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2025年广州市中考数学模拟预测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2024秋 长安区校级期中）在下列各数中，最小的数是（　　）
A．0 B．﹣3 C．﹣1 D．﹣5
2．（3分）（2023 齐齐哈尔模拟）王老师给全班同学留了一个特色寒假作业，画一张有关兔子的图画，以下四个图形是开学后收上来的图画中的一部分，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）（2023 陆河县三模）5月1日至7日，我市每日最高气温如图所示，则下列说法错误的是（　　）
A．中位数是36℃
B．平均数是32℃
C．众数是33℃
D．7天里的最高气温的极差为7
4．（3分）（2023 光明区二模）下列运算正确的是（　　）
A． B．5x2y﹣3xy2＝2xy
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（ab）3＝a3b3
5．（3分）（2024秋 三亚期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC与BD相交于点O，AF⊥BC于点F，交BD于点P．若AB＝6，则DP的长为（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）（2024春 临颍县期末）元代数学家朱世杰撰写的《四元玉鉴》中记载了一个问题，大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中四文钱可买苦果七个，十一文钱可买甜果九个，问甜果、苦果各几个？设买了甜果x个，苦果y个，根据题意可列方程组（　　）
A．
B．
C．
D．
7．（3分）（2024 夏津县二模）已知反比例函数在第二象限内的图象与一次函数y＝ax+b的图象如图所示，则函数y＝ax2﹣bx﹣k+1的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，则直线与⊙O的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
9．（3分）（2023春 大名县月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△A′B′C′，使点C′落在AB边上，连结BB′，则sin∠BB′C′的值为（　　）
A． B． C． D．
10．（3分）（2021秋 梁平区期中）关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣2m＝0有两个实数根α，β，且α2+β2＝30，那么m的值为（　　）
A．﹣1或7 B．7 C．﹣1 D．﹣7或1
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2024春 江岸区校级期中）当春时节，“好汉归来”．2024年3月24日武汉马拉松在汉口江滩开跑，来自国内外约31000名选手奔跑在武汉最美赛道上，尽情感受“英雄城市”的独特魅力．31000用科学记数法表示为　 　 ．
12．（3分）（2024春 夹江县期末）如图，把△ABC沿着射线AC方向平移得到△DEF，BE＝2，DC＝1.5，则AF＝　 　 ．
13．（3分）（2022 莱芜区二模）代数式与代数式的和为1，则x＝　 　 ．
14．（3分）（2023 兴庆区校级二模）如图，是由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是 　 　 块．
15．（3分）（2023春 普陀区期中）已知，那么f（3）＝　 　 ．
16．（3分）如图中的①， ABCD中两条对角线AC、BD交于点O，AB＝5，点P从顶点B出发，沿B→C→D以1cm/s的速度匀速运动到点D，图②是点P运动过程中线段OP的长度y与时间t的函数关系图象，其中M、N分别是两段曲线的最低点，则点M的横坐标为 　 　 ，点N的纵坐标为 　 　 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）下面是小星同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务：
解：去分母，得2（1﹣x）﹣（3x﹣2）＜6…第一步 去括号，得2﹣2x﹣3x+2＜6…第二步 移项，得﹣2x﹣3x＜6﹣2﹣2…第三步 合并同类项，得﹣5x＜2…第四步 两边都除以﹣5，得第五步
（1）上述求解过程中，第三步变形的依据是　 　 ；
（2）上述求解过程中的第　 　 步发生错误，具体错误为　 　 ；
（3）该不等式的解集应为　 　 ．
18．（4分）（2025 临渭区一模）如图，点D和点C在线段BE上，AB＝EF，AB∥EF，AC∥DF．求证：BD＝CE．
19．（6分）（2024 广州一模）已知：．
（1）化简A；
（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求A的值．
条件①：若点P（a，a+2）是反比例函数图象上的点；
条件②：若a是方程x2+x＝8﹣x的一个根．
20．（6分）（2023秋 开州区期末）如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E．
（1）用尺规作图完成以下基本作图：作∠A的角平分线，分别交BE、BC于点M、N，连接NE；
（保留作图痕迹，不写作法和结论．）
