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2025年上海市中考数学模拟预测卷
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）下列说法中，正确的是（　　）
A．任何数除以0都得0
B．0的倒数是0
C．不存在倒数大于它本身的数
D．﹣1的倒数是它本身
2．（4分）（2023 道外区三模）下列运算正确的是（　　）
A．（﹣a3）2＝a9 B．2a﹣3a＝﹣a
C．（a﹣2）2＝a2﹣4 D．（﹣ab2）3＝ab5
3．（4分）（2023春 浦东新区校级月考）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而减小的是（　　）
A． B．y＝﹣2x C．y＝2x+1 D．y＝﹣2x2
4．（4分）（2024秋 管城区校级期末）某中学开展“健康锻炼进校园”活动，该学校随机统计了10名学生平均每周的体育锻炼时间，统计如下：
每周体育锻炼时间/时 2 4 6 8
学生数/人 2 3 4 1
下列说法错（　　）
A．众数是6 B．中位数是5
C．平均数是4.8 D．方差是36.32
5．（4分）下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　）
A．y B．y C．y＝1 D．y
6．（4分）（2024春 高碑店市月考）下列命题的逆命题是假命题的是（　　）
A．同旁内角互补，两直线平行
B．若a2＝b2，则a＝b
C．直角都相等
D．等边三角形的三个内角都相等
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）（2021春 青浦区期末）把写成幂的形式是 　 　 ．
8．（4分）（2022 黔东南州）分解因式：2022x2﹣4044x+2022＝　 　 ．
9．（4分）（2024秋 高安市期末）总台龙年春晚上，微信视频号与春晚共同推出了“竖屏看春晚”，为受众提供全新的视觉体验．据统计，“竖屏看春晚”直播播放量为4.2亿次．“4.2亿”用科学记数法表示为 　 　 ．
10．（4分）（2022 和平区一模）函数y中，自变量x的取值范围是 　 　 ．
11．（4分）（2025 奉贤区二模）方程的解为 　 　 ．
12．（4分）（2025 奉贤区二模）如果关于x的方程x2﹣x+m＝0有实数根，那么m的取值范围是　 　 ．
13．（4分）已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，AC⊥BC，若AC＝3，BC＝3，则CD＝　 　 ．
14．（4分）（2022 石狮市模拟）某校为了解九年级学生“一分钟跳绳”的整体水平，随机抽取了该年级50名学生进行测试，并将所得数据整理后，绘制了如图所示的频数分布直方图（每组数据包括左端值，但不包括右端值）．若以各组数据的中间值（如：60≤x＜80的中间值为70）代表该组数据的平均水平，则可估计该校九年级学生“一分钟跳绳”的平均次数约为 　 　 次．（精确到个位）
15．（4分）（2022秋 长宁区校级期中）在平行四边形ABCD中，点E，F是边CD，BC边的中点，若，，则　 　 .（结果用，表示）
16．（4分）（2025 成华区模拟）二十四节气是中国古人智慧的结晶，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律．二十四节气中，春季的节气有：立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨；夏季的节气有：立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑；秋季的节气有：立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降；冬季的节气有：立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒．若从二十四个节气中随机抽一个节气，则抽到的节气在春季的概率为　 　 ．
17．（4分）（2024 南昌模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，，△ABC的外接圆⊙O的半径为3，D是边BC延长线上一点，连接AD，交⊙O于点E，连接CE．若△CED为等腰三角形，则线段BD的长度为 　 　 ．
18．（4分）（2023秋 立山区校级月考）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，把△ABC绕点C顺时针方向旋转β度（0＜β≤90）得到△A1B1C，A1B1交射线CA于点D，当△A1CD是等腰三角形时，则线段CD的长为 　 　 ．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）（2024秋 黄埔区期末）先化简，再求值：，其中m满足m2+2m﹣3＝0．
20．（10分）（2024春 城关区校级期末）解不等式组．
21．（10分）如图，已知在△ABC中，∠B＝45°，CD是AB边上的中线，CD＝5，．
（1）求BC的长；
（2）求∠ACB的正切值．
22．（10分）（2022春 丰南区期末）如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣5，0），B（﹣1，4）．
