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2025年广州市中考数学模拟预测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2025 东莞市校级模拟）下列实数中，最大的数是（　　）
A．﹣2 B．1 C． D．
2．（3分）（2024春 江阴市月考）下列运算正确的是（　　）
A．a6÷a3＝a2 B．a2+a3＝a5
C．a5﹣a4＝a D．（ab2）2＝a2b4
3．（3分）（2024秋 三原县期中）根据下列表述，能确定位置的是（　　）
A．东一路 B．负一层停车场
C．万达影院1号厅2排 D．东经125°，北纬28°
4．（3分）用若干大小相同的小立方块搭一个几何体，从正面，上面和左面看到的这个几何体的形状图如图所示，则这个几何体是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）（2025 三门峡模拟）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠B＝28°，则∠P的度数为（　　）
A．28° B．30° C．34° D．56°
6．（3分）（2024秋 新邵县校级期中）车间准备加工1000个零件，在加工了400个零件后，引进了新工艺，每天的工作效率提高为原来的2倍，结果共用5天完成了任务．若设该车间原来每天加工x个零件，则由题意可列出方程（　　）
A．5 B．5
C．5 D．5
7．（3分）某制鞋厂准备生产一批男鞋，经抽样调查了120男性消费者，得知所需鞋号和人数如表，并求出鞋号的中位数是24，众数是25，平均数是24．下列说法正确的是（　　）
鞋号 20 22 23 24 25 26 27
人数 8 15 20 25 30 20 2
A．需要27号鞋的人数太少，27号鞋可以不生产
B．因为平均数是24，所以这批男鞋可以一律按24号的鞋生产
C．因为中位数是24，所以24号鞋的生产量应占首位
D．因为众数是25，所以25号鞋的生产量应占首位
8．（3分）（2023秋 太平区期末）如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2x的解（　　）
A． B．x＝2 C．x＝1 D．x＝4
9．（3分）不等式组的解集是（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≤3 D．2＜x≤3
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … t m ﹣2 ﹣2 n …
且当时，其对应的函数值y＞0．有下列结论：①abc＞0；②﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个实数根；③对称轴为直线；④0．其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023 琼海一模）把多项式3x2﹣3y2因式分解的结果是 　 　 ．
12．（3分）（2023 南海区一模）方程的解为 　 　 ．
13．（3分）（2024秋 高坪区校级期中）如图，在圆O内有折线OABC，其中OA＝5，AB＝7，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为 　 　 ．
14．（3分）（2024 金平区一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的对角线OB在x轴上，顶点A在反比例函数的图象上，则菱形OABC的面积为 　 　 .
15．（3分）（2024 浦口区校级三模）如图，S1表示⊙O1中去掉内接正三角形部分的面积，S2表示⊙O2中去掉内接正六边形部分的面积，⊙O1和⊙O2的半径均为6，则S1　 　 2S2．（填“＞、＜或＝”）
16．（3分）（2025 浦口区校级模拟）如图，在 ABCD中，过A，C，D三点的⊙O与AB相交于点E．若∠A＝104°，则∠BCE＝　 　 °．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）（2024 无为市三模）解不等式4（x﹣1）＜2x﹣6，并把解集在数轴上表示出来．（温馨提示：请把解集在答题纸相对应的数轴上表示出来．）
18．（4分）（2024秋 建邺区校级期中）已知点A、F、E、D在同一条直线上，AF＝DE，BE∥CF，BE＝CF．求证：AB＝CD．
19．（6分）A，B两个小肥羊养殖场向甲、乙两地集中供货，已知A养殖场的小肥羊比B养殖场少400只，B养殖场的小肥羊比A养殖场的2倍少400只，将这批小肥羊运往甲、乙两地的运费如表所示，已知这批小肥羊最终运往甲地1100只．
养殖场目的地 A B
甲 25 18
乙 20 24
（1）求A，B养殖场各有多少只小肥羊？
（2）设这批小肥羊从A养殖场运往甲地x只（100≤x≤700），全部运往甲、乙两地的总费用为y元，求y与x的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案．
