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第7讲　实验:探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系
一、实验装置
二、实验器材
向心力演示器、质量相等及不等的小球多个。
三、实验步骤
1.实验思路
(1)在小球的质量和做圆周运动的半径不变的条件下,改变小球做圆周运动的角速度进行实验。
(2)在小球的质量和角速度不变的条件下,改变小球做圆周运动的半径进行实验。
(3)在角速度和做圆周运动的半径不变的条件下,换用不同质量的小球进行实验。
2.定量分析向心力与质量、角速度、半径的关系
(1)分别将两个质量相等的小球放在实验仪器的两个小槽中,且小球到转轴(即圆心)距离相同即圆周运动半径相同。将皮带放置在适当位置使两转盘转动,记录不同角速度下的向心力大小(格数)。
(2)将皮带放置在适当位置使两转盘转动角速度相等,分别将两个质量相等的小球放在实验仪器的长槽和短槽两个小槽中,且小球到转轴(即圆心)距离不同即圆周运动半径不等,记录不同半径下的向心力大小(格数)。
(3)分别将两个质量不相等的小球放在实验仪器的两个小槽中,且小球到转轴(即圆心)距离相同即圆周运动半径相等,将皮带放置在适当位置使两转盘转动角速度相等,记录不同质量下的向心力大小(格数)。
(4)重复几次以上实验。
(5)实验数据记录。
表一(m、r一定)
序号 1 2 3 4 5 6
Fn
ω
ω2
表二(m、ω一定)
序号 1 2 3 4 5 6
Fn
r
表三(r、ω一定)
序号 1 2 3 4 5 6
Fn
m
四、数据处理
1.分别作出Fnω2、Fnr、Fnm的图像,分析向心力与角速度、半径、质量之间的关系。
2.实验结论
项目 相同的 物理量 不同的 物理量 实验结论
1 m、r ω ω越大,Fn越大,Fn∝ω2
2 m、ω r r越大,Fn越大,Fn∝r
3 r、ω m m越大,Fn越大,Fn∝m
公式 Fn=mω2r
五、注意事项
1.将横臂紧固螺钉旋紧,以防小球和其他部件飞出而造成事故。
2.摇动手柄时应力求缓慢加速,注意观察其中一个标尺的格数。达到预定格数时,要保持转速均匀恒定。
考点一　基础性实验
[例1] 【实验原理与操作】 (2024·山东威海二模)某实验小组利用如图所示的向心力演示器探究向心力大小的表达式。
(1)匀速转动手柄,可以使变速塔轮以及长槽和短槽随之匀速转动,槽内的小球也随之做匀速圆周运动,标尺上露出的红白相间等分标记可以粗略计算出　　　　。
A.两小球质量的比值
B.两小球做圆周运动半径的比值
C.两小球角速度大小的比值
D.两小球向心力大小的比值
(2)与本实验采用了相同科学方法的实验是　　　　。(多选)
A.探究互成角度的力的合成规律
B.探究加速度与力、质量的关系
C.探究变压器原、副线圈电压与匝数的关系
(3)实验中保持两小球的质量相同、圆周运动的半径相同,两小球做圆周运动的角速度和向心力大小的实验数据如表所示,可以得到的实验结论是　　　　　　　　　　。
序号 1 2 3
ω1∶ω2 1 2 3
F1∶F2 1 4 9
【答案】 (1)D　(2)BC　(3)向心力大小与角速度的平方成正比
【解析】 (1)标尺上露出的红白相间等分标记可以粗略计算出两小球向心力大小的比值,故D正确。
(2)本实验采用的科学方法为控制变量法,探究互成角度的力的合成规律的实验采用等效替代法,探究加速度与力、质量的关系和探究变压器原、副线圈电压与匝数的关系均采用控制变量法,故B、C正确。
(3)若保持两小球的质量相同、圆周运动的半径相同,根据两小球做圆周运动的角速度和向心力大小的实验数据可得出结论:向心力大小与角速度的平方成正比。
[例2] 【数据处理】 (2024·四川眉山模拟)某同学利用如图甲所示的实验装置验证向心力公式。在透明厘米刻度尺上钻一个小孔,细线一端系在小孔处,另一端连接质量为m、可视为质点的小钢球。将刻度尺固定在水平桌面上,使小钢球在水平面内绕圆心O做匀速圆周运动。
(1)钢球运动稳定后, 该同学从刻度尺上方垂直刻度尺向下看, 某时刻小孔和钢球的位置如图乙所示,则钢球做圆周运动的半径为r=　　　　 cm。
(2)在验证向心力Fn与角速度ω的关系时,该同学保持钢球质量m、轨迹半径r不变,这种实验方法称为　　　　。
A.等效替代法 B.理想模型法
C.控制变量法 D.微元法
(3)若该同学测得细线长度为l,经过时间t,钢球转动了n圈,则钢球转动的角速度ω=　　　　;该同学只需验证等式　　　　　　　　成立,即可验证向心力公式。
【答案】 (1)30.0　(2)C
(3)　=
【解析】 (1)小孔位置到钢球投影位置的间距等于钢球做圆周运动的半径,则钢球做圆周运动的半径为r=85.0 cm-55.0 cm=30.0 cm。
(2)在验证向心力Fn与角速度ω的关系时,该同学保持钢球质量m、轨迹半径r不变,这种实验方法称为控制变量法,故C正确。