①求直线AB的表达式；
②求直线CE：y＝﹣2x﹣4与直线AB交点C的坐标；
③根据图象，直接写出关于x的不等式kx+b＞﹣2x﹣4的解集．
23．（12分）（2025 奉贤区二模）如图，已知平行四边形ABCD中，点F是对角线BD上一点，∠BFC＝∠A，延长CF交边AD于点E．
（1）求证：AB2＝CF CE；
（2）当BD＝CE时，求证：四边形ABCD是菱形．
24．（12分）（2024 徐汇区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+4（a＞0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的表达式及点B的坐标；
（2）已知点M（0，m），联结BC，过点M作MG⊥BC，垂足为G，点D是x轴上的动点，分别联结GD、MD，以GD、MD为边作平行四边形GDMN．
①当m时，且 GDMN的顶点N正好落在y轴上，求点D的坐标；
②当m≥0时，且点D在运动过程中存在唯一的位置，使得 GDMN是矩形，求m的值．
25．（14分）（2023 长宁区二模）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心、AC为半径的⊙A交边AB于点D，点E在边BC上，满足CE＝BD，过点E作EF⊥CD交AB于点F，垂足为点G．
（1）求证：△BCD∽△BFE；
（2）延长EF与CA的延长线交于点M，如图2所示，求的值；
（3）以点B为圆心、BE为半径作⊙B，当BC＝8，AF＝2时，请判断⊙A与⊙B的位置关系，并说明理由．
2025年上海市中考数学模拟预测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）下列说法中，正确的是（　　）
A．任何数除以0都得0
B．0的倒数是0
C．不存在倒数大于它本身的数
D．﹣1的倒数是它本身
【考点】倒数．
【专题】实数；运算能力．
【答案】D
【分析】根据倒数、0的性质逐一判断即可．
【解答】解：A、0不能为除数，故此选项不符合题意；
B、0没有倒数，故此选项不符合题意；
C、存在倒数大于它本身的数，故此选项不符合题意；
D、﹣1的倒数是它本身，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查倒数的概念及性质和0的性质．考查了学生对概念的记忆，属于基础题．
2．（4分）（2023 道外区三模）下列运算正确的是（　　）
A．（﹣a3）2＝a9 B．2a﹣3a＝﹣a
C．（a﹣2）2＝a2﹣4 D．（﹣ab2）3＝ab5
【考点】完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】利用完全平方公式，合并同类项的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、（﹣a3）2＝a6，故A不符合题意；
B、2a﹣3a＝﹣a，故B符合题意；
C、（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，故C不符合题意；
D、（﹣ab2）3＝﹣a3b6，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查完全平方公式，合并同类项，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3．（4分）（2023春 浦东新区校级月考）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而减小的是（　　）
A． B．y＝﹣2x C．y＝2x+1 D．y＝﹣2x2
【考点】反比例函数的性质；二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】B
【分析】根据反比例函数、一次函数、二次函数的增减性即可得到答案．
【解答】解：A．函数，当x＞0时，y随自变量x的值增大而减小，或当x＜0时，y随自变量x的值增大而减小，原说法错误，不符合题意；
B．函数y＝﹣2x，k＝﹣2＜0，y随自变量x的值增大而减小，正确，符合题意；
C．函数y＝2x+1，k＝2＞0，y随自变量x的值增大而增大，原说法错误，符合题意；
D．函数y＝﹣2x2，当x＜0时，y随自变量x的值增大而增大，当x＞0时，y随自变量x的值增大而减小，原说法错误，不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数的性质、一次函数的性质及二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数、一次函数、二次函数的性质．
4．（4分）（2024秋 管城区校级期末）某中学开展“健康锻炼进校园”活动，该学校随机统计了10名学生平均每周的体育锻炼时间，统计如下：
每周体育锻炼时间/时 2 4 6 8
学生数/人 2 3 4 1
下列说法错（　　）
A．众数是6 B．中位数是5
C．平均数是4.8 D．方差是36.32
【考点】方差；加权平均数；中位数；众数．
【专题】统计的应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据众数、中位数、平均数及方差的定义求解即可．