20．（6分）（2019秋 宁津县期末）解分式方程．
（1）．
（2）先化简，再求值：（x﹣2），其中x＝﹣5．
21．（8分）（2022 衢州一模）某校为了解学生对“有礼衢州”城市标签的了解程度，做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．不了解；B．基本了解；C．比较了解；D．非常了解．根据调查统计结果，绘制了三种不完整的统计图表．请结合统计图表，回答下列问题：
对“有礼衢州”城市标签了解程度 百分比
A 不了解 5%
B 基本了解 m%
C 比较了解 45%
D 非常了解 35%
（1）本次参与调查的学生共有 　 　 人，m＝　 　 ；
（2）求扇形统计图中扇形B的圆心角度数，并补全条形统计图（要求标注人数）；
（3）该校为提高学生对“有礼衢州”城市标签的了解程度，准备开展关于“有礼衢州”城市标签的知识竞赛，九（5）班欲从3名男生和1名女生中任选2人参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求出恰好选中“1男1女”的概率．
22．（10分）（2023 九龙坡区校级模拟）如图，在矩形ABCD中AB＝3，BC＝4．点E为CB中点，动点P从点E出发，沿折线E→C→D→C运动，当它回到点C时停止，设点P运动的路程为x，连接AP，PD．设三角形ADP的面积为y．
（1）求出y与x的函数关系式，并注明x的取值范围，在x的取值范围内画出y的函数图象；
（2）根据函数图象，写出该函数的一条性质；
（3）根据函数图象，直接写出当y＝2时x的值．
23．（10分）（2022 东莞市校级三模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8．
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于点D；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若CD＝3，求cosA．
24．（12分）（2022春 鼓楼区期中）点E、F分别为正方形ABCD边AD、AB上的点，连接CE，DF交于点P．
（1）如图1，若DE＝AF，则线段DF与CE具有怎样的数量和位置关系？说明理由．
（2）如图2，若E为AD中点，F为AB中点，求证BP＝BC．
（3）若将正方形ABCD折叠，使得A点的对应点A′落在BC边上，折痕MN分别交AB，CD于M，N．若正方形的边长为6，线段A′B＝2，则DN的长为 　 　 ．
25．（12分）已知抛物线y＝mx2﹣（2m﹣1）x+m（m≠0）始终过定点．
（1）求定点的坐标；
（2）若当2≤x≤5时，y的最大值为2，求m的值；
（3）材料阅读：在一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，由求根公式可得x1，x2；则可得：x1+x2，x1x2，运用上述材料中的方法解决．
下面的问题：抛物线y＝mx2﹣（2m﹣1）x+m不经过第二象限，且经过点（﹣3m，m），若一元二次方程mx2﹣（2m﹣1）x+m＝0的两根分别是a，b，求证：18．
2025年广州市中考数学模拟预测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2025 东莞市校级模拟）下列实数中，最大的数是（　　）
A．﹣2 B．1 C． D．
【考点】实数大小比较；算术平方根．
【专题】实数；符号意识．
【答案】C
【分析】先比较B，C，D选项中的四个正数的大小，再根据正数大于负数，从而比较各个选项中数的大小，找出最大的数即可．
【解答】解：，
∵2.5＞1.732＞1
∴，
∵正数大于负数，
∴，
∴这四个数最大的数是，
故选：C．
【点评】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握如何比较正负数的大小．
2．（3分）（2024春 江阴市月考）下列运算正确的是（　　）
A．a6÷a3＝a2 B．a2+a3＝a5
C．a5﹣a4＝a D．（ab2）2＝a2b4
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据合并同类项法则；同底数幂相除，底数不变，指数相减；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a6÷a3＝a3，故此选项不符合题意；
B、a2与a3不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
C、a5与a4不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
D、（ab2）2＝a2b4，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查合并同类项、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
