(1)抛出后石块距离地面的最大高度;
(2)在石块运动轨迹最高点左侧竖立一块长度L=3.2 m的木板充当城墙挡住石块,求木板离石块抛出点最近距离。
【答案】 (1)14.45 m　(2)37.2 m
【解析】 (1)石块抛出时竖直方向分速度为v0y=v0sin θ=16 m/s,
则石块从抛出点到最高点的高度为h1==12.8 m,
抛出后石块距离地面的最大高度为H=h1+h=14.45 m。
(2)当石块刚好被木板上端挡住时,木板离石块抛出点距离最近;石块从最高点到木板上端过程做平抛运动,竖直方向有H-L=g,
解得t2==1.5 s,
石块从抛出到最高点所用时间为t1==1.6 s,
石块抛出时的水平分速度为v0x=v0cos θ=12 m/s,
则木板离石块抛出点最近距离为x=v0x(t1+t2)=37.2 m。
8.(4分)(2024·山东菏泽一模)如图所示为一乒乓球台的纵截面,AB是台面的两个端点位置,PC是球网位置,D、E两点满足AD=BE=AB,且E、M、N在同一竖直线上。第一次在M点将球击出,轨迹最高点恰好经过球网最高点P落在A点;第二次在N点将同一球水平击出,轨迹同样恰好经过球网最高点P落到D点。球可看作质点,不计空气阻力作用,则两次击球位置到桌面的高度之比hM∶hN为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 A
【解析】 第一次球做斜抛运动,设AD=d,PC=h,则根据斜抛运动规律有h=g,xPA=3d=vxtPA,xMP=2d=vxtMP,hM=h-g,联立可得hM=h;第二次球做平抛运动,设平抛的初速度为v0,根据平抛运动规律有xPD=2d=v0tPD,xNP=2d=v0tNP,hN=g(tNP+tPD)2,h=hN-g,联立可得hN=h;则两次击球位置到桌面的高度之比为=,故选A。
9.(10分)北京2022年冬奥会,我国选手在单板滑雪U型池比赛中取得了较好的成绩。比赛场地可以简化为如图所示的模型:U形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和中央平面直轨道连接而成,轨道倾角为18°。某次比赛中,质量m=50 kg的运动员自A点以vA=6 m/s的速度进入U型池,经过多次腾空跳跃,以vM=6 m/s的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切面ABCD滑出轨道,速度方向与轨道边缘线AD的夹角α=72°,腾空后又沿轨道边缘的N点进入轨道。运动员可视为质点,不计空气阻力。重力加速度g取10 m/s2,取sin 72°=0.95,cos 72°=0.31。求:
(1)在运动员从M点到N点的过程中,从M点运动到距离AD最远处所用的时间t;
(2)在运动员从M点到N点的过程中,距离AD的最远距离d;
(3)运动员落回到N点时,速度方向与AD夹角的正切值tan β(结果保留3位有效数字)。
【答案】 (1)0.6 s　(2)1.71 m　(3)1.02
【解析】 (1)将运动员的运动沿平行于AD和垂直于AD两个方向进行分解,在垂直于AD方向上,初速度为vy0=vMsin 72°,
由牛顿第二定律有mgcos 18°=may,
解得ay=gcos 18°,
当运动员在该方向的速度为零时,距离AD最远,则有0=vMsin 72°-ayt,
解得t=0.6 s。
(2)在垂直于AD方向上,
-2ayd=0-,
解得d=1.71 m。
(3)在垂直于AD方向上,远离AD和返回AD的过程具有对称性,即运动员到达N点时,垂直于AD的分速度大小为vy=vy0=vMsin 72°,
且运动的总时间tMN=2t,
在平行于AD方向上,初速度大小为vx0=vMcos 72°,
加速度ax=gsin 18°,
运动员到达N点时,平行于AD的分速度大小为vx=vx0+axtMN,
所以速度方向与AD夹角β的正切值
tan β=≈1.02。
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)第2讲　抛体运动