（2）根据（1）中作图，证明四边形ABNE是菱形，请你补全证明过程．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴　 　 ，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠2，
∴∠1＝∠ABE，　 　 ，
又∵AM平分∠A，
∴BM＝ME，
在△AME和△NMB 中，
，
∴△AME≌△NMB（ASA），
∴　 　 ．
又∵BM＝EM，AM＝MN，
四边形ABNE是平行四边形，
又∵AB＝AE，
∴　 　 ．
21．（8分）（2023 霍邱县一模）自从2021年7月国家出台“双减”政策以来，全国各地纷纷响应落实该政策．某学校在课后托管时间里开展了“A．音乐、B．体育、C．演讲、D．美术”四项社团活动，学校从全校1200名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动”的问卷调查（每人必选且只选一种），并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：
（1）参加调查的学生共有 　 　 人；条形统计图中m的值为 　 　 ；扇形统计图中α的度数为 　 　 ；
（2）根据调查结果，请估计该校1200名学生中最喜欢“音乐”社团的约有多少人；
（3）现从“演讲”社团里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
22．（10分）（2022 市南区校级二模）如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D．测得CD＝80m，∠ACD＝90°，∠BCD＝45°，∠ADC＝19°17'，∠BDC＝56°19'．设A，B，C，D在同一平面内，
求（1）AC的长；
（2）A，B两点之间的距离．（参考数据：tan19°17'≈0.35，tan56°19'≈1.50．）
23．（10分）（2025 罗湖区模拟）【操作实验】小珂在物理综合实践课上，用一固定电压为24V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流y/A的大小，从而控制小灯泡L的亮度，实验电路图如图1所示，已知小灯泡的电阻为3Ω（不计温度对灯泡电阻影响），滑动变阻器的电阻为x/Ω（0≤x≤9）（串联电路中总电阻＝灯泡电阻+滑动变阻器的电阻），通过多次试验，得到以下数据（如表）：
电阻x/Ω … a 2 3 5 7 9
电流y/A … 6 4.8 4 3 b 2
（1）根据实验结果，填空：a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ，根据实验数据直接写出y与x的函数关系式：　 　 （0≤x≤9）；
（2）【初步探究】请在以下平面直角坐标系中，画出函数y的图象，并写出函数y的一条性质：　 　 ；
（3）【深入探究】
已知一次函数，结合（2）中函数图象分析，请直接写出当y≤y'时x的取值范围：　 　 ．
24．（12分）（2025 遵化市校级一模）如图，某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式y＝x2+bx+c（b，c为常数），通过输入不同的b、c的值，在几何画板的展示区得到对应的抛物线．若所得抛物线L1恰好经过O（0，0）和A（2，0）两点，解决下列问题．
（1）求与抛物线L1表达式；
（2）若把抛物线L1相对应的b、c的值交换后，再次输入得到新的抛物线L2，求抛物线L2与x轴交点的坐标，并说明抛物线L2是否经过L1的顶点；
（3）另有直线l：y＝n与抛物线L1交于点P，Q，与抛物线L2交于点M，N，若的值是整数，请直接写出n的最大值．
25．（12分）（2024秋 新抚区期末）如图，四边形ABCD是正方形，△DFG等腰直角三角形，∠FDG＝90°，△DFG绕点D逆时针旋转，连接BF，BG，点E是BG的中点，连接CE．
（1）如图1，当点F在边AD上时，求证：，CE⊥BF；
（2）如图2，当点F不在边AD上时，（1）中结论是否还成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（3）若正方形的边长为，DF的长为，等腰直角△DFG绕点D旋转一周，当点B，F，G三点在一条直线上时，连接CF，请直接写出△CBF的面积．
2025年广州市中考数学模拟预测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2024秋 长安区校级期中）在下列各数中，最小的数是（　　）
A．0 B．﹣3 C．﹣1 D．﹣5
【考点】有理数大小比较．
【专题】数形结合；实数；运算能力．
【答案】D．
【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解答】解：∵﹣5＜﹣3＜﹣1＜0，
∴最小的数是：﹣5．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．
2．（3分）（2023 齐齐哈尔模拟）王老师给全班同学留了一个特色寒假作业，画一张有关兔子的图画，以下四个图形是开学后收上来的图画中的一部分，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】C
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（3分）（2023 陆河县三模）5月1日至7日，我市每日最高气温如图所示，则下列说法错误的是（　　）
A．中位数是36℃
B．平均数是32℃
C．众数是33℃
D．7天里的最高气温的极差为7
【考点】极差；算术平均数；中位数；众数．
【专题】统计的应用；数据分析观念；应用意识．
【答案】A
【分析】分别确定7个数据的中位数、平均数、众数及极差后即可确定正确的选项．
