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第3讲　小专题:抛体中的多物体和临界极值问题
考点一　多物体的抛体运动
[例1] 【多物体平抛的对比分析】(2025·广东广州模拟)如图所示,将a、b两小球以不同的初速度同时水平抛出,它们均落在水平地面上的P点,a球抛出时的高度比b球的高。P点到两球起抛点的水平距离相等,不计空气阻力,与b球相比,a球(　　)
[A] 初速度较大
[B] 速度变化率较大
[C] 落地时速度方向与其初速度方向的夹角较小
[D] 落地时速度方向与其初速度方向的夹角较大
【答案】 D
【解析】 两个小球都做平抛运动,竖直方向均做自由落体运动,由h=gt2,得t=,则ta>tb,小球水平方向都做匀速直线运动,x=v0t,由题意知x相等,又ta>tb,则va[例2] 【平抛与平抛相遇】 如图所示,A、B两个小球在同一竖直线上,离地高度分别为2h和h,将两球水平抛出后,不计空气阻力,两球落地时的水平位移分别为x和2x。重力加速度为g,则下列说法正确的是(　　)
[A] A、B两球的初速度大小之比为1∶4
[B] A、B两球的运动时间之比为1∶
[C] 两小球运动轨迹交点的水平位移为x
[D] 两小球运动轨迹交点的离地高度为h
【答案】 D
【解析】 小球做平抛运动,竖直方向有H=gt2,解得t=,则A球运动时间tA=,B球运动时间tB=,所以tA∶tB=∶1;由x=v0t得v0=,结合两球落地时位移之比xA∶xB=1∶2,可知A、B两球的初速度之比为1∶2,A、B错误;两球运动轨迹相交时,水平方向位移相同,因此有vAtA′=vBtB′,B球下落高度hB=gtB′2,A球下落的高度hA=gtA′2,hA=h+hB,联立各式得hB=h,tB′=,则两小球运动轨迹交点的高度为h-h=h,两小球运动轨迹交点的水平位移xB′=vBtB′,2x=vB,联立解得xB′=x,C错误,D正确。
[例3] 【平抛与竖直上抛相遇】 (2024·云南大理模拟)如图所示,将小球A从P点以速度v1水平抛出,同时将小球B从水平地面上的Q点以速度v2竖直上抛,A、B两个小球在同一竖直平面内运动,且在Q点正上方的某一位置相遇。已知P点到水平地面的高度为H,P、Q两点的水平距离为x,A、B两个小球可视为质点,空气阻力可忽略不计。下列说法正确的是(　　)
[A] A、B两个小球相遇时,B小球一定处于上升过程中
[B] 只改变小球A的水平速度v1,A、B两个小球依然能在Q点正上方相遇
[C] A、B两个小球初速度必须满足=
[D] A、B两个小球从抛出到相遇的过程中,两球的速度变化量不相等
【答案】 C
【解析】 小球A做平抛运动x=v1t,若与B相遇时下落的高度为h,则h=gt2,小球B做竖直上抛运动,H-h=v2t-gt2,联立可得=,故C正确;A、B两个小球在B上升、下降过程中或B到达最高点时均有可能相遇,故A错误;若只改变小球A的水平速度v1,不再满足=,A、B两个小球不可能在Q点正上方相遇,故B错误;A、B两个小球从抛出到相遇过程中,加速度均为重力加速度g,运动时间t相等,故速度的变化量Δv=gt也相同,故D错误。
[例4] 【平抛与斜抛相遇】 (2024·湖南长沙二模)(多选)如图所示,小球从O点的正上方离地h=40 m高处的P点以v1=10 m/s的速度水平抛出,同时在O点右方地面上S点以速度v2斜向左上方与地面成θ=45°抛出一小球,两小球恰在O、S连线靠近O的三等分点M的正上方相遇。g取10 m/s2,若不计空气阻力,则两小球抛出后到相遇过程(　　)
[A] 两小球相遇时斜抛小球处于下落阶段
[B] 两小球初速度大小关系为v1∶v2=1∶2
[C] O、S的间距为60 m
[D] 两小球相遇点一定在距离地面30 m高度处
【答案】 BC
【解析】 由于相遇处在O、S连线靠近O的三等分点M的正上方,则有v2cos θ·t=2v1t,可得两小球初速度大小关系为v1∶v2=1∶2,故B正确;由v1∶v2=1∶2 可得v2=20 m/s,竖直方向满足h=gt2+v2sin θ·t-gt2,解得t=2 s,此时斜抛的小球竖直方向的分速度为vy=v2sin θ-gt,解得vy=0,则此时斜抛小球恰好到达最高点,故A错误;相遇时离地高度为H=h-gt2=20 m,故D错误;O、S的间距为x=3v1t=60 m,故C正确。
考点二　平抛运动中的临界、极值问题
1.临界点的确定
