资源简介

2025年北京市中考数学模拟预测卷
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）（2023 西山区模拟）如图所示是某几何体的三视图，则这个几何体是（　　）
A．棱柱 B．棱锥 C．圆锥 D．圆柱
2．（2分）（2023秋 水城区校级月考）实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣a+|b﹣a|+c的结果是（　　）
A．﹣b﹣c B．c﹣b C．2a﹣2b+2c D．2a+b+c
3．（2分）（2025 西华县一模）截止2025年2月23日15时26分．动画电影《哪吒之魔童闹海》累计票房（含预售）突破135亿，成为我国首部百亿电影！将数据“135亿”用科学记数法表示为（　　）
A．1.35×1011 B．13.5×1010 C．1.35×1010 D．1.35×109
4．（2分）（2022春 大连期末）如图，直线AB∥CD，∠EFB＝60°，则∠CGE的度数是（　　）
A．130° B．110° C．120° D．60°
5．（2分）（2025 高平市一模）小明在2025年春节去看电影，他想在《射雕英雄传：侠之大者》《哪吒：魔童闹海》《封神：战火西岐》《唐探1900》《蛟龙行动》《：重启未来》这六个电影中选取两个去观看，他选取背面完全相同的六张卡片，在正面分别写上片名，然后背面向上，洗匀后随机抽取两张，则小明抽中《哪吒》和《》的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．（2分）（2025 格尔木市校级一模）已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　）
A． B．
C．且a≠0 D．且a≠0
7．（2分）把△ABC的各边分别扩大为原来的4倍，得到△A1B1C1，下列结论不能成立的是（　　）
A．△ABC∽△A1B1C1
B．△ABC与△A1B1C1的各对应角相等
C．△ABC与△A1B1C1的相似比为
D．△ABC与△A1B1C1的相似比为4
8．（2分）（2022春 防城港期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝5，点M在CD边上，且DM＝2，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，延长CB到点F，使得BF＝DM，分别连接AF，EF，则线段EF的长为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）（2024春 溧阳市期中）如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，∠BAD、∠ABC的角平分线分别交BC、AD于点E、F，则∠1与∠2的数量关系是 　 　 ．
10．（2分）（2023 雁塔区校级模拟）因式分解：9ab2﹣a＝　 　 ．
11．（2分）（2024秋 香坊区期末）若反比例函数的图象经过点（1，3），则k的值为 　 　 ．
12．（2分）（2023 藤县一模）方程1的解是 　 　 ．
13．（2分）（2021秋 兴文县校级期末）如图是各年龄段人群收视某电视剧情况的条形统计图（统计时年龄只取整数）．若某村观看此电视剧的观众人数为1400人，则其中50岁以上（含50岁）的观众约有 　 　 人．
14．（2分）（2024 西城区一模）如图，在 ABCD中，点E在边AD上，BA，CE的延长线交于点F．若AF＝1，AB＝2，则 　 　 ．
15．（2分）（2023秋 任城区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接BC．若，则阴影部分的面积为 　 　 ．
16．（2分）填空：
（1）　 　 +（﹣7）＝21；
（2）　 　 +（﹣27）＝﹣30．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）（2022秋 潜山市月考）计算：．
18．（5分）（2023 永州）解关于x的不等式组：．
19．（5分）已知x+2y＝0（x≠0），求分式的值．
20．（5分）小明、小亮两人相距5km，小明先出发0.5h，小亮再出发，小明在后小亮在前，两人同向而行，小明的速度是8km/h，小亮的速度是6km/h，小明出发后几小时追上小亮？
21．（6分）（2025春 裕华区校级期中）【课本再现】
已知：如图，DE是△ABC的中位线．求证：DE∥BC，且．
【定理证明】
（1）证明：如图1，延长DE至点F，使得EF＝DE，连接CF．请你根据图1中添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线）
【知识应用】
（2）如图②，已知矩形ABCD中，AD＝6，CD＝4，点P在BC上从B向C移动，R、E、F分别是DC、AP、RP的中点，则EF＝ 　 　 ．
22．（5分）（2025 北京一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k为常数，k≠0）的图象由函数的图象平移得到且与y＝x+m的图象交于点A（3，2）．
（1）求k，b，m的值；
（2）当x＞3时，对于x的每一个值，函数y＝nx（n≠0）的值既大于函数y＝kx+b的值，也大于函数y＝x+m的值，直接写出n的取值范围．