【解答】解：A．7个数排序后为29，30，31，32，33，33，36，位于中间位置的数为32，所以中位数为32℃，故A说法错误，符合题意；
B．平均数为（29+30+31+32+33+33+36）＝32（℃），故B说法正确，不符合题意；
C．7个数据中出现次数最多的为33，所以众数为33℃，故C说法正确，不符合题意；
D．36﹣9＝7，所以7天里的最高气温的极差为7，故D说法正确，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了统计的知识，解题的关键是了解如何确定一组数据的中位数、平均数、众数及极差，掌握相关定义是解答本题的关键．
4．（3分）（2023 光明区二模）下列运算正确的是（　　）
A． B．5x2y﹣3xy2＝2xy
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（ab）3＝a3b3
【考点】二次根式的加减法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据实数的运算，合并同类项，完全平方公式，积的乘方，逐项分析判断即可求解．
【解答】解：A． ，故该选项不正确，不符合题意；
B．5x2y﹣3xy2≠2xy，故该选项不正确，不符合题意；
C． （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故该选项不正确，不符合题意；
D． （ab）3＝a3b3，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了实数的运算，合并同类项，完全平方公式，积的乘方，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
5．（3分）（2024秋 三亚期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC与BD相交于点O，AF⊥BC于点F，交BD于点P．若AB＝6，则DP的长为（　　）
A． B． C． D．
【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】先由菱形的性质得到AD＝AB＝BC＝6，AC⊥BD，AC＝2OA，再证明△ABC是等边三角形，则AC＝AB＝6，进而得到OA＝3，由三线合一定理得到∠OAP＝30°，则可求出，利用勾股定理得到，则．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝BC＝6，AC⊥BD，AC＝2OA，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝6，
∴OA＝3，
∵AF⊥BC，
∴∠OAP＝30°，
∴，
在Rt△AOD中，由勾股定理得，
∴，
故选：C．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
6．（3分）（2024春 临颍县期末）元代数学家朱世杰撰写的《四元玉鉴》中记载了一个问题，大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中四文钱可买苦果七个，十一文钱可买甜果九个，问甜果、苦果各几个？设买了甜果x个，苦果y个，根据题意可列方程组（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】利用总价＝单价×数量，结合用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵共买了一千个苦果和甜果，
∴x+y＝1000；
∵共花费九百九十九文钱，且四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，
∴yx＝999．
∴可列方程组为．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7．（3分）（2024 夏津县二模）已知反比例函数在第二象限内的图象与一次函数y＝ax+b的图象如图所示，则函数y＝ax2﹣bx﹣k+1的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】反比例函数的性质；二次函数的图象；二次函数的性质；一次函数的图象；一次函数的性质；反比例函数的图象．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观．
【答案】B
【分析】根据反比例函数图象和一次函数函数的图象得到k＜0；a＜0；b＞0，再根据二次函数a、c、的取值范围得到抛物线的开口方向、与y轴的交点和对称轴，进行观察图象即可．
【解答】解：∵反比例函数的图象在第二象限，
∴k＜0；
又∵一次函数y＝ax+b的图象经过一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0．
∴函数y＝ax2﹣bx﹣k+1中，
a＜0，函数图象开口向下；
k＜0，即：﹣k+1＞0，与y轴交于正半轴；
a＜0，b＞0，即：﹣b＜0，对称轴小于0，
故选：B．
【点评】本题考查了函数图象和性质，解题的关键是根据函数图象确定k、a和b的取值范围．
8．（3分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，则直线与⊙O的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
【考点】直线与圆的位置关系；一次函数的性质；勾股定理．
【专题】一次函数及其应用；等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】如图所示，过O作OC⊥直线AB，垂足为C，解方程得到A（，0），B（0，），得到OA＝OB，在根据勾股定理得到AB2，根据三角形的面积公式得到OC1，于是得到结论．