(1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼,明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语,表明题述的过程中存在着“起止点”,而这些“起止点”往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明题述的过程中存在着极值,这些极值点也往往是临界点。
2.求解平抛运动临界问题的一般思路
(1)找出临界状态对应的临界条件。
(2)分解速度或位移。
(3)若有必要,画出临界轨迹。
[例5] 【平抛运动的临界问题】 如图所示为四分之一圆柱体OAB的竖直截面,半径为R,在B点正上方的C点水平抛出一个小球,小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切,OD与OB的夹角为60°,则C点到B点的距离为(　　)
[A] R [B] [C] [D]
【答案】 D
【解析】 设小球平抛运动的初速度为v0,由题意知小球通过D点时的速度与圆柱体相切,则有=tan 60°,即=;小球平抛运动的水平位移x=Rsin 60°=v0t,联立解得=,=,设平抛运动的竖直位移为y,=2gy,解得y=,则=y-R(1-cos 60°)=,故D正确,A、B、C错误。
[例6] 【平抛运动中的极值问题】 (多选)“山西刀削面”堪称天下一绝,如图所示,小面圈(可视为质点)从距离开水锅高为h处被水平削离,与锅沿的水平距离为L,锅的半径也为L。忽略空气阻力,且小面圈都落入锅中,重力加速度为g,则下列关于所有小面圈在空中运动的描述正确的是(　　)
[A] 运动的时间都相同
[B] 速度的变化量不相同
[C] 落入锅中时,最大速度是最小速度的3倍
[D] 若小面圈刚被抛出时初速度为v0,则L≤v0≤3L
【答案】 AD
【解析】 所有小面圈在空中均做平抛运动,竖直方向均为自由落体运动,根据h=gt2得t=,可知所有小面圈在空中运动的时间都相同,A正确;所有小面圈都只受到重力作用,所以加速度均为g,根据Δv=gt可知所有小面圈在空中运动过程中速度的变化量相同,B错误;若小面圈刚被抛出时初速度为v0,根据水平方向为匀速直线运动,落在锅里的水平距离最小值为L,最大值为3L,有L=vmint,3L=vmaxt,t=,则L≤v0≤3L,小面圈落入锅中时水平速度最大值为最小值的3倍,但是竖直速度相等,根据速度的合成有v=,可知落入锅中时,最大速度不是最小速度的3倍,C错误,D正确。
(1)平抛运动的临界问题有两种常见情形。
①物体达到最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度时。
②物体的速度方向恰好沿某一方向时。
(2)解题技巧:在题中找出有关临界问题的关键词,如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等,然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题。
(满分:60分)
对点1.多物体的抛体运动
1.(4分)如图,x轴沿水平方向,y轴沿竖直方向。图中画出了从y轴上沿x轴正方向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹,其中b和c是从同一点抛出的。不计空气阻力,则(　　)
[A] a的飞行时间比b长
[B] b的飞行时间比c长
[C] a的初速度比b的小
[D] b的初速度比c的大
【答案】 D
【解析】 平抛运动为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动,因为y=gt2,yaxb>xc,tavb>vc,C错误,D正确。
2.(4分)(2023·湖南卷,2)如图甲,我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图乙所示,其轨迹在同一竖直平面内,抛出点均为O,且轨迹交于P点,抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2,其中v1方向水平,v2方向斜向上。忽略空气阻力,关于两谷粒在空中的运动,下列说法正确的是(　　)
[A] 谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
[B] 谷粒2在最高点的速度小于v1
[C] 两谷粒从O到P的运动时间相等
[D] 两谷粒从O到P的平均速度相等
【答案】 B