(3)经过时间t,钢球转动了n圈,则钢球圆周运动的周期T=,钢球圆周运动的角速度ω=,解得ω=;设细线与竖直方向的夹角为θ,根据几何关系有tan θ=,对钢球进行分析,钢球受到细线拉力与重力,由拉力和重力的合力提供向心力,则有mgtan θ=mω2r,联立解得=。
考点二　创新性实验
[例3] 【实验器材创新】 (2024·安徽合肥三模)如图所示的实验装置可以用来研究影响向心力的因素。金属小球放置在水平转台上沿径向的光滑水平槽内,定滑轮固定在转台上,跨过光滑定滑轮的细绳一端系住小球,另一端与力传感器相连。某同学利用这一实验装置探究在小球质量m、转动半径r一定的情况下,向心力Fn与转动角速度ω之间的关系。
(1)当转台稳定转动时,记录下力传感器的读数Fn;这位同学利用手机上的“秒表”功能测量转台的转速:当小球经过他面前时开始计时,记录为1,下次小球再经过他面前时记录为2,……依次记录,直到第n次,手机的秒表记录到从1到n的总时间为t,则小球随着转台转动的角速度ω=　　　　。
(2)调节转台的转速,记录不同角速度ω及对应传感器的读数Fn,得到Fn与ω的多组数据。利用图像法处理数据,以Fn为纵轴、ω2为横轴建立坐标系,作出Fnω2图像。发现在误差允许范围内,Fnω2图像是一条过原点的直线,得出的结论是:在小球质量m、转动半径r一定的情况下,向心力Fn与转动角速度的平方ω2　　　　。
(3)用图像法处理数据时,作Fnω2图像而不作Fnω图像的原因是　　　　　　　　　　。
【答案】 (1)　(2)成正比　(3)Fnω图像不是直线,不能直接得出Fn与ω之间的关系
【解析】 (1)从小球第1次到第n次通过同一位置,转动圈数为n-1,时间为t,故周期为T=,角速度ω==。
(2)根据实验数据描点作图,图像为一条过原点的直线,表明向心力Fn与转动角速度的平方ω2成正比。
(3)根据向心力公式Fn=mrω2可知,Fnω图像不是直线,不能直接得出Fn与ω之间的关系。
[例4] 【实验设计创新】 (2024·黑龙江哈尔滨模拟)某实验小组用如图甲所示的装置探究圆周运动向心力的大小与质量、线速度和半径之间的关系。不计摩擦的水平直杆固定在竖直转轴上,竖直转轴可以随转速可调的电动机一起转动,套在水平直杆上的滑块,通过细线与固定在竖直转轴上的力传感器相连接。水平直杆的另一端到竖直转轴的距离为R的边缘处安装了宽度为d的遮光片,光电门可以测出遮光片经过光电门所用的时间。
(1)本实验主要用到的科学方法与下列实验相同的是　　　　。
A.探究小车速度随时间变化规律
B.探究加速度与力、质量的关系
C.探究两个互成角度的力的合成规律
(2)由图甲可知滑块的角速度　　　　(选填“大于”“等于”或“小于”)遮光片的角速度。若某次实验中滑块到竖直转轴的距离为r,测得遮光片的挡光时间为Δt,则滑块的线速度表达式为v=　　　　(用Δt、d、R、r表示)。
(3)实验小组保持滑块质量和运动半径不变,探究向心力Fn与线速度的关系时,以Fn为纵坐标,以为横坐标,根据测量数据作出一条倾斜直线如图乙所示,已测得遮光片的宽度d=1 cm,遮光片到竖直转轴的距离R=30 cm,滑块到竖直转轴的距离r=20 cm,则滑块的质量m=　　　 kg。
【答案】 (1)B　(2)等于　　(3)0.15
【解析】 (1)探究向心力与其中某一个物理量的关系,需控制其他物理量不变,采用控制变量法,探究小车速度随时间变化规律用的是极值法、图像法和逐差法,故A错误;探究加速度与力、质量的关系时,采用的是控制变量法,故B正确;探究两个互成角度的力的合成规律采用的是等效替代法,故C错误。
(2)滑块与遮光片同轴转动,角速度相等,遮光片的线速度大小为v1=,那么角速度为ω=,解得ω=,得v2=rω=。
(3)滑块的向心力为Fn=m,而v2=,联立解得Fn=·,结合题图乙,解得m=0.15 kg。
(满分:30分)
1.(8分)(2024·安徽宣城阶段练习)某同学用图甲所示的装置探究向心力大小与角速度的关系,实验装置是直流电动机带动上面玻璃管转动,放入其中的一个小球通过细绳与下面的力传感器相连,可测绳上拉力大小,在小球随玻璃管转动时,转速计可显示转速,定位插销可改变小球的转动半径。实验过程中细绳始终被拉直。
(1)小球随玻璃管转动做匀速圆周运动时,显示的转速(即每秒圈数)为n(r/s),则小球转动的角速度ω=　　　　。
(2)保持小球质量不变,用定位插销使得小球的转动半径为0.1 m,改变转速n,多次测量,该同学测出了五组F、n数据,如表所示。该同学对数据分析后,在图乙中坐标纸上描出了五个点。
n/(r/s) 2 3 5 8 10
n2/(r2/s2) 4 9 25 64 100
F/N 1.6 3.6 9.8 25.2 39.4
①在图乙中作出Fn2图线。
②由作出的图线计算小球的质量m=　　　 kg。(结果保留2位小数)
【答案】 (1)2πn　(2)①图见解析　②0.10