【解答】解：如图所示，过O作OC⊥直线AB，垂足为C，
在直线中，令x＝0，解得：y；令y＝0，解得：x，
∴A（，0），B（0，），即OA＝OB，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB2，
又S△AOBAB OCOA OB，
∴OC1，又圆O的半径为1，
则直线与圆O的位置关系是相切．
故选：B．
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，以及三角形的面积求法，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
9．（3分）（2023春 大名县月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△A′B′C′，使点C′落在AB边上，连结BB′，则sin∠BB′C′的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】旋转的性质；解直角三角形．
【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AB，由旋转的性质可得AC＝AC'＝6，BC＝B'C'＝8，∠C＝∠AC'B'＝90°，在Rt△BB'C'中，由勾股定理可求BB'的长，即可求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB10，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，
∴AC＝AC'＝6，BC＝B'C'＝8，∠C＝∠AC'B'＝90°，
∴BC'＝4，
∴B'B4，
∴sin∠BB′C′，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，利用勾股定理求出BB'长是解题的关键．
10．（3分）（2021秋 梁平区期中）关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣2m＝0有两个实数根α，β，且α2+β2＝30，那么m的值为（　　）
A．﹣1或7 B．7 C．﹣1 D．﹣7或1
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系结合根的判别式即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣2m＝0有两个实数根α，β，
所以Δ＝[2（m﹣2）]2﹣4×1×（m2﹣2m）≥0，且α+β＝﹣2（m﹣2），αβ＝m2﹣2m，
解得m≤2．
又因为α2+β2＝30，
所以（α+β）2﹣2αβ＝30，
则（﹣2m+4）2﹣2（m2﹣2m）＝30，
解得m＝7或﹣1．
又因为m≤2，
所以m＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了根的判别式及根与系数的关系，熟知一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2024春 江岸区校级期中）当春时节，“好汉归来”．2024年3月24日武汉马拉松在汉口江滩开跑，来自国内外约31000名选手奔跑在武汉最美赛道上，尽情感受“英雄城市”的独特魅力．31000用科学记数法表示为　3.1×104　 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；符号意识．
【答案】3.1×104．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：31000＝3.1×104．
故答案为：3.1×104．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（3分）（2024春 夹江县期末）如图，把△ABC沿着射线AC方向平移得到△DEF，BE＝2，DC＝1.5，则AF＝　5.5　 ．
【考点】平移的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】5.5．
【分析】根据平移的性质得到AD＝CF＝BE＝2，据此求解即可．
【解答】解：由平移的性质可得AD＝CF＝BE＝2，
∵DC＝1.5，
∴AF＝AD+CD+CF＝5.5，
故答案为：5.5．
【点评】本题考查平移的基本性质，关键掌握①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等．
13．（3分）（2022 莱芜区二模）代数式与代数式的和为1，则x＝　1　 ．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】1．
【分析】根据题意得出方程，再方程两边都乘x（x﹣2）得出（x+1）（x﹣2）+x＝x（x﹣2），求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：根据题意得：1，
方程两边都乘x（x﹣2），得（x+1）（x﹣2）+x＝x（x﹣2），
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x（x﹣2）≠0，
所以x＝1是原方程的解，
即原分式方程的解是x＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
14．（3分）（2023 兴庆区校级二模）如图，是由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是 　5　 块．