【解答】解：A．这组数据的众数为6，所以A选项不符合题意；
B．这组数据的中位数为5，所以B选项不符合题意．
C．这组数据的平均数为（2×2+4×3+6×4+8×1）＝4.8，所以C选项不符合题意；
D．这组数据的方差为[（2﹣4.8）2×2+（4﹣4.8）2×3+（6﹣4.8）2×4+（8﹣4.8）2]＝3.36，所以D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了加权平均数、中位数、方差．
5．（4分）下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　）
A．y B．y C．y＝1 D．y
【考点】反比例函数的定义．
【专题】反比例函数及其应用；符号意识．
【答案】A
【分析】根据反比例函数的定义逐一判断即可得答案．
【解答】解：A、y符合反比例函数的定义，是反比例函数，故该选项符合题意；
B、y不符合反比例函数的定义，不是反比例函数，故该选项不符合题意；
C、y＝1不符合反比例函数的定义，不是反比例函数，故该选项不符合题意；
D、y不符合反比例函数的定义，不是反比例函数，故该选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，形如y（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．
6．（4分）（2024春 高碑店市月考）下列命题的逆命题是假命题的是（　　）
A．同旁内角互补，两直线平行
B．若a2＝b2，则a＝b
C．直角都相等
D．等边三角形的三个内角都相等
【考点】命题与定理；平行线的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，再根据平行线的性质、实数的平方、直角的概念、等边三角形的判定定理判断即可．
【解答】解：A、同旁内角互补，两直线平行，逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题．不符合题意；
B、若a2＝b2，则a＝b，逆命题是若a＝b，则a2＝b2，是真命题．不符合题意；
C、直角都相等，逆命题是相等的角是直角，是假命题，符合题意；
D、等边三角形的三个内角都相等，逆命题是三个内角都相等的三角形是等边三角形，是真命题．不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）（2021春 青浦区期末）把写成幂的形式是 　　 ．
【考点】分数指数幂．
【专题】整式；运算能力．
【答案】．
【分析】根据分数指数幂法则进行解题即可．
【解答】解：原式．
故答案为：．
【点评】本题考查分数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．
8．（4分）（2022 黔东南州）分解因式：2022x2﹣4044x+2022＝　2022（x﹣1）2　 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】2022（x﹣1）2．
【分析】原式提取公因式2022，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝2022（x2﹣2x+1）
＝2022（x﹣1）2．
故答案为：2022（x﹣1）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合应用，熟练掌握分解因式的方法是解本题的关键．
9．（4分）（2024秋 高安市期末）总台龙年春晚上，微信视频号与春晚共同推出了“竖屏看春晚”，为受众提供全新的视觉体验．据统计，“竖屏看春晚”直播播放量为4.2亿次．“4.2亿”用科学记数法表示为 　4.2×108　 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；符号意识．
【答案】4.2×108．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：4.2亿＝420000000＝4.2×108．
故答案为：4.2×108．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．（4分）（2022 和平区一模）函数y中，自变量x的取值范围是 　x≥﹣1且x≠5　 ．
【考点】函数自变量的取值范围．
【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】x≥﹣1且x≠5．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x+1≥0且x﹣5≠0，
解得：x≥﹣1且x≠5，
故答案为：x≥﹣1且x≠5．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
11．（4分）（2025 奉贤区二模）方程的解为 　x＝2　 ．
【考点】无理方程．
【专题】二次根式；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】方程两边平方得：x+2＝x2，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：，
方程两边平方得：x+2＝x2，
x2﹣x﹣2＝0，
