资源简介

2025年北京市中考数学模拟预测卷
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）（2025 金水区模拟）据网络平台数据显示，截至2025年2月13日19时，电影《哪吒之魔童闹海》票房（含预售）突破100亿元，成为中国电影史上首部票房过百亿的影片．数据“100亿”用科学记数法可表示为（　　）
A．0.1×1011 B．1×109 C．1×1010 D．10×109
2．（2分）（2021秋 朔城区校级月考）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2分）（2023春 雁塔区校级期中）一副三角板摆放如图所示，直角边CD与直角边AB相交于点F，斜边DE∥BC，∠B＝30°，则∠CFB的度数是（　　）
A．95° B．115° C．105° D．125°
4．（2分）（2024秋 滕州市校级期中）如果在数轴上表示a、b两个实数点的位置，如图所示，那么|a﹣b|+|a+b|化简的结果等于（　　）
A．2a B．﹣2a C．0 D．2b
5．（2分）（2023 镇平县模拟）关于x的一元二次方程x2﹣x+2＝m，下列说法正确的是（　　）
A．当m＞0时，此方程有两个不相等的实数根
B．当m＜0时，此方程没有实数根
C．当m＝0时，此方程有两个相等的实数根
D．此方程根的情况与m的值无关
6．（2分）某地铁站入口处设置了A，B两个闸口，两名乘客通过此入口时，都选择A闸口通过的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（2分）（2025春 榆次区期中）用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM＝ON，再过点M画OA的垂线，过点N画OB的垂线，两垂线交于点P，那么射线OP就是∠AOB的平分线．小明发现说明此画法的合理性时需要证明△POM与△PON全等，其依据是（　　）
A．SAS B．SSS C．AAS D．HIL
8．（2分）（2024 南岸区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为AB边和AD边上的点，满足BE＝DF，连接CE、CF，过点F作FG⊥EC，连接DG，H是CF上的一点，且CH＝DH，令∠ECF＝α，则∠GDH的度数为（　　）
A． B．90°﹣α C． D．135°﹣2α
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）使代数式有意义的x的值是 　 　 ．
10．（2分）（2024春 鲤城区校级月考）分解因式：a2xy﹣b2xy＝　 　 ．
11．（2分）（2023秋 武冈市期中）对于代数式m，n，定义运算“※”：，例如：，若，则2A+B＝　 　 ．
12．（2分）（2024 定西二模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝29°，则∠D＝　 　 °．
13．（2分）（2024秋 花都区期末）已知点A（﹣1，y1），B（3，y2）是反比例函数图象上的两点，则y1　 　 y2.（填“＞”，“＝”或“＜”）
14．（2分）（2023 长沙一模）为了解某校学生对于“社会主义核心价值观”的知晓情况，从该校全体3000名学生中，随机抽取了300名学生进行调查，结果显示有280名学生能熟练背诵，由此，估计该校全体学生中能熟练背诵“社会主义核心价值观”的学生有 　 　 名．
15．（2分）（2024 雁塔区校级模拟）如图，在菱形ABCD中AC交BD于点O，点M为OB的中点，连接AM并延长交BC于点N，若AC＝12，BN，则AN＝　 　 ．
16．（2分）（2023春 西城区校级月考）A、B、C、D、E、F六个象棋队进行单循环比赛（即每队都与其他队比赛一场），每天同时在三个场地各进行一场比赛．已知第一天B与D比赛，第二天C与E比赛，第三天D与F比赛，第四天B与C比赛，那么第三天与C比赛的是 　 　 队，第五天与A比赛的是 　 　 队．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）（2024春 衡阳期末）计算：．
18．（5分）（2024 宁夏）解不等式组．
19．（5分）已知，求的值．
20．（6分）（2023秋 兴宁市校级期中）矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，若AB＝6，AD＝8，F是AD的中点，FG⊥AE于点G．
（1）求证：四边形ABEF是矩形；
（2）求FG的长．
21．（6分）每件甲款春装和每件乙款春装的成本共500元．商店老板将甲款春装提价40%作为定价，乙款春装每件加价50元作为定价，在实际出售时，两款服装均按定价的9折出售，这样商店销售一件甲款春装和一件乙款春装共获利103元，求每件甲款春装和每件乙款春装的成本分别是多少元？
22．（5分）（2024 朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝ax+b（a≠0）的图象经过点（﹣1，4），与函数y＝2x的图象交于点（1，m）．
（1）求m的值和函数y＝ax+b（a≠0）的解析式；
（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝kx﹣k+2（k≠0）的值大于函数y＝ax+b的值，且小于函数y＝2x的值，直接写出k的取值范围．