23．（5分）（2024 荔城区一模）杰杰金融公司准备为员工办理手机流量套餐．为了解员工手机流量使用情况，随机抽样得到100位员工每人手机月平均使用流量L（单位：M）的数据，将这100个数据按照500＜x≤600，600＜x≤700，…，1000＜x≤1100分成6组，制成了如图所示的频数分布直方图．
（1）从该企业的员工中随机抽取1人，求该员工手机月平均使用流量不超过900M的概率；
（2）据了解，某网络运营商推出两款流量套餐．详情如下：
套餐名称 月套餐费（单位：元） 月套餐流量（单位：M）
A 20 700
B 30 1000
流量套餐的规则是：每月1日收取套餐费，如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购买流量叠加包，每一个叠加包（包含200M的流量）需要10元，可以多次购买，如果当月流量有剩余，将会被清零．该企业准备订购其中一款流量套餐，每月为员工支付套餐费，以及购买流量叠加包所需月费用．若以人均所需要用为决策依据，该企业订购哪一款套餐更经济？
24．（6分）（2022 麒麟区模拟）如图，△ABC内接于⊙O，⊙O的直径AD与弦BC相交于点E，BE＝EC，过点D的切线交AC的延长线于点F．
（1）求证：BC∥DF；
（2）若sin∠BAD，AB＝4，求AF的长．
25．（6分）（2024春 朝阳区校级月考）【阅读材料】为了保护学生的视力，学校的课桌、椅的高度都是按一定的关系配套设计的．为了了解学校新添置的一批课桌、椅高度的配套设计情况，小明所在的综合实践小组进行了调查研究，他们发现可以根据人的身高调节课桌、椅的高度，且课桌的高度y（cm）与对应的椅子高度（不含靠背）x（cm）符合一次函数关系，他们测量了一套符合条件的课桌、椅对应的四档高度，数据如下表：
档次/高度 第一档 第二档 第三档 第四档
椅高x/cm 37.0 40.0 43.0 46.0
桌高y/cm 68.0 74.0 80.0 86.0
根据阅读材料，完成下列各题：
（1）在平面直角坐标系中，描出上表中以各对对应值为坐标的点；
（2）结合表中数据，写出课桌高度y关于椅子高度x的函数表达式 　 　 （不要求写自变量的取值范围）；
（3）小丽测量了自己新更换的课桌椅，桌子的高度为62cm，椅子的高度为35cm，请你判断它们是否配套？如果配套，请说明理由；如果不配套，请你帮助小丽调整桌子或椅了的高度使得它们配套．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣bx+1（a≠0）过点（1，2a2+a+1）
（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
（2）若对于抛物线上的两个点（a﹣2，y1），（2a﹣1，y2），都有y1＜y2．求a的取值范围．
27．（7分）（2024春 坪山区期末）（1）如图1，△ABC的三条边相等，三个内角也相等，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且BD＝CE＝AF．请写出图中一对全等三角形 　 　 ，其全等的理由是 　 　 ；
（2）如图2，△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且BD＝CE，∠DEF＝∠B，请判断△DEF的形状，并说明理由；
（3）如图3，△ABC中，AB＝AC＝8，点D在BA的延长线上，点E在边BC上，且AD＝CE＝2，∠DEF＝∠B．延长BC至点M，使得CM＝CA，过点M作AC的平行线MF，与边EF于点F．若MF＝4，请你求出线段BM的长度．
28．（7分）（2024秋 海淀区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，旋转角α，满足0°≤α≤120°，对图形M与图形N给出如下定义：将图形M绕原点逆时针旋转α得到图形M'．P为图形M'上任意一点，Q为图形N上的任意一点，称PQ长度的最小值为图形M与图形N的“近邻距”．已知点，点B（4，0），点C（2，0）．
（1）当α＝90°时，记线段OA为图形M．
①画出图形M'；
②若点C为图形N，则“近邻距”为　 　 ；
③若线段AC为图形N，求“近邻距”；
（2）已知点P（t，0），点，记线段AB为图形M，线段PQ为图形N，对任意旋转角α，“近邻距”大于，直接写出t的取值范围．
2025年北京市中考数学模拟预测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）（2023 西山区模拟）如图所示是某几何体的三视图，则这个几何体是（　　）
A．棱柱 B．棱锥 C．圆锥 D．圆柱
【考点】由三视图判断几何体．
【专题】投影与视图；几何直观．
【答案】D
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：由于主视图和左视图为长方形，可得此几何体为柱体，由俯视图为圆可得为圆柱体．
故选：D．
【点评】本题考查了由三视图来判断几何体，还考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力．
2．（2分）（2023秋 水城区校级月考）实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣a+|b﹣a|+c的结果是（　　）
A．﹣b﹣c B．c﹣b C．2a﹣2b+2c D．2a+b+c
【考点】实数与数轴；绝对值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】根据数轴上点的位置判断出b﹣a的正负，化简绝对值，再合并同类项即可．