投壶是古人宴会时礼节性的游戏。若将箭水平投出,不计箭所受空气阻力,请思考: (1)投出的箭做什么性质的运动 通常如何来研究和处理该运动 (2)箭的下落时间和水平位移分别由哪些因素决定
如图甲所示是网球发球机,某次室内训练时将发球机放在距地面一定的高度,然后向竖直墙面发射网球。假定网球均水平射出,某两次射出的网球碰到墙面时速度与水平方向夹角分别为30°和60°,如图乙所示,若不考虑空气阻力,则(　　)
[A] 两次发射的初速度大小之比为3∶1
[B] 碰到墙面前在空中运动时间之比为1∶
[C] 下落高度之比为1∶
[D] 碰到墙面时速度大小之比为3∶1
考点一　平抛运动基本规律的应用
(1)如图甲所示,物体下落到空中的A点时,设其位移与水平方向的夹角为α,在A点速度偏转角为θ,试证明tan θ=2tan α。
甲
(2)物体在下落过程中某时刻恰好在空中的A点,此时瞬时速度的反向延长线通过水平位移的B点,如图乙所示,试证明xB=。
乙
1.平抛运动四个基本特点
飞行 时间 由t=知,飞行时间取决于下落高度h,与初速度v0无关
水平 射程 x=v0t=v0,即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定,与其他因素无关
落地 速度 v==,落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关
速度 变化量 任意相等时间间隔Δt内的速度变化量Δv=gΔt相同,方向恒为竖直向下,如图所示。 注意:平抛运动中任意相等时间间隔Δt内的速率变化量一定不相等
2.两个重要推论
(1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
(2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处,速度方向与水平方向的夹角θ和位移方向与水平方向的夹角α的关系为tan θ=2tan α。
[例1] 【平抛运动规律的理解】 (2024·重庆沙坪坝三模)一质点做平抛运动,先后经过空中的P、Q两点,经过P点时速度方向与水平方向的夹角为30°,经过Q点时速度方向与水平方向的夹角为60°,则(　　)
[A] P到Q过程质点做非匀变速运动
[B] P、Q连线与水平方向夹角为60°
[C] 质点经过P、Q两点时竖直速度之比为1∶3
[D] 从抛出点到P、Q两点的水平位移之比为1∶2
[例2] 【平抛运动规律的应用】 在跨越河流表演中,一人骑车以25 m/s的速度水平冲出平台,恰好跨越宽d=25 m的河流落在河对岸平台上,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2,则两平台的高度差h为(　　)
[A] 0.5 m [B] 5 m
[C] 10 m [D] 20 m
考点二　与斜面或圆弧面有关的平抛运动
1.落点在斜面上的三种情境分析
模型
方法 分解速度,构建速度三角形,找到斜面倾角θ与速度方向的关系 分解速度,构建速度的矢量三角形 分解位移,构建位移三角形,隐含条件:斜面倾角θ等于位移与水平方向的夹角
基本规律 水平方向:vx=v0 竖直方向:vy=gt 合速度:v= 方向:tan θ= 水平方向:vx=v0 竖直方向:vy=gt 合速度:v= 方向:tan θ= 水平方向:x=v0t 竖直方向:y=gt2 合位移:s= 方向:tan θ=
2.落点在曲面上的三种情境分析
运动情境 物理量分析
tan θ= = →t=
在半圆内的平抛运动,R+ =v0t→t=
小球恰好从圆柱体的Q点沿切线飞过,此时半径OQ垂直于速度方向,圆心角θ与速度的偏转角相等
[例3] 【与斜面有关的平抛运动】 跳台滑雪是一项勇敢者的滑雪运动,运动员在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出,在空中飞一段距离后落地。如图所示,运动员从跳台A处沿水平方向以v0=20 m/s 的速度飞出,落在斜坡上的B处,斜坡与水平方向的夹角θ为37°,不计空气阻力,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g取10 m/s2,求:
