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2024-2025 学年河南师大附中高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设 = 5 + ，则 ( + ) =( )
A. 10 B. 2 C. 10 D. 2
2.已知正方形 的边长为 1， = , = , = ,则| + + |等于( )
A. 0 B. 3 C. 2 D. 2 2
3.已知三条不同的直线 ， ， 和两个不同的平面 ， ，下列四个命题中正确的是( )
A.若 // ， // ，则 // B.若 // ， ，则 //
C.若 ⊥ ， ，则 ⊥ D.若 // ， ⊥ ，则 ⊥
4.已知三棱柱 1 1 1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为 3， = 2，
= 1，∠ = 60°，则此球的表面积是( )
A. 2 B. 4 C. 8 D. 10
5.如图，在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1中， 为线段 1上的动点，下列说法不正确的是( )
A.对任意点 ， //平面 1 1
B.三棱锥 1
1
1的体积为6
C. 6线段 长度的最小值为 2
D.存在点 ，使得 与平面 1

1所成角的大小为3
6.如图，在直三棱柱 1 1 1中，△ 是边长为 4 的正三角形， 1 = 2， 为棱 1 1上的中点，
为棱 1上的动点，过 作平面 的垂线段，垂足为点 ，当点 从点 运动到点 1时，点 的轨迹长度为( )
A. 6
B. 4
C. 3
D.
7 .如图，四边形 是边长为 2 的菱形，∠ = 3 .半圆面 ⊥底面 ，点 为圆弧 上的动点.当
三棱锥 的体积最大时，二面角 的余弦值为( )
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A. 32 B.
1
2 C.
5 D. 2 55 5
8.在△ 中，内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，( + )( ) + = ， + 2 = 4，
= 3 2 ，则线段 长度的最小值为( )
A. 2 B. 2 23 C. 3 D.
2 3
3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.△ 1内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 = (3 ) ，且 = 3，则下列结论正确的是
( )
A. + = 3 B. = 2 2
C. △ 的周长为 4 D. △ 2 2的面积为 29
10.《九章算术》里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”.如图，底面是直角三
角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面 将一个“堑堵”截成两部分，其三棱锥称为“鳖臑”.在鳖臑
中， ⊥ ， = 2 32 ，其外接球的体积为 3 ，当此鳖臑的体积 最大时，下列结论正确的是( )
A. = = 6
B. = 6
C. 6直线 与平面 所成角的正弦值 4
D. 15 6内切球的半径为 3
11.对非零向量 , ，定义运算“( )”： ( ) = | | + | | ，其中 为 与 的夹角，则( )
A.若 // ，则| ( ) | = | |
B.若 = ( 1,2), = ( 3,1)，则( )( ) = 5
C.若 △ 中， = 2 , = 2, = 1，则
( ) = 2 53
D.若△ 中， ( ) = ( ) = 0，则△ 是等腰三角形
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
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12.在△ 3中， = 4， = 3，∠ = 90°， 在边 上，延长 到 ，使得 = 9，若 = + 2
( 为常数)，则 的长度是 ．
13.设 1 ， 2 为单位向量，满足|2 1 2 | ≤ 2， = 1 + 2 ， = 3 1 + 2 ，设 ， 的夹角为 ，则cos2
的最小值为______．
14.在三棱锥 中，∠ = 60°，∠ = ∠ = 90°，点 到底面 的距离为 2，若三棱锥
的外接球表面积为 6 ，则 的长为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知平面向量 , , ，且 = ( 2,1)．
(1)若 // ，且| | = 25，求向量 的坐标；
(2)若 = (3,2)，求 在 方向的投影向量(用坐标表示)．
16.(本小题 15 分)
2
如图所示，在四棱锥 中，在底面 中， = 3
， 在棱 上且 = 2 ．
(1)求证： //平面 ；
(2)线段 上是否存在点 ，使得平面 // 平面 ？若存在，写出 的值；若不存在，请说明理由．
17.(本小题 15 分)
2
在锐角△ 2 3 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 + = 2+ 2 2．
(1)求角 的大小；
(2)若 = 3，点 是线段 的中点，求线段 长的取值范围．
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18.(本小题 17 分)
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且cos2 + sin2 = 2 cos2 ．
(1)求角 ；
(2)若∠ 的角平分线交 于点 ， = 3， = 4，求 ；
(3)若△ 的外接圆的半径为 3，求 2 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
如图所示，正方体 1 1 1 1的棱长为 ．
(1)过正方体 1 1 1 1的顶点 ， ， 1截下一个三棱锥 1 1 1，求正方体剩余部分的体积；
(2)若 ， 分别是棱 ， 的中点，请画出过 1， ， 三点的平面与正方体 1 1 1 1表面的交
线(保留作图痕迹，画出交线，无需说明理由)，并求出交线围成的多边形的周长；
(3)设正方体 1 1 1 1外接球的球心为 ，求三棱锥 1 1的体积．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0/185
13.2829
14. 3
15.解：(1)设 = ( , ), = ( 2,1)，
∵ // ，
∴ = 2 ，
又| | = 25，
∴ 2 + 2 = 625，
∴ 2 = 125，
∴ =± 5 5，
∴ = 10 5 = 10 5或 ，
= 5 5 = 5 5
∴ = ( 10 5, 5 5)或(10 5, 5 5)；
(2) = 6+ 2 = 4，
∴ = 4 = 4 13，
| | 13 13
∴ 在 12 8上的投影向量为( 13 , 13 )．
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16.(1) 2证明：因为 = ，所以 3 // ，
所以 // ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ；
(2)解：存在，且当点 为 上靠近 点三等分点时，
2
即 = 3时，平面 //平面 ．
下面给出证明：
因为 = 2 23 ，所以 // ， = 3 ，
2
又因为点 为 上靠近 点三等分点，所以 = 3 ，
所以 // ， = ，
所以四边形 为平行四边形，所以 // ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，
因为 1在棱 上且 = 2 ，即 = 3 ，
1
又因为 = 3 ，所以△ ～△ ，
所以 // ，又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，
又 ， 平面 ， ∩ = ，
所以平面 //平面 ．
2
17.解：(1)因为 + = 2 3 2+ 2 2，
由余弦定理及正弦定理得：
2
+ = 2 3 3 3 2 = = ，
+ = 3 = 则 +
= + sin( + ) = = ，
又△ 是锐角三角形，所以 > 0， > 0，
所以 = 3 ，所以 = 3，
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又 ∈ (0, 2 )

