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第5讲　小专题:圆周运动的临界问题
考点一　水平面内圆周运动的临界问题
1.模型概述
模型 特点 (1)物体在水平面内做匀速圆周运动。 (2)当转速变化时,会出现绳子张紧、绳子突然断裂、静摩擦力随转速逐渐增大而达到最大值、弹簧弹力的大小及方向发生变化等,从而出现临界问题
方法 突破 (1)牢记“绳子刚好伸直”的意思是“伸直但无张力”,及“静摩擦力大小有个范围,方向可以改变”等特点,最后选择物理规律。 (2)当确定了物体运动的临界状态和临界条件后,要分别针对不同的运动过程或现象,选择相对应的物理规律,然后再列方程求解
2.常见的两种临界极值问题
(1)与摩擦力有关的临界极值问题。
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。
①如果只有摩擦力提供向心力,则最大静摩擦力Fm=,静摩擦力的方向一定指向圆心。
②如果除摩擦力以外还有其他力,如绳两端连接物体随水平面转动,其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件,分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。
(2)与弹力有关的临界极值问题。
①两个接触物体分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。
②绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。
[例1] 【水平转盘模型的临界问题】 (多选)如图所示,两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上,a与转轴OO′的距离为l,b与转轴的距离为2l。木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍,重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动,用ω表示圆盘转动的角速度,且最大静摩擦力等于滑动摩擦力,下列说法正确的是(　　)
[A] b一定比a先开始滑动
[B] a、b所受的摩擦力始终相等
[C] ω= 是b开始滑动的临界角速度
[D] 当ω= 时,a所受摩擦力的大小为kmg
【答案】 AC
【解析】 小木块a、b做圆周运动时,由静摩擦力提供向心力,即F=mω2R。当角速度增大时,静摩擦力增大,当木块所需向心力大于最大静摩擦力时,发生相对滑动,对木块a有Fa=ml,当Fa=kmg时,ωa=;对木块b有Fb=m·2l,当Fb=kmg时,ωb=,则ω= 是b开始滑动的临界角速度,所以b先达到最大静摩擦力,即b比a先开始滑动,选项A、C正确。两木块滑动前转动的角速度相同,则Fa=mω2l,Fb=mω2·2l,Fa[例2] 【圆锥摆模型的临界问题】(多选)如图所示,三角形为一光滑锥体的正视图,锥面与竖直方向的夹角为θ=37°。一根长为l=1 m的细线一端系在锥体顶端,另一端系着一可视为质点的小球,小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动,重力加速度g取10 m/s2,取sin 37°=
0.6,cos 37°=0.8,不计空气阻力,则(　　)
[A] 小球受重力、支持力、拉力和向心力
[B] 小球可能只受拉力和重力
[C] 当ω= rad/s时,小球对锥体的压力刚好为零
[D] 当ω=2 rad/s时,小球受重力、支持力和拉力的作用
【答案】 BC
【解析】 向心力是效果力,受力分析时不分析向心力,故A错误;转速较小时,小球紧贴圆锥面,则FTcos θ+FNsin θ=mg,FTsin θ-FNcos θ=mω2lsin θ,随着转速的增加,FT增大,FN减小,当小球所受支持力刚好为零时有mgtan θ=mω2lsin θ,解得ω= rad/s,根据牛顿第三定律可知,小球对锥体的压力刚好为零,故B、C正确;当ω=2 rad/s时,小球已经离开圆锥面,小球只受重力、拉力的作用,故D错误。
考点二　竖直面内圆周运动的临界问题
1.轻绳模型和轻杆模型概述
在竖直平面内做圆周运动的物体,运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类:一是无支撑(如球与绳连接、小球沿内轨道运动等),称为轻绳模型;二是有支撑(如球与杆连接、小球在弯管内运动等),称为轻杆模型。
2.两类模型对比
项目 轻绳模型(最高点无支撑) 轻杆模型(最高点有支撑)
图示
受力 示意图 F弹向下或等于零 F弹向下、等于零或向上
力学方程 mg+F弹=m mg±F弹=m
续　表
项目 轻绳模型(最高点无支撑) 轻杆模型(最高点有支撑)
临界特征 F弹=0 mg=m,即vmin= (1)恰好通过最高点,vmin=0,F弹=mg。 (2)恰好无弹力,F弹=0,v=
讨论 分析 (1)在最高点,若v>,F弹+mg=m,绳或轨道对小球产生弹力F弹。 (2)若v<,则不能到达最高点,即到达最高点前小球已经脱离了圆周轨道 (1)当v=0时,F弹=mg,F弹背离圆心。 (2)当0 时,mg+F弹=m,F弹指向圆心并随v的增大而增大
3.解题技巧
(1)物体通过圆周运动最低点、最高点时,利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程。
(2)物体从某一位置到另一位置的过程中,用动能定理找出两处速度关系。
(3)求对轨道的压力时,转换研究对象,先求物体所受支持力,再根据牛顿第三定律求出压力。