(1)运动员在空中飞行的时间;
(2)运动员落在B处时的速度大小;
(3)运动员在空中离坡面的最大距离。
灵活建立坐标系解决平抛问题
(1)坐标系的建立是任意的,和斜面结合的平抛运动也可以沿斜面方向和垂直斜面方向建立直角坐标系。
(2)如求解本题第(3)问时,把初速度v0、重力加速度g分解成沿斜坡方向和垂直斜坡方向的两个分量。沿斜坡方向为初速度为v0cos θ、加速度大小为gsin θ的匀加速直线运动,垂直斜坡方向为初速度为v0sin θ、加速度大小为gcos θ的类竖直上抛运动。这样仅用垂直斜坡方向的分运动即可求解离坡面的最大距离(垂直斜坡方向分速度减为零时)。
[例4] 【与弧面有关的平抛运动】 如图所示,一竖直圆弧形槽固定于水平地面上,O为圆心,AB为沿水平方向的直径。若在A点以初速度v1沿AB方向平抛一小球,小球将击中槽壁上的最低点D点;若A点小球抛出的同时,在C点以初速度v2沿BA方向平抛另一相同质量的小球并也能击中D点,已知∠COD=60°,且不计空气阻力,则(　　)
[A] 两小球同时落到D点
[B] 两小球初速度大小之比为 ∶
[C] 两小球落到D点时的速度方向与OD夹角相等
[D] 两小球落到D点时的瞬时速率之比为∶1
考点三　类平抛运动与斜抛运动问题
1.类平抛运动
类平抛运动特点 求解技巧
(1)受力特点:物体所受合力为恒力,与初速度方向垂直。 (2)运动特点:在初速度v0方向做匀速直线运动,在合力方向做初速度为零的匀加速直线运动,加速度a= (1)常规分解法:将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向的匀加速直线运动。 (2)特殊分解法:以抛出点为原点建立适当的直角坐标系,将加速度分解为ax、ay,初速度v0分解为vx、vy,然后分别在x、y方向列方程求解
2.斜抛运动的处理方法
图示
处理 方法 水平竖直正交分解化曲为直 最高点一分为二变平抛运动逆向处理 将初速度和重力加速度沿斜面方向和垂直于斜面方向分解
基本 规律 水平方向:v0x=v0cos θ x=v0cos θ·t 竖直方向:v0y=v0sin θ y=v0sin θ·t-gt2 最高点:hm= 落回等高处射程:s=v0cos θ·t==,对于给定的v0,当θ=45°时,射程达到最大值,smax=。 最高点速度水平:v0x=v0cos θ 垂直斜面:g1=gcos α v01=v0sin θ y=v0sin θ·t-g1t2 沿着斜面:g2=gsin α v02=v0cos θ x=v0cos θ·t+g2t2 最高点:hm=
[例5] 【类平抛运动】 (2024·山东泰安模拟)(多选)如图所示,光滑斜面长为l,宽为b,顶角为θ,一物块从斜面左上方顶点P以平行于底边的初速度水平射入,沿斜面运动,恰好从底端Q离开斜面,物块可看成质点,则(　　)
[A] 物块的初速度v0=b
[B] 物块的初速度v0=b
[C] 物块到达Q点时的速度vQ=
[D] 物块到达Q点时的速度vQ=
[例6] 【逆向思维法处理斜抛运动】 (多选)利用足球发球机可以极大地提高守门员的训练效率,为了测试足球发球机的性能,某次试验时发球机向球门网架发射足球,当发球机向网架水平移动时,发球口先后在A点与B点发射的两相同足球1、2刚好沿水平方向打在横梁上同一点P,已知在A点、B点的发射速度与水平方向所成的角度分别为α、β。不考虑足球在空中受到的阻力,下列说法正确的是(　　)
[A] 1、2两球的初速度之比为sin α∶sin β
[B] 1、2两球在P点的速度之比为tan β∶tan α
[C] 1、2两球的水平位移之比为tan α∶tan β
[D] 1、2两球在A、B两点重力的瞬时功率之比为1∶1
[例7] 【分解法处理斜抛运动】 (2024·山东卷,12)(多选)如图所示,工程队向峡谷对岸平台抛射重物,初速度v0大小为20 m/s,与水平方向的夹角为30°,抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°,重力加速度大小取10 m/s2,忽略空气阻力。重物在此运动过程中,下列说法正确的是(　　)