（x﹣2）（x+1）＝0，
x﹣2＝0或x+1＝0，
x1＝2，x2＝﹣1，
经检验x＝﹣1不是原方程的解，x＝2是原方程的解．
故答案为：x＝2．
【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．
12．（4分）（2025 奉贤区二模）如果关于x的方程x2﹣x+m＝0有实数根，那么m的取值范围是　m　 ．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】m．
【分析】根据一元二次方程根的判别式即可解决问题．
【解答】解：因为关于x的方程x2﹣x+m＝0有实数根，
所以Δ＝（﹣1）2﹣4m≥0，
解得m．
故答案为：m．
【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
13．（4分）已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，AC⊥BC，若AC＝3，BC＝3，则CD＝　　 ．
【考点】直角梯形．
【专题】梯形；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】由AC＝BC，∠ACB＝90°，得∠CAB＝∠B＝45°，而AB∥CD，则∠DCA＝∠CAB＝45°，因为∠D＝90°，所以∠DAC＝∠DCA＝45°，则AD＝CD，根据勾股定理得2CD2＝32，则CD，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AC⊥BC，AC＝BC＝3，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠B＝45°，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB＝45°，
∵∠D＝90°，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，
∴AD＝CD，
∵AD2+CD2＝AC2，
∴2CD2＝32，
∴CD或CD（不符合题意，舍去），
故答案为：．
【点评】此题重点考查平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明∠CAB＝∠B＝45°是解题的关键．
14．（4分）（2022 石狮市模拟）某校为了解九年级学生“一分钟跳绳”的整体水平，随机抽取了该年级50名学生进行测试，并将所得数据整理后，绘制了如图所示的频数分布直方图（每组数据包括左端值，但不包括右端值）．若以各组数据的中间值（如：60≤x＜80的中间值为70）代表该组数据的平均水平，则可估计该校九年级学生“一分钟跳绳”的平均次数约为 　124　 次．（精确到个位）
【考点】频数（率）分布直方图；加权平均数；近似数和有效数字；调查收集数据的过程与方法；用样本估计总体．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】124．
【分析】根据直方图中的数据和加权平均数的计算方法，可以计算出该校九年级学生“一分钟跳绳”的平均次数．
【解答】解：123.6≈124，
即估计该校九年级学生“一分钟跳绳”的平均次数约为124次，
故答案为：124．
【点评】本题考查频数分布直方图、加权平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15．（4分）（2022秋 长宁区校级期中）在平行四边形ABCD中，点E，F是边CD，BC边的中点，若，，则　　 .（结果用，表示）
【考点】*平面向量；三角形中位线定理；平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】．
【分析】根据平行四边形法则得出，再根据三角形中位线定理得出EF，即可求解．
【解答】解：如图，连接DB，
∵，，
∴，
∵点E，F是边CD，BC边的中点，
∴EF，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量，熟练掌握平行四边形法则是解题的关键．
16．（4分）（2025 成华区模拟）二十四节气是中国古人智慧的结晶，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律．二十四节气中，春季的节气有：立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨；夏季的节气有：立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑；秋季的节气有：立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降；冬季的节气有：立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒．若从二十四个节气中随机抽一个节气，则抽到的节气在春季的概率为　　 ．
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】．
【分析】从二十四个节气中随机抽取一个节气，基本事件个数n＝24，抽到的节气在春季包含的基本事件个数m＝6，再根据概率公式计算即可．
