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2025届商城县达权店高中、丰集高中二模联考
高三数学试题卷
注意事项:
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。考试时间120分钟，满分150分。考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。交卷时只交答题卡。
第I卷(选择题，共58分)
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。）
1．2024年的高考数学将在6月7日下午进行，其中数学有12道单项选择题，如果每道选择题的答案是从A，B，C，D四个选项中随机生成，那么请你运用概率统计的知识，推断分析下列哪个选项最有可能成为2024年高考数学选择题的答案分布（ ）
A．AAAAAAAAAAAA B．ABCDABCDABCD
C．CDABACADCBDB D．DBCCCDCDBDBD
2．的展开式中奇数项的二项式系数之和为32，则为（ ）
A．6 B．5 C．8 D．4
3．已知的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（ ）
A．24 B．18 C．12 D．6
4．已知甲同学从学校的2个科技类社团，4个艺术类社团，3个体育类社团中选择报名参加，若甲报名了两个社团，则在仅有一个是艺术类社团的条件下，另一个是体育类社团的概率（ ）
A． B． C． D．
5．在中，为边的中点，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，若，则的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
7．将一枚均匀的骰子独立投掷两次,所得的点数依次记为x,y,记A事件为“>”,则（ ）
A． B． C． D．
8．信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量所有可能的取值为，且，，定义的信息熵，若，随机变量所有可能的取值为，且，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位得到，则（ ）
A．的最小正周期为π
B．在区间上单调递增
C．的图象关于直线对称
D．的图象关于点对称
10．已知函数，将函数的图像横坐标缩短为原来的倍，再向左平移单位，得到函数.则下列结论中正确的是（ ）
A．为偶函数
B．不等式的解集为
C．在上单调递增
D．函数在的零点为且，则
11．在三棱锥中，平面平面，，则（ ）
A．三棱锥的体积为1
B．点到直线AD的距离为
C．二面角的正切值为2
D．三棱锥外接球的球心到平面的距离为
第II卷(非选择题，共92分)
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分）
12．第二十一届大连国际徒步大会即将召开，现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，若每个工作仅需要一人且每人只能从事一项工作，则不同的选派方案共有 种.
13．在中，内角的对边分别为，，且，则面积的最大值为 ．
14．已知中，，，记，则 ；若，当最大时， .
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．(13分)已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求A；
(2)若外接圆的直径为，求的取值范围．
16．(15分)在正四棱柱中，为中点，直线与平面交于点．
(1)证明：为的中点；
(2)若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值．
17．(15分)某校高三年级拟派出甲 乙 丙三人去参加校运动会跑项目.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为和，其中
(1)甲 乙 丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；
(2)若甲 乙 丙三人中恰有两人进入决赛的概率为，求的值；
(3)在（2）的条件下，设进入决赛的人数为，求的分布列.
18．(17分)在平面直角坐标系中，动点（）与定点的距离和到直线：的距离之比是常数．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)记动点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线交于两点，直线与曲线的另一个交点为.
（i）求的值；
（ii）记面积为，面积为，面积为，试问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
19．(17分)已知是公差为2的等差数列，数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)求；
(3)[x]表示不超过的最大整数，当时，是定值，求正整数的最小值．
2025届商城县达权店高中、丰集高中二模联考
高三数学参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
C A A A D B C D AD BD ACD
12． 36
13．
14． /
15．（1）由可得：，所以，
所以，
，
，由正弦定理可得，
因为，所以，所以，
因为，所以. （6分）
（2）由正弦定理可得，
所以，
故，
又，所以，
所以
，又，所以，
所以，所以的取值范围为. （7分）
16．（1）如图，连接，，在正四棱柱中，
由与平行且相等得是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
平面，平面平面，
所以，是中点，
所以是的中点； （7分）
（2）以为轴建立空间直角坐标系，如图，设（），
则，，，，
，，
设平面的一个法向量是，则
，取，得，
因为直线与平面所成的角为，
所以，解得（负值舍去），
所以，平面的一个法向量是，
平面即为平面，
则，
二面角为锐角，因此其余弦值为． （8分）
17．（1）甲进入决赛的概率为，乙进入决赛的概率为，
丙进入决赛的概率为，而，则，
所以甲进入决赛的可能性最大. （4分）
（2）甲 乙 丙三人中恰有两人进入决赛的概率为
，
整理可得，而，所以. （5分）
（3）依题意，甲 乙 丙进入决赛的概率分别为，
随机变量的可能取值有，
，
，
所以随机变量的分布列为： （6分）
0 1 2 3
18．（1）由题意可知，，
化简得，于是，动点的轨迹方程为．（4分）
（2）（i）设，，，不妨假设在第一象限，
则E在第四象限，
由题意知的斜率存在且不为0，
设直线方程为，代入可得，
需满足，所以，
,直线方程为，代入，
可得，，则，
因为，，所以，
即.
同理，，，即，所以，则关于x轴对称，
所以； （9分）
（ii）.
所以，.
综上，为定值． （4分）
19．（1）设，则．
因为是公差为2的等差数列，所以．
设，则，
所以时，
．
所以，即，
又，满足上式，所以 （5分）
（2）（方法一）因为，
所以
两式相减得．
设，
则，
两式相减得
，
则．
所以，即． （6分）
（方法二）因为，
所以．
所以
则，
即．
（3）当时，，且，所以的定值为9．
所以当时，．
令，则，
，
所以单调递减．
因为，所以，即正整数的最小值为 （6分）

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