，所以 = 3；
(2)由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 = 2 + 2 = 3，
又 = 12 (
+ )，
所以
2
= 1 ( + )2 = 1 (
2
+
2
+ 2 4 4
) = 1 24 ( +
2 + )
= 1 (3 + 2 ) = 34 4 +
1
2 ，

由正弦定理可得 = = = 2，
所以 = 2 = 2 = 2 ( 2 ， 3 ) = 2(
3 1
2 + 2 )，
所以 = 4( 32 +
1
2 sin
2 ) = 4( 34 2 +
1 1 2
2 2 ) = 2 (2

6 ) + 1，
0 < < 2 ,
由题意得 解得 < < ，
0 < 2 3 <

2 ,
6 2
2 ∈ ( , 5 1则 6 6 6 )，所以 sin(2 6 ) ∈ ( 2 , 1],
2
所以 ∈ (2,3]，所以 ∈ ( 74 ,
9
4 ],
所以线段 7 3长的取值范围为( 2 , 2 ]．
18.解：(1)因为cos2 + sin2 = 2 cos2 ，
可得sin2 = (1 cos2 ) + (1 cos2 ) = sin2 + sin2 ，
由正弦定理得 2 = 2 + 2 ，
由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 ，
可得 = 12，
且 0 < < ，
= 所以 3；
(2)因为∠ 的角平分线交 于点 ， = 3， = 4，可知∠ = ∠ = 6，
因为 △ = △ + △ ，
1 = 1 即2 2 2 +
1
2
= 12 2 ( + ) sin

2，
则 3 × 4 × 32 = (3 + 4)
1
2，
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= 12 3可得 7 ；
(3) 由正弦定理可得 =

= 2 3，
则 = 2 3 , = 2 3 = 2 3sin( + ) = 3 + 3 ，
可得 2 = 4 3 ( 3 + 3 ) = 3 3 3 = 6 ( 6 )，
2
又因为 ∈ (0, 3 )，则 6 ∈ ( 6 , 2 )，
1
可得 sin( 6 ) ∈ ( 2 , 1)，
即 2 ∈ ( 3,6)，
所以 2 的取值范围为( 3,6)．
19.解：(1)因为正方体 1 1 1 1，所以 1 ⊥平面 1 1 1，
则 11为三棱锥 1 1 1的高，∵ △ = 2
2， 1 = ，
则 1 1 1 =
1 1 2 1 3
1 1 1 = 3 × × 2 = 6 ，
1 5
则正方体剩余部分的体积为 3 3 36 = 6 ．
(2)画直线 交 ， 延长线分别为点 ， ，
再分别连接 1 ， 1 ，分别交 1， 1于点 ， ，
顺次连接 1， ， ， ， ，五边形 1 即为交线围成的多边形，
易得 = 12 ，∠ = ∠ = 45°，则△ 为等腰直角三角形，
1
则 = 12

，根据△ ∽△ 1 11 ， 2 ， 1
= = =1 1 2
则 1 =
2
3 ， =
1 2 2 2 13 2 2 13
3 ，则 1 = + ( ) = ， = (3 3 2 ) + ( 3 ) = 6 ，
同理可得 1 =
13 ，
3 =
13 ，而 2 ，
6 = 2
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则五边形 1 的周长为 2 × (
13 + 13 2 23 6 ) + 2 = 13 + 2 .
(3)
连接 1 ，易知 1 的中点即为正方体外接球的球心 点，
且 1 = 1 = 1 1 = 2 ，
易得三棱锥 1 1 1为正三棱锥，
而三棱锥 1 1 1的顶点 在底面上的投影即为等边三角形 1 1的中心 1点，
且点 ， 1均在直线 1 上，
= 1 × ( 2 )2 × 60° = 3 2△ ，1 1 2 2
(1) 1 1由 得 3 1 1 1 = 3 △ 1 1 1 1 = 6 ，
即1 3 2
3 2 × =
1 3
1 1 ，解得6
3
1 1 = 3 ，
而 1 = 3 ，所以 1 =
3
2 ，
所以 = 31 2
3 3 ，
3 = 6
则 1 3 2 3 1 3 1 1 = 3 × 2 × 6 = ．12
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