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2024-2025 学年江西省南昌外国语学校高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 3 1 5.已知数列 1， 1，4， 2 , 16，…，则该数列的第 100 项为( )
A. 25297 B.
25 C. 99297 299 D.
25
296

2.已知函数 ( ) = + 2 → 0 (1+ ) (1)，则 =( )
A. 1 + 2 B. 1 + 2 2 C. 1 + 2 D. 1 + 2 2
3.某学校组织中国象棋比赛，甲、乙两名同学进入决赛.决赛采取 3 局 2 胜制，假设每局比赛中甲获胜的概
2
率均为3，且各局比赛的结果相互独立.则在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是( )
A. 14 B.
3 C. 3 D. 44 5 5
4.希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定
义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数 的点的轨迹叫做圆锥曲线：当 0 < < 1
时，轨迹为椭圆；当 = 1 时，轨迹为抛物线；当 > 1 时，轨迹为双曲线.现有方程 2 + 2 = |3 + 4 12|
表示的圆锥曲线为( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.以上都不对
5.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、
谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为 33
尺，前九个节气日影长之和为 108 尺，则谷雨日影长为( )
A. 14 B. 15 C. 16 D. 17
6.若 ( ) = 在[0, ]上单调递增，则 的最大值是( )
A. 3 4 B. 2 C. 4 D.
7.已知函数 ( ) = ( 1 ) 1 22 + 的极小值点为 = 0，则 的取值范围是( )
A. ( ∞,0) B. ( ∞,1) C. (0, + ∞) D. (1, + ∞)
8.已知函数 ( )是定义在 上的可导函数，其导函数为 ′( )，则命题 ： 1， 2 ∈ ，且 1 ≠ 2，
| ( 1) ( 2) | < 2023 成立的充要条件是( )1 2
A. | ′( )| < 2023 B. | ′( )| ≤ 2023 C. | ′( )| > 2023 D. | ′( )| ≥ 2023
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 1.已知抛物线 ： = 24 的焦点为 ，准线为 ，点 ( 4, )在 上， 为坐标原点，则( )
A.直线 的倾斜角为 135°
B. 1的方程为 = 16
C. | | = 5
D. 在点 处的切线方程为 2 + + 4 = 0
10.已知函数 ( ) = 3 3 2 + 5 ，则( )
A. ( )的零点之和为 3
B. ( )的图象关于点(1,3)对称
C.曲线 = ( )不存在倾斜角为 60°的切线
D.曲线 = ( )( 2 1)( 2 4)( 2 9)在 = 1 处的切线的斜率为 432
11. ( , )( ∈ , ∈ )表示数列{ }的前
1 1
项积，如 ( , 3) = 6 .已知 ∈
， ∈ ，则下列结论正
确的是( )
A. (sin 8 , 4) =
1
4
B. (2 , ) = 2 ！