23．（6分）（2025 大连一模）如图1，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，连接AC，BC，过点A作⊙O的切线AD交BC延长线于点D，点E在⊙O上，连接BE，且BE＝AC，连接AE交线段BC于点F．
（1）求证：∠ABE＝∠ADB；
（2）如图2，若BE＝4，AD＝5，求⊙O的半径．
24．（5分）（2023春 子洲县校级期中）风是由空气流动引起的一种自然现象，一般是由太阳辐射热引起的，风的测量多用电接风向风速计、轻便风速表、达因式风向风速计，以及用于测量农田中微风的热球微风仪等仪器．小星同学使用轻便风速表观测了某天连续12个小时风力变化的情况，并绘制图象：
（1）风力最大为 　 　 级．
（2）简要描述8～12时风力变化的情况．
25．（5分）（2024 大兴区二模）某校有A，B两个合唱队，每队各10名学生，测量并获取了所有学生身高（单位：cm）的数据，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．A队学生的身高：
165、167、168、170、170、170、171、172、173、174
b．B队学生身高的频数分布直方图如下（数据分成4组：167≤x＜169，169≤x＜171，171≤x＜173，173≤x≤175）：
c．B队学生身高的数据在169≤x＜171这一组的是：
169、169、169、170
d．A，B两队学生身高数据的平均数、中位数、众数、方差如下：
平均数 中位数 众数 方差
A队 170 170 m 6.8
B队 170 n 169 3.4
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值；
（2）对于不同队的学生，若学生身高的方差越小，则认为该队舞台呈现效果越好．据此推断：A，B两队舞台呈现效果更好的是 　 　 （填“A队”或“B队”）；
（3）A队要选5名学生参加比赛，已确定3名学生参赛，他们的身高分别为170，170，173，他们的身高的方差为2．下列推断合理的是 　 　 （填序号）．
①另外选2名学生的身高为171和172时，5名学生身高的平均数大于171，方差小于2；
②另外选2名学生的身高为168和170时，5名学生身高的平均数小于171，方差小于2．
26．（6分）（2024 房山区一模）在平面直角坐标系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣2上任意两点．
（1）当a＝1时，求抛物线与y轴的交点坐标及顶点坐标；
（2）若对于，，都有y1＞y2，求a的取值范围．
27．（7分）（2024 九龙坡区自主招生）学习了图形的旋转等相关知识后，小李同学进行了一次拓展性研究．他发现，若一个四边形有一组对角均为90°且这组对角中有一个直角的两边相等，则连接这组对角的顶点，此对角线平分另一个直角．他的解决思路是通过作一个角等于已知角等知识证明两个三角形全等得出的结论．请根据他的思路完成以下作图与填空：
（1）用直尺和圆规作图：如图，以AD为边在四边形ABCD外部作∠DAE＝∠BAC，AC＝AE，连接DE．（保留作图痕迹）
（2）已知：如图，AC是四边形ABCD的对角线，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE．
求证：∠ACB＝∠ACD．
证明：∵∠BAD＝∠BCD＝90°
∴∠ABC+　 　 ＝180°，
∵AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，AC＝AE，
∴△ABC≌△ADE（SAS）
∴∠ACB＝∠AED，∠ABC＝　 　
∴　 　 ∠ADC＝180°
∴点C，D，E三点共线．
又AC＝AE，
∴∠ACD＝∠AED＝∠ACB．
即∠ACB＝∠ACD．
小李再进一步研究发现，线段CD，DE，AE存在一定的数量关系，请你根据以上信息，直接写出CD，DE，AE三者之间的数量关系 　 　
28．（7分）（2025 西城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知⊙O及⊙O外一点P，若⊙O上存在点A，点B和点T，使得点A，B关于直线PT的对称点A′，B′与点P共线，则称点P为⊙O的“对称点”，直线A′B′为⊙O关于点T的“弦称线”，线段A′B′为⊙O关于点T的“弦称弦”．
⊙O的半径为1，点P为⊙O的“对称点”．
（1）若点P（﹣3，0），直线y＝kx+b为⊙O的“弦称线”，则k的取值可能是　 　 ；
①k＝﹣1；
②；
③k＝2．
（2）直线4是⊙O关于点T（0，1）的弦称线，则“弦称弦”的最大值是　 　 ；
（3）直线y＝x+b与x轴，y轴分别交于点M，点N．点S为线段MN上任意一点，若经过点S的所有直线都是⊙O的“弦称线”，则b的取值范围是　 　 ．
2025年北京市中考数学模拟预测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）（2025 金水区模拟）据网络平台数据显示，截至2025年2月13日19时，电影《哪吒之魔童闹海》票房（含预售）突破100亿元，成为中国电影史上首部票房过百亿的影片．数据“100亿”用科学记数法可表示为（　　）
A．0.1×1011 B．1×109 C．1×1010 D．10×109
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；符号意识．
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：100亿＝10000000000＝1×1010．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（2分）（2021秋 朔城区校级月考）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】C