【解答】解：∵从二十四个节气中随机抽取一个节气，基本事件个数n＝24，抽到的节气在夏季包含的基本事件个数m＝6，
∴抽到的节气在春季的概率为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了概率公式，熟记概率公式是解题的关键．
17．（4分）（2024 南昌模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，，△ABC的外接圆⊙O的半径为3，D是边BC延长线上一点，连接AD，交⊙O于点E，连接CE．若△CED为等腰三角形，则线段BD的长度为 　6或6或2　 ．
【考点】三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】6或6或2．
【分析】根据勾股定理得到AC，①当CE＝DE时，②当DC＝DE时，③当CE＝CD时，根据圆内接四边形的性质和等腰三角形的性质以及勾股定理即可得到结论．
【解答】解：在Rt△ACB中，BC，AB＝2×3＝6，
∴AC，
①当CE＝DE时，
∴∠D＝∠DCE，
∵∠DCE＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠D，
∴BD＝AB＝6；
②当DC＝DE时，
∴∠DCE＝∠DEC，
∵∠DEC＝∠ABC，∠DCE＝∠DAB，
∴∠DBA＝∠DAB，
∴AD＝BD，
∴AE＝BC，
∵∠ACD＝∠ACB＝90°，
∴AD2＝AC2+CD2，
∴BD2＝33+（BD）2，
∴BD＝6，
③当CE＝CD时，
∴∠D＝∠CED，
∵∠CED＝∠B，
∴∠B＝∠D，
∴AB＝AD，
∵AC⊥BD，
∴BD＝2BC＝2，
综上所述，若△CED为等腰三角形，线段BD的长度为6或6或2，
故答案为：6或6或2．
【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．
18．（4分）（2023秋 立山区校级月考）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，把△ABC绕点C顺时针方向旋转β度（0＜β≤90）得到△A1B1C，A1B1交射线CA于点D，当△A1CD是等腰三角形时，则线段CD的长为 　5或6或．　 ．
【考点】旋转的性质；相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】5或6或．
【分析】根据等腰三角形的顶点不同进行分类讨论：①当点C为顶点，即CD＝CA1，即可求解；②当点D为顶点，即DC＝DA1，由等腰三角形的定义得∠A1CD＝∠CA1D，再由旋转的性质和勾股定理可求，10，由等腰三角形的性质得CD＝B1D，即可求解；③当点A1为顶点，即A1C＝A1D，过点D作DE⊥A1C交A1C于E，由DE∥B1C，得△A1DE∽△A1B1C，由相似的性质得，从而可求出CE、DE的长，由勾股定理得，即可求解．
【解答】解：①当点C为顶点，即CD＝CA1，
如图，
∴点D与点A重合，
∴CD＝CA＝6；
②当点D为顶点，即DC＝DA1，
如图，
∴∠A1CD＝∠CA1D，
由旋转得A1C＝AC＝6，B1C＝BC＝8，
∠A1CB1＝90°，
∴10，
∴∠CA1D+∠B1＝90°，∠B1CD+∠A1CD＝90°，
∴∠B1CD＝∠B1，
∴CD＝B1D，
∴；
③当点A1为顶点，即A1C＝A1D，
如图，过点D作DE⊥A1C交A1C于E，
∴A1D＝A1C＝6，
∴DE∥B1C，
∴△A1DE∽△A1B1C，
∴，
∴，
解得，，
∴；
综上所述：CD的长为5或6或；
故答案为：5或6或．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，掌握相关的判定方法及性质，能根据等腰三角形不同顶点进行分类讨论是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）（2024秋 黄埔区期末）先化简，再求值：，其中m满足m2+2m﹣3＝0．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】2m2+4m，6．
【分析】先把小括号内的式子通分，然后计算分式乘法化简，最后代值计算即可．
【解答】解：，
＝2m（m+2）
＝2m2+4m，
∵m2+2m﹣3＝0，
∴m2+m＝3，原式＝2（m2+2m）＝2×3＝6，
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是关键．
20．（10分）（2024春 城关区校级期末）解不等式组．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】x．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①，得：x≥﹣1，
解不等式②，得：x，
∴不等式组的解集为x．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．（10分）如图，已知在△ABC中，∠B＝45°，CD是AB边上的中线，CD＝5，．
（1）求BC的长；
（2）求∠ACB的正切值．
【考点】解直角三角形；线段的和差；平行线的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
【答案】（1）7；
（2）6．