【考点】由三视图判断几何体．
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】5．
【分析】主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形．
【解答】解：综合主视图和俯视图，底层最少有4个小立方体，第二层最少有1个小立方体，因此搭成这个几何体的小正方体的个数最少是5块．
故答案为：5．
【点评】主要考查了由三视图判断几何体，根据题目中要求的以最少的小正方体搭建这个几何体，可以想象出左视图的样子，然后根据“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”很容易就知道小正方体的个数．
15．（3分）（2023春 普陀区期中）已知，那么f（3）＝　﹣6　 ．
【考点】函数值．
【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】﹣6．
【分析】把x＝3直接代入函数，即可求出函数值．
【解答】解：因为函数，
所以当x＝3时，f（3）3+1＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查求函数值，掌握（1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；（2）函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．
16．（3分）如图中的①， ABCD中两条对角线AC、BD交于点O，AB＝5，点P从顶点B出发，沿B→C→D以1cm/s的速度匀速运动到点D，图②是点P运动过程中线段OP的长度y与时间t的函数关系图象，其中M、N分别是两段曲线的最低点，则点M的横坐标为 　10　 ，点N的纵坐标为 　3　 ．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】函数及其图象；推理能力．
【答案】10，3．
【分析】由图可知点P在BC上运动时，OP先变小后变大，出OP的最大值和最小值，过O作OP1⊥BC点P1，则可求得OB＝OC＝5，OC＝5；而点P从C向D运动时，OP先变小后变大，过点O作OP2⊥CD于点P2，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：由图可知点P在BC上运动时，OP先变小后变大，
由图象可知：点P从B向C运动时，OP的最大值为5，最小值为5，
∴BO＝5，OC＝5，
由于M是曲线部分的最低点，
此时OP最小，
如图，过O作OP1⊥BC于点P1，OP1＝5，
∴由勾股定理得：BP110，
∴点M的横坐标为10；
过点O作OP2⊥CD于点P2，如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，
由图象可知：点P从C向D运动时，OC＝5，
又OD＝OB＝5，
∴设CP2＝x，则P2D＝5x，
∴（5）2﹣x2＝（5）2﹣（5x）2，
解得：x，
即CP2，
∴OP23，
∴点N的纵坐标为3．
故答案为：10，3．
【点评】本题考查了动点与函数图象的理解和应用、平行四边形的性质、勾股定理，把图形和图象结合解得线段的长度是解决本题的关键．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）下面是小星同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务：
解：去分母，得2（1﹣x）﹣（3x﹣2）＜6…第一步 去括号，得2﹣2x﹣3x+2＜6…第二步 移项，得﹣2x﹣3x＜6﹣2﹣2…第三步 合并同类项，得﹣5x＜2…第四步 两边都除以﹣5，得第五步
（1）上述求解过程中，第三步变形的依据是　不等式的性质1　 ；
（2）上述求解过程中的第　五　 步发生错误，具体错误为　没有改变不等号的方向　 ；
（3）该不等式的解集应为　x　 ．
【考点】解一元一次不等式．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）不等式的性质1；
（2）五，没有改变不等号的方向；
（3）x．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1可得其解集．
【解答】解：（1）上述求解过程中，第三步变形的依据是不等式的性质1，
故答案为：不等式的性质1；
（2）上述求解过程中的第五步开始错误，具体错误是没有改变不等号的方向；
故答案为：五，没有改变不等号的方向；
（2）该不等式的解集应为x．
故答案为：x．
【点评】本题考查解一元一次不等式，解一元一次不等式的依据是不等式的基本性质．
18．（4分）（2025 临渭区一模）如图，点D和点C在线段BE上，AB＝EF，AB∥EF，AC∥DF．求证：BD＝CE．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】三角形；图形的全等；几何直观；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据AB∥EF，AC∥DF得∠B＝∠E，∠ACB＝∠FDE，进而可依据“AAS”判定△ABC和△FED全等，则BC＝ED，由此即可得出结论．
【解答】证明：∵AB∥EF，AC∥DF，
∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠FDE，
在△ABC和△FED中，
，
∴△ABC≌△FED（AAS），
∴BC＝ED，
∴BC﹣CD＝ED﹣CD，
∴BD＝CE．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