[例3] 【轻绳模型】 如图所示,长度为L=0.4 m的轻绳,系一小球在竖直平面内做圆周运动,小球的质量为m=0.5 kg,且可视为质点,g取10 m/s2。
(1)求小球刚好通过最高点时的速度大小v1;
(2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时,求绳的拉力大小FT;
(3)若轻绳能承受的最大张力为FT′=45 N,求小球速度的最大值。
【答案】 (1)2 m/s　(2)15 N　(3)4 m/s
【解析】 (1)小球刚好通过最高点时,小球的向心力仅由重力提供,有mg=m,
代入数据解得v1=2 m/s。
(2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s,绳的拉力和小球的重力的合力提供向心力,有
FT+mg=m,
解得FT=15 N。
(3)分析可知小球通过最低点时绳的张力最大,在最低点由牛顿第二定律得FT′-mg=m,
解得v3=4 m/s。
[例4] 【轻杆模型】 一半径为r的小球在竖直放置的圆形管道内做圆周运动,管道内侧壁的半径为R,如图所示。下列说法正确的是(　　)
[A] 小球通过最高点时的最小速度为vmin=
[B] 小球通过最高点时的最小速度为vmin=0
[C] 小球在水平线ab以下的管道中运动时,外侧管壁对小球一定无作用力
[D] 小球在水平线ab以上的管道中运动时,内侧管壁对小球一定有作用力
【答案】 B
【解析】 小球在竖直放置的圆形管道内做圆周运动属于轻杆模型,小球通过最高点时的最小速度为零,故A错误,B正确;小球在水平线ab以下管道中运动时,由于沿半径方向的合力提供做圆周运动的向心力,所以外侧管壁对小球一定有作用力,而内侧管壁对小球一定无作用力,故C错误;小球在水平线ab以上管道中运动时,当速度非常大时,内侧管壁对小球没有作用力,外侧管壁对小球有作用力,当速度比较小时,内侧管壁有作用力,故D错误。
[例5] 【凹形桥、凸形桥模型】 (多选)汽车行驶中经常会经过一些凹凸不平的路面,凹凸部分路面可以看作圆弧的一部分,如图所示的A、B、C处,其中B处的曲率半径最大,A处的曲率半径为ρ1,C处的曲率半径为ρ2,重力加速度为g。若有一辆可视为质点、质量为m的汽车与路面之间各处的动摩擦因数均为μ,当该车以恒定的速率v沿这段凹凸路面行驶时,下列说法正确的是(　　)
[A] 汽车经过A处时处于失重状态,经过C处时处于超重状态
[B] 汽车经过B处时最容易爆胎
[C] 为了保证行车时不脱离路面,该车的行驶速度不得超过
[D] 汽车经过C处时所受的摩擦力大小为μmg
【答案】 AC
【解析】 汽车经过A处时具有向下指向圆心的向心加速度,处于失重状态,经过C处时具有向上指向圆心的向心加速度,处于超重状态,A正确;在B、C处受向下的重力mg、向上的弹力FN,由牛顿第二定律有FN-mg=,结合牛顿第三定律,可得车对路面的压力FN′=FN=mg+>mg,故在B、C处均处于超重状态,以同样的速度行驶时,R越小,车对路面的压力越大,越容易爆胎,故在曲率半径较小的C处更容易爆胎,B错误;在C处所受的滑动摩擦力Ff=μFN=mg+),D错误;要使车安全行驶,不脱离地面,即经过A处时恰不离开地面,有mg=,解得v=,安全行驶的速度不得超过,C正确。
分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路
考点三　斜面上圆周运动的临界问题
1.特点:在斜面上做圆周运动的物体,因所受的控制因素不同(摩擦力控制、绳控制、杆控制等),物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。
2.方法:物体在斜面上做圆周运动时,设斜面的倾角为θ,重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力大小相等,解决此类问题时,可以按以下操作,把问题简化。
物体在转动过程中,转动越快,越容易滑动的位置是最低点,恰好滑动时有μmgcos θ-mgsin θ=mω2R。
[例6] 【斜面上圆周运动的极值问题】 (多选)如图所示,一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动,盘面上离转轴2.5 m处有一小物体(可视为质点)与圆盘始终保持相对静止,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,盘面与水平面的夹角为30°,g取10 m/s2,则下列说法正确的是(　　)
[A] 小物体随圆盘以不同的角速度ω做匀速圆周运动时,ω越大,小物体在最高点处受到的摩擦力一定越大
[B] 小物体受到的摩擦力可能背离圆心
[C] 若小物体与盘面间的动摩擦因数为,则ω的最大值是1.0 rad/s
[D] 若小物体与盘面间的动摩擦因数为,则ω的最大值是 rad/s
【答案】 BC
【解析】 当小物体在最高点时,可能受到重力、支持力与摩擦力三个力的作用,摩擦力的方向可能沿盘面向上(即背离圆心),也可能沿盘面向下(即指向圆心),摩擦力的方向沿盘面向上时,ω越大,小物体在最高点处受到的摩擦力越小,故A错误,B正确;当小物体转到圆盘的最低点恰好不滑动时,圆盘的角速度最大,此时小物体受竖直向下的重力、垂直于盘面向上的支持力、沿盘面指向圆心的摩擦力,由沿盘面的合力提供向心力,对小物体受力分析,支持力FN=mgcos 30°,摩擦力Ff=μFN=μmgcos 30°,又μmgcos 30°-mgsin 30°=mω2R,解得ω=1.0 rad/s,故C正确,D错误。
(满分:50分)
对点1.水平面内圆周运动的临界问题