[A] 运动时间为2 s
[B] 落地速度与水平方向夹角为60°
[C] 重物离PQ连线的最远距离为10 m
[D] 轨迹最高点与落点的高度差为45 m
建立斜坐标系处理斜抛运动
本题也可以建立初速度方向和竖直方向的斜坐标系,如图,
则初速度方向为匀速直线运动,竖直方向为自由落体运动。初速度方向有x=v0t,竖直方向有y=gt2,由几何关系得v0t=gt2,lPQ=v0t。
[提升] 【空间中的斜抛运动】 (2022·山东卷,11)(多选)如图所示,某同学将离地1.25 m的网球以 13 m/s 的速度斜向上击出,击球点到竖直墙壁的距离4.8 m。当网球竖直分速度为零时,击中墙壁上离地高度为8.45 m的P点。网球与墙壁碰撞后,垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍,平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取10 m/s2,网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为(　　)
[A] v=5 m/s [B] v=3 m/s
[C] d=3.6 m [D] d=3.9 m
(满分:50分)
对点1.平抛运动基本规律的应用
1.(4分)(2025·云南高考适应性考试)如图所示,“套圈”活动中,某同学将相同套环分两次从同一位置水平抛出,分别套中Ⅰ号、Ⅱ号物品。若套环可近似视为质点,不计空气阻力,则(　　)
[A] 套中Ⅰ号物品,套环被抛出的速度较大
[B] 套中Ⅰ号物品,重力对套环做功较小
[C] 套中Ⅱ号物品,套环飞行时间较长
[D] 套中Ⅱ号物品,套环动能变化量较小
2.(4分)(2024·浙江1月选考卷,8)如图所示,小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍,在地面上平移水桶,水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h,直径为D,则水离开出水口的速度大小为(　　)
[A] [B]
[C] [D] (+1)D
对点2.与斜面或圆弧面有关的平抛运动
3.(4分)(2024·山东日照一模)如图所示,在水平地面上固定一倾角α=37°的斜面体,质量m=1 kg的小车A以P=100 W 的恒定功率沿斜面底端由静止开始向上运动,同时在小车A的正上方某处,有一物块B以v0=6 m/s的初速度水平抛出。当小车A运动到斜面上某点时恰好被物块B垂直于斜面击中。小车A、物块B均可看作质点,小车与斜面间的动摩擦因数μ=0.5,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。下列判断正确的是(　　)
[A] 物块在空中运动的时间等于0.4 s
[B] 物块击中小车时小车的速度等于2 m/s
[C] 物块击中小车时的速度等于8 m/s
[D] 小车从开始运动到被物块击中时的位移等于10 m
4.(6分)(2024·河北唐山模拟)(多选)如图为一半圆形的坑,坑边缘两点A、B与圆心O等高且在同一竖直平面内,在边缘A点将一小球以速度v1水平抛出,小球落到C点,运动时间为t1;第二次从A点以速度v2水平抛出,小球落到D点,运动时间为t2。不计空气阻力,则(　　)
[A] v1[B] t1[C] 小球落到D点时,速度方向可能垂直圆弧
[D] 小球落到C点时,速度与水平方向的夹角一定大于45°
5.(6分)(多选)如图所示,a、b两个小球同时以相同的初速度v0从斜面上水平抛出后均又落在斜面上,如果忽略空气阻力,下列说法正确的是(　　)
[A] a、b在相等的时间内速度的变化量相等
[B] a、b从抛出到落到斜面上的时间之比为1∶
[C] a、b落在斜面上的速度大小之比为1∶
[D] a、b落在斜面上的速度方向相同
对点3.类平抛运动与斜抛运动问题
