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2024-2025 学年黑龙江省哈尔滨市道外区高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法正确的是( )
A.两个单位向量一定相等
B.若 与 不共线，则 与 都是非零向量
C.共线的单位向量必相等
D.两个相等向量的起点、方向、长度必须都相同
2.复数(4 + ) (1 + 5 )的虚部为( )
A. 4 B. 4 C. 4 D. 4
3.在△ 中，已知角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ： ： = 4：7：9，则 =( )
A. 19 B. 8 C. 19 D. 1621 63 21 21
4.已知 (2,1)， (3,1)， (1,5)三点，则 等于( )
A. 15 B. 13 C. 2 D. 1
5.如图，测量河对岸的塔高 时，选取与塔底 在同一水平面内的两个观测点 与 ， 垂直于平面 .
现测得∠ = 15°，∠ = 120°， = 20 ，并在点 测得塔顶 的仰角为 45°，则塔高 =( )
A. 20 63
B. 10 3
C. 10 6
D. 20 3
6.在△ 中， 边上的中线为 ，点 满足 = 3 ，则 =( )
A. 3 + 5 B. 3 5 C. 5 3 8 8 8 8 8 8
D. 58
+ 3 8

7.如图，高度为 的圆锥形玻璃容器中装了水，则下列四个容器中，水的体积最接近容器容积一半的是( )
A. B. C. D.
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8.如果复数 满足| + 2 | + | 2 | = 4，则| + + 1|的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量 = ( , 3)， = (5,2)，则下列结论正确的是( )
A. / / = 15 6若 ，则 2 B.若 ⊥
，则 = 5
C.若| | = 5，则 = 4 D.若 = 3，则 = 21
10.已知圆锥的顶点为 ， 为底面直径，△ 是面积为 1 的直角三角形，则( )
A. 1该圆锥的母线长为 2 B.该圆锥的体积为3
C.该圆锥的侧面积为 D.该圆锥的侧面展开图的圆心角为 2
11.已知△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，下列结论正确的是( )
A.若 > ，则 >
B.若 2sin2 + 2sin2 = 2 ，则△ 是直角三角形
C.若 = ，则△ 是锐角三角形
D. + + > 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知复数(2 )( + )是纯虚数( 为虚数单位)，则实数 的值为______．
13.在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， = 3 ，则 = ______．
14.六氟化硫，化学式为 6，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，
有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构
(正八面体是每个面都是正三角形的八面体)，如图所示.若此正八面体的棱长为 4，
则它的内切球的表面积为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
设复数 1 = 2 ( ∈ )， 2 = 1 + ．
(1)若 1 +

2是实数，求
1
；2
(2)若 1 2是纯虚数，求 1的共轭复数．
16.(本小题 15 分)

已知 与 是平面内的两个向量，| | = 2，| | = 1， 与 的夹角为4．
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(1)求 ；
(2)求| + 2 |；
(3)在平面直角坐标系下，若 = (1,0)，求 在 方向上的投影向量的坐标．
17.(本小题 15 分)
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 2 + 2 2 = ．
(1)求 ．
(2)若 = 2 ，且三角形的面积为 8 3，求△ 的周长 ．
18.(本小题 17 分)
如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中，截去三棱锥 1 ，求
(1)截去的三棱锥 1 的表面积；
(2)剩余的几何体 1 1 1 1 的体积；
(3)在剩余的几何体 1 1 1 1 中连接 1 1，求四棱锥 1 1 1 的体积．
19.(本小题 17 分)
在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，向量 = ( , + )， = ( , )，且 ⊥ ．
(1)若边 = 8， = 6，∠ 的平分线交 边于点 .求 的长；
(2)若 为 边上任意一点， = 1 = 2 ， .求 2 + 的最小值．
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参考答案
1.
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3.
4.
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8.
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10.
11.
12. 12
13.2 3
14.32 3
15.解：(1) 1 + 2 = 2 + 1 + = 3 + (1 ) ∈ ，则 = 1，
1 = 2 = (2 )(1 ) 1 3 1 3 2 1+ (1+ )(1 )
= 2 = 2 2 ；
(2) 1 2 = (2 )(1 + ) = + 2 + (2 ) ，
由 + 2 = 0 且 2 ≠ 0，解得 = 2，
则 1 = 2 + 2 ， 1的共轭复数为 2 2 ．
16.解：(1) = | || |cos , = 2 × 1 × cos 4 = 1；
2
(2)因为| + 2 |2 = 2 + 4 + 4 = 2 + 4 + 4 = 10，
所以| + 2 | = 10；

(3) 1在 方向上的投影向量为 2 = 1
= = (1,0)．
| |
17.解：(1)因为 2 + 2 2 = ，
由余弦定理可得 2 + 2 2 = 2 ，
1
所以 = 2，
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又 0 < < ，

所以 = 3；
(2) = 2 = 因为 ， 3，三角形的面积为 8 3，
所以 △ =
1
2 =
3 22 = 8 3，
可得 = 4， = 8，
由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 = 64 + 16 2 × 8 × 4 × 12 = 48．
解得： = 4 3，
所以△ 的周长 = 12 + 4 3．
18.解：(1)根据题意可得：截去的三棱锥 1 的表面积为：
3 × 12 × 2 × 2 +
1 3
2 × 2 2 × 2 2 × 2 = 6 + 2 3；
(2) 1 1 20根据题意可得剩余的几何体 1 3 31 1 1 的体积为2 3 × 2 × 2 = 3；
(3)根据正方体的性质易知 1 1 ⊥平面 1 1 ，
∴ 11到平面 1 1 的距离为2 1 1 = 2，
又矩形 1 1 的体积为 2 2 × 2 = 4 2，
∴ 1四棱锥 1 1 1 的体积为3 × 4 2 × 2 =
8
3．
19.解：(1)
根据题意可知，向量 = ( , + )， = ( , )，
由 ⊥ 得， = ( ) + ( + )( ) = 0，即 = 2 + 2 2，
2 2 2
∴ = + 2 =
1
2，由 ∈ (0, )得， = 3，
∵ = = 6，∴ = 12，
根据余弦定理得， 2 = 2 + 2 ，即 64 = ( + )2 3 ，得 + = 10，
∵ 为∠ 的平分线，∴ ∠ = ∠ = 6，
∴ 1 1△ = 2 3 = 2 sin
1
6 + 2 sin 6，
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∴ 3 3 = 14 ( + ) =
5 ∴ = 6 32 ， 5 ；
(2)
根据题意可知， = 2 ，即 = 2 2 2 + 2 + 2 + ，
∴ = 2 +
2
，故(2 + )2 = (2 + 22 + 2 + ) ，
∵ = = 13 2 ，∴ (2 + )
2 = 4 2 2 + 2 2 2 + 2 2 = 7 2 2，
∵ > 0 2 1， > 0，∴ 2 + = 7 ，即 + = 7，
∴ 2 + = (2 + )( 2 + 1 ) 1 = 1 (5 + 2 + 2 ) ≥ 1 (5 + 2 2 2 ) = 9 7 7 7 7 7 ，
当且仅当 = 时等号成立，
∴ 2 + 9 7的最小值为 7 ．
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