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2024-2025 学年四川省凉山州西昌市高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列{ }的通项公式为 = 25 2 ，在下列各数中，不是{ }的项的是( )
A. 1 B. 1 C. 3 D. 2
2.下列函数的求导正确的是( )
A. ( 2)′ = 2 B. ( )′ = +
C. ( 10) 1′ = 10 D. (2
)′ = 2
3.已知等差数列{ }，{ }的前 项和分别为

， ，若 = 2 ，则 2+ 10 3 +1 =( )5+ 7
A. 911 B.
17 C. 11 1211 17 D. 19
4.已知 ′( )是函数 = ( )的导函数，且 = ′( )的图象如图所示，则函数 = ( )
的图象可能是( )
A. B.
C. D.
5.已知 ( ) = 3 (2 ) + 2 2 ，则曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为( )
A. 3 + 2 1 = 0 B. 3 4 + 7 = 0 C. 3 + 2 + 1 = 0 D. 3 4 7 = 0
6.函数 ( ) = 2 2 + 7 的单调递减区间是(0, 2)，则 =( )
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
7.已知数列{ }满足 1 = 4，且 +1 = 2 3，则 211 =( )
A. 2210 3 B. 2211 1 C. 2210 + 3 D. 2211 + 1
8.已知定义域为 的函数 ( )，其导函数为 ′( )，且满足 ′( ) 2 ( ) < 0， (0) = 1，则( )
A. 2 ( 1) < 1 B. (1) > 2 C. ( 12 ) > D. (1) < (
1
2 )
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.数列{ }的前 项和为 ，已知 1 = 6， = +1 + 2，则下列说法正确的是( )
A. { }是递增数列 B. 10 1 = 14
C.当 > 4 时， < 0 D.当 = 3 或 4 时， 取得最大值
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10.下列命题正确的是( )
A.函数 = ( )的切线与函数的图象可以有两个公共点
B.若 ′( 0) = 0，则函数 ( )在 0处无切线

C.曲线 = ( )在 = 1 处的切线方程为 2 = 0 → 0 (1) (1+2 )，则 = 1
D.已知函数 ( ) = 3，则 = 0 是函数 ( )的极值点
11.已知函数 ( ) = 3 6 2 + 1( ≠ 0)有且仅有三个不同的零点分别为 1， 2， 3，则( )
A. 的范围是( ∞, 132 ) B.
1
的范围是( 32 , + ∞)
C. 11 2 3 = D. 1 + 2 + 3 = 6
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若数列{ }是等比数列，且 6 7 8 = 8，则 2 12 = ______．
13.已知曲线 = 在点 处的切线经过原点，则此切线的方程为______．
14.已知 ( ) = + 34 4 ， ( ) =
2 2 + 4，若对任意的 1 ∈ (0,2]，存在 2 ∈ [1,2]，使得 ( 1) ≥
( 2)成立，则 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
记 是公差不为 0 的等差数列{ }的前 项和，若 5 = 7， 8 = 4 7．
(1)求数列{ }的通项公式 ；
(2)求使 > 成立的 的最小值．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 2 ， ∈ ， ′( )为函数 ( )的导函数．
(1)求函数 ′( )的单调性；
(2)若任意 ∈ (1,2)， ( ) + ′( ) < 2 2 2 恒成立，求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
已知正项等比数列{ }满足 1 = 2， 5 3 = 24．
(1)求{ }的通项公式；
(2)设数列{ }满足 = (2 1) 1，{ }的前 项和 ．
18.(本小题 17 分)
已知关于 的函数 ( ) = ln( + 1)，其图象与直线 = 相切．
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(1)求 的值；
(2)证明： ( ) ≥ 0；
(3) 1设数列 = ln( +1)，( ∈
)，{ }的前 项和为 ，证明： >
2
+1 ( ∈
)．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 + ．
(1)当 = 5， = 2 时，求 ( )的单调递减区间；
(2)当 = 6 时，若 ( )有两个极值点 1， 2．
(ⅰ)求 的取值范围；
(ⅱ)证明： ( 1) + ( 2)
34
1 2 > 3．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.4
13. =
14.[ 18 , + ∞)
15.解：(1)根据题意，数列{ }为等差数列，设其公差为 ，
若 5 = 7，则 5 1 + 10 = 1 + 6 ，变形可得 1 + = 0，
又由 8 = 4 7，
则( 1 + 3 )( 1 + 6 ) = 8 1 + 28 ，
解之得 = 0(舍)或 = 2，故 1 = 2，
故 = 1 + ( 1) = 2 4．
(2) ( 1)根据题意，由(1)的结论， = × ( 2) + 2 × 2 =
2 3 ，
则不等式 > 即： 2 3 > 2 4，整理可得：( 1)( 4) > 0，
解得： < 1 或 > 4，又 为正整数，故 的最小值为 5．
16.解：(1)由于函数 ( ) = 2 2 ，且定义域为 ，
因此导函数 ′( ) = 4 ，令函数 ( ) = 4 ，那么导函数 ′( ) = 4 ，
当 ≤ 0 时，导函数 ′( ) < 0， ′( )在 上单调递减；
当 > 0 时，令导函数 ′( ) < 0，得到 ∈ ( 4 , + ∞)，
令导函数 ′( ) > 0，得到 ∈ ( ∞, 4 )，
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因此导函数 ′( )在( ∞, 4 )上单调递增，在( 4 , + ∞)上单调递减；
综上所述：当 ≤ 0 时， ′( )在 上单调递减；
当 > 0 时， ′( )在( 4 , + ∞)上单调递减，在( ∞, 4 )上单调递增．
(2)由(1)得 ′( ) = 4 ，
因为对于任意 ∈ (1,2)， ( ) + ′( ) < 2 2 2 恒成立，
所以 2 2 + 4 < 2 2 2 恒成立，
1
化简得 1 > 2 恒成立，故 2 < 恒成立，