【解析】 (1)当转速单位取转每秒时,转速即指频率,根据角速度与频率的关系有ω=2πf=2πn。
(2)①将点迹用一条倾斜的直线连接起来,使不在直线上的点迹均匀分布在直线两侧,作出图像如图所示。
②根据向心力与角速度的关系式,结合上述有F=mω2R=4π2mRn2,结合上述图像可知4π2mR=,解得m≈0.10 kg。
2.(8分)某学校实验小组利用数字化实验仪器,探究匀速圆周运动的物体所需向心力Fn与转动角速度ω之间的关系。如图甲所示,细线1上端通过力传感器固定在水平直杆并保持竖直状态,下端挂一个磁性小球(看作质点),竖直转轴上与磁性小球等高处固定另一个力传感器,用细线2连接,细线2伸直且水平,磁传感器固定在与磁性小球等高、距转轴距离略大于细线2的固定支架上,可以显示在远离磁体时磁感应强度变弱,靠近时变强,最近时出现峰值。细线1、2重力均不计。
(1)用刻度尺测出悬线1到转轴的距离L,将整个装置绕竖直转轴匀速转动,磁性小球每次经过磁传感器附近时磁传感器就接收到一个反映磁感应强度的脉冲,如图乙所示,由图可知,磁性小球做圆周运动周期T=　　　　 s。(结果保留2位有效数字)
(2)多次改变转动的角速度ω,获得多组对应的力传感器1的示数F1及力传感器2的示数F2,为了直观地反映向心力Fn与ω的关系,以　　　　(选填“F1”或“F2”)为纵坐标,以　　　 (选填“ω”“”“ω2”或“”)为横坐标在坐标纸上描点作图。如果得到一条过原点的倾斜直线,则表明　 　。
【答案】 (1)0.69　(2)F2　ω2　小球质量和做圆周运动的半径一定时,向心力与角速度的平方成正比
【解析】 (1)由题图乙可知磁性小球做圆周运动周期为T= s≈0.69 s。
(2)根据Fn=mω2r可知,为了直观地反映向心力Fn与ω的关系,以F2为纵坐标,以ω2为横坐标在坐标纸上描点作图。如果得到一条过原点的倾斜直线,则表明小球质量和做圆周运动的半径一定时,向心力与角速度的平方成正比。
3.(6分)(2024·福建龙岩三模)某小组同学利用传感器进行“探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系”实验,实验装置如图甲所示,力传感器固定在竖直转轴上,水平直杆随竖直转轴一起转动,滑块和角速度传感器固定在一起并套在水平直杆上,滑块和角速度传感器总质量为m,细线一端连接带有角速度传感器的滑块,另一端连接力传感器,细线拉力的大小F可以通过力传感器测得,滑块转动的角速度ω通过角速度传感器测得。
(1)小组同学保持滑块质量不变,将其运动半径r分别调整为0.22 m、0.20 m、0.18 m、0.16 m、0.14 m,改变转动角速度,在同一坐标系中分别得到图乙中①、②、③、④、⑤五条图线。请分析这五组图线不过坐标原点的原因是　 。
(2)因图乙中图线不便于研究F与ω的关系,便对其中某条图线的数据进行处理,获得的Fx图像如图丙所示,该图线是一条直线,则图丙中横坐标x代表的是　　　　(选填“”“ω2”或“ω3”)。
(3)把图乙中的图线转换成图丙中的图线所应用的物理思想与下列实验相同的是　　　　。
A.探究两个互成角度的力的合成规律
B.当物体受力不变,探究加速度与物体质量的关系
C.研究匀变速直线运动时,用vt图像求物体运动的加速度
【答案】 (1)滑块受到摩擦力的作用　(2)ω2　(3)B
【解析】 (1)由题图乙可知,当滑块角速度不为零时,传感器显示的力为零,是因为滑块受到摩擦力的作用。
(2)对带有角速度传感器的滑块受力分析有F+Ff=mω2r,整理有F=mrω2-Ff,所以滑块和角速度传感器质量不变,运动半径一定时,F与ω2是线性关系,所以该图像的横坐标x代表的是ω2。
(3)在对图像的数据处理获得Fω2图像过程中,将原本的曲线图像,处理成线性的图像,这与探究加速度与质量的关系中将aM图像转化为a图像的原理相同,故B正确。
4.(8分)(2025·四川高考适应性考试)某学习小组使用如图所示的实验装置探究向心力大小与半径、角速度、质量之间的关系。若两球分别放在长槽和短槽的挡板内侧,转动手柄,长槽和短槽随变速塔轮匀速转动,两球所受向心力的比值可通过标尺上的等分格显示,当皮带放在皮带盘的第一挡、第二挡和第三挡时,左、右变速塔轮的角速度之比分别为 1∶1、1∶2和1∶3。
(1)第三挡对应左、右皮带盘的半径之比为　　　　。
(2)探究向心力大小与质量之间的关系时,把皮带放在皮带盘的第一挡后,应将质量　　　　(选填“相同”或“不同”)的铝球和钢球分别放在长、短槽上半径　　　　(选填“相同”或“不同”)处挡板内侧。
(3)探究向心力大小与角速度之间的关系时,该小组将两个相同的钢球分别放在长、短槽上半径相同处挡板内侧,改变皮带挡位,记录一系列标尺示数。其中一组数据为左边1.5格、右边6.1格,则记录该组数据时,皮带位于皮带盘的第　　　　(选填“一”“二”或“三”)挡。
【答案】 (1)3∶1　(2)不同　相同　(3)二
