河南省信阳市商城县达权店高中、丰集高中2025届高三下学期二模联考数学试题(含答案)

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河南省信阳市商城县达权店高中、丰集高中2025届高三下学期二模联考数学试题(含答案)

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2025届商城县达权店高中、丰集高中二模联考
高三数学试题卷
注意事项:
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。考试时间120分钟,满分150分。考生应首先阅读答题卡上的文字信息,然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无效。交卷时只交答题卡。
第I卷(选择题,共58分)
一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分。每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。)
1.2024年的高考数学将在6月7日下午进行,其中数学有12道单项选择题,如果每道选择题的答案是从A,B,C,D四个选项中随机生成,那么请你运用概率统计的知识,推断分析下列哪个选项最有可能成为2024年高考数学选择题的答案分布( )
A.AAAAAAAAAAAA B.ABCDABCDABCD
C.CDABACADCBDB D.DBCCCDCDBDBD
2.的展开式中奇数项的二项式系数之和为32,则为( )
A.6 B.5 C.8 D.4
3.已知的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大,则展开式中的常数项为( )
A.24 B.18 C.12 D.6
4.已知甲同学从学校的2个科技类社团,4个艺术类社团,3个体育类社团中选择报名参加,若甲报名了两个社团,则在仅有一个是艺术类社团的条件下,另一个是体育类社团的概率( )
A. B. C. D.
5.在中,为边的中点,,则( )
A. B.
C. D.
6.已知,若,则的最小值等于( )
A. B. C. D.
7.将一枚均匀的骰子独立投掷两次,所得的点数依次记为x,y,记A事件为“>”,则( )
A. B. C. D.
8.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量所有可能的取值为,且,,定义的信息熵,若,随机变量所有可能的取值为,且,则( )
A. B.
C. D.
二、多选题(本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位得到,则( )
A.的最小正周期为π
B.在区间上单调递增
C.的图象关于直线对称
D.的图象关于点对称
10.已知函数,将函数的图像横坐标缩短为原来的倍,再向左平移单位,得到函数.则下列结论中正确的是( )
A.为偶函数
B.不等式的解集为
C.在上单调递增
D.函数在的零点为且,则
11.在三棱锥中,平面平面,,则( )
A.三棱锥的体积为1
B.点到直线AD的距离为
C.二面角的正切值为2
D.三棱锥外接球的球心到平面的距离为
第II卷(非选择题,共92分)
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共计15分)
12.第二十一届大连国际徒步大会即将召开,现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作,若小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,若每个工作仅需要一人且每人只能从事一项工作,则不同的选派方案共有 种.
13.在中,内角的对边分别为,,且,则面积的最大值为 .
14.已知中,,,记,则 ;若,当最大时, .
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求A;
(2)若外接圆的直径为,求的取值范围.
16.(15分)在正四棱柱中,为中点,直线与平面交于点.
(1)证明:为的中点;
(2)若直线与平面所成的角为,求二面角的余弦值.
17.(15分)某校高三年级拟派出甲 乙 丙三人去参加校运动会跑项目.比赛分为初赛和决赛,其中初赛有两轮,只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为;乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和;丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为和,其中
(1)甲 乙 丙三人中,谁进入决赛的可能性最大;
(2)若甲 乙 丙三人中恰有两人进入决赛的概率为,求的值;
(3)在(2)的条件下,设进入决赛的人数为,求的分布列.
18.(17分)在平面直角坐标系中,动点()与定点的距离和到直线:的距离之比是常数.
(1)求动点的轨迹方程;
(2)记动点的轨迹为曲线,过点的直线与曲线交于两点,直线与曲线的另一个交点为.
(i)求的值;
(ii)记面积为,面积为,面积为,试问是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
19.(17分)已知是公差为2的等差数列,数列的前项和为,且.
(1)求的通项公式;
(2)求;
(3)[x]表示不超过的最大整数,当时,是定值,求正整数的最小值.
2025届商城县达权店高中、丰集高中二模联考
高三数学参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
C A A A D B C D AD BD ACD
12. 36
13.
14. /
15.(1)由可得:,所以,
所以,

,由正弦定理可得,
因为,所以,所以,
因为,所以. (6分)
(2)由正弦定理可得,
所以,
故,
又,所以,
所以
,又,所以,
所以,所以的取值范围为. (7分)
16.(1)如图,连接,,在正四棱柱中,
由与平行且相等得是平行四边形,所以,
又平面,平面,所以平面,
平面,平面平面,
所以,是中点,
所以是的中点; (7分)
(2)以为轴建立空间直角坐标系,如图,设(),
则,,,,
,,
设平面的一个法向量是,则
,取,得,
因为直线与平面所成的角为,
所以,解得(负值舍去),
所以,平面的一个法向量是,
平面即为平面,
则,
二面角为锐角,因此其余弦值为. (8分)
17.(1)甲进入决赛的概率为,乙进入决赛的概率为,
丙进入决赛的概率为,而,则,
所以甲进入决赛的可能性最大. (4分)
(2)甲 乙 丙三人中恰有两人进入决赛的概率为

整理可得,而,所以. (5分)
(3)依题意,甲 乙 丙进入决赛的概率分别为,
随机变量的可能取值有,


所以随机变量的分布列为: (6分)
0 1 2 3
18.(1)由题意可知,,
化简得,于是,动点的轨迹方程为.(4分)
(2)(i)设,,,不妨假设在第一象限,
则E在第四象限,
由题意知的斜率存在且不为0,
设直线方程为,代入可得,
需满足,所以,
,直线方程为,代入,
可得,,则,
因为,,所以,
即.
同理,,,即,所以,则关于x轴对称,
所以; (9分)
(ii).
所以,.
综上,为定值. (4分)
19.(1)设,则.
因为是公差为2的等差数列,所以.
设,则,
所以时,

所以,即,
又,满足上式,所以 (5分)
(2)(方法一)因为,
所以
两式相减得.
设,
则,
两式相减得

则.
所以,即. (6分)
(方法二)因为,
所以.
所以
则,
即.
(3)当时,,且,所以的定值为9.
所以当时,.
令,则,

所以单调递减.
因为,所以,即正整数的最小值为 (6分)

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