【解答】解：由数轴可知，b＜0＜a，
∴b﹣a＜0，
∴﹣a+|b﹣a|+c＝﹣a﹣b+a+c＝c﹣b，
故选：B．
【点评】本题考查实数与数轴、绝对值，解题的关键是根据数轴上点的位置判断出b﹣a的正负．
3．（2分）（2025 西华县一模）截止2025年2月23日15时26分．动画电影《哪吒之魔童闹海》累计票房（含预售）突破135亿，成为我国首部百亿电影！将数据“135亿”用科学记数法表示为（　　）
A．1.35×1011 B．13.5×1010 C．1.35×1010 D．1.35×109
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；符号意识．
【答案】C．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：135亿＝13500000000＝1.35×1010．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（2分）（2022春 大连期末）如图，直线AB∥CD，∠EFB＝60°，则∠CGE的度数是（　　）
A．130° B．110° C．120° D．60°
【考点】平行线的性质．
【专题】计算题；线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】C
【分析】因为AB∥CD，所以∠EGD＝∠EFB＝60°，再根据平角的性质可求∠CGE．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠EGD＝∠EFB＝60°，
∴∠CGE＝180°﹣∠EGD＝120°．
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的计算．
5．（2分）（2025 高平市一模）小明在2025年春节去看电影，他想在《射雕英雄传：侠之大者》《哪吒：魔童闹海》《封神：战火西岐》《唐探1900》《蛟龙行动》《：重启未来》这六个电影中选取两个去观看，他选取背面完全相同的六张卡片，在正面分别写上片名，然后背面向上，洗匀后随机抽取两张，则小明抽中《哪吒》和《》的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】B
【分析】画树状图，共有30种等可能的结果，其中小明抽中《哪吒》和《》的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把《射雕英雄传：侠之大者》《哪吒：魔童闹海》《封神：战火西岐》《唐探1900》《蛟龙行动》《：重启未来》这六个电影卡片分别记为A、B、C、D、E、F，
画树状图如下：
共有30种等可能的结果，其中小明抽中《哪吒》和《》的结果有2种，
∴小明抽中《哪吒》和《》的概率是．
故选：B．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
6．（2分）（2025 格尔木市校级一模）已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　）
A． B．
C．且a≠0 D．且a≠0
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根，得出Δ＞0，从而得出a的取值范围．
【解答】解：∴关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＝22﹣4×a×（﹣3）＞0，且a≠0，
解得：，且a≠0，
故选C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
7．（2分）把△ABC的各边分别扩大为原来的4倍，得到△A1B1C1，下列结论不能成立的是（　　）
A．△ABC∽△A1B1C1
B．△ABC与△A1B1C1的各对应角相等
C．△ABC与△A1B1C1的相似比为
D．△ABC与△A1B1C1的相似比为4
【考点】相似三角形的判定；相似三角形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】D
【分析】先根据题意得出△ABC∽△A1B1C1，再根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵△ABC的各边分别扩大为原来的4倍得到△A1B1C1，
∴△ABC∽△A1B1C1，
∴△ABC与△A1B1C1的各对应角相等，相似比为，
∴A，B，C正确，D错误．
故选：D．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应角相等，对应边的比相等是解题的关键．
8．（2分）（2022春 防城港期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝5，点M在CD边上，且DM＝2，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，延长CB到点F，使得BF＝DM，分别连接AF，EF，则线段EF的长为（　　）
A． B． C． D．
【考点】正方形的性质；轴对称的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】C