【分析】由圆和正方形既是轴对称又是中心对称，观察图形即可求解．
【解答】解：∵正方形既是轴对称又是中心对称，圆既是轴对称又是中心对称，
∴C选项的图形既是轴对称又是中心对称，
故选：C．
【点评】本题考查轴对称与中心对称，熟练掌握图形的中心对称与轴对称的性质是解题的关键．
3．（2分）（2023春 雁塔区校级期中）一副三角板摆放如图所示，直角边CD与直角边AB相交于点F，斜边DE∥BC，∠B＝30°，则∠CFB的度数是（　　）
A．95° B．115° C．105° D．125°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】由题意可知∠ADF＝45°，则由平行线的性质可得∠D＝∠DCB，从而可求∠CFB的度数．
【解答】解：由题意知：∠ADF＝45°，
∵BC∥DE，
∴∠D＝∠DCB＝45°，
∵∠B＝30°，
∴∠CFB＝180°﹣∠B﹣∠FCB＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
故选：C．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．
4．（2分）（2024秋 滕州市校级期中）如果在数轴上表示a、b两个实数点的位置，如图所示，那么|a﹣b|+|a+b|化简的结果等于（　　）
A．2a B．﹣2a C．0 D．2b
【考点】实数与数轴；绝对值．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】B
【分析】利用数轴知识，绝对值的定义解答．
【解答】解：由数轴图可知，a＜0＜b，|a|＞b，
∴a﹣b＜0，a+b＜0，
∴|a﹣b|+|a+b|
＝﹣（a﹣b）+[﹣（a+b）]
＝﹣a+b﹣a﹣b
＝﹣2a，
故选：B．
【点评】本题考查了实数与数轴，绝对值，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义．
5．（2分）（2023 镇平县模拟）关于x的一元二次方程x2﹣x+2＝m，下列说法正确的是（　　）
A．当m＞0时，此方程有两个不相等的实数根
B．当m＜0时，此方程没有实数根
C．当m＝0时，此方程有两个相等的实数根
D．此方程根的情况与m的值无关
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+2＝m变形得，x2﹣x+2﹣m＝0，
∴a＝1，b＝﹣1，c＝2﹣m，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（2﹣m）＝﹣7+4m，
∴当﹣7+4m＞0时，，方程有两个不相等的实根；当﹣7+4m＝0时，，方程有两个相等的实根；当﹣7+4m＜0时，，方程无实根；
∴A、当时，此方程有两个不相等的实数根，故A选项错误，不符合题意；
B、当时，此方程没有实数根，则m＜0时，此方程没有实数根，故B选项正确，符合题意；
C、当时，此方程有两个相等的实数根，故C选项错误，不符合题意；
D、此方程根的情况与m的值有关，故D选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键．
6．（2分）某地铁站入口处设置了A，B两个闸口，两名乘客通过此入口时，都选择A闸口通过的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】B
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及都选择A闸口通过的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
A B
A （A，A） （A，B）
B （B，A） （B，B）
共有4种等可能的结果，其中都选择A闸口通过的结果有1种，
∴都选择A闸口通过的概率为．
故选：B．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
7．（2分）（2025春 榆次区期中）用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM＝ON，再过点M画OA的垂线，过点N画OB的垂线，两垂线交于点P，那么射线OP就是∠AOB的平分线．小明发现说明此画法的合理性时需要证明△POM与△PON全等，其依据是（　　）
A．SAS B．SSS C．AAS D．HIL
【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定；角平分线的性质；等腰三角形的判定．
【专题】作图题；图形的全等；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】根据作图过程可以证明Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），进而可得结论．
【解答】解：∵∠OMP＝∠ONP＝90°，
在Rt△OMP和Rt△ONP中，
，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），
∴∠POM＝∠PON，
∴射线OP就是∠AOB的平分线．
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，作图﹣复杂作图，角平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
