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2024-2025 学年天津市渤海石油一中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 16 小题，每小题 5 分，共 80 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.若 2 名女生 4 名男生排成一排，则 2 名女生不相邻的排法有( )种．
A. 120 B. 240 C. 360 D. 480
2.5 名同学排成一排，其中甲、乙、丙三人必须排在一起的不同排法有( )
A. 70 B. 72 C. 36 D. 12
3.某厂家生产的新能源汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在 2 内完成刹车，其位移 (单位： )关于
40
时间 (单位： )的函数关系式为 ( ) = 3 2 + 3，则 ′(1)的实际意义是( )
A.汽车刹车后 1 内的位移 B.汽车刹车后 1 内的平均速度
C.汽车刹车后 1 时的瞬时速度 D.汽车刹车后 1 时的瞬时加速度

4 ( ) → 0 ( 0 ) ( ).设 是可导函数，若 0 = 2，则 ( 0) =( )
A. 2 B. 12 C. 2 D.
1
2
5.有 20 个零件，其中 16 个一等品，4 个二等品，若从这些零件中任取 3 个，那么至少有 1 个是一等品的
概率是( )
1 2 2 1 2 1 3 3
A. 16 4 B. 16 43 3 C.
16 4+ 16
3 D. 1
4
320 20 20 20
6.在 10 件产品中有 8 件一等品和 2 件二等品，如果不放回地依次抽取 2 件产品，则在第一次抽到一等品
条件下，第二次抽到一等品的概率是( )
A. 45 B.
28 7 5
45 C. 9 D. 9
7.一位教授去参加学术会议，他选择自驾、乘坐动车和飞机的概率分别为 0.2，0.5，0.3，现在知道他选择
自驾、乘坐动车和飞机迟到的概率分别为 0.5，0.2，0.1，则这位教授迟到的概率为( )
A. 0.8 B. 0.5 C. 0.23 D. 0.32
8 .已知随机变量 的分布列为 ( = ) = ( = 1,2,3,4)，则 (2 ≤ < 4) =( )
A. 1 B. 3 7 92 5 C. 10 D. 10
9.已知随机变量 服从两点分布，且 ( = 1) = 0.7，设 = 2 1，那么 ( )的值是( )
A. 0.84 B. 0.7 C. 0.4 D. 0.3
10.下列说法不正确的是( )
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A.随机变量的方差和标准差越小，则偏离变量的平均程度越小
B.若 是常数，则 ( ) = 0
C.离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于均值的平均程度
D.离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定
11.若(2 1)4 = 4 3 24 + 3 + 2 + 1 + 0，则 0 + 2 + 4 =( )
A. 40 B. 40 C. 41 D. 82
12.函数 ( ) = 2 2 的单调减区间是( )
A. ( ∞, 12 ) B. (0,
1
2 )
C. ( ∞, 12 )和(0,
1 ) D. ( 12 2 , + ∞)
13.已知函数 ( )的图象如图所示， ′( )为 ( )的导函数，根据图象判断下列叙述正确的是( )
A. ′( 1) < ′( 2) B. ′( 1) > ′( 2)
C. ( 1) < ′( 2) < 0 D. ( 1) > ′( 2) > 0
14.用 0，1，2，3，4，5 这六个数字可以组成无重复数字的四位偶数有( )
A. 60 个 B. 106 个 C. 156 个 D. 216 个
315 ( ) = 3 , ≤ 0.己知函数 , > 0 ，若函数 ( ) = ( ) 有 3 个零点，则实数 的取值范围是( )
A. [0,4) B. [0,2) C. ( ∞,4] D. ( ∞,2]
2
16.函数 ( ) = 的图象大致为( )