【分析】连接BM，根据正方形的性质易证△ADM≌△ABF（SAS），根据全等三角形的性质以及轴对称的性质可得△EAF≌△BAM（SAS），进一步可得EF＝BM，根据勾股定理可得BM的长，从而可得EF的长．
【解答】解：连接BM，如图所示：
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ADM＝∠ABC＝90°，
∴∠ABF＝90°，
∵BF＝DM，
∴△ADM≌△ABF（SAS），
∴AM＝AF，∠BAF＝∠DAM，
∵△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，
∴AE＝AD，∠EAM＝∠DAM，
∴AE＝AB，∠BAF＝∠EAM，
∴∠EAF＝∠BAM，
在△EAF和△BAM中，
，
∴△EAF≌△BAM（SAS），
∴EF＝BM，
在正方形ABCD中，AB＝CB＝CD，∠C＝90°，
又∵AB＝5，DM＝2，
∴CM＝3，
根据勾股定理，得BM，
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，本题综合性较强，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）（2024春 溧阳市期中）如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，∠BAD、∠ABC的角平分线分别交BC、AD于点E、F，则∠1与∠2的数量关系是 　∠1+∠2＝90°　 ．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】∠1+∠2＝90°．
【分析】首先根据四边形内角和为360°得到∠BAD+∠BCD＝180°，然后根据角平分线的概念即可得出∠1与∠2的数量关系．
【解答】解：∵四边形内角和为360°，∠B+∠D＝180°，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BAD、∠ABC的角平分线分别交BC、AD于点E、F，
∴∠1+∠2∠BAD∠BCD＝90°，
故答案为：∠1+∠2＝90°．
【点评】此题考查了四边形内角和，角平分线的概念等知识，解题的关键是根据四边形内角和得到∠BAD+∠BCD＝180°．
10．（2分）（2023 雁塔区校级模拟）因式分解：9ab2﹣a＝　a（3b+1）（3b﹣1）　 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】a（3b+1）（3b﹣1）．
【分析】先提取公因式，再用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：原式＝a（9b2﹣1）
＝a（3b+1）（3b﹣1）．
故答案为：a（3b+1）（3b﹣1）．
【点评】本题考查提公因式法与公式法的综合运用，掌握a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）是解题的关键．
11．（2分）（2024秋 香坊区期末）若反比例函数的图象经过点（1，3），则k的值为 　2　 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】2．
【分析】直接把点（1，3）代入反比例函数即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数的图象经过点（1，3），
∴，
解得k+1＝3，
∴k＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
12．（2分）（2023 藤县一模）方程1的解是 　x＝5　 ．
【考点】解分式方程．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】x＝5．
【分析】根据分式方程的解法，先化为整式方程，然后解整式方程，再检验即可．
【解答】解：1，
3＝x﹣2，
解得x＝5，
检验：把x＝5代入x﹣2≠0，
所以x＝5是原分式方程的解．
故答案为：x＝5．
【点评】此题主要考查了分式方程的解法，关键是把分式方程化为整式方程，解整式方程，并检验即可．
13．（2分）（2021秋 兴文县校级期末）如图是各年龄段人群收视某电视剧情况的条形统计图（统计时年龄只取整数）．若某村观看此电视剧的观众人数为1400人，则其中50岁以上（含50岁）的观众约有 　504　 人．
【考点】条形统计图；用样本估计总体．
【专题】统计的应用；几何直观；数据分析观念．
【答案】504．
【分析】通过观察图，可求出50岁以上（含50岁）的观众的频率，然后乘以总人数即可．
【解答】解：从图中可以发现50岁以上的频率＝0.24+0.12＝0.36，
1400人其中50岁以上的人数＝1400×0.36＝504．
故答案为：504．
【点评】本题考查从统计表中获取信息的能力，及统计中用样本估计总体的思想．
14．（2分）（2024 西城区一模）如图，在 ABCD中，点E在边AD上，BA，CE的延长线交于点F．若AF＝1，AB＝2，则 　　 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由平行四边形的性质得到AB∥CD，CD＝AB＝2，推出△FAE∽△CDE，得到，而AF＝1，于是得到．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，CD＝AB＝2，
∴△FAE∽△CDE，
∴，