3．（3分）（2024秋 三原县期中）根据下列表述，能确定位置的是（　　）
A．东一路 B．负一层停车场
C．万达影院1号厅2排 D．东经125°，北纬28°
【考点】坐标确定位置．
【专题】平面直角坐标系；几何直观．
【答案】D
【分析】根据坐标定义，确定位置需要两个数据，逐项分析即可求解．
【解答】解：A、东一路，不能确定，故A选项不符合题意；
B、负一层停车场，不能确定，故B选项不符合题意；
C、万达影院1号厅2排，不能确定，故C选项不符合题意；
D、本选项能确定，故D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了有序数对确定位置，正确记忆相关知识点是解题关键．
4．（3分）用若干大小相同的小立方块搭一个几何体，从正面，上面和左面看到的这个几何体的形状图如图所示，则这个几何体是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由三视图判断几何体．
【专题】投影与视图；几何直观．
【答案】C
【分析】根据三视图的定义判断即可．
【解答】解：这个几何体是：
故选：C．
【点评】本题考查由三视图判断几何体，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型．
5．（3分）（2025 三门峡模拟）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠B＝28°，则∠P的度数为（　　）
A．28° B．30° C．34° D．56°
【考点】切线的性质；圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】C
【分析】先根据圆周角定理求出∠AOP，再根据切线的性质得到∠OAP＝90°，根据直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵∠B＝28°，
∴∠AOP＝2∠B＝56°，
∵PO交⊙O于点C，
∴OA⊥OP，即∠OAP＝90°，
∴∠P＝90°﹣∠AOP＝90°﹣56°＝34°，
故选：C．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
6．（3分）（2024秋 新邵县校级期中）车间准备加工1000个零件，在加工了400个零件后，引进了新工艺，每天的工作效率提高为原来的2倍，结果共用5天完成了任务．若设该车间原来每天加工x个零件，则由题意可列出方程（　　）
A．5 B．5
C．5 D．5
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】根据加工1000个零件，共用5天完成任务列分式方程即可．
【解答】解：根据题意，得，
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
7．（3分）某制鞋厂准备生产一批男鞋，经抽样调查了120男性消费者，得知所需鞋号和人数如表，并求出鞋号的中位数是24，众数是25，平均数是24．下列说法正确的是（　　）
鞋号 20 22 23 24 25 26 27
人数 8 15 20 25 30 20 2
A．需要27号鞋的人数太少，27号鞋可以不生产
B．因为平均数是24，所以这批男鞋可以一律按24号的鞋生产
C．因为中位数是24，所以24号鞋的生产量应占首位
D．因为众数是25，所以25号鞋的生产量应占首位
【考点】众数；加权平均数；中位数．
【专题】统计的应用；应用意识．
【答案】D
【分析】哪个号的生产量占首位，要看需要的人数是否占首位，与平均数无关，与中位数无关，取决于众数．
【解答】解：A、所需27cm鞋的人数太少，27cm鞋可以少生产，不是不生产，故本选项错误；
B、因为平均数24，所以这批男鞋可以一律按24cm的鞋生产，这样的话其他人就无鞋可穿了，故本选项错误；
C、因为中位数是24，故24cm的鞋的生产量应占首位，哪个号的生产量占首位，要看需要的人数是否占首位，与中位数无关，故本选项错误；
D、因为众数是25，故25cm的鞋的生产量要占首位，哪个号的生产量占首位，要看需要的人数是否占首位，所以取决于众数，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义，考查了学生的实际应用能力．
8．（3分）（2023秋 太平区期末）如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2x的解（　　）
A． B．x＝2 C．x＝1 D．x＝4
【考点】一次函数与一元一次方程．
【专题】一次函数及其应用；用函数的观点看方程（组）或不等式；运算能力；应用意识．
【答案】C
【分析】首先利用函数解析式y＝2x求出m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程kx+b＝2的解可得答案．