1.(6分)(2024·黑龙江哈尔滨三模)(多选)如图所示,质量为m的小物块开始静止在一半径为R的球壳内,它和球心O的连线与竖直方向的夹角为θ=37°,现让球壳随转台绕转轴OO′一起转动,小物块在球壳内始终未滑动,重力加速度为g,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,则下列说法正确的是(　　)
[A] 小物块静止时受到的摩擦力大小为mg
[B] 若转台的角速度为,小物块不受摩擦力
[C] 若转台的角速度为,小物块受到沿球壳向上的摩擦力
[D] 若转台的角速度为,小物块受到沿球壳向下的摩擦力
【答案】 CD
【解析】 静止时,对小物块受力分析,根据平衡条件有F=mgsin θ=mg,故A错误;球壳随转台绕转轴OO′一起转动,小物块做匀速圆周运动,设小物块所受摩擦力恰好为零时的角速度为ω0,对小物块进行受力分析,则有mgtan θ=mRsin θ,解得ω0=,故B错误;当转台的角速度ω<ω0时,小物块有沿球壳向下运动的趋势,受到沿球壳向上的摩擦力,故C正确;当转台的角速度ω>ω0时,小物块有沿球壳向上运动的趋势,受到沿球壳向下的摩擦力,故D正确。
2.(4分)(2024·广东卷,5)如图所示,在细绳的拉动下,半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动,卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管,管底在O点。细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧,弹簧底端固定在管底,顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时,插销做匀速圆周运动,若v过大,插销会卡进固定的端盖,使卷轴转动停止。忽略摩擦力,弹簧在弹性限度内,要使卷轴转动不停止,v的最大值为(　　)
[A] r [B] l
[C] r [D] l
【答案】 A
【解析】 由题意可知, 当插销刚卡进固定端盖时弹簧的伸长量为Δx=,根据胡克定律有F=kΔx=,插销与卷轴同轴转动,对插销由弹力提供向心力,有F=mlω2,又v=rω,联立解得v=r,故A正确。
3.(10分)如图所示,AB为竖直放置的光滑圆筒,一根长细绳穿过圆筒后一端连着质量m1=5 kg的小球P,另一端和细绳BC(悬点为B)在结点C处共同连着质量为m2的小球Q,长细绳能承受的最大拉力为60 N,细绳BC能承受的最大拉力为27.6 N。转动圆筒使BC绳被水平拉直,小球Q在水平面内做匀速圆周运动,小球P处于静止状态,此时圆筒顶端A点到C点的距离l1=1.5 m,细绳BC的长度l2=0.9 m,重力加速度g取10 m/s2,两绳均不可伸长,小球P、Q均可视为质点。求:
(1)当角速度多大时,BC绳刚好被拉直而不张紧(结果可用根号表示);
(2)当角速度多大时,BC绳刚好被拉断。
【答案】 (1) rad/s　(2)4 rad/s
【解析】 (1)BC绳刚好被拉直但不张紧时,BC绳中无拉力,由几何关系可知AC绳与竖直方向的夹角的正弦值sin θ=,
对小球Q受力分析,由牛顿第二定律可知
m2gtan θ=m2l2,
解得ω1= rad/s。
(2)BC绳恰好被拉断时,绳上拉力最大为
FTBC=27.6 N,
对小球Q,竖直方向有m1gcos θ=m2g,
解得m2=4 kg,
当BC绳恰好被拉断时有m1gsin θ+FTBC=m2l2,
解得ω2=4 rad/s。
对点2.竖直面内圆周运动的临界问题
4.(4分)(2024·安徽六安模拟)如图甲所示,竖直面内的圆形管道半径R远大于其横截面的半径,有一小球直径比管横截面直径略小,在管道内做圆周运动。小球过最高点时,小球对管壁的弹力大小用F表示,速度大小用v表示,当小球以不同速度经过管道最高点时,其Fv2图像如图乙所示。则(　　)
甲　　　　　　　　　乙　　
[A] 小球的质量为
[B] 当地的重力加速度大小为
[C] v2=b时,小球对管壁的弹力方向竖直向下
[D] v2=3b时,小球受到的弹力大小是重力大小的5倍
【答案】 D
【解析】 在最高点,若v=0,则小球的向心力为零,即所受合力为零,F=mg=c;若F=0,只由重力提供向心力,则mg=m=m,联立解得g=,m=,故A、B错误。F=0时,有v2=a,则当v2=b时,小球所受的弹力方向竖直向下,所以小球对管壁的弹力方向竖直向上,根据mg+F=m,F=c=mg,解得b=2gR。当v2=3b时,根据 mg+F=m,解得F=5mg,故C错误,D正确。
对点3.斜面上圆周运动的临界问题
5.(4分)如图所示,一倾角为θ=30°的斜劈静置于粗糙水平面上,斜劈上表面光滑,一轻绳的一端固定在斜面上的O点,另一端系一小球。在图示位置垂直于绳给小球一初速度,使小球恰好能在斜面上做圆周运动。已知O点到小球球心的距离为l,重力加速度为g,整个过程中斜劈静止,下列说法正确的是(　　)
[A] 小球在顶端时,速度大小为
[B] 小球在底端时,速度大小为
[C] 小球运动过程中,地面对斜劈的摩擦力大小不变
[D] 小球运动过程中,地面对斜劈的支持力等于小球和斜劈的重力之和
【答案】 B
【解析】 小球在顶端时,绳的拉力FT与重力沿斜面向下的分力共同提供小球做圆周运动所需的向心力,有FT+mgsin θ=m,可知绳的拉力越小,小球的速度越小,当绳的拉力为零时,小球恰好在斜面上做圆周运动,解得在顶端时的速度为vmin=,A错误;小球由顶端向底端运动时,只有重力对小球做功,根据动能定理有mg·2lsin θ=mv′2-m,代入数据可得v′=,B正确;小球在斜面上受重力、支持力和绳的拉力作用做变速圆周运动,其所受重力与斜面的支持力大小和方向均保持不变,绳的拉力大小和方向均不断变化,根据牛顿第三定律,以斜劈为研究对象,斜劈在小球恒定的压力、绳中不断变化的拉力、地面的支持力、摩擦力和自身的重力作用下保持平衡,绳的拉力不断变化,故其在水平和竖直方向上的分量也在不断变化,根据斜劈的平衡条件可知,它受到的水平方向上的摩擦力大小是变化的,地面对斜劈支持力的大小不一定等于小球和斜劈重力之和,C、D错误。