19．（6分）（2024 广州一模）已知：．
（1）化简A；
（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求A的值．
条件①：若点P（a，a+2）是反比例函数图象上的点；
条件②：若a是方程x2+x＝8﹣x的一个根．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；分式的化简求值；一元二次方程的解．
【专题】分式；一元二次方程及应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）A；
（2）A．
【分析】（1）利用分式的减法法则化简即可；
（2）①由点P在反比例函数图象上，即可得出a（a+2）的值，代入A化解后的分式中即可得出结论；
②a是方程x2+x＝8﹣x的一个根，即可得出a（a+2）的值，代入A化解后的分式中即可得出结论．
【解答】解：（1）
；
（2）①点P（a，a+2）是反比例函数图象上的点，
∴a（a+2）＝8，
∴A；
②∵a是方程x2+x＝8﹣x的一个根，
∴a2+a＝8﹣a，
∴a（a+2）＝8，
∴A；
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一元一次方程的解，分式的运算，把分式化简是解题的关键．
20．（6分）（2023秋 开州区期末）如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E．
（1）用尺规作图完成以下基本作图：作∠A的角平分线，分别交BE、BC于点M、N，连接NE；
（保留作图痕迹，不写作法和结论．）
（2）根据（1）中作图，证明四边形ABNE是菱形，请你补全证明过程．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴　∠1＝∠2　 ，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠2，
∴∠1＝∠ABE，　AB＝AE　 ，
又∵AM平分∠A，
∴BM＝ME，
在△AME和△NMB 中，
，
∴△AME≌△NMB（ASA），
∴　AM＝MN　 ．
又∵BM＝EM，AM＝MN，
四边形ABNE是平行四边形，
又∵AB＝AE，
∴　四边形ABNE是菱形　 ．
【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质．
【专题】图形的全等；尺规作图；运算能力；推理能力．
【答案】（1）作图见解答过程；
（2）∠1＝∠2；AB＝AE；AM＝MN；四边形ABNE是菱形．
【分析】（1）利用基本作图，作∠A的角平分线即可；
（2）证明△AME≌△NMB得到AM＝MN，结合BM＝EM，AM＝MN，得到四边形ABNE是平行四边形，利用AB＝AE，证得四边形ABNE是菱形．
【解答】（1）解：作图如下：
；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠1＝∠2，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠2，
∴∠1＝∠ABE，
∴AB＝AE，
又∵AM平分∠A，
∴BM＝ME，
在△AME和△NMB中，
，
∴△AME≌△NMB（ASA），
∴AM＝MN，
又∵BM＝EM，AM＝MN，
四边形ABNE是平行四边形，
又∵AB＝AE，
∴四边形ABNE是菱形．
故答案为：∠1＝∠2；AB＝AE；AM＝MN；四边形ABNE是菱形．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，平行四边形的判定与性质和菱形的判定与性质，熟练掌握5种基本作图是解答问题的关键．
21．（8分）（2023 霍邱县一模）自从2021年7月国家出台“双减”政策以来，全国各地纷纷响应落实该政策．某学校在课后托管时间里开展了“A．音乐、B．体育、C．演讲、D．美术”四项社团活动，学校从全校1200名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动”的问卷调查（每人必选且只选一种），并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：
（1）参加调查的学生共有 　60　 人；条形统计图中m的值为 　11　 ；扇形统计图中α的度数为 　90°　 ；
（2）根据调查结果，请估计该校1200名学生中最喜欢“音乐”社团的约有多少人；
（3）现从“演讲”社团里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．
【专题】统计的应用；概率及其应用；数据分析观念．
【答案】（1）60，11，90°；
（2）200；
（3）．
【分析】（1）利用24÷40%即可求出参加问卷调查的学生人数．根据m＝60﹣10﹣24﹣15，α＝360°即可得出答案；
（2）用该校总人数乘以样本中最喜欢“音乐”社团的占比即可．
（3）画树状图列出所有等可能的结果，再找出恰好选中甲、乙两名同学的结果，利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）24÷40%＝60（人），
m＝60﹣10﹣24﹣15＝11，
α＝360°90°，
故答案为：60，11，90°；
（2）1200200（人），
∴参加调查的学生共有60人；条形统计图中m的值为11；扇形统计图中α的度数为90°；根据调查结果，可估计该校1200名学生中最喜欢“音乐”社团的约有200人；
故答案为：200．
（3）画树状图如图：
∵共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、列表法与树状图法，熟练掌握条形统计图与扇形统计图、用样本估计总体以及列表法与树状图法求概率是解答本题的关键．