8．（2分）（2024 南岸区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为AB边和AD边上的点，满足BE＝DF，连接CE、CF，过点F作FG⊥EC，连接DG，H是CF上的一点，且CH＝DH，令∠ECF＝α，则∠GDH的度数为（　　）
A． B．90°﹣α C． D．135°﹣2α
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】连接HG，证明△CBE和△CDF全等得∠BCE＝∠DCE＝45°，根据CH＝DH得∠HDC＝∠DCE＝45°，再根据三角形外角性质得∠DHF＝90°﹣α，证明∠HDF＝∠DFH得HF＝HD＝HC，则点H是线段CF的中点，再根据直角三角形斜边上中线的性质得HG＝HC＝HF，则HG＝HD，∠HGC＝∠ECF＝α，由三角形外角性质得∠GHF＝2α，进而得∠GHD＝∠DHF+∠GHF＝90°+α，然后在△HDG中，根据HG＝HD及三角形的内角和定理即可得出∠GDH的度数．
【解答】解：连接HG，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠B＝∠CDA＝∠BCD＝90°，
在△CBE和△CDF中，
，
∴△CBE≌△CDF（SAS），
∴∠BCE＝∠DCE，
∵∠BCE+∠DCE+∠ECF＝90°，∠ECF＝α，
∴∠BCE＝∠DCE（90°﹣α）＝45°，
∵CH＝DH，
∴∠HDC＝∠DCE＝45°，
∵∠DHF是△HDC的外角，
∴∠DHF＝∠HDC+∠DCE＝90°﹣α，
∵∠CDA＝90°，
∴∠HDC+∠HDF＝90°，∠DCF+∠DFH＝90°，
∴∠HDF＝∠DFH，
∴HF＝HD＝HC，
∴点H是线段CF的中点，
∵FG⊥EC，
∴在Rt△CFG中，GH是斜边CF上的中线，
∴HG＝HC＝HF，
∴HG＝HD，∠HGC＝∠ECF＝α，
∵∠GHF是△HGC的外角，
∴∠GHF＝∠HGC+∠ECF＝2α，
∴∠GHD＝∠DHF+∠GHF＝90°﹣α+2α＝90°+α，
在△HDG中，HG＝HD，
∴∠GDH＝∠DGH（180°﹣∠GHD）（180°﹣90°﹣α）＝45°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）使代数式有意义的x的值是 　x≠﹣2且x≠2且x　 ．
【考点】分式有意义的条件．
【专题】分式；运算能力．
【答案】x≠﹣2且x≠2且x．
【分析】分式有意义即分母不为0，由此解答即可．
【解答】解：使代数式有意义的x的值是x+2≠0且x﹣2≠0且2x﹣1≠0，
解得x≠﹣2且x≠2且x，
故答案为：x≠﹣2且x≠2且x．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，属于基础题，注意不要丟解．
10．（2分）（2024春 鲤城区校级月考）分解因式：a2xy﹣b2xy＝　xy（a+b）（a﹣b）　 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】xy（a+b）（a﹣b）．
【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：a2xy﹣b2xy
＝xy（a2﹣b2）
＝xy（a+b）（a﹣b），
故答案为：xy（a+b）（a﹣b）．
【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握运用提取公因式法、公式法分解因式是解题的关键．
11．（2分）（2023秋 武冈市期中）对于代数式m，n，定义运算“※”：，例如：，若，则2A+B＝　1　 ．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由（x﹣1）※、可得答案．
【解答】解：（x﹣1）※，
，
由题意，得：，
解得：，
∴2A+B＝2×（﹣1）+3＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的加减混合运算顺序和运算法则．
12．（2分）（2024 定西二模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝29°，则∠D＝　61　 °．
【考点】圆周角定理．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】61．
【分析】如图，连接BC，证明∠ACB＝90°，求出∠ABC，可得结论．
【解答】解：如图，连接BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝61°，
∴∠D＝∠ABC＝61°，
故答案为：61．
【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
13．（2分）（2024秋 花都区期末）已知点A（﹣1，y1），B（3，y2）是反比例函数图象上的两点，则y1　＜　 y2.（填“＞”，“＝”或“＜”）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】＜．
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再根据各点横坐标的值判断出各点所在的象限，进而可得出结论．
【解答】解：反比例函数中，k＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵A（﹣1，y1），B（3，y2），