【分析】（1）过点D作DE⊥BC于点E，过点A作AF⊥BC于点F，则DE∥AF，解Rt△CDE得DE＝3，CE＝4，证明△BDE是等腰直角三角形得BE＝DE＝3，由此可得BC的长；
（2）根据CD是AB边上的中线得AB＝2BD，再根据DE∥AF得△BDE和△BAF相似，利用相似三角形的性质求出AF＝6，再证明△ABF是等腰直角三角形得BF＝AF＝6，则CF＝1，然后在Rt△ACF中，根据正切函数的定义即可得出∠ACB的正切值．
【解答】解：（1）过点D作DE⊥BC于点E，过点A作AF⊥BC于点F，如图所示：
∴DE∥AF，
在Rt△CDE中，CD＝5，sin∠BCD，
∴sin∠BCD，
∴，
∴DE＝3，
由勾股定理得：CE4，
∵∠B＝45°，DE⊥BC，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BE＝DE＝3，
∴BC＝BE+CE＝3+4＝7；
（2）∵CD是AB边上的中线，
∴AB＝2BD，
∵DE∥AF，
∴△BDE∽△BAF，
∴，
∴，
∴AF＝6，
∵∠B＝45°，AF⊥BC，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴BF＝AF＝6，
∵BC＝7，
∴CF＝BC﹣BF＝1，
在Rt△ACF中，tan∠ACB6．
【点评】此题主要考查了解直角三角形，平行线的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，理解等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，灵活运用勾股定理及锐角三角函数的定义进行计算是解决问题的关键．
22．（10分）（2022春 丰南区期末）如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣5，0），B（﹣1，4）．
①求直线AB的表达式；
②求直线CE：y＝﹣2x﹣4与直线AB交点C的坐标；
③根据图象，直接写出关于x的不等式kx+b＞﹣2x﹣4的解集．
【考点】一次函数与一元一次不等式；两条直线相交或平行问题；待定系数法求一次函数解析式．
【专题】数形结合；待定系数法；一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）y＝x+5；
（2）C的坐标是（﹣3，2）；
（3）x＞﹣3．
【分析】（1）用待定系数法可得y＝x+5；
（2）联立解析式，可解得C的坐标；
（3）观察图象，写出直线y＝kx+b在直线CE：y＝﹣2x﹣4上方的x的范围即可．
【解答】解：（1）将A（﹣5，0），B（﹣1，4）代入y＝kx+b得：
，
解得，
∴y＝x+5；
（2）由得：，
∴C的坐标是（﹣3，2）；
（3）由图象可得，kx+b＞﹣2x﹣4的解集是x＞﹣3．
【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的交点，一次函数与一元一次不等式的关系，关键是正确从函数图象中获得正确信息．
23．（12分）（2025 奉贤区二模）如图，已知平行四边形ABCD中，点F是对角线BD上一点，∠BFC＝∠A，延长CF交边AD于点E．
（1）求证：AB2＝CF CE；
（2）当BD＝CE时，求证：四边形ABCD是菱形．
【考点】菱形的判定；相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力．
【答案】证明见解析．
【分析】（1）证明△CDF∽△CED，得出，则可得出结论；
（2）证明△CBF∽△DBC，得出，则CD CB＝CF BD，证出AB＝BC，则可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠BCD，AD∥BC，AB＝CD，
∴∠BCF＝∠DEC，
∵∠BFC＝∠A，
∴∠BCD＝∠BFC，
∵∠BFC＝∠BDC+∠DCF，
∴∠BCF＝∠BDC，
∴∠DEC＝∠FDC，
∵∠DCF＝∠ECD，
∴△CDF∽△CED，
∴，
∴CD2＝CF CE，
∴AB2＝CF CE；
（2）证明：∵∠BFC＝∠BCD，∠CBF＝∠DBC，
∴△CBF∽△DBC，
∴，
∴CD CB＝CF BD，
∵BD＝CE，AB2＝CF CE，
∴CD BC＝AB2，
∴AB＝BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
【点评】本题考查菱形的判定，相似三角形的性质与判定、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．
24．（12分）（2024 徐汇区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+4（a＞0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的表达式及点B的坐标；
（2）已知点M（0，m），联结BC，过点M作MG⊥BC，垂足为G，点D是x轴上的动点，分别联结GD、MD，以GD、MD为边作平行四边形GDMN．
①当m时，且 GDMN的顶点N正好落在y轴上，求点D的坐标；