【解答】解：∵直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），
∴2＝2m，
∴m＝1，
∴P（1，2），
∴关于x的方程kx+b＝2x的解是x＝1，
故选：C．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标．
9．（3分）不等式组的解集是（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≤3 D．2＜x≤3
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．
【解答】解：，
解不等式①得x＞2，
解不等式②得x≤3，
故不等式组的解集为2＜x≤3．
故选：D．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … t m ﹣2 ﹣2 n …
且当时，其对应的函数值y＞0．有下列结论：①abc＞0；②﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个实数根；③对称轴为直线；④0．其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】依据题意，通过表格确定函数的对称性、函数图象上点的坐标特征，进而求解．
【解答】解：当x＝0时，c＝﹣2，
当x＝1时，a+b﹣2＝﹣2，
∴a+b＝0，
∴y＝ax2﹣ax﹣2，
∴abc＞0，
①正确；
∵x＝0时，y＝﹣2，x＝1时，y＝﹣2，
∴对称轴为：x，
③正确；
∵x＝﹣2时y＝t，对称轴为直线x，
∴x＝3时，y＝t，
∴﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；
②正确；
m＝a+a﹣2，n＝4a﹣2a﹣2，
∴m＝n＝2a﹣2，
∴m+n＝4a﹣4，
∵当x时，y＞0，
∴a，
∴m+n，
④错误；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出对称轴是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023 琼海一模）把多项式3x2﹣3y2因式分解的结果是 　3（x+y）（x﹣y）　 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】3（x+y）（x﹣y）．
【分析】原式提取3，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝3（x2﹣y2）
＝3（x+y）（x﹣y）．
故答案为：3（x+y）（x﹣y）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（3分）（2023 南海区一模）方程的解为 　5　 ．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】x＝5．
【分析】去分母，把分式方程化成整式方程，解整式方程检验后即可得出分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x＝5（x﹣3），
解得：x＝5，
当x＝5时，x（x﹣3）≠0，
∴x＝5是原分式方程的解．
【点评】本题考查了解分式方程，去分母把分式方程化成整式方程是解决问题的关键．
13．（3分）（2024秋 高坪区校级期中）如图，在圆O内有折线OABC，其中OA＝5，AB＝7，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为 　12　 ．
【考点】垂径定理；等边三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】12．
【分析】延长AO交BC于D，根据∠A、∠B的度数易证得△ABD是等边三角形，由此可求出OD、BD的长；过O作BC的垂线，设垂足为E；在Rt△ODE中，根据OD的长及∠ODE的度数易求得DE的长，进而可求出BE的长；由垂径定理知BC＝2BE，由此得解．
【解答】解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E．
∵∠A＝∠B＝60°，
∴∠ADB＝60°，
∴△ADB为等边三角形，
∴BD＝AD＝AB＝7，∠ADB＝60°，
∴OD＝2，
∴DE＝OD cos60°OD＝1，
∴BE＝6，
∵OE⊥BC，
∴BC＝2BE＝12．
故答案为：12．
【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，垂径定理的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
14．（3分）（2024 金平区一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的对角线OB在x轴上，顶点A在反比例函数的图象上，则菱形OABC的面积为 　8　 .