∴点A在第三象限、B在第一象限，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．掌握反比例函数的性质是解题的关键．
14．（2分）（2023 长沙一模）为了解某校学生对于“社会主义核心价值观”的知晓情况，从该校全体3000名学生中，随机抽取了300名学生进行调查，结果显示有280名学生能熟练背诵，由此，估计该校全体学生中能熟练背诵“社会主义核心价值观”的学生有 　2800　 名．
【考点】用样本估计总体．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】2800．
【分析】用总人数乘以样本中能熟练背诵“社会主义核心价值观”的学生数所占比例即可．
【解答】解：估计该校全体学生中能熟练背诵“社会主义核心价值观”的学生有30002800（名），
故答案为：2800．
【点评】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
15．（2分）（2024 雁塔区校级模拟）如图，在菱形ABCD中AC交BD于点O，点M为OB的中点，连接AM并延长交BC于点N，若AC＝12，BN，则AN＝　8　 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力．
【答案】8．
【分析】通过证明△ADM∽△NBM，可得3，可得AD＝3BN＝6，AM＝3MN，由勾股定理可求DO的长，AM的长，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝COAC＝6，BO＝DO，
∵点M为OB的中点，
∴OM＝BM，
∴DM＝3OM＝3BM，
∵AD∥BC，
∴△ADM∽△NBM，
∴3，
∴AD＝3BN＝6，AM＝3MN，
∴DO12，
∴MO＝BM＝6，
∴AM6，
∴MN＝2，
∴AN＝AM+MN＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．
16．（2分）（2023春 西城区校级月考）A、B、C、D、E、F六个象棋队进行单循环比赛（即每队都与其他队比赛一场），每天同时在三个场地各进行一场比赛．已知第一天B与D比赛，第二天C与E比赛，第三天D与F比赛，第四天B与C比赛，那么第三天与C比赛的是 　A　 队，第五天与A比赛的是 　B　 队．
【考点】推理与论证．
【专题】推理填空题；推理能力．
【答案】A，B．
【分析】因“A、B、C、D、E、F六个选手进行乒乓球单打的单循环比赛（每人都与其他选手赛一场），每天同时在三张球台各进行一场比赛”，根据已经进行的比赛场次可进行的推理．
【解答】解：第二天A不能对B，否则A对B．D对F与第三天D对F矛盾，所以应当B对F、A对D．
第三天A也不能对B，否则C对E与第二天C对E矛盾，应当B对E（不能B对C，与第四天矛盾），A对C．
第四天B对C，D对E，A对F，所以第五天A对B，D对C，E对F．
答：第三天与C比赛的是A队，第五天与A比赛的是B队．
故答案为：A，B．
【点评】本题主要考查较复杂的推理问题，关键是用假设的方法进行推理，推出与已知相矛质进而解答．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）（2024春 衡阳期末）计算：．
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先计算乘方，负整数指数幂，零次幂，然后计算加减法即可．
【解答】解：
＝1+2﹣5+1
＝﹣1．
【点评】本题主要考查了实数的混合运算，掌握实数的混合运算法则是关键．
18．（5分）（2024 宁夏）解不等式组．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】x＜﹣4．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①得，x＜﹣4，
解不等式②得，，
所以不等式组的解集为x＜﹣4．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，掌握同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解答此题的关键．
19．（5分）已知，求的值．
【考点】分式的值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】．
【分析】根据，可知a≠0，，进一步可得a8，再计算的值，进一步即可确定答案．
【解答】解：∵，
∴a≠0，，
∴a8，
∴
＝64﹣2+1
＝63，
∴．
【点评】本题考查了分式的值，涉及完全平方公式，熟练掌握取倒数的方法进行求解是解题的关键．
20．（6分）（2023秋 兴宁市校级期中）矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，若AB＝6，AD＝8，F是AD的中点，FG⊥AE于点G．
（1）求证：四边形ABEF是矩形；
（2）求FG的长．
【考点】矩形的判定与性质；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）利用矩形性质和勾股定理得到，根据线段中点的性质得到AF＝4＝BE，最后结合矩形的性质和判定即可证明四边形ABEF是矩形；
（2）利用矩形性质得到EF＝AB＝6，∠AFE＝90°，再利用等面积法得到，即可求出FG的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，