A. B. C. D.
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二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
17 1.小王通过英语听力测试的概率是3，他连续测试 3 次，那么其中恰有 1 次获得通过的概率是______．
18.一场小型晚会有 3 个唱歌节目和 2 个相声节目，要求排出一个节目单.第一个节目和最后一个节目都是
唱歌节目，有______种排法；前 3 个节目中要有相声节目，有______种排法．
19.若 3 = 4 ，则(2 + 1) 的展开式的第 4 项的系数为______. (用数字作答)
20.对于( 2 3 )6 的展开式，下列说法正确的是______．
①所有项的二项式系数和为 64；
②所有项的系数和为 64；
③常数项为 1215；
④二项式系数最大的项为第 3 项．
21.已知函数 ( ) = 3 + 3 2 + + 2在 = 1 时有极值 0，则 + =______．
22.“双十一”是指每年的 11 月 11 日，以一些电子商务为代表，在全国范围内兴起的大型购物促销狂欢
日．某商家在去年的“双十一”中开展促销活动：凡购物满 5888 元的顾客会随机获得 ， ， 三种赠品中
的一件，现恰有 3 名顾客的购物金额满 5888 元．设随机变量 表示获得赠品完全相同的顾客人数，则 ( =
0) =______， ( ) =______．
三、解答题：本题共 3 小题，共 40 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
23.(本小题 13 分)
一个袋子中有 6 个大小相同的球，其中有 2 个黄球，4 个白球，从中随地摸出 3 个球作为样本.用 表示样
本中黄球的个数.若有放回摸球，求 的分布列、均值、方差．
24.(本小题 13 分)
端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有 10 个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个，这
三种粽子的外观完全相同，从中任意选取 3 个．
(Ⅰ)求三种粽子各取到 1 个的概率；
(Ⅱ)设 表示取到的豆沙粽个数，求 的分布列与数学期望．
25.(本小题 14 分)
已知函数 ( ) = ( 1)， ∈ ．
(Ⅰ)若 = 2，求曲线 = ( )在点( , ( ))处的切线方程；
(Ⅱ)当 > 1 时，求函数 ( )的单调区间和极值；
(Ⅲ)若对于任意 ∈ [ , 2)，都有 ( ) < 4 成立，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.49
18.36 108
19.560
20.①②
21.11
22.2 59 3
23. 1 1解：对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为3，且各次试验之间的结果是独立的，因此 ～ (3, 3 )，
1 2的分布列为 ( = ) = × ( ) × ( )3 3 3 3 , = 0,1,2,3，
0 1 2 3
8 4 2
1
27 9 9 27
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则 ( ) = 3 × 13 = 1， ( ) = 3 ×
1
3 × (1
1 ) = 23 3．
24.解：(Ⅰ)令 表示事件“三种粽子各取到 1 个”，
1 1 1 1
则由古典概型的概率公式有 ( ) = 2 3 53 = 4． 10
(Ⅱ)随机变量 的取值为：0，1，2，
3 1 2 2 1
则 ( = 0) = 83 =
7
15， ( = 1) =
2 8 = 7， ( = 2) = 2 8 1
3 15 3
= 15，10 10 10
0 1 2
7 7 1
15 15 15
= 0 × 715 + 1 ×
7
15 + 2 ×
1
15 =
3
5．
25.解：(Ⅰ) ( ) = ( 3) ， ( ) = 2 ，
1′( ) = + 3 = 2，
则 = ′( ) = 1. …………………………3
所以 = ( )在点( , ( ))处的切线方程为 + 2 = ( )即 + + = 0. ………………5
(Ⅱ)因为 ( ) = ( 1) ( ∈ )，
所以 > 0 1， ( ) = + 1 = .…………………6
①当 ≤ 0时，因为 > 1，所以 ( ) = > 0，
函数 ( )的单调增区间是 (1, + ∞)，无单调减区间，无极值 …………………7
②当 > 0 时，令 = 0，解得 = ，
当 1 < < 时， ( ) < 0；当 > ， ( ) > 0，
所以函数 ( )的单调减区间是 (1, )，单调增区间是 ( , + ∞)，……………………9
在区间 (1, + ∞)上的极小值为 ( ) = ( 1) = ，无极大值．………10
(Ⅲ)因为对于任意 ∈ [ , 2]，都有 ( ) < 4 成立，所以 ( ) 4 < 0，
即问题转化为 ( 4) ( + 1) < 0 对于 ∈ [ , 2]恒成立，
即 + 1 > ( 4) 对于 ∈ [ , 2 ]恒成立，………………………11
令 ( ) = ( 4) ，则 ( ) =
4 + 4
2 ，
4
令 ( ) = 4 + 4， ∈ [ , 2]，则 ( ) = + 1 > 0，
所以 ( )在区间[ , 2]上单调递增，
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故 ( ) = ( ) = 4 + 4 = > 0，进而 ( ) > 0，…………………………13
所以 ( )在区间[ , 2]上单调递增，
8
函数 ( ) 2 = ( ) = 2 2，…………………………15
+ 1 > ( 4) 要使 对于 ∈ [ ,
2]恒成立，只要 + 1 > ( ) ，
8 8
所以 + 1 > 2 2，即实数 的取值范围是 (1 2 , + ∞). …………………………16
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