6.(6分)(2024·四川绵阳模拟)(多选)如图甲所示,质量为0.2 kg的小球套在竖直固定的光滑圆环上,并在圆环最高点保持静止。受到轻微扰动后,小球由静止开始沿着圆环运动,一段时间后,小球与圆心的连线转过θ角度时,小球的速度大小为v,v2与cos θ的关系如图乙所示,g取10 m/s2。则(　　)
[A] 圆环半径为0.6 m
[B] θ=时,小球所受合力为4 N
[C] 0≤θ≤π过程中,圆环对小球的作用力一直增大
[D] 0≤θ≤π过程中,圆环对小球的作用力先减小后增大
【答案】 AD
【解析】 小球下滑过程由机械能守恒定律有mg(R-Rcos θ)=mv2,由题图乙可知,当cos θ=0,即θ=时,小球的速度平方为12 m2/s2,代入公式得R=0.6 m,故A正确;此时是圆环对小球的弹力提供向心力,有FN==4 N,小球还受竖直向下的重力,所以小球所受合力为F==2 N,故B错误;当0<θ<时,有mgcos θ-FN=m,可知随θ的增大,v也增大,所以FN减小,当<θ<π时,有FN-mgcos(π-θ)=m,可知随θ的增大,v也增大,所以FN增大,所以0≤θ≤π过程中,圆环对小球的作用力先减小后增大,故C错误,D正确。
7.(4分)(2024·四川成都模拟)如图,一水平圆盘绕竖直中心轴以角速度ω做匀速圆周运动,紧贴在一起的M、N两物体(可视为质点)随圆盘做圆周运动,N恰好不下滑,M恰好不滑动,两物体与转轴距离为r,已知M与N间的动摩擦因数为μ1,M与圆盘面间的动摩擦因数为μ2,最大静摩擦力等于滑动摩擦力。μ1与μ2应满足的关系式为(　　)
[A] μ1+μ2=1 [B] =1
[C] μ1μ2=1 [D] =1
【答案】 C
【解析】 以M、N整体为研究对象,受力分析如图甲所示,竖直方向受力平衡,则有FN=(mM+mN)g,水平方向由静摩擦力提供向心力可得μ2(mM+mN)g=(mM+mN)ω2r,以N为研究对象,受力分析如图乙所示,由M对N的弹力提供向心力,则有FN′=mNω2r,由平衡条件可得μ1FN′=mNg,联立解得μ1μ2=1,故C正确。
　　
甲 乙
8.(12分)(2024·山西太原阶段练习)某同学利用如图所示的装置进行游戏,左边甲装置通过击打可以把质量为m=1 kg的小球从A点水平击出,乙装置是一段竖直面内的光滑圆弧轨道BC,底边与水平轨道CD相切,丙装置是一个半径为r=0.5 m的半圆形竖直光滑轨道DE,底部也与水平轨道CD相切。已知A、B间的水平距离x=1 m,B、C的高度差h1=0.55 m,小球与水平轨道CD间的动摩擦因数为μ=0.3。现把小球以v0=2 m/s的初速度击打出去后,恰能从B点沿切线方向进入BC轨道,g取10 m/s2。
(1)求A、B间的高度差h2;
(2)若C、D间的距离为l=1.0 m,求小球经过圆弧轨道最高点E时轨道对小球的弹力;
(3)若C、D间的距离可以调节(C点不动),要使小球能进入DE轨道,并在DE轨道上运动时不脱离轨道,求C、D间距离应该满足的条件。
【答案】 (1)1.25 m　(2)18 N,方向竖直向下
(3)0≤x≤2.5 m或5 m≤x< m
【解析】 (1)从A到B运动的时间t==0.5 s,
竖直方向下降的高度h2=gt2=1.25 m。
(2)从A到E根据动能定理可知
mg(h1+h2)-2mgr-μmgl=m-m,
解得vE= m/s,
在最高点根据牛顿第二定律可知
mg+FN=,
解得FN=18 N,方向竖直向下。
(3)若小球能通过最高点,设通过最高点的最小速度为vmin,则mg=,
解得vmin= m/s,
从A到C根据动能定理可得
mg(h1+h2)=m-m,
解得vC=2 m/s,
从C到E根据动能定理可得
-μmgx1-2mgr=m-m,
解得x1=2.5 m,
当小球刚好能到达轨道圆心等高位置时,有
-μmgx2-mgr=0-m,
解得x2=5 m,
若恰能进入轨道,则-μmgx3=0-m,
解得x3= m,
故范围为0≤x≤2.5 m或者5 m≤x< m。
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)第5讲　小专题:圆周运动的临界问题
考点一　水平面内圆周运动的临界问题
1.模型概述
模型 特点 (1)物体在水平面内做匀速圆周运动。 (2)当转速变化时,会出现绳子张紧、绳子突然断裂、静摩擦力随转速逐渐增大而达到最大值、弹簧弹力的大小及方向发生变化等,从而出现临界问题
方法 突破 (1)牢记“绳子刚好伸直”的意思是“伸直但无张力”,及“静摩擦力大小有个范围,方向可以改变”等特点,最后选择物理规律。 (2)当确定了物体运动的临界状态和临界条件后,要分别针对不同的运动过程或现象,选择相对应的物理规律,然后再列方程求解
2.常见的两种临界极值问题
(1)与摩擦力有关的临界极值问题。
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。
①如果只有摩擦力提供向心力,则最大静摩擦力Fm=,静摩擦力的方向一定指向圆心。
②如果除摩擦力以外还有其他力,如绳两端连接物体随水平面转动,其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件,分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。