6.(4分)(2024·甘肃兰州一模)海水因密度不同会造成“水下断崖”现象,潜艇从海水高密度区域驶入低密度区域,浮力顿减,如同疾驶的汽车掉下悬崖,专业上称之为“掉深”。设某一潜艇正在高密度海水区域沿水平方向航行,t=0时刻潜艇“掉深”,水平方向的xt图像和竖直方向的vt图像如图所示。重力加速度g取10 m/s2,不计水的阻力,对潜艇“掉深”后的运动,下列说法正确的是(　　)
[A] 依然能做直线运动
[B] 10 s末潜艇的速度约为21 m/s
[C] 竖直向下的最大位移为200 m
[D] 先超重后失重
7.(8分)(2024·山东临沂一模)某学习小组用如图所示的模型演示抛石过程。质量m=1 kg的石块装在长臂末端的口袋中,开始时口袋位于水平面并处于静止状态。现对短臂施力,当长臂转到与竖直方向夹角为θ=53°时立即停止转动,石块以v0=20 m/s 的速度被抛出后打在地面上,石块抛出点P离地面高度h=1.65 m,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2,取sin 53°=0.8,cos 53°=0.6,求:
(1)抛出后石块距离地面的最大高度;
(2)在石块运动轨迹最高点左侧竖立一块长度L=3.2 m的木板充当城墙挡住石块,求木板离石块抛出点最近距离。
8.(4分)(2024·山东菏泽一模)如图所示为一乒乓球台的纵截面,AB是台面的两个端点位置,PC是球网位置,D、E两点满足AD=BE=AB,且E、M、N在同一竖直线上。第一次在M点将球击出,轨迹最高点恰好经过球网最高点P落在A点;第二次在N点将同一球水平击出,轨迹同样恰好经过球网最高点P落到D点。球可看作质点,不计空气阻力作用,则两次击球位置到桌面的高度之比hM∶hN为(　　)
[A] [B] [C] [D]
9.(10分)北京2022年冬奥会,我国选手在单板滑雪U型池比赛中取得了较好的成绩。比赛场地可以简化为如图所示的模型:U形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和中央平面直轨道连接而成,轨道倾角为18°。某次比赛中,质量m=50 kg的运动员自A点以vA=6 m/s的速度进入U型池,经过多次腾空跳跃,以vM=6 m/s的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切面ABCD滑出轨道,速度方向与轨道边缘线AD的夹角α=72°,腾空后又沿轨道边缘的N点进入轨道。运动员可视为质点,不计空气阻力。重力加速度g取10 m/s2,取sin 72°=0.95,cos 72°=0.31。求:
(1)在运动员从M点到N点的过程中,从M点运动到距离AD最远处所用的时间t;
(2)在运动员从M点到N点的过程中,距离AD的最远距离d;
(3)运动员落回到N点时,速度方向与AD夹角的正切值tan β(结果保留3位有效数字)。
(
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高中总复习·物理
第2讲　
抛体运动
情境导思
投壶是古人宴会时礼节性的游戏。若将箭水平投出,不计箭所受空气阻力,请思考:
(1)投出的箭做什么性质的运动 通常如何来研究和处理该运动
(2)箭的下落时间和水平位移分别由哪些因素决定
知识构建
重力
匀变速
匀速直线
自由落体
gt
v0t
知识构建
重力
匀变速
抛物线
v0cos θ
v0sin θ-gt
小题试做
如图甲所示是网球发球机,某次室内训练时将发球机放在距地面一定的高度,然后向竖直墙面发射网球。假定网球均水平射出,某两次射出的网球碰到墙面时速度与水平方向夹角分别为30°和60°,如图乙所示,若不考虑空气阻力,则(　　)
B
(1)如图甲所示,物体下落到空中的A点时,设其位移与水平方向的夹角为α,在A点速度偏转角为θ,试证明tan θ=2tan α。
甲
乙
1.平抛运动四个基本特点
速度 变化量
任意相等时间间隔Δt内的速度变化量Δv=gΔt相同,方向恒为竖直向下,如图所示。
注意:平抛运动中任意相等时间间隔Δt内的速率变化量一定不相等
2.两个重要推论
(1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