【解析】 (1)皮带传动线速度相等,第三挡变速塔轮的角速度之比为1∶3,根据v=ωr可知,第三挡对应左、右皮带盘的半径之比为3∶1。
(2)探究向心力大小与质量之间的关系时,需要保证两个物体做圆周运动的角速度相等、半径相等,质量不同,所以应将质量不同的铝球和钢球分别放在长、短槽上半径相同处挡板内侧。
(3)根据Fn=mω2r,其中一组数据为左边1.5格、右边6.1格,则角速度平方之比为≈()2,可知由于误差存在,角速度之比为,可知皮带位于皮带盘的第二挡。
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)第7讲　实验:探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系
一、实验装置
二、实验器材
向心力演示器、质量相等及不等的小球多个。
三、实验步骤
1.实验思路
(1)在小球的质量和做圆周运动的半径不变的条件下,改变小球做圆周运动的角速度进行实验。
(2)在小球的质量和角速度不变的条件下,改变小球做圆周运动的半径进行实验。
(3)在角速度和做圆周运动的半径不变的条件下,换用不同质量的小球进行实验。
2.定量分析向心力与质量、角速度、半径的关系
(1)分别将两个质量相等的小球放在实验仪器的两个小槽中,且小球到转轴(即圆心)距离相同即圆周运动半径相同。将皮带放置在适当位置使两转盘转动,记录不同角速度下的向心力大小(格数)。
(2)将皮带放置在适当位置使两转盘转动角速度相等,分别将两个质量相等的小球放在实验仪器的长槽和短槽两个小槽中,且小球到转轴(即圆心)距离不同即圆周运动半径不等,记录不同半径下的向心力大小(格数)。
(3)分别将两个质量不相等的小球放在实验仪器的两个小槽中,且小球到转轴(即圆心)距离相同即圆周运动半径相等,将皮带放置在适当位置使两转盘转动角速度相等,记录不同质量下的向心力大小(格数)。
(4)重复几次以上实验。
(5)实验数据记录。
表一(m、r一定)
序号 1 2 3 4 5 6
Fn
ω
ω2
表二(m、ω一定)
序号 1 2 3 4 5 6
Fn
r
表三(r、ω一定)
序号 1 2 3 4 5 6
Fn
m
四、数据处理
1.分别作出Fnω2、Fnr、Fnm的图像,分析向心力与角速度、半径、质量之间的关系。
2.实验结论
项目 相同的 物理量 不同的 物理量 实验结论
1 m、r ω ω越大,Fn越大,Fn∝ω2
2 m、ω r r越大,Fn越大,Fn∝r
3 r、ω m m越大,Fn越大,Fn∝m
公式 Fn=mω2r
五、注意事项
1.将横臂紧固螺钉旋紧,以防小球和其他部件飞出而造成事故。
2.摇动手柄时应力求缓慢加速,注意观察其中一个标尺的格数。达到预定格数时,要保持转速均匀恒定。
考点一　基础性实验
[例1] 【实验原理与操作】 (2024·山东威海二模)某实验小组利用如图所示的向心力演示器探究向心力大小的表达式。
(1)匀速转动手柄,可以使变速塔轮以及长槽和短槽随之匀速转动,槽内的小球也随之做匀速圆周运动,标尺上露出的红白相间等分标记可以粗略计算出　　　　。
A.两小球质量的比值
B.两小球做圆周运动半径的比值
C.两小球角速度大小的比值
D.两小球向心力大小的比值
(2)与本实验采用了相同科学方法的实验是　　　　。(多选)
A.探究互成角度的力的合成规律
B.探究加速度与力、质量的关系
C.探究变压器原、副线圈电压与匝数的关系
(3)实验中保持两小球的质量相同、圆周运动的半径相同,两小球做圆周运动的角速度和向心力大小的实验数据如表所示,可以得到的实验结论是　　　　　　　　　　。
序号 1 2 3
ω1∶ω2 1 2 3
F1∶F2 1 4 9
[例2] 【数据处理】 (2024·四川眉山模拟)某同学利用如图甲所示的实验装置验证向心力公式。在透明厘米刻度尺上钻一个小孔,细线一端系在小孔处,另一端连接质量为m、可视为质点的小钢球。将刻度尺固定在水平桌面上,使小钢球在水平面内绕圆心O做匀速圆周运动。
(1)钢球运动稳定后, 该同学从刻度尺上方垂直刻度尺向下看, 某时刻小孔和钢球的位置如图乙所示,则钢球做圆周运动的半径为r=　　　　 cm。
(2)在验证向心力Fn与角速度ω的关系时,该同学保持钢球质量m、轨迹半径r不变,这种实验方法称为　　　　。
A.等效替代法 B.理想模型法
C.控制变量法 D.微元法
(3)若该同学测得细线长度为l,经过时间t,钢球转动了n圈,则钢球转动的角速度ω=　　　　;该同学只需验证等式　　　　　　　　成立,即可验证向心力公式。
考点二　创新性实验
[例3] 【实验器材创新】 (2024·安徽合肥三模)如图所示的实验装置可以用来研究影响向心力的因素。金属小球放置在水平转台上沿径向的光滑水平槽内,定滑轮固定在转台上,跨过光滑定滑轮的细绳一端系住小球,另一端与力传感器相连。某同学利用这一实验装置探究在小球质量m、转动半径r一定的情况下,向心力Fn与转动角速度ω之间的关系。