∵AF＝1，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是由△FAE∽△CDE，推出．
15．（2分）（2023秋 任城区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接BC．若，则阴影部分的面积为 　　 ．
【考点】扇形面积的计算；勾股定理；垂径定理．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】4π﹣3．
【分析】证明△OBD是等边三角形，根据S阴＝S△DEB+（S扇形DOB﹣S△BOD）求解即可．
【解答】解：连接BD．
∵OC＝OB＝BC＝2，
∴△OBC是等边三角形，
∵CD⊥AB，AB是直径，
∴，
∴BC＝BD＝OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∵DE⊥OB，
∴OE＝EB，
∴DEOE＝3，
∴S阴＝S△DEB+（S扇形DOB﹣S△BOD）
（（2）2
＝4π﹣3．
故答案为：4π﹣3．
【点评】本题考查了扇形面积的计算以及垂径定理、等边三角形的判定和性质，解答本题的关键是理解性质和定理，注意掌握扇形的面积公式．
16．（2分）填空：
（1）　28　 +（﹣7）＝21；
（2）　﹣3　 +（﹣27）＝﹣30．
【考点】有理数的加法．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）28；
（2）﹣3．
【分析】直接利用有理数的加法运算法则，计算得出答案．
【解答】解：（1）28+（﹣7）＝21；
（2）﹣3+（﹣27）＝﹣30．
故答案为：（1）28；
（2）﹣3．
【点评】此题主要考查了有理数的加法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）（2022秋 潜山市月考）计算：．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】．
【分析】根据负整数指数，特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算进行计算即可求解．
【解答】解：
．
【点评】本题考查了实数的混合运算，掌握负整数指数，特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算是解题的关键．
18．（5分）（2023 永州）解关于x的不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】计算题；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】1＜x＜2．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．
【解答】解：解不等式2x﹣2＞0得，x＞1，
解不等式3（x﹣1）﹣7＜﹣2x得，x＜2，
所以不等式组的解集为1＜x＜2．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，掌握求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．
19．（5分）已知x+2y＝0（x≠0），求分式的值．
【考点】分式的值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】．
【分析】将x+2y＝0进行变形，得到x＝﹣2y，代入到分式求解即可．
【解答】解：∵x+2y＝0，
∴x＝﹣2y，
∴原式．
【点评】本题主要考查了分式化简求值，熟练运用换元法用y表示出x代入分式是解答本题的关键．
20．（5分）小明、小亮两人相距5km，小明先出发0.5h，小亮再出发，小明在后小亮在前，两人同向而行，小明的速度是8km/h，小亮的速度是6km/h，小明出发后几小时追上小亮？
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】1小时．
【分析】设小明出发后x小时追上小亮，利用路程＝速度×时间，结合小明追上小亮时小明比小亮多走了5km，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出结论．
【解答】解：设小明出发后x小时追上小亮，
依题意得：8x﹣6（x﹣0.5）＝5，
解得：x＝1．
答：小明出发后1小时追上小亮．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
21．（6分）（2025春 裕华区校级期中）【课本再现】
已知：如图，DE是△ABC的中位线．求证：DE∥BC，且．
【定理证明】
（1）证明：如图1，延长DE至点F，使得EF＝DE，连接CF．请你根据图1中添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线）
【知识应用】
（2）如图②，已知矩形ABCD中，AD＝6，CD＝4，点P在BC上从B向C移动，R、E、F分别是DC、AP、RP的中点，则EF＝ 　　 ．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质．
【专题】三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】（1）想办法证明四边形BDFC是平行四边形可得结论；
（2）利用勾股定理以及三角形中位线定理求解．