(2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处,速度方向与水平方向的夹角θ和位移方向与水平方向的夹角α的关系为tan θ=2tan α。
[例1] 【平抛运动规律的理解】 (2024·重庆沙坪坝三模)一质点做平抛运动,先后经过空中的P、Q两点,经过P点时速度方向与水平方向的夹角为30°,经过Q点时速度方向与水平方向的夹角为60°,则(　　)
[A] P到Q过程质点做非匀变速运动
[B] P、Q连线与水平方向夹角为60°
[C] 质点经过P、Q两点时竖直速度之比为1∶3
[D] 从抛出点到P、Q两点的水平位移之比为1∶2
C
[例2] 【平抛运动规律的应用】 在跨越河流表演中,一人骑车以25 m/s的速度水平冲出平台,恰好跨越宽d=25 m的河流落在河对岸平台上,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2,则两平台的高度差h为(　　)
[A] 0.5 m [B] 5 m
[C] 10 m [D] 20 m
B
1.落点在斜面上的三种情境分析
2.落点在曲面上的三种情境分析
小球恰好从圆柱体的Q点沿切线飞过,此时半径OQ垂直于速度方向,圆心角θ与速度的偏转角相等
[例3] 【与斜面有关的平抛运动】 跳台滑雪是一项勇敢者的滑雪运动,运动员在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出,在空中飞一段距离后落地。如图所示,运动员从跳台A处沿水平方向以v0=20 m/s 的速度飞出,落在斜坡上的B处,斜坡与水平方向的夹角θ为37°,不计空气阻力,取sin 37°=0.6,cos 37°=
0.8,g取10 m/s2,求:
(1)运动员在空中飞行的时间;
【答案】 (1)3 s
规范答题
(2)运动员落在B处时的速度大小;
规范答题
(3)运动员在空中离坡面的最大距离。
【答案】 (3)9 m
规范答题
题后反思
灵活建立坐标系解决平抛问题
(1)坐标系的建立是任意的,和斜面结合的平抛运动也可以沿斜面方向和垂直斜面方向建立直角坐标系。
(2)如求解本题第(3)问时,把初速度v0、重力加速度g分解成沿斜坡方向和垂直斜坡方向的两个分量。沿斜坡方向为初速度为v0cos θ、加速度大小为gsin θ的匀加速直线运动,垂直斜坡方向为初速度为v0sin θ、加速度大小为gcos θ的类竖直上抛运动。这样仅用垂直斜坡方向的分运动即可求解离坡面的最大距离(垂直斜坡方向分速度减为零时)。
[例4] 【与弧面有关的平抛运动】 如图所示,一竖直圆弧形槽固定于水平地面上,O为圆心,AB为沿水平方向的直径。若在A点以初速度v1沿AB方向平抛一小球,小球将击中槽壁上的最低点D点;若A点小球抛出的同时,在C点以初速度v2沿BA方向平抛另一相同质量的小球并也能击中D点,已知∠COD=60°,且不计空气阻力,则(　　)
B
1.类平抛运动
2.斜抛运动的处理方法
BC
[例6] 【逆向思维法处理斜抛运动】 (多选)利用足球发球机可以极大地提高守门员的训练效率,为了测试足球发球机的性能,某次试验时发球机向球门网架发射足球,当发球机向网架水平移动时,发球口先后在A点与B点发射的两相同足球1、2刚好沿水平方向打在横梁上同一点P,已知在A点、B点的发射速度与水平方向所成的角度分别为α、β。不考虑足球在空中受到的阻力,下列说法正确的是( 　　)
[A] 1、2两球的初速度之比为sin α∶sin β
[B] 1、2两球在P点的速度之比为tan β∶tan α
[C] 1、2两球的水平位移之比为tan α∶tan β
[D] 1、2两球在A、B两点重力的瞬时功率之比为1∶1
BD
BD
反思提升
建立斜坐标系处理斜抛运动
本题也可以建立初速度方向和竖直方向的斜坐标系,如图,
BD
1.(4分)(2025·云南高考适应性考试)如图所示,“套圈”活动中,某同学将相同套环分两次从同一位置水平抛出,分别套中Ⅰ号、Ⅱ号物品。若套环可近似视为质点,不计空气阻力,则(　　)
[A] 套中Ⅰ号物品,套环被抛出的速度较大