(1)当转台稳定转动时,记录下力传感器的读数Fn;这位同学利用手机上的“秒表”功能测量转台的转速:当小球经过他面前时开始计时,记录为1,下次小球再经过他面前时记录为2,……依次记录,直到第n次,手机的秒表记录到从1到n的总时间为t,则小球随着转台转动的角速度ω=　　　　。
(2)调节转台的转速,记录不同角速度ω及对应传感器的读数Fn,得到Fn与ω的多组数据。利用图像法处理数据,以Fn为纵轴、ω2为横轴建立坐标系,作出Fnω2图像。发现在误差允许范围内,Fnω2图像是一条过原点的直线,得出的结论是:在小球质量m、转动半径r一定的情况下,向心力Fn与转动角速度的平方ω2　　　　。
(3)用图像法处理数据时,作Fnω2图像而不作Fnω图像的原因是　　　　　　　　　　。
[例4] 【实验设计创新】 (2024·黑龙江哈尔滨模拟)某实验小组用如图甲所示的装置探究圆周运动向心力的大小与质量、线速度和半径之间的关系。不计摩擦的水平直杆固定在竖直转轴上,竖直转轴可以随转速可调的电动机一起转动,套在水平直杆上的滑块,通过细线与固定在竖直转轴上的力传感器相连接。水平直杆的另一端到竖直转轴的距离为R的边缘处安装了宽度为d的遮光片,光电门可以测出遮光片经过光电门所用的时间。
(1)本实验主要用到的科学方法与下列实验相同的是　　　　。
A.探究小车速度随时间变化规律
B.探究加速度与力、质量的关系
C.探究两个互成角度的力的合成规律
(2)由图甲可知滑块的角速度　　　　(选填“大于”“等于”或“小于”)遮光片的角速度。若某次实验中滑块到竖直转轴的距离为r,测得遮光片的挡光时间为Δt,则滑块的线速度表达式为v=　　　　(用Δt、d、R、r表示)。
(3)实验小组保持滑块质量和运动半径不变,探究向心力Fn与线速度的关系时,以Fn为纵坐标,以为横坐标,根据测量数据作出一条倾斜直线如图乙所示,已测得遮光片的宽度d=1 cm,遮光片到竖直转轴的距离R=30 cm,滑块到竖直转轴的距离r=20 cm,则滑块的质量m=　　　 kg。
(满分:30分)
1.(8分)(2024·安徽宣城阶段练习)某同学用图甲所示的装置探究向心力大小与角速度的关系,实验装置是直流电动机带动上面玻璃管转动,放入其中的一个小球通过细绳与下面的力传感器相连,可测绳上拉力大小,在小球随玻璃管转动时,转速计可显示转速,定位插销可改变小球的转动半径。实验过程中细绳始终被拉直。
(1)小球随玻璃管转动做匀速圆周运动时,显示的转速(即每秒圈数)为n(r/s),则小球转动的角速度ω=　　　　。
(2)保持小球质量不变,用定位插销使得小球的转动半径为0.1 m,改变转速n,多次测量,该同学测出了五组F、n数据,如表所示。该同学对数据分析后,在图乙中坐标纸上描出了五个点。
n/(r/s) 2 3 5 8 10
n2/(r2/s2) 4 9 25 64 100
F/N 1.6 3.6 9.8 25.2 39.4
①在图乙中作出Fn2图线。
②由作出的图线计算小球的质量m=　　　 kg。(结果保留2位小数)
2.(8分)某学校实验小组利用数字化实验仪器,探究匀速圆周运动的物体所需向心力Fn与转动角速度ω之间的关系。如图甲所示,细线1上端通过力传感器固定在水平直杆并保持竖直状态,下端挂一个磁性小球(看作质点),竖直转轴上与磁性小球等高处固定另一个力传感器,用细线2连接,细线2伸直且水平,磁传感器固定在与磁性小球等高、距转轴距离略大于细线2的固定支架上,可以显示在远离磁体时磁感应强度变弱,靠近时变强,最近时出现峰值。细线1、2重力均不计。
(1)用刻度尺测出悬线1到转轴的距离L,将整个装置绕竖直转轴匀速转动,磁性小球每次经过磁传感器附近时磁传感器就接收到一个反映磁感应强度的脉冲,如图乙所示,由图可知,磁性小球做圆周运动周期T=　　　　 s。(结果保留2位有效数字)
(2)多次改变转动的角速度ω,获得多组对应的力传感器1的示数F1及力传感器2的示数F2,为了直观地反映向心力Fn与ω的关系,以　　　　(选填“F1”或“F2”)为纵坐标,以　　　 (选填“ω”“”“ω2”或“”)为横坐标在坐标纸上描点作图。如果得到一条过原点的倾斜直线,则表明　 　。
3.(6分)(2024·福建龙岩三模)某小组同学利用传感器进行“探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系”实验,实验装置如图甲所示,力传感器固定在竖直转轴上,水平直杆随竖直转轴一起转动,滑块和角速度传感器固定在一起并套在水平直杆上,滑块和角速度传感器总质量为m,细线一端连接带有角速度传感器的滑块,另一端连接力传感器,细线拉力的大小F可以通过力传感器测得,滑块转动的角速度ω通过角速度传感器测得。
(1)小组同学保持滑块质量不变,将其运动半径r分别调整为0.22 m、0.20 m、0.18 m、0.16 m、0.14 m,改变转动角速度,在同一坐标系中分别得到图乙中①、②、③、④、⑤五条图线。请分析这五组图线不过坐标原点的原因是　 。