令 ( ) = 1 ( 1) +1 ，则 2 < ( )恒成立， ′( ) = 2 ，
令 ( ) = ( 1) + 1，则 ′( ) = > 0，
得到 ( )在(1,2)单调递增，即 ( ) > (1) = 1，
故 ′( ) > 0， ( )在(1,2)单调递增，而 (1) = 1，
即 ( ) > (1) = 1，故 ∈ ( ∞, 12 ]．
17.解：(1)设等比数列{ }的公比为 ，则 > 0，
所以 4 25 3 = 1( ) = 24，
由 4 21 = 2，可得 12 = 0，
解得 2 = 4( 3 舍去)，
因为 > 0，解得 = 2，
故 = 1 1 = 2 ．
(2)由(1)知 = (2 1) × 2 1，
设 1 2 = 1 × 2 + 3 × 2 + . . . + (2 3) × 2 1 + (2 1) × 2 ，
2 = 1 × 22 + 3 × 23 + . . . + (2 3) × 2 + (2 1) × 2 +1 ，
相减可得 = 2 + 23 + . . . + 2 + 2 +1 (2 1) × 2 +1
1
= 2 + 8(1 2 ) (2 1) × 2 +11 2 = 6+ (3 2 ) × 2
+1，
可得 = 6 + (2 3) × 2 +1 ，
则 = (2 3) × 2 +1 + 6．
18.解：(1)因为函数 ( ) = ln( + 1)的图象与 = 轴相切，
( ) = 1 1 = 则 ′ +1 +1 = 0，得 = 0，代入可得 (0) = 0，
所以 = = 0．
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(2)证明：由(1)知 ′( ) = +1，
则 ′( ) > 0，得 > 0， ( )单调递增， ′( ) < 0，得 1 < < 0， ( )单调递减，
( ) = (0) = 0，
所以 ( ) ≥ 0．
(3)由(2)知，当 > 0 时，0 < ln( + 1) < ，
1 1
所以ln( +1) > ，
故当 > 0 1 1时，ln( +1) > ，
当 ≥ 1 时， ( + 1) ≥ 2 > 0 1，则 +1 ≥
1
2 ≥
1 1 1
( +1) = +1，
1
所以 ≥ 2(
1 1 +1 )， ≥ 1，
1
所以ln( +1) >
1
≥ 2(
1 1 1 1
+1 )，即 > 2( +1 )，
所以 =
1 + 1 + 1 1 1 2 3 4 + … + + ln( +1)，
1 + 1 1 1 1 1 1 1 1 2 所以 2 3 + … + + ln( +1) > 2[(1 2 ) + ( 2 3 ) + … + ( +1 )] = +1．
19.解：(1)当 = 5， = 2 时， ( ) = 2 5 + 2 ，定义域为 ，
则 ′( ) = 2 2 5 + 2 = (2 1)( 2)，
由 ′( ) < 0 1，可得2 <
< 2，解得 2 < < 2，
故 ( )的单调递减区间为( 2, 2)．
(2)(ⅰ)当 = 6 时， ( ) = 2 6 + ， ′( ) = 2 2 6 + ，
令 1 = 1， = 2 2，则 21， 2是方程 2 6 + = 0 的两个正根，
则 = 36 8 > 0 < 9，即 2，
有 1 + 2 = 3， 1 2 =

2 > 0，则 > 0，
9 9
所以 0 < < 2，即 的取值范围为(0, 2 ).
(ⅱ)证明：当 = 6 时， ( 1) + ( 2 2) 1 2 = 1 6 1 + 1 + ( 2 2 6 2 + 2) 1 2
= ( 21 + 22) 6( 1 + 2) + ( 1)( 1 + 2) = [( 1 + 22) 2 1 2] 6( 1 + 2) + ( 1)ln( 1 2)
= [9 2 × 2 ] 18 + ( 1)ln

2 = + ( 1)ln

2 9，
令 ( ) = + ( 1)ln 2 9(0 < <
9
2 )，
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则 ′( ) = 1 + ln

2．
令 ( ) = 1 + ln

2，则 ′( ) =
1
2 +
1
> 0，
则 ′( )在(0, 92 )上单调递增，
又 ′(3) = 1 3 13 + ln 2 > 0， ′(2) = 2 < 0，
故存在 0 ∈ (2,3)
1
，使 ′( 0) = 0，即 = ln
0
0 2
，
则当 ∈ (0, 0)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
当 ∈ ( 0,
9
2 )时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
则 ( ) ≥ ( 0) = 0 + ( 0 1)ln
0
2 9 = 0 + ( 0 1)
1
9 = (
1
0 + ) 8，0 0
又 0 ∈ (2,3)
1 1 34
，故 ( 0) = ( 0 + ) 8 > (3 + 3 ) 8 = 3，0
34
所以 ( 1) + ( 2) 1 2 > 3．
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