∵AB＝6，，
∴，
∵F是AD的中点，AD＝8，
∴AF＝4＝BE，
∵AF//BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵∠B＝90°，
∴四边形ABEF是矩形；
（2）解：∵四边形ABEF是矩形，
∴EF＝AB＝6，∠AFE＝90°，
∵FG⊥AE于点G，
∴，
∴，
解得．
【点评】本题考查了矩形性质和判定，勾股定理，线段中点的性质，等面积法，解题的关键是熟练掌握相关性质判定．
21．（6分）每件甲款春装和每件乙款春装的成本共500元．商店老板将甲款春装提价40%作为定价，乙款春装每件加价50元作为定价，在实际出售时，两款服装均按定价的9折出售，这样商店销售一件甲款春装和一件乙款春装共获利103元，求每件甲款春装和每件乙款春装的成本分别是多少元？
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】每件甲款春装的成本是300元，每件乙款春装的成本是200元．
【分析】设每件甲款春装的成本是x元，每件乙款春装的成本是y元，根据“每件甲款春装和每件乙款春装的成本共500元，打折后销售一件甲款春装和一件乙款春装共获利103元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设每件甲款春装的成本是x元，每件乙款春装的成本是y元，
依题意得：，
解得：．
答：每件甲款春装的成本是300元，每件乙款春装的成本是200元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
22．（5分）（2024 朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝ax+b（a≠0）的图象经过点（﹣1，4），与函数y＝2x的图象交于点（1，m）．
（1）求m的值和函数y＝ax+b（a≠0）的解析式；
（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝kx﹣k+2（k≠0）的值大于函数y＝ax+b的值，且小于函数y＝2x的值，直接写出k的取值范围．
【考点】两条直线相交或平行问题；一次函数图象与系数的关系；待定系数法求一次函数解析式．
【专题】数形结合；一次函数及其应用；几何直观．
【答案】（1）m＝2，y＝﹣x+3；
（2）k的取值范围是﹣1＜k＜2且k≠0．
【分析】（1）把（1，m）代入数y＝2x得m＝2，用待定系数法可得y＝﹣x+3；
（2）求出函数y＝kx﹣k+2图象过（1，2），再画出图象可得答案．
【解答】解：（1）把（1，m）代入数y＝2x得：m＝2，
把（﹣1，4），（1，2）代入y＝ax+b得：
，
解得，
∴y＝﹣x+3；
（2）在y＝kx﹣k+2中，令x＝1时，y＝2，
∴函数y＝kx﹣k+2图象过（1，2），
如图：
由图可得，k的取值范围是﹣1＜k＜2且k≠0．
【点评】本题考查两条直线相交或平行，解题的关键是数形结合思想的应用．
23．（6分）（2025 大连一模）如图1，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，连接AC，BC，过点A作⊙O的切线AD交BC延长线于点D，点E在⊙O上，连接BE，且BE＝AC，连接AE交线段BC于点F．
（1）求证：∠ABE＝∠ADB；
（2）如图2，若BE＝4，AD＝5，求⊙O的半径．
【考点】切线的性质；圆周角定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）⊙O的半径长是．
【分析】（1）由AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，得AD⊥AB，则∠DAB＝∠ACB＝90°，所以∠CAB＝∠ADB＝90°﹣∠ABD，由BE＝AC，得，推导出，则∠CAB＝∠ABE，所以∠ABE＝∠ADB；
（2）由∠BAD＝∠ACD＝90°，BE＝AC＝4，AD＝5，求得DC3，由tanD，求得ABAD，则OAAB，所以⊙O的半径长是．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，
∴AD⊥AB，
∴∠DAB＝∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠ADB＝90°﹣∠ABD，
∵BE＝AC，
∴，
∴，
∴∠CAB＝∠ABE，
∴∠ABE＝∠ADB．
（2）解：∵∠BAD＝∠ACD＝90°，BE＝AC＝4，AD＝5，
∴DC3，
∵tanD，
∴ABAD5，
∴OAAB，
∴⊙O的半径长是．
【点评】此题重点考查圆周角定理、切线的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，推导出∠CAB＝∠ADB及是解题的关键．
24．（5分）（2023春 子洲县校级期中）风是由空气流动引起的一种自然现象，一般是由太阳辐射热引起的，风的测量多用电接风向风速计、轻便风速表、达因式风向风速计，以及用于测量农田中微风的热球微风仪等仪器．小星同学使用轻便风速表观测了某天连续12个小时风力变化的情况，并绘制图象：
（1）风力最大为 　7　 级．
（2）简要描述8～12时风力变化的情况．
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；推理能力．
【答案】（1）7；
（2）风力变化情况见解析过程．
【分析】观察函数图象，根据风力随着时间变化可得答案．
【解答】解：（1）根据图象可知14到15时风力最大，最大风力时7级．
故答案为：7；