②当m≥0时，且点D在运动过程中存在唯一的位置，使得 GDMN是矩形，求m的值．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；分类讨论；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；与圆有关的计算；解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】（1）抛物线的表达式为yx2x+4，点B（3，0）；
（2）①点D（，0）；②m的值为0或．
【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
（2）①在Rt△CGM中，cos∠MCG，则CG＝CM cos∠MCG2，在Rt△CGH中，GH＝CG sin∠HCG＝2，即可求解；
②当m＝0时，即点M与点O重合时，符合题意；当0＜m＜4时，如图所示，取MG的中点P，以MG为直径作圆P，则点N、D在圆上，由PM＝OH，即可求解；当m≥4时，可得：OH＞PM，所以符合题意的m不存在．
【解答】解：（1）由题意，得：a﹣4a+4＝0，
解得：a，
∴抛物线的表达式为yx2x+4；
则抛物线的对称轴是直线x＝2，
∴点B（3，0）；
（2）①由题意，得C（0，4）、M（0，），
则CM，
∵四边形GDMN是平行四边形，
∴DG∥MN，
又点N在y轴上，
∴NM⊥OD，
∴GD⊥OD，
在Rt△OBC中，BC5，
则cos∠OCB，则sin∠OCB，
在Rt△CGM中，cos∠MCG，
则CG＝CM cos∠MCG2，
过点G作GH⊥CO，垂足为H，
在Rt△CGH中，GH＝CG sin∠HCG＝2，
则OD＝GH，
故点D（，0）；
②当m≥0时，根据m不同取值分三种情况讨论：
当m＝0时，即点M与点O重合时，符合题意；
当0＜m＜4时，如图所示，取MG的中点P，以MG为直径作圆P，则点N、D在圆上，
此时圆P和x轴有唯一切点D，符合题设条件，
则OH＝PD＝PM，
∵MG＝MC sin∠OCB（4﹣m）＝2PM，
由①知∠CMG＝∠OBC，则sin∠CMG＝sin∠OBC，
则MH＝PM sin∠OCB（4﹣m），
而OH＝MH+OM＝MH+m，
由PM＝OH得：（4﹣m）+m（4﹣m），
解得：m；
当m≥4时，可得：OH＞PM，所以符合题意的m不存在，
综上，符合题意的m的值为0或．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、圆的切线的性质等知识，分类求解是解题的关键．
25．（14分）（2023 长宁区二模）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心、AC为半径的⊙A交边AB于点D，点E在边BC上，满足CE＝BD，过点E作EF⊥CD交AB于点F，垂足为点G．
（1）求证：△BCD∽△BFE；
（2）延长EF与CA的延长线交于点M，如图2所示，求的值；
（3）以点B为圆心、BE为半径作⊙B，当BC＝8，AF＝2时，请判断⊙A与⊙B的位置关系，并说明理由．
【考点】圆的综合题．
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明过程详见解答；
（2）2；
（3）⊙A与⊙B外切．
【分析】（1）可证得∠BCD+∠ACD＝90°，∠ACD＝∠ADC，∠BFE+∠ADC＝90°，从而∠BFE＝∠BCD，进而证得结论；
（2）延长CM交⊙A于N，可得出∠CME+∠CEM＝90°，∠CEM+∠BCD＝90°，从而∠BCD＝∠CME，进而得出∠CME＝∠AFM，从而得出AM＝AF，进一步得出结果；
（3）设AC＝AD＝r，设BD＝CE＝a，可得出r2+82＝（r+a）2；由△BCD∽△BFE得出，从而得出，从而求得，进一步得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD+∠ACD＝90°，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴∠BCD+∠ADC＝90°，
∵EF⊥CD，
∴∠BFE+∠ADC＝90°，
∴∠BFE＝∠BCD，
∵∠B＝∠B，
∴△BCD∽△BFE；
（2）解：如图，
延长CM交⊙A于N，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CME+∠CEM＝90°，
∵∠CGE＝90°，
∴∠CEM+∠BCD＝90°，
∴∠BCD＝∠CME，
∵∠BCD＝∠BFE，
∴∠BFE＝∠CME，
∵∠AFM＝∠BFE，
∴∠CME＝∠AFM，
∴AM＝AF，
∵AN＝AD，
∴DF＝MN，
∵AC＝AD，
∴；
（3）解：⊙A与⊙B外切，理由如下：
设AC＝AD＝r，设BD＝CE＝a，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
r2+82＝（r+a）2；①
∵△BCD∽△BFE，
∴，
∵DF＝AD﹣AF＝r﹣2，
∴BF＝DF+BD＝a+r﹣2，
∴，②
由①②得，
，
∴BE＝BD＝CE＝4，AB＝10，
∴AD+BD＝AB，
∴⊙A与⊙B外切．
【点评】本题考查了圆的有关的性质，圆与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是设未知数，找出相等关系列出方程（组）．
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