【解析】 忽略空气阻力,抛出的两谷粒在空中均仅受重力作用,加速度均为重力加速度,故谷粒1的加速度等于谷粒2的加速度,A错误;谷粒2做斜向上抛运动,谷粒1做平抛运动,均从O点运动到P点,故位移相同,在竖直方向上谷粒2做竖直上抛运动,谷粒1做自由落体运动,竖直方向上位移相同,故谷粒2运动时间较长,C错误;谷粒2做斜抛运动,水平方向上为匀速直线运动,故运动到最高点的速度即为水平方向上的分速度,与谷粒1比较,水平位移相同,但运动时间较长,故谷粒2水平方向上的速度较小,即最高点的速度小于v1,B正确;两谷粒从O点运动到P点的位移相同,运动时间不同,故平均速度不相等,谷粒1的平均速度大于谷粒2的平均速度,D错误。
3.(4分)(2024·江苏南京二模)如图所示,在同一竖直面内,物块1从a点以速度v1水平抛出,同时物块2从b点以速度v2抛出,两物块在落地前相遇,两物块均视为质点,除重力外不受其他作用力。下列说法正确的是(　　)
[A] 相遇点在二者初速度延长线交点的正下方
[B] 只改变v1的大小,两物块仍可相遇
[C] 只改变v2的大小,两物块仍可相遇
[D] 只把v2的方向向左转动,两物块仍可相遇
【答案】 A
【解析】 设物块1的高度为h,两物块的水平间距为x,物块2的初速度与水平方向夹角为θ,两物块水平方向均做匀速直线运动,则有x1=v1t,x2=v2tcos θ,竖直方向上有h1=gt2,h2=v2tsin θ-gt2,若两物块能相遇,根据几何关系有x=x1+x2,h=h1+h2,联立解得x1=x-,根据几何关系可知,相遇点在二者初速度延长线交点的正下方,故A正确;结合上述解得=-cos θ,可知物块1与物块2的速度的比值为一个定值,若只改变v1的大小,或者只改变v2的大小,速度比值发生变化,则两物块不能够再相遇,故B、C错误;结合上述可知,两物块相遇时,速度比值一定,则夹角θ一定,即物块2速度方向一定,即若只把v2的方向向左转动,两物块不能够再相遇,故D错误。
4.(4分)(2024·浙江温州三模)如图所示,将两个小沙包a、b以不同的初速度分别从A、B两处先后相差0.5 s水平相向抛出,同时落在水平面同一处,且速度方向与竖直方向夹角相等。两小沙包a、b视为质点,并在同一竖直面内运动,不计空气阻力,下列说法正确的是(　　)
[A] A处比B处高1.25 m
[B] 若将两沙包同时水平抛出,落地前可能会相遇
[C] 若已知B处高度和沙包b的下落时间,可求出A、B的水平距离
[D] 若已知A处高度和沙包a的初速度,可求出A、B的水平距离
【答案】 D
【解析】 设沙包b下落时间为t,则沙包a下落时间为t+0.5 s,A处比B处高Δh=g(t+0.5 s)2-gt2,由此可知Δh>1.25 m,故A错误;根据平抛运动的轨迹可知,若两沙包同时水平抛出,在落地前两沙包不会相遇,故B错误;由于两沙包落地速度方向与竖直方向夹角相等,则=,A、B的水平距离为x=vbt+va(t+0.5 s),由此可知,需要已知沙包的下落时间和初速度,而平抛运动的下落时间与高度有关,故C错误,D正确。
对点2.平抛运动中的临界、极值问题
5.(6分)(2024·陕西咸阳阶段练习)(多选)如图所示的光滑斜面长为L,宽为s,倾角θ=30°,一小球(可视为质点)沿斜面右上方顶点A处水平射入,恰好从底端B点离开斜面,重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
[A] 小球做非匀变速曲线运动
[B] 小球由A运动到B所用的时间为2
[C] 小球由A点水平射入时初速度v0的大小为s
[D] 小球离开B点时速度的大小为
【答案】 BD
【解析】 根据曲线运动的条件,初速度与合力方向垂直,且合力大小恒定,则小球做匀变速曲线运动,故A错误;根据牛顿第二定律得,小球的加速度大小为a==gsin θ=g,根据L=at2,可得t===2,故B正确;根据s=v0t,可得v0==s,故C错误;在B点时小球平行于斜面方向的分速度为vBy=at=,小球离开B点时速度的大小v==,故D正确。
6.(4分)某同学家建造坯房时窗户开口竖直高度H=2.25 m,已知墙壁的厚度d=0.35 m。该同学在离墙壁距离L=1.4 m、距窗子上沿高h=0.2 m处的P点,将可视为质点的小物体以速度v垂直于墙壁水平抛出,小物体直接穿过窗口并落在水平地面上,g取10 m/s2,则v的取值范围约为(　　)
[A] v≥2 m/s [B] v≥2.5 m/s
[C] 2 m/s≤v≤7 m/s [D] 2.5 m/s≤v≤7 m/s