(2)因图乙中图线不便于研究F与ω的关系,便对其中某条图线的数据进行处理,获得的Fx图像如图丙所示,该图线是一条直线,则图丙中横坐标x代表的是　　　　(选填“”“ω2”或“ω3”)。
(3)把图乙中的图线转换成图丙中的图线所应用的物理思想与下列实验相同的是　　　　。
A.探究两个互成角度的力的合成规律
B.当物体受力不变,探究加速度与物体质量的关系
C.研究匀变速直线运动时,用vt图像求物体运动的加速度
4.(8分)(2025·四川高考适应性考试)某学习小组使用如图所示的实验装置探究向心力大小与半径、角速度、质量之间的关系。若两球分别放在长槽和短槽的挡板内侧,转动手柄,长槽和短槽随变速塔轮匀速转动,两球所受向心力的比值可通过标尺上的等分格显示,当皮带放在皮带盘的第一挡、第二挡和第三挡时,左、右变速塔轮的角速度之比分别为 1∶1、1∶2和1∶3。
(1)第三挡对应左、右皮带盘的半径之比为　　　　。
(2)探究向心力大小与质量之间的关系时,把皮带放在皮带盘的第一挡后,应将质量　　　　(选填“相同”或“不同”)的铝球和钢球分别放在长、短槽上半径　　　　(选填“相同”或“不同”)处挡板内侧。
(3)探究向心力大小与角速度之间的关系时,该小组将两个相同的钢球分别放在长、短槽上半径相同处挡板内侧,改变皮带挡位,记录一系列标尺示数。其中一组数据为左边1.5格、右边6.1格,则记录该组数据时,皮带位于皮带盘的第　　　　(选填“一”“二”或“三”)挡。
(
第
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高中总复习·物理
第7讲　
实验:探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系
一、实验装置
二、实验器材
向心力演示器、质量相等及不等的小球多个。
三、实验步骤
1.实验思路
(1)在小球的质量和做圆周运动的半径不变的条件下,改变小球做圆周运动的角速度进行实验。
(2)在小球的质量和角速度不变的条件下,改变小球做圆周运动的半径进行实验。
(3)在角速度和做圆周运动的半径不变的条件下,换用不同质量的小球进行实验。
2.定量分析向心力与质量、角速度、半径的关系
(1)分别将两个质量相等的小球放在实验仪器的两个小槽中,且小球到转轴
(即圆心)距离相同即圆周运动半径相同。将皮带放置在适当位置使两转盘转动,记录不同角速度下的向心力大小(格数)。
(2)将皮带放置在适当位置使两转盘转动角速度相等,分别将两个质量相等的小球放在实验仪器的长槽和短槽两个小槽中,且小球到转轴(即圆心)距离不同即圆周运动半径不等,记录不同半径下的向心力大小(格数)。
(3)分别将两个质量不相等的小球放在实验仪器的两个小槽中,且小球到转轴(即圆心)距离相同即圆周运动半径相等,将皮带放置在适当位置使两转盘转动角速度相等,记录不同质量下的向心力大小(格数)。
(4)重复几次以上实验。
(5)实验数据记录。
表一(m、r一定)
序号 1 2 3 4 5 6
Fn
ω
ω2
表二(m、ω一定)
序号 1 2 3 4 5 6
Fn
r
表三(r、ω一定)
序号 1 2 3 4 5 6
Fn
m
四、数据处理
1.分别作出Fn-ω2、Fn-r、Fn-m的图像,分析向心力与角速度、半径、质量之间的关系。
2.实验结论
项目 相同的 物理量 不同的 物理量 实验结论
1 m、r ω ω越大,Fn越大,Fn∝ω2
2 m、ω r r越大,Fn越大,Fn∝r
3 r、ω m m越大,Fn越大,Fn∝m
公式 Fn=mω2r
五、注意事项
1.将横臂紧固螺钉旋紧,以防小球和其他部件飞出而造成事故。
2.摇动手柄时应力求缓慢加速,注意观察其中一个标尺的格数。达到预定格数时,要保持转速均匀恒定。
[例1] 【实验原理与操作】 (2024·山东威海二模)某实验小组利用如图所示的向心力演示器探究向心力大小的表达式。
(1)匀速转动手柄,可以使变速塔轮以及长槽和短槽随之匀速转动,槽内的小球也随之做匀速圆周运动,标尺上露出的红白相间等分标记可以粗略计算出　　　　。
A.两小球质量的比值
B.两小球做圆周运动半径的比值
C.两小球角速度大小的比值
D.两小球向心力大小的比值
D
【解析】 (1)标尺上露出的红白相间等分标记可以粗略计算出两小球向心力大小的比值,故D正确。
(2)与本实验采用了相同科学方法的实验是　　　　。(多选)
A.探究互成角度的力的合成规律
B.探究加速度与力、质量的关系
C.探究变压器原、副线圈电压与匝数的关系
BC
【解析】 (2)本实验采用的科学方法为控制变量法,探究互成角度的力的合成规律的实验采用等效替代法,探究加速度与力、质量的关系和探究变压器原、副线圈电压与匝数的关系均采用控制变量法,故B、C正确。
序号 1 2 3
ω1∶ω2 1 2 3
F1∶F2 1 4 9
(3)实验中保持两小球的质量相同、圆周运动的半径相同,两小球做圆周运动的角速度和向心力大小的实验数据如表所示,可以得到的实验结论是