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】8．
【分析】过点A分别作y轴x轴的垂线，垂足分别为D、E，可以得到S△AOE＝S△ABE＝S△AOD，继而求出菱形的面积．
【解答】解：过点A分别作y轴x轴的垂线，垂足分别为D、E，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴S矩形ADOE＝4，
∵菱形OABC的对角线OB在x轴上，
∴S△AOE＝S△ABE＝S△AOD，
∴S矩形ADOE＝S△AOB＝4，
∴S菱形OABC＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握菱形的性质是关键．
15．（3分）（2024 浦口区校级三模）如图，S1表示⊙O1中去掉内接正三角形部分的面积，S2表示⊙O2中去掉内接正六边形部分的面积，⊙O1和⊙O2的半径均为6，则S1　＞　 2S2．（填“＞、＜或＝”）
【考点】正多边形和圆；扇形面积的计算；等边三角形的性质；三角形的外接圆与外心．
【专题】正多边形与圆；与圆有关的计算；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】＞．
【分析】根据正多边形和圆的性质，直角三角形的边角关系以及圆面积、扇形面积的计算方法分别求出图1，图2中阴影部分的面积S1，S2即可．
【解答】解：如图1，过点A作AD⊥BC于点D，则AD过圆心O1，连接OB，
在Rt△BO1D中，O1B＝O1A＝6，∠O1BD＝30°，
∴BDBO1＝3CDBC，O1DBO1＝3，
∴AD＝6+3＝9，
∴S1＝S圆﹣S正△ABC
＝π×6269
＝36π﹣27；
如图2，连接O2A，O2F，过点O2作O2H⊥AF于点H，
∵六边形ABCDEF是圆内接正六边形，
∴∠AO2F60°，∠AO2H＝30°，
∵O2F＝O2A，
∴△AO2F是正三角形，
∴O2F＝O2A＝AF＝6，
在Rt△AO2H中，O2F＝O2A＝6，∠AO2H＝30°，
∴O2H6＝3，
∴S2＝S阴影部分＝S圆﹣6S△AO2F
＝π×62﹣66×3
＝36π﹣54，
∴S1﹣2S2
＝36π﹣2772π+108
＝8136π＞0，
∴S1＞2S2；
故答案为：＞．
【点评】本题考查正多边形和圆，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算以及直角三角形的边角关系，掌握正三角形、正六边形的性质，扇形面积的计算以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
16．（3分）（2025 浦口区校级模拟）如图，在 ABCD中，过A，C，D三点的⊙O与AB相交于点E．若∠A＝104°，则∠BCE＝　28　 °．
【考点】三角形的外接圆与外心；平行四边形的性质；圆周角定理．
【专题】多边形与平行四边形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】28．
【分析】由平行四边形的性质得出∠A＝∠BCD＝104°，求出∠ECD＝180°﹣∠A＝76°，则可得出答案．
【解答】解：∵四边形ACBD是平行四边形，
∴∠A＝∠BCD＝104°，
∵四边形AECD是圆内接四边形，
∴∠A+∠ECD＝180°，
∴∠ECD＝180°﹣∠A＝76°，
∴∠BCE＝∠BCD﹣∠ECD＝104°﹣76°＝28°，
故答案为：28．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、圆内接四边形的性质；熟练掌握以上知识是解决问题的关键．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）（2024 无为市三模）解不等式4（x﹣1）＜2x﹣6，并把解集在数轴上表示出来．（温馨提示：请把解集在答题纸相对应的数轴上表示出来．）
【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】x＜﹣1，数轴见解析．
【分析】先去括号、移项、合并同类项、系数化1，求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：4（x﹣1）＜2x﹣6，
去括号，得4x﹣4＜2x﹣6，
移项，得4x﹣2x＜4﹣6，
合并同类项，得2x＜﹣2，
解得x＜﹣1，
数轴表示如下：
【点评】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是掌握不等式的解法．
18．（4分）（2024秋 建邺区校级期中）已知点A、F、E、D在同一条直线上，AF＝DE，BE∥CF，BE＝CF．求证：AB＝CD．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；推理能力．