（2）8时至9时风力逐渐升高，9时至10时风力不变，10时至11时风力逐渐升高，11时至12时风力逐渐减小至3级．
【点评】本题主要考查了函数的图象的识别，从图象中获取信息是解题的关键．
25．（5分）（2024 大兴区二模）某校有A，B两个合唱队，每队各10名学生，测量并获取了所有学生身高（单位：cm）的数据，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．A队学生的身高：
165、167、168、170、170、170、171、172、173、174
b．B队学生身高的频数分布直方图如下（数据分成4组：167≤x＜169，169≤x＜171，171≤x＜173，173≤x≤175）：
c．B队学生身高的数据在169≤x＜171这一组的是：
169、169、169、170
d．A，B两队学生身高数据的平均数、中位数、众数、方差如下：
平均数 中位数 众数 方差
A队 170 170 m 6.8
B队 170 n 169 3.4
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值；
（2）对于不同队的学生，若学生身高的方差越小，则认为该队舞台呈现效果越好．据此推断：A，B两队舞台呈现效果更好的是 　B队　 （填“A队”或“B队”）；
（3）A队要选5名学生参加比赛，已确定3名学生参赛，他们的身高分别为170，170，173，他们的身高的方差为2．下列推断合理的是 　①　 （填序号）．
①另外选2名学生的身高为171和172时，5名学生身高的平均数大于171，方差小于2；
②另外选2名学生的身高为168和170时，5名学生身高的平均数小于171，方差小于2．
【考点】频数（率）分布直方图；加权平均数；中位数；众数；方差．
【专题】数据的收集与整理；统计的应用；数据分析观念；应用意识．
【答案】（1）m＝170，n＝169.5；
（2）B队；
（3）①．
【分析】（1）估计众数和中位数的确定方法即可得到m，n的值；
（2）通过方差比较即可推断A，B两队那个舞台呈现效果更好；
（3）根据平均数和方差公式即可判断出平均数和方差的变化，从而作出判断．
【解答】解：（1）∵A队身高中数据170出现3次，是出现次数最多的数据，
∴m＝170；
∵B队身高由小到大排列，中位数是第5，第6个数据的平均数，
∴中位数是身高在169≤x＜171这一组第3，第4个数据，就169、170的平均数，即（169+170）÷2＝169.5，
∴n＝169.5，
答：m＝170，n＝169.5；
（2）∵A队身高的方差为：6.8，B队身高的方差为：3.4，方差越小，该队舞台呈现效果越好，
∴A，B两队舞台呈现效果更好的是：B队，
故答案为：B队；
（3）已确定3名学生身高的平均数为：（170+170+173）÷3＝171，
①另外选2名学生的身高为171和172时，5名学生身高的平均数为：（171×3+171+172）÷5＝171.2，平均数大于171，
5名学生身高的方差为：[2×（170﹣171.2）2+（171﹣171.2）2+（172﹣171.2）2+（173﹣171.2）2]＝1.36，方差小于2，
故①推断合理；
②另外选2名学生的身高为168和170时，5名学生身高的平均数为：（171×3+168+170）÷5＝170.2，平均数小于171，
5名学生身高的方差为：[3×（170﹣170.2）2+（168﹣170.2）2+（173﹣170.2）2]＝2.56，方差大于2，
故②推断不合理；
故答案为：①．
【点评】本题考查频数分布直方图，平均数，中位数，众数，方差，能从统计图中获取数据，掌握统计量的确定方法或计算公式是解题的关键．
26．（6分）（2024 房山区一模）在平面直角坐标系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣2上任意两点．
（1）当a＝1时，求抛物线与y轴的交点坐标及顶点坐标；
（2）若对于，，都有y1＞y2，求a的取值范围．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）抛物线与y轴的交点为（0，﹣1），顶点坐标为（1，﹣2）；
（2）a的取值范围为a．
【分析】（1）令x＝0，求得函数值，即可求得抛物线与y轴的交点坐标，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；
（2）根据二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论．
【解答】解：（1）当a＝1时，抛物线为y＝x2﹣2x﹣1，
令x＝0，则y＝﹣1，
∴抛物线与y轴的交点为（0，﹣1），
∵y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）；
（2）∵y＝x2﹣2ax+a2﹣2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线xa，
∴A（x1，y1），B（x2，y2）离抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣2的对称轴距离较大，函数值越大．
∴当a时，点A离对称轴远，都有y1＞y2．
∴a的取值范围为a．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
27．（7分）（2024 九龙坡区自主招生）学习了图形的旋转等相关知识后，小李同学进行了一次拓展性研究．他发现，若一个四边形有一组对角均为90°且这组对角中有一个直角的两边相等，则连接这组对角的顶点，此对角线平分另一个直角．他的解决思路是通过作一个角等于已知角等知识证明两个三角形全等得出的结论．请根据他的思路完成以下作图与填空：