　　　 　　　　　　　。
向心力大小与角速度的平方成正比
【解析】 (3)若保持两小球的质量相同、圆周运动的半径相同,根据两小球做圆周运动的角速度和向心力大小的实验数据可得出结论:向心力大小与角速度的平方成正比。
[例2] 【数据处理】 (2024·四川眉山模拟)某同学利用如图甲所示的实验装置验证向心力公式。在透明厘米刻度尺上钻一个小孔,细线一端系在小孔处,另一端连接质量为m、可视为质点的小钢球。将刻度尺固定在水平桌面上,使小钢球在水平面内绕圆心O做匀速圆周运动。
(1)钢球运动稳定后, 该同学从刻度尺上方垂直刻度尺向下看, 某时刻小孔和钢球的位置如图乙所示,则钢球做圆周运动的半径为r=　　　　 cm。
30.0
【解析】 (1)小孔位置到钢球投影位置的间距等于钢球做圆周运动的半径,则钢球做圆周运动的半径为r=85.0 cm-55.0 cm=30.0 cm。
(2)在验证向心力Fn与角速度ω的关系时,该同学保持钢球质量m、轨迹半径r不变,这种实验方法称为　　　　。
A.等效替代法 B.理想模型法
C.控制变量法 D.微元法
C
【解析】 (2)在验证向心力Fn与角速度ω的关系时,该同学保持钢球质量m、轨迹半径r不变,这种实验方法称为控制变量法,故C正确。
(3)若该同学测得细线长度为l,经过时间t,钢球转动了n圈,则钢球转动的角速度ω=　　　　;该同学只需验证等式　　　　　　　　成立,即可验证向心力公式。
[例3] 【实验器材创新】 (2024·安徽合肥三模)如图所示的实验装置可以用来研究影响向心力的因素。金属小球放置在水平转台上沿径向的光滑水平槽内,定滑轮固定在转台上,跨过光滑定滑轮的细绳一端系住小球,另一端与力传感器相连。某同学利用这一实验装置探究在小球质量m、转动半径r一定的情况下,向心力Fn与转动角速度ω之间的关系。
(1)当转台稳定转动时,记录下力传感器的读数Fn;这位同学利用手机上的“秒表”功能测量转台的转速:当小球经过他面前时开始计时,记录为1,下次小球再经过他面前时记录为2,……依次记录,直到第n次,手机的秒表记录到从1到n的总时间为t,则小球随着转台转动的角速度ω=　　　　。
(2)调节转台的转速,记录不同角速度ω及对应传感器的读数Fn,得到Fn与ω的多组数据。利用图像法处理数据,以Fn为纵轴、ω2为横轴建立坐标系,作出Fn-ω2图像。发现在误差允许范围内,Fn-ω2图像是一条过原点的直线,得出的结论是:在小球质量m、转动半径r一定的情况下,向心力Fn与转动角速度的平方ω2　　　　。
成正比
【解析】(2)根据实验数据描点作图,图像为一条过原点的直线,表明向心力Fn与转动角速度的平方ω2成正比。
(3)用图像法处理数据时,作Fn-ω2图像而不作Fn-ω图像的原因是
　　　　　　 　　　　。
Fn-ω图像不是直线,不能直接得出Fn与ω之间的关系
【解析】 (3)根据向心力公式Fn=mrω2可知,Fn-ω图像不是直线,不能直接得出Fn与ω之间的关系。
[例4] 【实验设计创新】 (2024·黑龙江哈尔滨模拟)某实验小组用如图甲所示的装置探究圆周运动向心力的大小与质量、线速度和半径之间的关系。不计摩擦的水平直杆固定在竖直转轴上,竖直转轴可以随转速可调的电动机一起转动,套在水平直杆上的滑块,通过细线与固定在竖直转轴上的力传感器相连接。水平直杆的另一端到竖直转轴的距离为R的边缘处安装了宽度为d的遮光片,光电门可以测出遮光片经过光电门所用的时间。
(1)本实验主要用到的科学方法与下列实验相同的是　　　　。
A.探究小车速度随时间变化规律
B.探究加速度与力、质量的关系
C.探究两个互成角度的力的合成规律
B
【解析】 (1)探究向心力与其中某一个物理量的关系,需控制其他物理量不变,采用控制变量法,探究小车速度随时间变化规律用的是极值法、图像法和逐差法,故A错误;探究加速度与力、质量的关系时,采用的是控制变量法,故B正确;探究两个互成角度的力的合成规律采用的是等效替代法,故C错误。
(2)由图甲可知滑块的角速度　　　　(选填“大于”“等于”或“小于”)遮光片的角速度。若某次实验中滑块到竖直转轴的距离为r,测得遮光片的挡光时间为Δt,则滑块的线速度表达式为v=　　　　(用Δt、d、R、r表示)。
等于
0.15
1.(8分)(2024·安徽宣城阶段练习)某同学用图甲所示的装置探究向心力大小与角速度的关系,实验装置是直流电动机带动上面玻璃管转动,放入其中的一个小球通过细绳与下面的力传感器相连,可测绳上拉力大小,在小球随玻璃管转动时,转速计可显示转速,定位插销可改变小球的转动半径。实验过程中细绳始终被拉直。
(1)小球随玻璃管转动做匀速圆周运动时,显示的转速(即每秒圈数)为
n(r/s),则小球转动的角速度ω=　　　　。
2πn
【解析】 (1)当转速单位取转每秒时,转速即指频率,根据角速度与频率的关系有ω=2πf=2πn。