【答案】见解析．
【分析】根据线段的和差及平行线的性质得出AE＝DF，∠AEB＝∠DFC，由“SAS”可证△ABE≌△DCF，根据全等三角形的性质即可得解．
【解答】证明：∵AF＝DE，
∴AF+EF＝DE+EF，
即AE＝DF，
∵BE∥CF，
∴∠AEB＝∠DFC，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴AB＝CD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
19．（6分）A，B两个小肥羊养殖场向甲、乙两地集中供货，已知A养殖场的小肥羊比B养殖场少400只，B养殖场的小肥羊比A养殖场的2倍少400只，将这批小肥羊运往甲、乙两地的运费如表所示，已知这批小肥羊最终运往甲地1100只．
养殖场目的地 A B
甲 25 18
乙 20 24
（1）求A，B养殖场各有多少只小肥羊？
（2）设这批小肥羊从A养殖场运往甲地x只（100≤x≤700），全部运往甲、乙两地的总费用为y元，求y与x的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）A养殖场有800只小肥羊，B养殖场有1200只小肥羊；
（2）y＝11x+38200，从A养殖场运往甲地100只，则从A养殖场运往乙地700只，从B养殖场运往甲地1000只，从B养殖场运往乙地200只，此方案费用最少．
【分析】（1）设A养殖场有x只小肥羊，B养殖场．有y只小肥羊，根据A养殖场的小肥羊比B养殖场少400只，B养殖场的小肥羊比A养殖场的2倍少400只，列出方程组求解即可；
（2）根据总费用等于A、B两个养殖场运往甲、乙两地的费用之和列出函数关系式，根据函数的性质求最值及调运方案．
【解答】解：（1）设A养殖场有x只小肥羊，B养殖场．有y只小肥羊，
根据题意得，
解得，
答：A养殖场有800只小肥羊，B养殖场有1200只小肥羊；
（2）由（1）可知，这批小肥羊一共800+1200＝2000只，因为最终运往甲地1100只，则最终运往乙地900只，
由题意得，这批小肥羊从A养殖场运往甲地x只，则从A养殖场运往乙地（800﹣x）只，从B养殖场运往甲地（1100﹣x）只，从B养殖场运往乙地1200﹣（100﹣x）＝（100+x）只，
根据题意得y＝25x+20（ 800﹣x）+18（ 1100﹣x）+24（ 100+x）＝11x+38200，
∵k＝11＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵100≤x≤700，
∴当x＝100时，y最小，
答：这批肥羊从A养殖场运往甲地100只，则从A养殖场运往乙地700只，从B养殖场运往甲地1000只，从B养殖场运往乙地200只，此方案费用最少．
【点评】本题考查了一次函数及二元一次方程组的应用，解题的关键是根据数量关系列出函数解析式或方程组．
20．（6分）（2019秋 宁津县期末）解分式方程．
（1）．
（2）先化简，再求值：（x﹣2），其中x＝﹣5．
【考点】分式的化简求值；解分式方程．
【专题】分式；运算能力．
【答案】（1）原方程无解．
（2），．
【分析】（1）根据分式方程的解法即可求出答案．
（2）根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：（1），
x+1＝x﹣2，
x﹣x＝﹣2﹣1，
故原方程无解．
（2）原式
，
当x＝﹣5时，
原式．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
21．（8分）（2022 衢州一模）某校为了解学生对“有礼衢州”城市标签的了解程度，做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．不了解；B．基本了解；C．比较了解；D．非常了解．根据调查统计结果，绘制了三种不完整的统计图表．请结合统计图表，回答下列问题：
对“有礼衢州”城市标签了解程度 百分比
A 不了解 5%
B 基本了解 m%
C 比较了解 45%
D 非常了解 35%
（1）本次参与调查的学生共有 　400　 人，m＝　15　 ；
（2）求扇形统计图中扇形B的圆心角度数，并补全条形统计图（要求标注人数）；
（3）该校为提高学生对“有礼衢州”城市标签的了解程度，准备开展关于“有礼衢州”城市标签的知识竞赛，九（5）班欲从3名男生和1名女生中任选2人参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求出恰好选中“1男1女”的概率．