【解答】（1）证明：在△AED和△CEF 中，
，
∴△AED≌△CEF（SAS），
∴AD＝CF，∠A＝∠ECF，
∴AB∥CF，
∵AD＝BD，
∴BD＝CF，
∴四边形DBCF为平行四边形，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴DE∥BC，；
（2）解：如图2中，连接AR．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∵R是CD的中点，
∴DRCD＝2，
∴AR2，
∵E，F分别是AP，PR的中点，
∴EFAR．
故答案为：．
【点评】本题考查矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（5分）（2025 北京一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k为常数，k≠0）的图象由函数的图象平移得到且与y＝x+m的图象交于点A（3，2）．
（1）求k，b，m的值；
（2）当x＞3时，对于x的每一个值，函数y＝nx（n≠0）的值既大于函数y＝kx+b的值，也大于函数y＝x+m的值，直接写出n的取值范围．
【考点】一次函数图象与几何变换；两条直线相交或平行问题；一次函数图象与系数的关系．
【专题】一次函数及其应用；线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】（1）k，b＝1，m＝﹣1；
（2）n≥1．
【分析】（1）根据一次函数图象平移规律确定k的值，再将交点坐标代入函数求出b和m的值；
（2）根据函数值大小关系确定n的取值范围．
【解答】＝解：（1）∵一次函数y﹣＝kx+b的图象由函数yx的图象平移得到，一次函数图象平移时k的值不变，
∴k，
∵一次函数y＝kx+b过点A（3，2），且k，将点A（3，2）和k代入y＝kx+b中，可得23+b，
∴b＝1，
∵y＝x+m的图象过点A（3，2），将点A（3，2）代入y＝x+m中，可得2＝3+m，
∴解得m＝﹣1；
（2）由（1）知yx+1，y＝x﹣1，
当x＞3时，y＝nx的值既大于yx+1的值，也大于y＝x﹣1的值，y＝nx表示过原点的直线，
∴当x＞3时，y＝nx在yx+1和y＝x﹣1上方，
y＝x﹣1在x＞3时的函数值增长速度比yx+1快，
∴要使y＝nx在x＞3时始终在y＝x﹣1上方，且y＝nx过原点，
∴n要大于等于y＝x﹣1的斜率1，即n≥1．
【点评】本题考查一次函数图象与几何变换，一次函数图象与系数的关系，解题的关键是求出函数解析式和列出不等式解决问题．
23．（5分）（2024 荔城区一模）杰杰金融公司准备为员工办理手机流量套餐．为了解员工手机流量使用情况，随机抽样得到100位员工每人手机月平均使用流量L（单位：M）的数据，将这100个数据按照500＜x≤600，600＜x≤700，…，1000＜x≤1100分成6组，制成了如图所示的频数分布直方图．
（1）从该企业的员工中随机抽取1人，求该员工手机月平均使用流量不超过900M的概率；
（2）据了解，某网络运营商推出两款流量套餐．详情如下：
套餐名称 月套餐费（单位：元） 月套餐流量（单位：M）
A 20 700
B 30 1000
流量套餐的规则是：每月1日收取套餐费，如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购买流量叠加包，每一个叠加包（包含200M的流量）需要10元，可以多次购买，如果当月流量有剩余，将会被清零．该企业准备订购其中一款流量套餐，每月为员工支付套餐费，以及购买流量叠加包所需月费用．若以人均所需要用为决策依据，该企业订购哪一款套餐更经济？
【考点】概率公式；频数（率）分布直方图．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）订购A套餐更经济，过程见解答．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据平均数的计算公式先分别求出A套餐人均所需费用和B套餐人均所需费用，再进行比较，即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，样本中月平均使用流量不超过900M的频数为：100﹣2﹣8＝90，
则该员工手机月平均使用流量不超过900M的概率是；
（2）A套餐人均所需费用为：28（元），
B套餐人均所需费用为：30.2（元），
∵28＜30.2，
∴该企业订购A套餐更经济．
【点评】本题考查了概率的知识和频数（率）分布直方图．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
24．（6分）（2022 麒麟区模拟）如图，△ABC内接于⊙O，⊙O的直径AD与弦BC相交于点E，BE＝EC，过点D的切线交AC的延长线于点F．
（1）求证：BC∥DF；
（2）若sin∠BAD，AB＝4，求AF的长．
【考点】切线的性质；解直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）5．
【分析】（1）根据垂径定理得到AD⊥BC，根据切线的性质得到AD⊥DF，根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）连接CD，根据三角函数的定义得到CE＝BE＝4，根据勾股定理得到AE8，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AD为⊙O的直径，BE＝CE，