22．（10分）（2022 市南区校级二模）如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D．测得CD＝80m，∠ACD＝90°，∠BCD＝45°，∠ADC＝19°17'，∠BDC＝56°19'．设A，B，C，D在同一平面内，
求（1）AC的长；
（2）A，B两点之间的距离．（参考数据：tan19°17'≈0.35，tan56°19'≈1.50．）
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】计算题；解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】（1）AC＝28m；
（2）A，B两点之间的距离为52m．
【分析】（1）在Rt△ACD中利用直角三角形的边角间关系直接求出AC；
（2）过点B作BE⊥CD，过点A作AF⊥BE，构造矩形ACEF和直角三角形．先说明△BCE是等腰直角三角形，再利用等腰三角形的性质得到CE、BE间关系，在Rt△BED中，利用直角三角形的边角间关系求出BE、DE，再利用线段的和差关系求出BF，最后在Rt△ABF中利用勾股定理求出AB．
【解答】解：（1）在Rt△ACD中，
∵∠ADC＝19°17'，CD＝80m，tan∠ADC，
∴AC＝tan19°17'×CD≈0.35×80＝28（m）．
（2）过点B作BE⊥CD，垂足为E，过点A作AF⊥BE，垂足为F．
∵∠ACD＝90°，
∴四边形ACEF是矩形．
∴AC＝EF＝28m，AF＝CE．
∵∠BCD＝45°，BE⊥CD，
∴△BCE是等腰直角三角形．
设CE＝xm，则AF＝BE＝xm，ED＝（80﹣x）m．
在Rt△BED中，
∵tan∠BDC，∠BDC＝56°19'，
∴tan56°19'，即1.5，
∴x＝48（m），即AF＝BE＝48m．
∴BF＝BE﹣EF＝48﹣28＝20（m）．
在Rt△ABF中，
AB52（m）．
答：A，B两点之间的距离为52m．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角间关系、等腰三角形的性质和判定、矩形的性质和判定及勾股定理是解决本题的关键．
23．（10分）（2025 罗湖区模拟）【操作实验】小珂在物理综合实践课上，用一固定电压为24V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流y/A的大小，从而控制小灯泡L的亮度，实验电路图如图1所示，已知小灯泡的电阻为3Ω（不计温度对灯泡电阻影响），滑动变阻器的电阻为x/Ω（0≤x≤9）（串联电路中总电阻＝灯泡电阻+滑动变阻器的电阻），通过多次试验，得到以下数据（如表）：
电阻x/Ω … a 2 3 5 7 9
电流y/A … 6 4.8 4 3 b 2
（1）根据实验结果，填空：a＝ 　1　 ，b＝ 　2.4　 ，根据实验数据直接写出y与x的函数关系式：　y　 （0≤x≤9）；
（2）【初步探究】请在以下平面直角坐标系中，画出函数y的图象，并写出函数y的一条性质：　y随x的增大而减小（答案不唯一，正确即可）　 ；
（3）【深入探究】
已知一次函数，结合（2）中函数图象分析，请直接写出当y≤y'时x的取值范围：　0≤x≤3　 ．
【考点】反比例函数的应用；一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据实验数据写出y与x的函数关系式，将对应x和y代入该关系式，求出a和b即可；
（2）描点并连线，根据图象写出函数y的一条性质即可（答案不唯一，正确即可）；
（3）在图2中画出一次函数的图象，通过观察图象即可得到x的取值范围．
【解答】解：（1）根据实验数据，得y与x的函数关系式为y，
将x＝a，y＝6代入y，
得6，
解得a＝1；
将x＝7，y＝b代入y，
得b2.4．
故答案为：1，2.4，y．
（2）描点并连线如图所示：
由图象可知，y随x的增大而减小（答案不唯一，正确即可）．
故答案为：y随x的增大而减小（答案不唯一，正确即可）．
（3）在图2中画出一次函数x+8（x≥0）的图象．
由图象可知，当0≤x≤3时，y≤y'．
故答案为：0≤x≤3．
【点评】本题考查一次函数的应用、反比例函数的应用，作出一次函数和反比例函数的图象是解题的关键．
24．（12分）（2025 遵化市校级一模）如图，某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式y＝x2+bx+c（b，c为常数），通过输入不同的b、c的值，在几何画板的展示区得到对应的抛物线．若所得抛物线L1恰好经过O（0，0）和A（2，0）两点，解决下列问题．
（1）求与抛物线L1表达式；
（2）若把抛物线L1相对应的b、c的值交换后，再次输入得到新的抛物线L2，求抛物线L2与x轴交点的坐标，并说明抛物线L2是否经过L1的顶点；
（3）另有直线l：y＝n与抛物线L1交于点P，Q，与抛物线L2交于点M，N，若的值是整数，请直接写出n的最大值．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y＝x2﹣2x；
（2）；L2经过L1的顶点；
（3）n的最大值为．
【分析】（1）把O（0，0）和A（2，0）代入抛物线y＝x2+bx+c中解答即可；
（2）确定抛物线L1的顶点坐标，确定物线L2的解析式，令y＝0，解方程的根即可求抛物线L2与x轴交点的坐标，把抛物线L1的顶点坐标代入抛物线L2的解析式，验证说明即可；
（3）当y＝n时，得x2﹣2＝n，x2﹣2x＝n，解得，，计算，，
得，令，根据反比例函数性质解答即可．