C. (2 2 +1 , ) =
2
+1
D.满足 ( , 2 ) > 3240的 的最小值为 41
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知等比数列{ }的前 6 项和为 126，其中偶数项和是奇数项和的 2 倍，则 1 = ______．
13.已知函数 ( ) = | |图象的两条切线相互垂直，并分别交 轴于 ， 两点，则| | = ______．
14.十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产
1 2
物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段( 3 , 3 )，记为第
1 2
一次操作：再将剩下的两个区间[0, 3 ], [ 3 , 1]分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操
作：. . .，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间
的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长
1821
度之和小于2024，则操作的次数 的最大值为______．
( 2 2参考数据：( 4 53 ) ≈ 0.1975, ( 3 ) ≈ 0.1317, (
2 )63 ≈ 0.0878, (
2
3 )
7 ≈ 0.0585)
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知公差不为 0 的等差数列{ }的前 项和为 ， 7 = 35， 3为 1 = 2， 7的等比中项．
(1)求{ }的通项公式；
(2) = 1 { } 1 ≤ < 5若 ，记 的前 项和为 ，证明： +2 8 12
．
16.(本小题 15 分)
如图，圆柱 1 2中， 是底面圆 2上的一条直径， ， 分别是底面 2， 1圆周上的一点， // 1 2， =
2 ，且点 不与 ， 两点重合．
(1)证明：平面 ⊥平面 ；
(2)若二面角 1 2 为 60°，求直线 与平面 1所成角的正弦值．
17.(本小题 15 分)
设函数 ( ) = 3 ( + 1) 2 + ，且 > 1．
(1)若 ( )的图象与 = 相切，求 的值；
(2)在(1)的条件下，若 ( ) = + 有三个零点，求 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
已知数列{ }的前 项和为 , 1 = 2, +1 = + 2 +1, ∈ ．
(1) 求证：数列{ 2 }是等差数列；
(2)设 = 3 , { }的前 项和为 ．
①求 ；
②若对任意的正整数 ，不等式 6 < 2 恒成立，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
函数 ( )的导函数记为 ′( )，若对 ( )的定义域 内任意 ，存在实数 ，使得不等式 ( + ) ≥ ( +
1) ′( )成立，则称 ( )为 上的“ ( )函数”．
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(1)判断函数 ( ) = 是否为[0, 2 ]上的“ ( 2 )函数”，并说明理由；
(2)若函数 ( ) = 是(1, + ∞)上的“ (1)函数”，求 的取值范围；
(3)若函数 ( ) = 2 是[0,2]上的“ (2)函数”，且存在 ，对任意 1， 2 ∈ [1,2]，当 1， 2 ≠ 0 时，都
( 1) ( 2)有 1
> 恒成立，求 的最大值．
2
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2
13.2
14.5
15.解：(1)依题意， 7 = 7 4 = 35，
可得 4 = 5，
又 3为 1 = 2， 7的等比中项，
则 2 23 = 2 7，即(5 ) = 2(5 + 3 )，
解得 = 1，
故 = 4 + ( 4) = + 1；
(2) 1 1 1 1 1证明：由上可知 = = +2 ( +1)( +3)
= 2 ( +1 +3 )，
1 1 1 1 1
所以 = 2 ( 2 4 ) + 2 ( 3
1
5 ) +
1 ( 1 12 4 6 ) + +
1
2 (
1 1 +2 ) +
1
2 (
1 1
+1 +3 )
= 12 (
1 1
2 + 3
1 1 5
+2 +3 ) = 12
1 ( 12 +2 +
1 5
+3 ) < 12，
所以 5 < 12，
令 ( ) = 1 1 +2+ +3 ( ∈ )，显然 ( )定义域上单调递减，
则 ( ) ≤ (1) = 712，
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所以 ≥
5 1 7 1
12 2 × 12 = 8，
1
综上，8 ≤ <
5
12，即得证．
16.解：(1)证明：因为 是底面圆 2上的一条直径，
所以 ⊥ ，
因为 1 2 ⊥底面圆 2， // 1 2，
所以 ⊥底面圆 2，
因为 底面圆 2，所以 ⊥ ，
因为 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ；
(2)因为 1 2 ⊥底面圆 2， ， 2 圆 2，
所以 1 2 ⊥ ， 1 2 ⊥ 2，
所以∠ 2 为二面角 1 2 的平面角，
故∠ 2 = 60°，又 2 = 2，所以△ 2为等边三角形，
以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，
= 2 ，设 = 2，故 A = 2 = 2 = = 1， = 2 2 = 3，
( 3, 0,0), (0,0,1), (0,0,0), ( 31 2 ,
1
2 , 1)，
= ( 3, 0, 1)， = (0,0,1), 3 11 = ( ，2 , 2 , 1)
设平面 1的法向量为 = ( , , )，
⊥ = ( , , ) (0,0,1) = = 0
则
⊥
则 ，
1 = ( , , ) (
3 1
1 2 , 2 , 1) =
3
2 +
1
2 + = 0
解得 = 0，令 = 1，得 = 3，故 = (1, 3, 0)，
设直线 与平面 1所成角的大小为 ，
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| = |cos , | = | |( 3,0, 1) (1, 3,0)| 3则 = 3+0+1× 1+3+0 = 4 ，| | | |
直线 与平面 1所成角的正弦值为
3．
4
17.解：(1)由题意可得 ′( ) = 3 2 (2 + 2) + ，
设函数 ( )与直线 = 相切的切点是( 0, 0)，
因为 ′(0) = > 1，所以 0 ≠ 0，
′( 20) = 3 0 (2 + 2) 0 + = 1
所以有 0 = 20 ，可得 0 ( + 1) 0 + + 1 = 0，
30 = 0 ( + 1) 20 + 0
又 3 2 20 (2 + 2) 0 + = 1，相减得 2 0 ( + 1) 0 = 0，
+1 +1 +1
所以 = 20 2 ，所以( 2 ) ( + 1)( 2 ) + + 1 = 0，解得 = 3 或 = 1(舍去)；
(2)当 = 3 时， ( ) = 3 4 2 + 3 ，
因为 ( )的图象与 = + 有三个公共点，即方程 = 3 4 2 + 4 有三个实数根，
设函数 ( ) = 3 4 2 + 4 ，则 ′( ) = 3 2 8 + 4，
当 ′( ) > 0 2 2时，解得 < 3或 > 2；当 ′( ) < 0 时，解得3 < < 2；
2 2
所以 ( )在( ∞, 3 )和(2, + ∞)上单调递增，在( 3 , 2)上单调递减，
所以 ( ) 2 32的极大值为 ( 3 ) = 27，极小值为 (2) = 0，
因为 = 与 = ( ) 32有三个交点，所以 0 < < 27，
(0, 32即 的取值范围为 27 )．
18.解：(1)证明：数列{ }的前 项和为 , 1 = 2, +1 +1 = + 2 , ∈ ，
由 +1 = +1 +1 ，可得 +1 = + 2 ，
所以 = 2 + 2 +1 +1 ，