(2)与弹力有关的临界极值问题。
①两个接触物体分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。
②绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。
[例1] 【水平转盘模型的临界问题】 (多选)如图所示,两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上,a与转轴OO′的距离为l,b与转轴的距离为2l。木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍,重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动,用ω表示圆盘转动的角速度,且最大静摩擦力等于滑动摩擦力,下列说法正确的是(　　)
[A] b一定比a先开始滑动
[B] a、b所受的摩擦力始终相等
[C] ω= 是b开始滑动的临界角速度
[D] 当ω= 时,a所受摩擦力的大小为kmg
[例2] 【圆锥摆模型的临界问题】(多选)如图所示,三角形为一光滑锥体的正视图,锥面与竖直方向的夹角为θ=37°。一根长为l=1 m的细线一端系在锥体顶端,另一端系着一可视为质点的小球,小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动,重力加速度g取10 m/s2,取sin 37°=
0.6,cos 37°=0.8,不计空气阻力,则(　　)
[A] 小球受重力、支持力、拉力和向心力
[B] 小球可能只受拉力和重力
[C] 当ω= rad/s时,小球对锥体的压力刚好为零
[D] 当ω=2 rad/s时,小球受重力、支持力和拉力的作用
考点二　竖直面内圆周运动的临界问题
1.轻绳模型和轻杆模型概述
在竖直平面内做圆周运动的物体,运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类:一是无支撑(如球与绳连接、小球沿内轨道运动等),称为轻绳模型;二是有支撑(如球与杆连接、小球在弯管内运动等),称为轻杆模型。
2.两类模型对比
项目 轻绳模型(最高点无支撑) 轻杆模型(最高点有支撑)
图示
受力 示意图 F弹向下或等于零 F弹向下、等于零或向上
力学方程 mg+F弹=m mg±F弹=m
续　表
项目 轻绳模型(最高点无支撑) 轻杆模型(最高点有支撑)
临界特征 F弹=0 mg=m,即vmin= (1)恰好通过最高点,vmin=0,F弹=mg。 (2)恰好无弹力,F弹=0,v=
讨论 分析 (1)在最高点,若v>,F弹+mg=m,绳或轨道对小球产生弹力F弹。 (2)若v<,则不能到达最高点,即到达最高点前小球已经脱离了圆周轨道 (1)当v=0时,F弹=mg,F弹背离圆心。 (2)当0 时,mg+F弹=m,F弹指向圆心并随v的增大而增大
3.解题技巧
(1)物体通过圆周运动最低点、最高点时,利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程。
(2)物体从某一位置到另一位置的过程中,用动能定理找出两处速度关系。
(3)求对轨道的压力时,转换研究对象,先求物体所受支持力,再根据牛顿第三定律求出压力。
[例3] 【轻绳模型】 如图所示,长度为L=0.4 m的轻绳,系一小球在竖直平面内做圆周运动,小球的质量为m=0.5 kg,且可视为质点,g取10 m/s2。
(1)求小球刚好通过最高点时的速度大小v1;
(2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时,求绳的拉力大小FT;
(3)若轻绳能承受的最大张力为FT′=45 N,求小球速度的最大值。
[例4] 【轻杆模型】 一半径为r的小球在竖直放置的圆形管道内做圆周运动,管道内侧壁的半径为R,如图所示。下列说法正确的是(　　)
[A] 小球通过最高点时的最小速度为vmin=
[B] 小球通过最高点时的最小速度为vmin=0
[C] 小球在水平线ab以下的管道中运动时,外侧管壁对小球一定无作用力
[D] 小球在水平线ab以上的管道中运动时,内侧管壁对小球一定有作用力
[例5] 【凹形桥、凸形桥模型】 (多选)汽车行驶中经常会经过一些凹凸不平的路面,凹凸部分路面可以看作圆弧的一部分,如图所示的A、B、C处,其中B处的曲率半径最大,A处的曲率半径为ρ1,C处的曲率半径为ρ2,重力加速度为g。若有一辆可视为质点、质量为m的汽车与路面之间各处的动摩擦因数均为μ,当该车以恒定的速率v沿这段凹凸路面行驶时,下列说法正确的是(　　)
[A] 汽车经过A处时处于失重状态,经过C处时处于超重状态
[B] 汽车经过B处时最容易爆胎
[C] 为了保证行车时不脱离路面,该车的行驶速度不得超过
[D] 汽车经过C处时所受的摩擦力大小为μmg
分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路
考点三　斜面上圆周运动的临界问题
1.特点:在斜面上做圆周运动的物体,因所受的控制因素不同(摩擦力控制、绳控制、杆控制等),物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。
2.方法:物体在斜面上做圆周运动时,设斜面的倾角为θ,重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力大小相等,解决此类问题时,可以按以下操作,把问题简化。
物体在转动过程中,转动越快,越容易滑动的位置是最低点,恰好滑动时有μmgcos θ-mgsin θ=mω2R。