【解答】解：（1）抛物线L1恰好经过O（0，0）和A（2，0）两点，把点O和点A的坐标代入抛物线y＝x2+bx+c，得：
，
解得，
∴抛物线L1表达式为y＝x2﹣2x；
（2）∵L1的解析式为y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）；
根据题意，得抛物线L2的解析式y＝x2﹣2，
令y＝0，
得x2﹣2＝0，
解得，
故抛物线L2与x轴交点的坐标为；
当x＝1，
y＝x2﹣2＝﹣1，
故抛物线L2经过L1的顶点；
（3）n的最大值是．理由如下：
∵直线l：y＝n与抛物线L1交于点P，Q，与抛物线L2交于点M，N，抛物线L1的顶点坐标为（1，﹣1），
∴n＞﹣1，
∴2+n＞1，1+n＞0，
令y＝x2﹣2＝n，
解得：，
∴，
令x2﹣2x＝n，
解得：，
∴，
∴，
令，
根据反比例函数的性质得：当y越小时，1+n越大，
∵的值是整数，
∴y是整数，且是整数，
当y＝1时，不是整数，不符合题意；
当y＝2时，不是整数，不符合题意；
当y＝3时，是整数，符合题意；
∴y的最小值是3，此时1+n最大，此时，
故n的最大值为．
故n的最大值是．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线与x轴的交点，解方程，反比例函数的性质，熟练掌握待定系数法，反比例函数的性质是解题的关键．
25．（12分）（2024秋 新抚区期末）如图，四边形ABCD是正方形，△DFG等腰直角三角形，∠FDG＝90°，△DFG绕点D逆时针旋转，连接BF，BG，点E是BG的中点，连接CE．
（1）如图1，当点F在边AD上时，求证：，CE⊥BF；
（2）如图2，当点F不在边AD上时，（1）中结论是否还成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（3）若正方形的边长为，DF的长为，等腰直角△DFG绕点D旋转一周，当点B，F，G三点在一条直线上时，连接CF，请直接写出△CBF的面积．
【考点】四边形综合题．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明过程详见解答；
（2）当点F不在边AD上时，（1）中结论成立，过程详见解答；
（3）或．
【分析】（1）延长CE交BF于点P，可证得△ABF≌△CBG，从而BF＝BG，∠ABF＝∠CBG，根据直角三角形的性质得出，从而得出，∠ECB＝∠EBC，进一步得出结论；
（2）连接AF，CG，并延长C至H，使CH＝GC，…可证得△ADF≌△CDG，从而AF＝CG，∠DAF＝∠DCG，从而AF＝CH，进而证得△ABF≌CBH，从而BF＝BH，∠CBH＝∠ABF，从而∠ABC＝∠HBF＝90°，CE，进一步得出结论；
（3）分为两种情形：当F在BG上时，作DH⊥BG于H，作FW⊥BD，作CV⊥BG于V，可求得BD＝13，DH＝FH＝GHFH＝5，进而得出BH＝12，BF＝7，在Rt△BWF和Rt△BHD中可得出sin∠DBH，从而求得WF的值，进而得出sin∠CBV＝sin∠FDW的值，进一步得出结果；同样方法得出当F在BG的延长线上时的结果．
【解答】（1）证明：如图1，
延长CE交BF于点P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCG＝90°，
∴∠ABF+∠CBF＝90°，
∵△DFG 是等腰直角三角形，
∴DF＝DG，∠FDG＝90°，
∴AD﹣DF＝CD﹣DG，
∴AF＝CG，
∴△ABF≌△CBG（SAS），
∴BF＝BG，∠ABF＝∠CBG，
∵点E是BG的中点，
∴，
∴，∠ECB＝∠EBC，
∴∠ABF＝∠ECB
∴∠ECB+∠FBC＝90°，
∴∠BPC＝90°，
∴CE⊥BF；
（2）解：如图2，
当点F不在边AD上时，（1）中结论成立，理由如下：
连接AF，CG，并延长C至H，使CH＝GC，…
∵BE＝EG，
∴CE∥BH，，
∵AD＝DC，∠ADF＝∠CDG＝90°﹣∠FDC，DF＝DG，
∴△ADF≌△CDG （SAS），
∴AF＝CG，∠DAF＝∠DCG，
∴AF＝CH，
∵∠BAF+∠FAD＝90°，∠BCH+∠DCG＝90°，
∴∠BCH＝∠BAF，
又∵AB＝BC，
∴△ABF≌CBH（SAS），
∴BF＝BH，∠CBH＝∠ABF，
∴∠ABC＝∠HBF＝90°，CE，
∵CE∥BH，
∴CE⊥BF；
（3）解：如图3，
当F在BG上时，
作DH⊥BG于H，作FW⊥BD，作CV⊥BG于V，
∴∠DHB＝∠DWF＝∠BWF＝∠CVB＝90°，
在正方形ABCD和等腰直角三角形DFG中，
BDAB13，FG，
∴DH＝FH＝GHFH＝5，
∴BH，
∴BF＝BH﹣FH＝12﹣5＝7，
在Rt△BWF和Rt△BHD中，
sin∠DBH，
∴，
∴WF，∴sin∠FDW，
∵∠CBD＝∠DFG＝45°，
∴∠CBV+∠DBF＝∠FDW+∠DBF，
∴∠CBV＝∠FDW，∴CV＝BC sin∠CBV＝BC sin∠FDW，
∴S△CBF，
如图4，
当F在BG的延长线上时，
作DH⊥BG于H，作FW⊥BD，作CV⊥BG于V，
由上知，BH＝13，GH＝FH＝5，
∴BF＝BH+FH＝17，
∵∠CBD＝∠DFG＝45°，
∴∠CBD+∠FBD＝∠DFG+∠FBD，
∴∠CBV＝∠FDW，
∵sin∠FBD，
∴，∴FW，∴sin∠CBV＝sin∠FDW，
∴CV＝BC sin∠CBV，
∴S△CBF，
综上所述：△CBF的面积为：或．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，正方形的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论．
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