∴AD⊥BC，
∵DF是⊙O的切线，
∴AD⊥DF，
∴BC∥DF；
（2）解：连接CD，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∵BE＝CE，AD⊥BC，
∴AB＝AC＝4，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵sin∠CAD＝∠sin∠BAD，AB＝4，
∴CE＝BE＝4，
∴AE8，
∵cos∠CAD，
∴，
∴AD＝10，
∵tan∠CAD，
∴，
∴DF＝5，
∴AF5．
【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，解直角三角形，平行线的判定，正确地作出辅助线是解题的关键．
25．（6分）（2024春 朝阳区校级月考）【阅读材料】为了保护学生的视力，学校的课桌、椅的高度都是按一定的关系配套设计的．为了了解学校新添置的一批课桌、椅高度的配套设计情况，小明所在的综合实践小组进行了调查研究，他们发现可以根据人的身高调节课桌、椅的高度，且课桌的高度y（cm）与对应的椅子高度（不含靠背）x（cm）符合一次函数关系，他们测量了一套符合条件的课桌、椅对应的四档高度，数据如下表：
档次/高度 第一档 第二档 第三档 第四档
椅高x/cm 37.0 40.0 43.0 46.0
桌高y/cm 68.0 74.0 80.0 86.0
根据阅读材料，完成下列各题：
（1）在平面直角坐标系中，描出上表中以各对对应值为坐标的点；
（2）结合表中数据，写出课桌高度y关于椅子高度x的函数表达式 　y＝2x﹣6　 （不要求写自变量的取值范围）；
（3）小丽测量了自己新更换的课桌椅，桌子的高度为62cm，椅子的高度为35cm，请你判断它们是否配套？如果配套，请说明理由；如果不配套，请你帮助小丽调整桌子或椅了的高度使得它们配套．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）描点见解答；
（2）y＝2x﹣6；
（3）应将桌子升高2cm或将椅子降低1cm．
【分析】（1）直接描点即可；
（2）根据这些点的分布情况，利用待定系数法求解即可；
（3）分别将x＝35和y＝62代入（2）中求得的函数表达式，求出对应y和x的值并与给出的y和x的值相比较即可．
【解答】解：（1）描点如图所示：
（2）∵这些点分布在同一直线上，
∴y是x的一次函数．
设y关于x的函数表达式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）．
将坐标（37，68）和（40，74）分别代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴y关于x的函数表达式为y＝2x﹣6．
故答案为：y＝2x﹣6．
（3）不配套．
当x＝35时，得y＝2×35﹣6＝64，64﹣62＝2（cm）；
当y＝62时，得2x﹣6＝62，解得x＝34（cm），35﹣34＝1（cm），
∴应将桌子升高2cm或将椅子降低1cm．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数表达式是解题的关键．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣bx+1（a≠0）过点（1，2a2+a+1）
（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
（2）若对于抛物线上的两个点（a﹣2，y1），（2a﹣1，y2），都有y1＜y2．求a的取值范围．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】分类讨论；二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）直线x＝﹣a；
（2）a或﹣1＜a＜0．
【分析】（1）根据对称轴公式即可得解；
（2）分类讨论，根据二次函数的对称性求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣bx+1（a≠0）过点（1，2a2+a+1），
∴a﹣b+1＝2a2+a+1，
∴b＝﹣2a2，
∴抛物线解析式为直线xa；
（2）①当a＞0时，则a﹣2﹣（2a﹣1）＝﹣a﹣1＜0，
∴a﹣2＜2a﹣1，
∵y1＜y2，
∴，
解得a；
②当﹣1＜a＜0时，则a﹣2﹣（2a﹣1）＝﹣a﹣1＜0，
∴a﹣2＜2a﹣1，
∵y1＜y2，
∴，
解得a，
∴﹣1＜a＜0，
③当a＜﹣1时，则a﹣2﹣（2a﹣1）＝﹣a﹣1＞0，
∴a﹣2＞2a﹣1，
∴﹣a＞a﹣2＞2a﹣1，
则y1＞y2，不合题意；
综上所述：a或﹣1＜a＜0．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，掌握二次函数的增减性和对称性是解题的关键．
27．（7分）（2024春 坪山区期末）（1）如图1，△ABC的三条边相等，三个内角也相等，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且BD＝CE＝AF．请写出图中一对全等三角形 　△ADF≌△BED（答案不唯一）　 ，其全等的理由是 　SAS　 ；
（2）如图2，△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且BD＝CE，∠DEF＝∠B，请判断△DEF的形状，并说明理由；