[例6] 【斜面上圆周运动的极值问题】 (多选)如图所示,一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动,盘面上离转轴2.5 m处有一小物体(可视为质点)与圆盘始终保持相对静止,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,盘面与水平面的夹角为30°,g取10 m/s2,则下列说法正确的是(　　)
[A] 小物体随圆盘以不同的角速度ω做匀速圆周运动时,ω越大,小物体在最高点处受到的摩擦力一定越大
[B] 小物体受到的摩擦力可能背离圆心
[C] 若小物体与盘面间的动摩擦因数为,则ω的最大值是1.0 rad/s
[D] 若小物体与盘面间的动摩擦因数为,则ω的最大值是 rad/s
(满分:50分)
对点1.水平面内圆周运动的临界问题
1.(6分)(2024·黑龙江哈尔滨三模)(多选)如图所示,质量为m的小物块开始静止在一半径为R的球壳内,它和球心O的连线与竖直方向的夹角为θ=37°,现让球壳随转台绕转轴OO′一起转动,小物块在球壳内始终未滑动,重力加速度为g,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,则下列说法正确的是(　　)
[A] 小物块静止时受到的摩擦力大小为mg
[B] 若转台的角速度为,小物块不受摩擦力
[C] 若转台的角速度为,小物块受到沿球壳向上的摩擦力
[D] 若转台的角速度为,小物块受到沿球壳向下的摩擦力
2.(4分)(2024·广东卷,5)如图所示,在细绳的拉动下,半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动,卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管,管底在O点。细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧,弹簧底端固定在管底,顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时,插销做匀速圆周运动,若v过大,插销会卡进固定的端盖,使卷轴转动停止。忽略摩擦力,弹簧在弹性限度内,要使卷轴转动不停止,v的最大值为(　　)
[A] r [B] l
[C] r [D] l
3.(10分)如图所示,AB为竖直放置的光滑圆筒,一根长细绳穿过圆筒后一端连着质量m1=5 kg的小球P,另一端和细绳BC(悬点为B)在结点C处共同连着质量为m2的小球Q,长细绳能承受的最大拉力为60 N,细绳BC能承受的最大拉力为27.6 N。转动圆筒使BC绳被水平拉直,小球Q在水平面内做匀速圆周运动,小球P处于静止状态,此时圆筒顶端A点到C点的距离l1=1.5 m,细绳BC的长度l2=0.9 m,重力加速度g取10 m/s2,两绳均不可伸长,小球P、Q均可视为质点。求:
(1)当角速度多大时,BC绳刚好被拉直而不张紧(结果可用根号表示);
(2)当角速度多大时,BC绳刚好被拉断。
对点2.竖直面内圆周运动的临界问题
4.(4分)(2024·安徽六安模拟)如图甲所示,竖直面内的圆形管道半径R远大于其横截面的半径,有一小球直径比管横截面直径略小,在管道内做圆周运动。小球过最高点时,小球对管壁的弹力大小用F表示,速度大小用v表示,当小球以不同速度经过管道最高点时,其Fv2图像如图乙所示。则(　　)
甲　　　　　　　　　乙　　
[A] 小球的质量为
[B] 当地的重力加速度大小为
[C] v2=b时,小球对管壁的弹力方向竖直向下
[D] v2=3b时,小球受到的弹力大小是重力大小的5倍
对点3.斜面上圆周运动的临界问题
5.(4分)如图所示,一倾角为θ=30°的斜劈静置于粗糙水平面上,斜劈上表面光滑,一轻绳的一端固定在斜面上的O点,另一端系一小球。在图示位置垂直于绳给小球一初速度,使小球恰好能在斜面上做圆周运动。已知O点到小球球心的距离为l,重力加速度为g,整个过程中斜劈静止,下列说法正确的是(　　)
[A] 小球在顶端时,速度大小为
[B] 小球在底端时,速度大小为
[C] 小球运动过程中,地面对斜劈的摩擦力大小不变
[D] 小球运动过程中,地面对斜劈的支持力等于小球和斜劈的重力之和
6.(6分)(2024·四川绵阳模拟)(多选)如图甲所示,质量为0.2 kg的小球套在竖直固定的光滑圆环上,并在圆环最高点保持静止。受到轻微扰动后,小球由静止开始沿着圆环运动,一段时间后,小球与圆心的连线转过θ角度时,小球的速度大小为v,v2与cos θ的关系如图乙所示,g取10 m/s2。则(　　)
[A] 圆环半径为0.6 m
[B] θ=时,小球所受合力为4 N
[C] 0≤θ≤π过程中,圆环对小球的作用力一直增大
[D] 0≤θ≤π过程中,圆环对小球的作用力先减小后增大
7.(4分)(2024·四川成都模拟)如图,一水平圆盘绕竖直中心轴以角速度ω做匀速圆周运动,紧贴在一起的M、N两物体(可视为质点)随圆盘做圆周运动,N恰好不下滑,M恰好不滑动,两物体与转轴距离为r,已知M与N间的动摩擦因数为μ1,M与圆盘面间的动摩擦因数为μ2,最大静摩擦力等于滑动摩擦力。μ1与μ2应满足的关系式为(　　)
[A] μ1+μ2=1 [B] =1
[C] μ1μ2=1 [D] =1
8.(12分)(2024·山西太原阶段练习)某同学利用如图所示的装置进行游戏,左边甲装置通过击打可以把质量为m=1 kg的小球从A点水平击出,乙装置是一段竖直面内的光滑圆弧轨道BC,底边与水平轨道CD相切,丙装置是一个半径为r=0.5 m的半圆形竖直光滑轨道DE,底部也与水平轨道CD相切。已知A、B间的水平距离x=1 m,B、C的高度差h1=0.55 m,小球与水平轨道CD间的动摩擦因数为μ=0.3。现把小球以v0=2 m/s的初速度击打出去后,恰能从B点沿切线方向进入BC轨道,g取10 m/s2。