所以 +1

2 +1 = 2 + 1，

所以{ 2 }是首项和公差都为 1 的等差数列；
(2)①设 =

3 , { }的前 项和为 ．

2 = 1 + ( 1) × 1 = ，即 = 2
，
∴ = 2 3 = ( 3 ) ，
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∴ = 1 × ( 2 )1 + 2 × ( 2 )2 + 3 × ( 2 )3 + + ( 1) × ( 2 ) 1 2 3 3 3 3 + × ( 3 ) ，
∴ 2 = 1 × ( 2 )2 + 2 × ( 2 )33 3 3 + 3 × (
2 )43 + + ( 1) × (
2 ) 3 + × (
2 ) +13 ，
1 2 2 2 2
两式相减得 = + ( )2 + ( )3 + + ( ) × ( 2 ) +13 3 3 3 3 3
2 2 +1
= 3
(3) × ( 2 +1 2 +1
1 2 3
) = 2 ( + 3) × ( 3 ) ，
3
∴ 2 = 6 (2 + 6) × ( 3 ) ．
②若对任意的正整数 ，不等式 6 < 2 恒成立，
∴ (2 + 6) ( 23 )
< 2 2 +6，则 > 3 对任意的 ∈
恒成立，
= 2 +6 ∴ = 2 +8 2 +6 = 2 +8 3(2 +6) 4 10令 3 ， +1 3 +1 3 3 +1 = 3 +1 < 0，
∴ { }为递减数列，则当 = 1 时，( ) =
8 8
3，∴ > 3，
8即实数 的取值范围是( 3 , + ∞)．
19.解：(1)因为 ( ) = ，所以 ′( ) = ．

因为当 ∈ [0, 2 ]时，cos( + 2 ) ( 2 + 1)( ) = 2 ≥ 0，
即 ∈ [0, 2 ]

时，cos( + 2 ) ≥ ( 2 + 1)( )．

所以对任意 ∈ [0, 2 ]恒成立，所以 ( ) = ∈ [0,
] ( 是 2 上的“ 2 )函数”．
(2) ′( ) = 1，
根据“ (1)函数”的定义，问题转化成 +1 1 ≥ 2( 1)在(1, + ∞)上恒成立，
所以 ( 2) ≥ 1 在(1, + ∞)上恒成立．
设 ( ) = 1 ， > 1
2
，则 ′( ) = ， > 1，
当 1 < < 2 时， ′( ) > 0， ( )单调递增；当 > 2 时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
1
所以 ( ) = (2) = ．
所以 ( 2) ≥ 1 1 ，即 ≥ 2 2 ．
1所以 的取值范围是{ | ≥ 2 2 }；
(3) ′( ) = 2 ，若函数 ( ) = 2 是[0,2]上的“ (2)函数”，
则( + 2)2 ( + 2) ≥ 3(2 )在[0,2]上恒成立，
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即 2 ( + 2) + + 4 ≥ 0 在[0,2]上恒成立．
设 ( ) = 2 ( + 2) + + 4， ∈ [0,2]，
①若 ≤ 0，即( + 2)2 4( + 4) ≤ 0，则 2 3 ≤ ≤ 2 3．
> 0
+2
②若 2 ≤ 0 ，则 4 ≤ < 2 3．
(0) ≥ 0
> 0
+2
③若 2 ≥ 2 ，则 2 3 < ≤ 4．
(2) ≥ 0
综上所述， 4 ≤ ≤ 4．
不妨设 1 < 2，则 1 < 2，
( 1) ( 2)
> 转化为 ( 1) ( 2) < ( 1 2)，1 2
( 1) 1 < ( 2) 2．
设 ( ) = ( ) = 2 ， ∈ [1,2]，
则 ( )在[1,2]上单调递增．
所以 ′( ) = 2 ≥ 0 在[1,2]上恒成立，
由题意得存在 ∈ [ 4,4]，对任意 ∈ [1,2]，使得 ≤ 2 2 ，
所以 ≤ 2 2 + 4 ，
根据二次函数的性质可知，当 ∈ [1,2]时，2 2 + 4 ≥ 6．
所以 ≤ 6．
所以 的最大值为 6．
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