【答案】 D
【解析】 小物体做平抛运动,恰好擦着窗子上沿右侧穿过时v最大。此时有L=vmaxt1,h=g,联立解得vmax=7 m/s,恰好擦着窗子下沿左侧时速度v最小,则有L+d=vmint2,H+h=g,解得vmin=2.5 m/s,故v的取值范围是2.5 m/s≤v≤7 m/s,故选D。
7.(10分) (2023·全国新课标卷,24)将扁平的石子向水面快速抛出,石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方,俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果,石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”,一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出,抛出速度的最小值为多少 (不计石子在空中飞行时的空气阻力,重力加速度大小为g)
【答案】
【解析】 石子做平抛运动,竖直方向为自由落体运动,则有2gh=,
可得落到水面上时的竖直速度vy=,
由题意可知≤tan θ,
则有v0≥,
石子抛出速度的最小值为。
8.(6分)(2024·山东青岛期中)(多选)如图为倾角为θ=45°的斜坡,斜坡底端Q点正上方有M和N两点,甲战斗机以水平速度v1飞到M点时释放炸弹A,准确命中斜坡上的一点P,MP的连线垂直于坡面;乙战斗机以水平速度v2飞到N点时释放炸弹B,也准确命中斜坡上的同一点P,命中时速度方向恰好垂直于斜坡。已知炸弹在空中的运动可视作平抛运动。下列说法正确的是(　　)
[A] 炸弹A、B在空中的飞行时间之比为 ∶1
[B] 重力对炸弹A、B做功之比为2∶1
[C] 任意相同时间内,炸弹A、B在空中的速度变化量之比为1∶1
[D] v1∶v2=∶1
【答案】 ABC
【解析】 设从M点释放的炸弹落在P点所用的时间为t1,从N点释放的炸弹落在P点所用的时间为t2,对于从M点释放的炸弹,其竖直位移与水平位移相等,则根据平抛运动的规律有tan 45°===1,tan 45°==1,又有v1t1=v2t2,联立解得t1∶t2=∶1,v1∶v2=1∶,故A正确,D错误;两炸弹下落高度之比为==,由WG=mgh可知,重力做功之比为2∶1,故B正确;对于甲、乙释放的炸弹,在任意相同时间内速度变化量Δv=gΔt,可知两炸弹在任意相同时间内速度变化量相同,其比值为1∶1,故C正确。
9.(4分)(2024·河北邯郸模拟)现将羽毛球场规格简化为如图所示的长方形ABCD,若运动员从A点正上方高2.45 m的P点使羽毛球水平飞出,羽毛球落到对方界内,g取10 m/s2,不计空气阻力,则羽毛球的水平速度大小可能为(　　)
[A] 15 m/s [B] 20 m/s
[C] 30 m/s [D] 90 m/s
【答案】 B
【解析】 羽毛球从P点水平飞出做平抛运动,若球恰好能过网,在竖直方向有H-h=g,则羽毛球水平方向的最小位移为x1= m=7 m,则羽毛球的水平最小速度为v1=,联立解得v1≈16.5 m/s,若球恰好不出界,在竖直方向则有H=g,在水平方向的最大位移为x2= m=2 m,则羽毛球的水平方向最大速度为v2=,联立解得v2≈21.8 m/s,羽毛球落到对方界内,水平速度大小范围是16.5 m/s≤v≤21.8 m/s,则羽毛球的水平速度大小可能为20 m/s,故B正确。
10.(14分)(2024·山西晋城阶段练习)如图所示,固定在水平面上倾角分别为30°、60°的两斜面下端紧靠在一起,若将小球a以初速度v0从左侧斜面顶端A点水平向右抛出,小球a落在右侧斜面上时的速度方向恰好与斜面垂直,若将小球b以某一初速度从A点水平向右抛出,小球b落在左侧斜面时与小球a的落点在同一水平面上,忽略空气阻力,重力加速度大小为g,求:
(1)小球b被抛出时的初速度大小vb;
(2)左侧斜面的高度h。
【答案】 (1)　(2)
【解析】 (1)由题意可知,小球a、b在空中运动的时间t相等,有
tan 30°=,tan 60°=,
解得vb=。
(2)设小球b做平抛运动的水平位移为x,结合几何知识有
x=,2x=v0t,xab=2x-x,
则有xOb=xab,xOB=xOb,
xOC=xBC+xOB=xAC,x=xBC,
联立解得xAC=h=。
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)第3讲　小专题:抛体中的多物体和临界极值问题