(2)保持小球质量不变,用定位插销使得小球的转动半径为0.1 m,改变转速n,多次测量,该同学测出了五组F、n数据,如表所示。该同学对数据分析后,在图乙中坐标纸上描出了五个点。
n/(r/s) 2 3 5 8 10
n2/(r2/s2) 4 9 25 64 100
F/N 1.6 3.6 9.8 25.2 39.4
①在图乙中作出F-n2图线。
【答案及解析】(2)①将点迹用一条倾斜的直线连接起来,使不在直线上的点迹均匀分布在直线两侧,作出图像如图所示。
②由作出的图线计算小球的质量m=　　　 kg。(结果保留2位小数)
0.10
2.(8分)某学校实验小组利用数字化实验仪器,探究匀速圆周运动的物体所需向心力Fn与转动角速度ω之间的关系。如图甲所示,细线1上端通过力传感器固定在水平直杆并保持竖直状态,下端挂一个磁性小球(看作质点),竖直转轴上与磁性小球等高处固定另一个力传感器,用细线2连接,细线2伸直且水平,磁传感器固定在与磁性小球等高、距转轴距离略大于细线2的固定支架上,可以显示在远离磁体时磁感应强度变弱,靠近时变强,最近时出现峰值。细线1、2重力均不计。
(1)用刻度尺测出悬线1到转轴的距离L,将整个装置绕竖直转轴匀速转动,磁性小球每次经过磁传感器附近时磁传感器就接收到一个反映磁感应强度的脉冲,如图乙所示,由图可知,磁性小球做圆周运动周期T=　　　　 s。(结果保留2位有效数字)
0.69
F2
ω2
小球质量和做圆周运动的半径一定时,向心力与角速度的平方成正比
【解析】(2)根据Fn=mω2r可知,为了直观地反映向心力Fn与ω的关系,以F2为纵坐标,以ω2为横坐标在坐标纸上描点作图。如果得到一条过原点的倾斜直线,则表明小球质量和做圆周运动的半径一定时,向心力与角速度的平方成正比。
3.(6分)(2024·福建龙岩三模)某小组同学利用传感器进行“探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系”实验,实验装置如图甲所示,力传感器固定在竖直转轴上,水平直杆随竖直转轴一起转动,滑块和角速度传感器固定在一起并套在水平直杆上,滑块和角速度传感器总质量为m,细线一端连接带有角速度传感器的滑块,另一端连接力传感器,细线拉力的大小F可以通过力传感器测得,滑块转动的角速度ω通过角速度传感器测得。
【解析】 (1)由题图乙可知,当滑块角速度不为零时,传感器显示的力为零,是因为滑块受到摩擦力的作用。
(1)小组同学保持滑块质量不变,将其运动半径r分别调整为0.22 m、0.20 m、0.18 m、0.16 m、0.14 m,改变转动角速度,在同一坐标系中分别得到图乙中①、②、③、④、⑤五条图线。请分析这五组图线不过坐标原点的原因是　 。
滑块受到摩擦力的作用
(2)因图乙中图线不便于研究F与ω的关系,便对其中某条图线的数据进行处理,获得的F x图像如图丙所示,该图线是一条直线,则图丙中横坐标x代表的是　　　　(选填“”“ω2”或“ω3”)。
ω2
【解析】 (2)对带有角速度传感器的滑块受力分析有F+Ff=mω2r,整理有F=mrω2-Ff,所以滑块和角速度传感器质量不变,运动半径一定时,F与ω2是线性关系,所以该图像的横坐标x代表的是ω2。
(3)把图乙中的图线转换成图丙中的图线所应用的物理思想与下列实验相同的是　　　　。
A.探究两个互成角度的力的合成规律
B.当物体受力不变,探究加速度与物体质量的关系
C.研究匀变速直线运动时,用v- t图像求物体运动的加速度
B
4.(8分)(2025·四川高考适应性考试)某学习小组使用如图所示的实验装置探究向心力大小与半径、角速度、质量之间的关系。若两球分别放在长槽和短槽的挡板内侧,转动手柄,长槽和短槽随变速塔轮匀速转动,两球所受向心力的比值可通过标尺上的等分格显示,当皮带放在皮带盘的第一挡、第二挡和第三挡时,左、右变速塔轮的角速度之比分别为 1∶1、1∶2和1∶3。
(1)第三挡对应左、右皮带盘的半径之比为　　　　。
3∶1
【解析】 (1)皮带传动线速度相等,第三挡变速塔轮的角速度之比为1∶3,根据v=ωr可知,第三挡对应左、右皮带盘的半径之比为3∶1。
(2)探究向心力大小与质量之间的关系时,把皮带放在皮带盘的第一挡后,应将质量　　　　(选填“相同”或“不同”)的铝球和钢球分别放在长、短槽上半径　　　　(选填“相同”或“不同”)处挡板内侧。
不同
相同
【解析】 (2)探究向心力大小与质量之间的关系时,需要保证两个物体做圆周运动的角速度相等、半径相等,质量不同,所以应将质量不同的铝球和钢球分别放在长、短槽上半径相同处挡板内侧。
(3)探究向心力大小与角速度之间的关系时,该小组将两个相同的钢球分别放在长、短槽上半径相同处挡板内侧,改变皮带挡位,记录一系列标尺示数。其中一组数据为左边1.5格、右边6.1格,则记录该组数据时,皮带位于皮带盘的第　　　　(选填“一”“二”或“三”)挡。
二

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