【考点】列表法与树状图法；统计表；扇形统计图；条形统计图．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】（1）400、15；（2）54°，补全图形见解答；（3）．
【分析】（1）用A等级的人数除以所占的百分比得到调查的总人数，然后计算m的值；
（2）用360度乘以D类人数的百分比得到扇形统计图中D的圆心角，根据四个等级人数之和等于总人数求出D等级人数即可补全图形；
（3）根据题意画树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）调查的总人数为20÷5%＝400（人），
m%100%＝15%，即m＝15；
故答案为：400，15；
（2）扇形统计图中扇形B的圆心角度数为360°54°，
D等级人数为400﹣（20+60+180）＝140（人），
补全图形如下：
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中1名男生和1名女生的结果数为6，
所以恰好选中1名男生和1名女生的概率为．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（10分）（2023 九龙坡区校级模拟）如图，在矩形ABCD中AB＝3，BC＝4．点E为CB中点，动点P从点E出发，沿折线E→C→D→C运动，当它回到点C时停止，设点P运动的路程为x，连接AP，PD．设三角形ADP的面积为y．
（1）求出y与x的函数关系式，并注明x的取值范围，在x的取值范围内画出y的函数图象；
（2）根据函数图象，写出该函数的一条性质；
（3）根据函数图象，直接写出当y＝2时x的值．
【考点】函数的图象；函数关系式；函数自变量的取值范围；函数值．
【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】（1）y，在x的取值范围内画出y的函数图象见解答；
（2）当0≤x≤2时，y不变；当2＜x＜5时，y随着x的增大而减小；当5≤x≤8时，y随着x的增大而增大（答案不唯一）；
（3）4或6．
【分析】根据点P的移动轨迹，分阶段分情况讨论计算面积；根据一次函数的图象分析性质和求值即可．
【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，点E是BC的中点，BC＝4，AB＝3；
∴ECBC4＝2，AD＝BC＝4，DC＝AB＝3．
在矩形ABCD中，点P在EC之间移动时，△ADP底边AD上的高＝矩形的宽AB＝3；
点P在DC之间移动时，△ADP底边AD上的高＝PD．
点P从E到C移动时，即0≤x≤2时，△ADP的面积y6；
点P从C到D移动时，即2＜x≤5时，△ADP的面积y10﹣2x；
点P从D到C移动时，即5＜x≤8时，△ADP的面积y2x﹣10；
∴y，
在x的取值范围内画出y的函数图象如图．
（2）根据图象可知：当0≤x≤2时，y不变；当2＜x＜5时，y随着x的增大而减小；当5≤x≤8时，y随着x的增大而增大．
（3）y＝2时，x的值是4或6．
【点评】本题考查了函数以及函数的图象，注意分情况讨论是解题的关键，不要遗漏．
23．（10分）（2022 东莞市校级三模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8．
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于点D；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若CD＝3，求cosA．
【考点】作图—基本作图；解直角三角形；角平分线的性质．
【专题】作图题；几何直观；应用意识．
【答案】（1）作图见解析部分；
（2）．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用角平分线的性质定理证明DH＝DC＝3，再利用勾股定理求出AH，可得结论．
【解答】解：（1）如图，射线BD即为所求；
（2）根点D作DH⊥AB于点H．
∵BD平分∠ABC，DH⊥AB，DC⊥BC，
∴DH＝DC＝3，
∴AH4，
∴cosA．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24．（12分）（2022春 鼓楼区期中）点E、F分别为正方形ABCD边AD、AB上的点，连接CE，DF交于点P．
（1）如图1，若DE＝AF，则线段DF与CE具有怎样的数量和位置关系？说明理由．
（2）如图2，若E为AD中点，F为AB中点，求证BP＝BC．
（3）若将正方形ABCD折叠，使得A点的对应点A′落在BC边上，折痕MN分别交AB，CD于M，N．若正方形的边长为6，线段A′B＝2，则DN的长为 　　 ．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）DF＝CE，DF⊥CE，理由见解答；