考点一　多物体的抛体运动
[例1] 【多物体平抛的对比分析】(2025·广东广州模拟)如图所示,将a、b两小球以不同的初速度同时水平抛出,它们均落在水平地面上的P点,a球抛出时的高度比b球的高。P点到两球起抛点的水平距离相等,不计空气阻力,与b球相比,a球(　　)
[A] 初速度较大
[B] 速度变化率较大
[C] 落地时速度方向与其初速度方向的夹角较小
[D] 落地时速度方向与其初速度方向的夹角较大
[例2] 【平抛与平抛相遇】 如图所示,A、B两个小球在同一竖直线上,离地高度分别为2h和h,将两球水平抛出后,不计空气阻力,两球落地时的水平位移分别为x和2x。重力加速度为g,则下列说法正确的是(　　)
[A] A、B两球的初速度大小之比为1∶4
[B] A、B两球的运动时间之比为1∶
[C] 两小球运动轨迹交点的水平位移为x
[D] 两小球运动轨迹交点的离地高度为h
[例3] 【平抛与竖直上抛相遇】 (2024·云南大理模拟)如图所示,将小球A从P点以速度v1水平抛出,同时将小球B从水平地面上的Q点以速度v2竖直上抛,A、B两个小球在同一竖直平面内运动,且在Q点正上方的某一位置相遇。已知P点到水平地面的高度为H,P、Q两点的水平距离为x,A、B两个小球可视为质点,空气阻力可忽略不计。下列说法正确的是(　　)
[A] A、B两个小球相遇时,B小球一定处于上升过程中
[B] 只改变小球A的水平速度v1,A、B两个小球依然能在Q点正上方相遇
[C] A、B两个小球初速度必须满足=
[D] A、B两个小球从抛出到相遇的过程中,两球的速度变化量不相等
[例4] 【平抛与斜抛相遇】 (2024·湖南长沙二模)(多选)如图所示,小球从O点的正上方离地h=40 m高处的P点以v1=10 m/s的速度水平抛出,同时在O点右方地面上S点以速度v2斜向左上方与地面成θ=45°抛出一小球,两小球恰在O、S连线靠近O的三等分点M的正上方相遇。g取10 m/s2,若不计空气阻力,则两小球抛出后到相遇过程(　　)
[A] 两小球相遇时斜抛小球处于下落阶段
[B] 两小球初速度大小关系为v1∶v2=1∶2
[C] O、S的间距为60 m
[D] 两小球相遇点一定在距离地面30 m高度处
考点二　平抛运动中的临界、极值问题
1.临界点的确定
(1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼,明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语,表明题述的过程中存在着“起止点”,而这些“起止点”往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明题述的过程中存在着极值,这些极值点也往往是临界点。
2.求解平抛运动临界问题的一般思路
(1)找出临界状态对应的临界条件。
(2)分解速度或位移。
(3)若有必要,画出临界轨迹。
[例5] 【平抛运动的临界问题】 如图所示为四分之一圆柱体OAB的竖直截面,半径为R,在B点正上方的C点水平抛出一个小球,小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切,OD与OB的夹角为60°,则C点到B点的距离为(　　)
[A] R [B] [C] [D]
[例6] 【平抛运动中的极值问题】 (多选)“山西刀削面”堪称天下一绝,如图所示,小面圈(可视为质点)从距离开水锅高为h处被水平削离,与锅沿的水平距离为L,锅的半径也为L。忽略空气阻力,且小面圈都落入锅中,重力加速度为g,则下列关于所有小面圈在空中运动的描述正确的是(　　)
[A] 运动的时间都相同
[B] 速度的变化量不相同
[C] 落入锅中时,最大速度是最小速度的3倍
[D] 若小面圈刚被抛出时初速度为v0,则L≤v0≤3L
(1)平抛运动的临界问题有两种常见情形。
①物体达到最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度时。
②物体的速度方向恰好沿某一方向时。
(2)解题技巧:在题中找出有关临界问题的关键词,如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等,然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题。
(满分:60分)
对点1.多物体的抛体运动