(1)求A、B间的高度差h2;
(2)若C、D间的距离为l=1.0 m,求小球经过圆弧轨道最高点E时轨道对小球的弹力;
(3)若C、D间的距离可以调节(C点不动),要使小球能进入DE轨道,并在DE轨道上运动时不脱离轨道,求C、D间距离应该满足的条件。
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高中总复习·物理
第5讲　
小专题:圆周运动的临界问题
1.模型概述
模型 特点 (1)物体在水平面内做匀速圆周运动。
(2)当转速变化时,会出现绳子张紧、绳子突然断裂、静摩擦力随转速逐渐增大而达到最大值、弹簧弹力的大小及方向发生变化等,从而出现临界问题
方法 突破 (1)牢记“绳子刚好伸直”的意思是“伸直但无张力”,及“静摩擦力大小有个范围,方向可以改变”等特点,最后选择物理规律。
(2)当确定了物体运动的临界状态和临界条件后,要分别针对不同的运动过程或现象,选择相对应的物理规律,然后再列方程求解
2.常见的两种临界极值问题
(1)与摩擦力有关的临界极值问题。
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。
②如果除摩擦力以外还有其他力,如绳两端连接物体随水平面转动,其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件,分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。
(2)与弹力有关的临界极值问题。
①两个接触物体分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。
②绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。
[例1] 【水平转盘模型的临界问题】 (多选)如图所示,两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上,a与转轴OO′的距离为l,b与转轴的距离为2l。木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍,重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动,用ω表示圆盘转动的角速度,且最大静摩擦力等于滑动摩擦力,下列说法正确的是(　 　)
AC
BC
1.轻绳模型和轻杆模型概述
在竖直平面内做圆周运动的物体,运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类:一是无支撑(如球与绳连接、小球沿内轨道运动等),称为轻绳模型;二是有支撑(如球与杆连接、小球在弯管内运动等),称为轻杆模型。
2.两类模型对比
3.解题技巧
(1)物体通过圆周运动最低点、最高点时,利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程。
(2)物体从某一位置到另一位置的过程中,用动能定理找出两处速度关系。
(3)求对轨道的压力时,转换研究对象,先求物体所受支持力,再根据牛顿第三定律求出压力。
[例3] 【轻绳模型】 如图所示,长度为L=0.4 m的轻绳,系一小球在竖直平面内做圆周运动,小球的质量为m=0.5 kg,且可视为质点,g取10 m/s2。
(1)求小球刚好通过最高点时的速度大小v1;
【答案】 (1)2 m/s
(2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时,求绳的拉力大小FT;
【答案】 (2)15 N
(3)若轻绳能承受的最大张力为FT′=45 N,求小球速度的最大值。
B
[例4] 【轻杆模型】 一半径为r的小球在竖直放置的圆形管道内做圆周运动,管道内侧壁的半径为R,如图所示。下列说法正确的是(　　)
【解析】 小球在竖直放置的圆形管道内做圆周运动属于轻杆模型,小球通过最高点时的最小速度为零,故A错误,B正确;小球在水平线ab以下管道中运动时,由于沿半径方向的合力提供做圆周运动的向心力,所以外侧管壁对小球一定有作用力,而内侧管壁对小球一定无作用力,故C错误;小球在水平线ab以上管道中运动时,当速度非常大时,内侧管壁对小球没有作用力,外侧管壁对小球有作用力,当速度比较小时,内侧管壁有作用力,故D错误。
[例5] 【凹形桥、凸形桥模型】 (多选)汽车行驶中经常会经过一些凹凸不平的路面,凹凸部分路面可以看作圆弧的一部分,如图所示的A、B、C处,其中B处的曲率半径最大,A处的曲率半径为ρ1,C处的曲率半径为ρ2,重力加速度为g。若有一辆可视为质点、质量为m的汽车与路面之间各处的动摩擦因数均为μ,当该车以恒定的速率v沿这段凹凸路面行驶时,下列说法正确的是(　 　)
AC
规律总结
分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路
1.特点:在斜面上做圆周运动的物体,因所受的控制因素不同(摩擦力控制、绳控制、杆控制等),物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。
2.方法:物体在斜面上做圆周运动时,设斜面的倾角为θ,重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力大小相等,解决此类问题时,可以按以下操作,把问题简化。