[B] 套中Ⅰ号物品,重力对套环做功较小
[C] 套中Ⅱ号物品,套环飞行时间较长
[D] 套中Ⅱ号物品,套环动能变化量较小
对点1.平抛运动基本规律的应用
基础对点练
D
2.(4分)(2024·浙江1月选考卷,8)如图所示,小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍,在地面上平移水桶,水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h,直径为D,则水离开出水口的速度大小为
(　　)
C
对点2.与斜面或圆弧面有关的平抛运动
B
4.(6分)(2024·河北唐山模拟)(多选)如图为一半圆形的坑,坑边缘两点A、B与圆心O等高且在同一竖直平面内,在边缘A点将一小球以速度v1水平抛出,小球落到C点,运动时间为t1;第二次从A点以速度v2水平抛出,小球落到D点,运动时间为t2。不计空气阻力,则(　 　)
[A] v1[B] t1[C] 小球落到D点时,速度方向可能垂直圆弧
[D] 小球落到C点时,速度与水平方向的夹角一定大于45°
AD
5.(6分)(多选)如图所示,a、b两个小球同时以相同的初速度v0从斜面上水平抛出后均又落在斜面上,如果忽略空气阻力,下列说法正确的是( 　　)
AB
6.(4分)(2024·甘肃兰州一模)海水因密度不同会造成“水下断崖”现象,潜艇从海水高密度区域驶入低密度区域,浮力顿减,如同疾驶的汽车掉下悬崖,专业上称之为“掉深”。设某一潜艇正在高密度海水区域沿水平方向航行,t=0时刻潜艇“掉深”,水平方向的x-t图像和竖直方向的v-t图像如图所示。重力加速度g取10 m/s2,不计水的阻力,对潜艇“掉深”后的运动,下列说法正确的是
(　　)
[A] 依然能做直线运动
[B] 10 s末潜艇的速度约为21 m/s
[C] 竖直向下的最大位移为200 m
[D] 先超重后失重
B
对点3.类平抛运动与斜抛运动问题
7.(8分)(2024·山东临沂一模)某学习小组用如图所示的模型演示抛石过程。质量m=1 kg的石块装在长臂末端的口袋中,开始时口袋位于水平面并处于静止状态。现对短臂施力,当长臂转到与竖直方向夹角为θ=53°时立即停止转动,石块以v0=20 m/s 的速度被抛出后打在地面上,石块抛出点P离地面高度h=1.65 m,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2,取sin 53°=0.8,
cos 53°=0.6,求:
(1)抛出后石块距离地面的最大高度;
【答案】 (1)14.45 m
(2)在石块运动轨迹最高点左侧竖立一块长度L=3.2 m的木板充当城墙挡住石块,求木板离石块抛出点最近距离。
【答案】 (2)37.2 m
A
综合提升练
9.(10分)北京2022年冬奥会,我国选手在单板滑雪U型池比赛中取得了较好的成绩。比赛场地可以简化为如图所示的模型:U形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和中央平面直轨道连接而成,轨道倾角为18°。某次比赛中,质量m=50 kg的运动员自A点以vA=6 m/s的速度进入U型池,经过多次腾空跳跃,以vM=6 m/s的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切面ABCD滑出轨道,速度方向与轨道边缘线AD的夹角α=72°,腾空后又沿轨道边缘的N点进入轨道。运动员可视为质点,不计空气阻力。重力加速度g取10 m/s2,取sin 72°=0.95,cos 72°=0.31。求:
(1)在运动员从M点到N点的过程中,从M点运动到距离AD最远处所用的
时间t;
【答案】 (1)0.6 s
(2)在运动员从M点到N点的过程中,距离AD的最远距离d;
【答案】 (2)1.71 m
(3)运动员落回到N点时,速度方向与AD夹角的正切值tan β(结果保留3位有效数字)。
【答案】 (3)1.02

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