1.(4分)如图,x轴沿水平方向,y轴沿竖直方向。图中画出了从y轴上沿x轴正方向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹,其中b和c是从同一点抛出的。不计空气阻力,则(　　)
[A] a的飞行时间比b长
[B] b的飞行时间比c长
[C] a的初速度比b的小
[D] b的初速度比c的大
2.(4分)(2023·湖南卷,2)如图甲,我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图乙所示,其轨迹在同一竖直平面内,抛出点均为O,且轨迹交于P点,抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2,其中v1方向水平,v2方向斜向上。忽略空气阻力,关于两谷粒在空中的运动,下列说法正确的是(　　)
[A] 谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
[B] 谷粒2在最高点的速度小于v1
[C] 两谷粒从O到P的运动时间相等
[D] 两谷粒从O到P的平均速度相等
3.(4分)(2024·江苏南京二模)如图所示,在同一竖直面内,物块1从a点以速度v1水平抛出,同时物块2从b点以速度v2抛出,两物块在落地前相遇,两物块均视为质点,除重力外不受其他作用力。下列说法正确的是(　　)
[A] 相遇点在二者初速度延长线交点的正下方
[B] 只改变v1的大小,两物块仍可相遇
[C] 只改变v2的大小,两物块仍可相遇
[D] 只把v2的方向向左转动,两物块仍可相遇
4.(4分)(2024·浙江温州三模)如图所示,将两个小沙包a、b以不同的初速度分别从A、B两处先后相差0.5 s水平相向抛出,同时落在水平面同一处,且速度方向与竖直方向夹角相等。两小沙包a、b视为质点,并在同一竖直面内运动,不计空气阻力,下列说法正确的是(　　)
[A] A处比B处高1.25 m
[B] 若将两沙包同时水平抛出,落地前可能会相遇
[C] 若已知B处高度和沙包b的下落时间,可求出A、B的水平距离
[D] 若已知A处高度和沙包a的初速度,可求出A、B的水平距离
对点2.平抛运动中的临界、极值问题
5.(6分)(2024·陕西咸阳阶段练习)(多选)如图所示的光滑斜面长为L,宽为s,倾角θ=30°,一小球(可视为质点)沿斜面右上方顶点A处水平射入,恰好从底端B点离开斜面,重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
[A] 小球做非匀变速曲线运动
[B] 小球由A运动到B所用的时间为2
[C] 小球由A点水平射入时初速度v0的大小为s
[D] 小球离开B点时速度的大小为
6.(4分)某同学家建造坯房时窗户开口竖直高度H=2.25 m,已知墙壁的厚度d=0.35 m。该同学在离墙壁距离L=1.4 m、距窗子上沿高h=0.2 m处的P点,将可视为质点的小物体以速度v垂直于墙壁水平抛出,小物体直接穿过窗口并落在水平地面上,g取10 m/s2,则v的取值范围约为(　　)
[A] v≥2 m/s [B] v≥2.5 m/s
[C] 2 m/s≤v≤7 m/s [D] 2.5 m/s≤v≤7 m/s
8.(6分)(2024·山东青岛期中)(多选)如图为倾角为θ=45°的斜坡,斜坡底端Q点正上方有M和N两点,甲战斗机以水平速度v1飞到M点时释放炸弹A,准确命中斜坡上的一点P,MP的连线垂直于坡面;乙战斗机以水平速度v2飞到N点时释放炸弹B,也准确命中斜坡上的同一点P,命中时速度方向恰好垂直于斜坡。已知炸弹在空中的运动可视作平抛运动。下列说法正确的是(　　)
[A] 炸弹A、B在空中的飞行时间之比为 ∶1
[B] 重力对炸弹A、B做功之比为2∶1
[C] 任意相同时间内,炸弹A、B在空中的速度变化量之比为1∶1
[D] v1∶v2=∶1
9.(4分)(2024·河北邯郸模拟)现将羽毛球场规格简化为如图所示的长方形ABCD,若运动员从A点正上方高2.45 m的P点使羽毛球水平飞出,羽毛球落到对方界内,g取10 m/s2,不计空气阻力,则羽毛球的水平速度大小可能为(　　)
[A] 15 m/s [B] 20 m/s
[C] 30 m/s [D] 90 m/s
10.(14分)(2024·山西晋城阶段练习)如图所示,固定在水平面上倾角分别为30°、60°的两斜面下端紧靠在一起,若将小球a以初速度v0从左侧斜面顶端A点水平向右抛出,小球a落在右侧斜面上时的速度方向恰好与斜面垂直,若将小球b以某一初速度从A点水平向右抛出,小球b落在左侧斜面时与小球a的落点在同一水平面上,忽略空气阻力,重力加速度大小为g,求:
(1)小球b被抛出时的初速度大小vb;
(2)左侧斜面的高度h。
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高中总复习·物理
第3讲　
小专题:抛体中的多物体和临界极值问题
[例1] 【多物体平抛的对比分析】(2025·广东广州模拟)如图所示,将a、b两小球以不同的初速度同时水平抛出,它们均落在水平地面上的P点,a球抛出时的高度比b球的高。P点到两球起抛点的水平距离相等,不计空气阻力,与b球相比,a球(　　)
[A] 初速度较大
[B] 速度变化率较大
[C] 落地时速度方向与其初速度方向的夹角较小
[D] 落地时速度方向与其初速度方向的夹角较大
D
D
C
[例4] 【平抛与斜抛相遇】 (2024·湖南长沙二模)(多选)如图所示,小球从O点的正上方离地h=40 m高处的P点以v1=10 m/s的速度水平抛出,同时在O点右方地面上S点以速度v2斜向左上方与地面成θ=45°抛出一小球,两小球恰在O、S连线靠近O的三等分点M的正上方相遇。g取10 m/s2,若不计空气阻力,则两小球抛出后到相遇过程(　 　)
[A] 两小球相遇时斜抛小球处于下落阶段
[B] 两小球初速度大小关系为v1∶v2=1∶2
[C] O、S的间距为60 m
[D] 两小球相遇点一定在距离地面30 m高度处
BC
1.临界点的确定
(1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼,明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语,表明题述的过程中存在着“起止点”,而这些“起止点”往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明题述的过程中存在着极值,这些极值点也往往是临界点。
2.求解平抛运动临界问题的一般思路
(1)找出临界状态对应的临界条件。
(2)分解速度或位移。
(3)若有必要,画出临界轨迹。
[例5] 【平抛运动的临界问题】 如图所示为四分之一圆柱体OAB的竖直截面,半径为R,在B点正上方的C点水平抛出一个小球,小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切,OD与OB的夹角为60°,则C点到B点的距离为(　　)
D
AD
[例6] 【平抛运动中的极值问题】 (多选)“山西刀削面”堪称天下一绝,如图所示,小面圈(可视为质点)从距离开水锅高为h处被水平削离,与锅沿的水平距离为L,锅的半径也为L。忽略空气阻力,且小面圈都落入锅中,重力加速度为g,则下列关于所有小面圈在空中运动的描述正确的是(　 　)
规律总结
(1)平抛运动的临界问题有两种常见情形。
①物体达到最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度时。
②物体的速度方向恰好沿某一方向时。
(2)解题技巧:在题中找出有关临界问题的关键词,如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等,然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题。
1.(4分)如图,x轴沿水平方向,y轴沿竖直方向。图中画出了从y轴上沿x轴正方向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹,其中b和c是从同一点抛出的。不计空气阻力,则(　　)
[A] a的飞行时间比b长
[B] b的飞行时间比c长
[C] a的初速度比b的小
[D] b的初速度比c的大
对点1.多物体的抛体运动
基础对点练
D
2.(4分)(2023·湖南卷,2)如图甲,我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图乙所示,其轨迹在同一竖直平面内,抛出点均为O,且轨迹交于P点,抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2,其中v1方向水平,v2方向斜向上。忽略空气阻力,关于两谷粒在空中的运动,下列说法正确的是(　　)
[A] 谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
[B] 谷粒2在最高点的速度小于v1
[C] 两谷粒从O到P的运动时间相等