物体在转动过程中,转动越快,越容易滑动的位置是最低点,恰好滑动时有μmgcos θ-mgsin θ=mω2R。
[例6] 【斜面上圆周运动的极值问题】 (多选)如图所示,一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动,盘面上离转轴2.5 m处有一小物体(可视为质点)与圆盘始终保持相对静止,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,盘面与水平面的夹角为30°,g取10 m/s2,则下列说法正确的是(　 　)
BC
【解析】 当小物体在最高点时,可能受到重力、支持力与摩擦力三个力的作用,摩擦力的方向可能沿盘面向上(即背离圆心),也可能沿盘面向下
(即指向圆心),摩擦力的方向沿盘面向上时,ω越大,小物体在最高点处受到的摩擦力越小,故A错误,B正确;当小物体转到圆盘的最低点恰好不滑动时,圆盘的角速度最大,此时小物体受竖直向下的重力、垂直于盘面向上的支持力、沿盘面指向圆心的摩擦力,由沿盘面的合力提供向心力,对小物体受力分析,支持力FN=mgcos 30°,摩擦力Ff=μFN=μmgcos 30°,又μmgcos 30°-mgsin 30°=mω2R,解得ω=1.0 rad/s,故C正确,D错误。
1.(6分)(2024·黑龙江哈尔滨三模)(多选)如图所示,质量为m的小物块开始静止在一半径为R的球壳内,它和球心O的连线与竖直方向的夹角为θ=37°,现让球壳随转台绕转轴OO′一起转动,小物块在球壳内始终未滑动,重力加速度为g,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,则下列说法正确的是(　 　)
对点1.水平面内圆周运动的临界问题
基础对点练
CD
A
3.(10分)如图所示,AB为竖直放置的光滑圆筒,一根长细绳穿过圆筒后一端连着质量m1=5 kg的小球P,另一端和细绳BC(悬点为B)在结点C处共同连着质量为m2的小球Q,长细绳能承受的最大拉力为60 N,细绳BC能承受的最大拉力为27.6 N。转动圆筒使BC绳被水平拉直,小球Q在水平面内做匀速圆周运动,小球P处于静止状态,此时圆筒顶端A点到C点的距离l1=1.5 m,细绳BC的长度l2=0.9 m,重力加速度g取10 m/s2,两绳均不可伸长,小球P、Q均可视为质点。求:
(1)当角速度多大时,BC绳刚好被拉直而不张紧(结果可用根号表示);
(2)当角速度多大时,BC绳刚好被拉断。
4.(4分)(2024·安徽六安模拟)如图甲所示,竖直面内的圆形管道半径R远大于其横截面的半径,有一小球直径比管横截面直径略小,在管道内做圆周运动。小球过最高点时,小球对管壁的弹力大小用F表示,速度大小用v表示,当小球以不同速度经过管道最高点时,其F-v2图像如图乙所示。则(　　)
D
对点2.竖直面内圆周运动的临界问题
甲　　　 　乙　
对点3.斜面上圆周运动的临界问题
B
小球在斜面上受重力、支持力和绳的拉力作用做变速圆周运动,其所受重力与斜面的支持力大小和方向均保持不变,绳的拉力大小和方向均不断变化,根据牛顿第三定律,以斜劈为研究对象,斜劈在小球恒定的压力、绳中不断变化的拉力、地面的支持力、摩擦力和自身的重力作用下保持平衡,绳的拉力不断变化,故其在水平和竖直方向上的分量也在不断变化,根据斜劈的平衡条件可知,它受到的水平方向上的摩擦力大小是变化的,地面对斜劈支持力的大小不一定等于小球和斜劈重力之和,C、D错误。
6.(6分)(2024·四川绵阳模拟)(多选)如图甲所示,质量为0.2 kg的小球套在竖直固定的光滑圆环上,并在圆环最高点保持静止。受到轻微扰动后,小球由静止开始沿着圆环运动,一段时间后,小球与圆心的连线转过θ角度时,小球的速度大小为v,v2与cos θ的关系如图乙所示,g取10 m/s2。则(　 　)
AD
综合提升练
7.(4分)(2024·四川成都模拟)如图,一水平圆盘绕竖直中心轴以角速度ω做匀速圆周运动,紧贴在一起的M、N两物体(可视为质点)随圆盘做圆周运动,N恰好不下滑,M恰好不滑动,两物体与转轴距离为r,已知M与N间的动摩擦因数为μ1,M与圆盘面间的动摩擦因数为μ2,最大静摩擦力等于滑动摩擦力。μ1与μ2应满足的关系式为(　　)
C
【解析】 以M、N整体为研究对象,受力分析如图甲所示,竖直方向受力平衡,则有FN=(mM+mN)g,水平方向由静摩擦力提供向心力可得μ2(mM+mN)g=(mM+mN)ω2r,以N为研究对象,受力分析如图乙所示,由M对N的弹力提供向心力,则有FN′=mNω2r,由平衡条件可得μ1FN′=mNg,联立解得μ1μ2=1,故C正确。
甲 乙
8.(12分)(2024·山西太原阶段练习)某同学利用如图所示的装置进行游戏,左边甲装置通过击打可以把质量为m=1 kg的小球从A点水平击出,乙装置是一段竖直面内的光滑圆弧轨道BC,底边与水平轨道CD相切,丙装置是一个半径为r=0.5 m的半圆形竖直光滑轨道DE,底部也与水平轨道CD相切。已知A、B间的水平距离x=1 m,B、C的高度差h1=0.55 m,小球与水平轨道CD间的动摩擦因数为μ=0.3。现把小球以v0=2 m/s的初速度击打出去后,恰能从B点沿切线方向进入BC轨道,g取10 m/s2。
综合提升练
(1)求A、B间的高度差h2;
【答案】 (1)1.25 m
(2)若C、D间的距离为l=1.0 m,求小球经过圆弧轨道最高点E时轨道对小球的弹力;
【答案】 (2)18 N,方向竖直向下
(3)若C、D间的距离可以调节(C点不动),要使小球能进入DE轨道,并在DE轨道上运动时不脱离轨道,求C、D间距离应该满足的条件。

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