（2）证明见解答；
（3）．
【分析】（1）由四边形ABCD为正方形，AF＝DE，易证得△ADF≌△DCE（SAS），即可证得DF＝CE，∠ADF＝∠DCE，即可证得DF⊥CE；
（2）如图2，过点B作BG∥DF，交CD于G，交CE于H，先根据两组对边分别平行证明四边形BFDG是平行四边形，由三角形中位线定理的推论可得PH＝CH，得BH是PC的垂直平分线，可解答；
（3）过点M作MG⊥CD于G，连接DE交MN于P，由折叠可知，DE⊥MN，证明△MNG≌△A'AB（ASA），则MG＝A'B＝2，设A'M＝x，由勾股定理列方程可得x的长，可求得DN的长．
【解答】（1）解：DF＝CE，DF⊥CE，理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝DC，∠A＝∠ADC＝90°，
在△ADF和△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴DF＝CE，∠ADF＝∠DCE，
∵∠ADF+∠CDP＝90°，
∴∠DCE+∠CDP＝90°，
∴∠CPD＝90°，
∴DF⊥CE；
（2）证明：如图2，过点B作BG∥DF，交CD于G，交CE于H，
∵E为AD中点，F为AB中点，
∴DE＝AFAD，
由（1）同理得：DF⊥CE，
∴BG∥DF，
∵BF∥DG，
∴四边形BFDG是平行四边形，
∴DG＝BFCD，
∵GH∥DP，
∴CH＝PH，
∴BH是PC的垂直平分线，
∴BP＝BC；
（3）解：如图3，过点N作NG⊥AB于G，连接AA'交MN于P，
由折叠可知，AA'⊥MN，
∵∠AOG＝∠PON，∠AGO＝∠NPO＝90°，
∴∠BAA'＝∠MNG，
在△A'AB和△MNG中，
，
∴△A'AB≌△MNG（ASA），
∴MG＝A'B＝2，
设A'M＝x，则AM＝x，BM＝6﹣x，
由勾股定理得：A'M2＝BM2+A'B2，
∴x2＝（6﹣x）2+22，
∴x，
∴DN＝AG2．
故答案为：．
【点评】此题属于四边形的综合题，考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形中位线的定理的运用．注意作辅助线构建三角形全等，掌握三角形中位线定理是关键．
25．（12分）已知抛物线y＝mx2﹣（2m﹣1）x+m（m≠0）始终过定点．
（1）求定点的坐标；
（2）若当2≤x≤5时，y的最大值为2，求m的值；
（3）材料阅读：在一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，由求根公式可得x1，x2；则可得：x1+x2，x1x2，运用上述材料中的方法解决．
下面的问题：抛物线y＝mx2﹣（2m﹣1）x+m不经过第二象限，且经过点（﹣3m，m），若一元二次方程mx2﹣（2m﹣1）x+m＝0的两根分别是a，b，求证：18．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；推理能力．
【答案】（1）（1，1）；
（2）；
（3）18．
【分析】（1）由y＝mx2﹣（2m﹣1）x+m＝m（x2﹣2x+1）+x，可知x﹣2x+1＝0，解方程即可；
（2）分三种情形，分别求解可得结论；
（3）首先求出m的值，利用一元二次方程的根与系数的关系，证明即可．
【解答】解：（1）由y＝mx2﹣（2m﹣1）x+m＝m（x2﹣2x+1）+x，
可知x﹣2x+1＝0，
∴x＝1，
当x＝1时，y＝1，
∴抛物线y＝mx2﹣（2m﹣1）x+m（m≠0）始终过定点（1，1）；
（2）当x＝2时，y＝2，则有2＝4m﹣2（2m﹣1）+m，
解得，m＝0（不符合题意，舍弃）．
当x＝5时，y＝2，则2＝25m﹣5（2m﹣1）+m，
解得，m，
∴抛物线的解析式为，yx2x，
对称轴是直线x，当x时，y的值最大，
这个与x＝5时，最大值为2，矛盾，
∴m不符合题意．
当2时，m，
此时抛物线的解析式为yx2x（x﹣3）2+2，
∴x＝3时，y是最大值为2，符合题意，
∴m；
（3）∵抛物线y＝mx2﹣（2m﹣1）x+m经过点（﹣3m，m），
∴m＝m×9m2+6m2﹣3m+m，
整理得，3m2+2m﹣1＝0，
解得，m＝﹣1或，
∵抛物线y＝mx2﹣（2m﹣1）x+m不经过第二象限，
∴m＝﹣1，
∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根分别是a，b，
∴a+b＝3，ab＝1，a2＝3b﹣1，b2＝3b﹣1，
∴
＝18．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会用整体代入的思想解决问题，属于中考压轴题．
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