[D] 两谷粒从O到P的平均速度相等
B
【解析】 忽略空气阻力,抛出的两谷粒在空中均仅受重力作用,加速度均为重力加速度,故谷粒1的加速度等于谷粒2的加速度,A错误;谷粒2做斜向上抛运动,谷粒1做平抛运动,均从O点运动到P点,故位移相同,在竖直方向上谷粒2做竖直上抛运动,谷粒1做自由落体运动,竖直方向上位移相同,故谷粒2运动时间较长,C错误;谷粒2做斜抛运动,水平方向上为匀速直线运动,故运动到最高点的速度即为水平方向上的分速度,与谷粒1比较,水平位移相同,但运动时间较长,故谷粒2水平方向上的速度较小,即最高点的速度小于v1,B正确;两谷粒从O点运动到P点的位移相同,运动时间不同,故平均速度不相等,谷粒1的平均速度大于谷粒2的平均速度,D错误。
3.(4分)(2024·江苏南京二模)如图所示,在同一竖直面内,物块1从a点以速度v1水平抛出,同时物块2从b点以速度v2抛出,两物块在落地前相遇,两物块均视为质点,除重力外不受其他作用力。下列说法正确的是(　　)
[A] 相遇点在二者初速度延长线交点的正下方
[B] 只改变v1的大小,两物块仍可相遇
[C] 只改变v2的大小,两物块仍可相遇
[D] 只把v2的方向向左转动,两物块仍可相遇
A
4.(4分)(2024·浙江温州三模)如图所示,将两个小沙包a、b以不同的初速度分别从A、B两处先后相差0.5 s水平相向抛出,同时落在水平面同一处,且速度方向与竖直方向夹角相等。两小沙包a、b视为质点,并在同一竖直面内运动,不计空气阻力,下列说法正确的是(　　)
[A] A处比B处高1.25 m
[B] 若将两沙包同时水平抛出,落地前可能会相遇
[C] 若已知B处高度和沙包b的下落时间,可求出A、B的水平距离
[D] 若已知A处高度和沙包a的初速度,可求出A、B的水平距离
D
对点2.平抛运动中的临界、极值问题
BD
6.(4分)某同学家建造坯房时窗户开口竖直高度H=2.25 m,已知墙壁的厚度d=0.35 m。该同学在离墙壁距离L=1.4 m、距窗子上沿高h=0.2 m处的P点,将可视为质点的小物体以速度v垂直于墙壁水平抛出,小物体直接穿过窗口并落在水平地面上,g取10 m/s2,则v的取值范围约为(　　)
[A] v≥2 m/s [B] v≥2.5 m/s
[C] 2 m/s≤v≤7 m/s [D] 2.5 m/s≤v≤7 m/s
D
综合提升练
7.(10分) (2023·全国新课标卷,24)将扁平的石子向水面快速抛出,石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方,俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生
“水漂”效果,石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”,一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出,抛出速度的最小值为多少 (不计石子在空中飞行时的空气阻力,重力加速度大小为g)
8.(6分)(2024·山东青岛期中)(多选)如图为倾角为θ=45°的斜坡,斜坡底端Q点正上方有M和N两点,甲战斗机以水平速度v1飞到M点时释放炸弹A,准确命中斜坡上的一点P,MP的连线垂直于坡面;乙战斗机以水平速度v2飞到N点时释放炸弹B,也准确命中斜坡上的同一点P,命中时速度方向恰好垂直于斜坡。已知炸弹在空中的运动可视作平抛运动。下列说法正确的是(　 　)
综合提升练
ABC
9.(4分)(2024·河北邯郸模拟)现将羽毛球场规格简化为如图所示的长方形ABCD,若运动员从A点正上方高2.45 m的P点使羽毛球水平飞出,羽毛球落到对方界内,g取10 m/s2,不计空气阻力,则羽毛球的水平速度大小可能为
(　　)
[A] 15 m/s [B] 20 m/s
[C] 30 m/s [D] 90 m/s
B
10.(14分)(2024·山西晋城阶段练习)如图所示,固定在水平面上倾角分别为30°、60°的两斜面下端紧靠在一起,若将小球a以初速度v0从左侧斜面顶端A点水平向右抛出,小球a落在右侧斜面上时的速度方向恰好与斜面垂直,若将小球b以某一初速度从A点水平向右抛出,小球b落在左侧斜面时与小球a的落点在同一水平面上,忽略空气阻力,重力加速度大小为g,求:
(1)小球b被抛出时的初速度大小vb;
(2)左侧斜面的高度h。

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