（1）用直尺和圆规作图：如图，以AD为边在四边形ABCD外部作∠DAE＝∠BAC，AC＝AE，连接DE．（保留作图痕迹）
（2）已知：如图，AC是四边形ABCD的对角线，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE．
求证：∠ACB＝∠ACD．
证明：∵∠BAD＝∠BCD＝90°
∴∠ABC+　∠ADC　 ＝180°，
∵AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，AC＝AE，
∴△ABC≌△ADE（SAS）
∴∠ACB＝∠AED，∠ABC＝　∠ADE　
∴　∠ADE+　 ∠ADC＝180°
∴点C，D，E三点共线．
又AC＝AE，
∴∠ACD＝∠AED＝∠ACB．
即∠ACB＝∠ACD．
小李再进一步研究发现，线段CD，DE，AE存在一定的数量关系，请你根据以上信息，直接写出CD，DE，AE三者之间的数量关系 　CD+DEAE　
【考点】作图—复杂作图；旋转的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰直角三角形．
【专题】作图题；证明题；图形的全等；几何直观；推理能力．
【答案】（1）图形见解答；
（2）∠ADC，∠ADE，∠ADE+；CD+DEAE．
【分析】（1）根据作图方法作图即可；
（2）结合（1）即可完成填空；然后证明△ACE是等腰直角三角形，即可得结论．
【解答】（1）解：如图，∠DAE，DE即为所求；
（2）证明：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，AC＝AE，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠ACB＝∠AED，∠ABC＝∠ADE，
∴∠ADE+∠ADC＝180°，
∴点C，D，E三点共线，
又AC＝AE，
∴∠ACD＝∠AED＝∠ACB，
即∠ACB＝∠ACD．
故答案为：∠ADC，∠ADE，∠ADE+；
研究发现：CD+DEAE，理由如下：
∵∠BAD＝90°＝∠BAC+∠DAC，∠BAC＝∠DAE，
∴∠DAE+∠DAC＝∠CAE＝90°，
∵AC＝AE，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CEAE，
∴CD+DEAE．
故答案为：CD+DEAE．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，等腰直角三角形，旋转的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
28．（7分）（2025 西城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知⊙O及⊙O外一点P，若⊙O上存在点A，点B和点T，使得点A，B关于直线PT的对称点A′，B′与点P共线，则称点P为⊙O的“对称点”，直线A′B′为⊙O关于点T的“弦称线”，线段A′B′为⊙O关于点T的“弦称弦”．
⊙O的半径为1，点P为⊙O的“对称点”．
（1）若点P（﹣3，0），直线y＝kx+b为⊙O的“弦称线”，则k的取值可能是　①②　 ；
①k＝﹣1；
②；
③k＝2．
（2）直线4是⊙O关于点T（0，1）的弦称线，则“弦称弦”的最大值是　　 ；
（3）直线y＝x+b与x轴，y轴分别交于点M，点N．点S为线段MN上任意一点，若经过点S的所有直线都是⊙O的“弦称线”，则b的取值范围是　﹣3＜b＜3且b≠0　 ．
【考点】圆的综合题．
【专题】新定义；推理能力．
【答案】（1）①②；
（2）；
（3）﹣3＜b＜3且b≠0．
【分析】（1）根据题意可知极限位置是PT与⊙O相切时，进而当PK与⊙O′相切如图时，有k最大，据此判断即可；
（2）过点T作TG⊥A'B'，TD⊥AB，过点O作OE⊥AB，易求TD，要求A'B'最大值，则可求AB最大值，即OE最小值，根据三边关系求解即可；
（3）先判断出O′会在以O为圆心，2为半径的⊙O上或内部，⊙O的“弦称线”一定经过以O为圆心，3为半径的圆内一点，若经过点S的所有直线都是⊙O的“弦称线”，即S在此圆内，据此得解．
【解答】（1）由定义可知，⊙O上的弦AB关于PT对称得到A′B′，则极限位置是PT与⊙O相切时，
此时将⊙O沿着PT对称，则A′B′为对称⊙O′的弦，
当PK与⊙O′相切如图时，有k最大，
此时，，
显然此时k＝﹣1与k可以取到，那么只用考虑k＝2是否行，
不妨设直线y＝2x+6，则O′到直线y＝2x+6距离为，
故k的取值能为①②；
故答案为：①②；
（2）过点T作TG⊥A'B'，TD⊥AB，过点O作OE⊥AB，
由定义可知，PT为对称轴，
∴，
要求A'B'最大值，则可求AB最大值，即OE最小值，
∵TO+OE≥TD，
∴，
∴，
∴．
即“弦称弦”的最大值为，
故答案为：；
（3）不妨先确定⊙O的“弦称线”需要满足什么条件，将O关于PT对称得到O′，
∵OO′≤2，
∴O′会在以O为圆心，2为半径的⊙O上或内部，
则⊙O的“弦称线”一定经过以O为圆心，3为半径的圆内一点，
若经过点S的所有直线都是⊙O的“弦称线”，即S在此圆内．
∴﹣3＜b＜3且b≠0，
故答案为：﹣3＜b＜3且b≠0．
【点评】本题主要结合圆考查了新定义内容，正确理解题意，逐步分析是解题的关键．
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