（3）如图3，△ABC中，AB＝AC＝8，点D在BA的延长线上，点E在边BC上，且AD＝CE＝2，∠DEF＝∠B．延长BC至点M，使得CM＝CA，过点M作AC的平行线MF，与边EF于点F．若MF＝4，请你求出线段BM的长度．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；图形的全等；推理能力．
【答案】（1）△ADF≌△BED（答案不唯一），SAS；
（2）△DEF为等腰三角形，理由见解析；
（3）14．
【分析】（1）利用SAS公理证明△ADF≌△BED；
（2）证明△BDE≌△CEF，根据全等三角形的性质得到DE＝EF，得到△DEF为等腰三角形；
（3）证明△DBE≌△EMF，得到BE＝MF＝4，EM＝BD＝AB+AD＝10，计算即可．
【解答】解：（1）由题意得：AB＝AC＝BC，∠A＝∠B＝∠C，
∵BD＝CE＝AF，
∴AD＝BE，
在△ADF和△BED中，
，
∴△ADF≌△BED（SAS），
故答案为：△ADF≌△BED（答案不唯一），SAS；
（2）△DEF为等腰三角形，
理由如下：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠DEC＝∠B+∠BDE＝∠DEF+∠CEF，∠DEF＝∠B，
∴∠BDE＝∠CEF，
在△BDE和△CEF中，
，
∴△BDE≌△CEF（ASA），
∴DE＝EF，
∴△DEF为等腰三角形；
（3）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵AC∥FM，
∴∠M＝∠ACB，
∴∠B＝∠M，
∵AB＝AC，CM＝CA，
∴AB＝CM，
∵AD＝CE，
∴AB+AD＝CM+CE，即BD＝ME，
由（2）可知：∠DEF＝∠B时，∠D＝∠MEF，
在△DBE和△EMF中，
，
∴△DBE≌△EMF（ASA），
∴BE＝MF＝4，EM＝BD＝AB+AD＝10，
∴BD＝BE+EM＝4+10＝14．
【点评】本题考查的是三角形全等的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
28．（7分）（2024秋 海淀区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，旋转角α，满足0°≤α≤120°，对图形M与图形N给出如下定义：将图形M绕原点逆时针旋转α得到图形M'．P为图形M'上任意一点，Q为图形N上的任意一点，称PQ长度的最小值为图形M与图形N的“近邻距”．已知点，点B（4，0），点C（2，0）．
（1）当α＝90°时，记线段OA为图形M．
①画出图形M'；
②若点C为图形N，则“近邻距”为　2　 ；
③若线段AC为图形N，求“近邻距”；
（2）已知点P（t，0），点，记线段AB为图形M，线段PQ为图形N，对任意旋转角α，“近邻距”大于，直接写出t的取值范围．
【考点】几何变换综合题．
【专题】新定义；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）①过程详见解答；
②2；
③；
（2）．
【分析】（1）①根据要求画出图形即可；
②线段OC的长即为所求；
③连接AC，过点A作AE⊥OC于E，过点O作OD⊥AC于D，求出OD即可；
（2）画出当α＝120°时，A′在x轴负半轴，点A和点B运动的轨迹分别为半径是2和的4的弧，从而得出AB运动范围，作QW⊥x轴，可求得∠QPW＝60°，由A′P得出﹣2﹣t，从而求得t的范围；同样求得当点P在P′处时，当点P在P″处时和当点在P1处时t的范围，进一步得出结果．
【解答】解：（1）①如图1，
线段OA′，即为图形M′；
②观察图象可知，点C为图形N，则“和谐距”为线段OC的长为：2，
故答案为：2；
③如图2，
连接AC，过点A作AE⊥OC于E，过点O作OD⊥AC于D，
∵A（1，），C（2，0），
∴AE，OC＝2，OE＝CE＝1，
∴tan∠AOC，OA＝AC，
∴∠AOC＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴OD＝OE，
∴“和谐距”为；
（2）如图3，
由上可知，
∠AOC＝60°，
∴当α＝120°时，A′在x轴负半轴，点A和点B运动的轨迹分别为半径是2和的4的弧，故AB运动的范围如图所示，
作QW⊥x轴，
∵P（t，0）在点B的左侧，Q（t，），
∴WP，QW，
∴tan∠QPW，
∴∠QPW＝60°，
即PQ与x轴的夹角为60°，
A′P，
∴﹣2﹣t，
∴t，
当点P在P′处时，作A′V⊥P′Q′于V，
A′V′，
∴A′P′ sin60°，
∴t﹣（﹣2） ，
∴t，
当点P在P″处时，作P″T⊥AB于T，
P″T，
∴BP″ sin∠ABO，
∴，
∴t＜1，
∴，
当点在P1处时，
作BR⊥P1Q1于R，
BR，
∴
∴t＞4，
综上所述：．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了旋转变换的性质、坐标与图形性质、勾股定理、新定义“转后距”以及三角形面积等知识，本题综合性强，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，第二个问题的关键是画出图形，利用图象法解决问题．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