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义务教育学校学生发展质量监测2025年春季学期测评
九年级数学试题
（满分120分，时间120分钟）
本试卷共6页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 手机移动支付给生活带来便捷．如图是小颖某天微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小颖当天微信收支的最终结果是（ ）
A 收入18元 B. 收入6元 C. 支出6元 D. 支出12元
2. 随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级”应用，以下是一些常见应用的图案，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 在2025年蛇年春晚上，一群会跳舞、能抛手绢的人形机器人惊艳亮相，机器人的研发也成为当今时代科研的重点．中国科学院研发出新型的工业纳米机器人，其大小约为．已知，则用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图所示的“中”字，俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，为等腰直角三角形，，是上一点，交直线于点，且，，点为的中点，连接，则的长为（ ）
A. B. C. D.
6. 若是正整数，且满足，则下列与关系正确是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，是的直径，是的切线，切点为交于点，点是的中点，若半径为1，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 学校根据上级文件要求，打算安排七、八年级师生进行研学活动．某班两位同学关于租车方案讨论如下：
根据他们的对话得到以下四个结论：
①每辆甲车的载客量要比乙车多15人；②共有两种租车方案；③租车最低费用是2160元；④两种方案的租车费用一样多．其中正确的结论是（ ）
A. ①② B. ①②③ C. ②③ D. ①②④
9. 若关于x的一元一次方程的解为正整数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
10. 图1是半径为的圆形硬币，点是硬币外沿上的一定点．图2为四个轨道（厚度不计），分别记为轨道①、②、③和④，它们的形状分别为圆、长宽比为的矩形、正方形和正六边形，周长均为，对称中心均记为点P．点为轨道上一定点（除轨道①外，均为的中点）．将硬币放置在轨道外侧，使硬币与轨道在同一个平面内，且点与重合．若硬币沿轨道顺时针无滑动地滚动，当点第一次回到轨道上时，记轨道上该处位置为，则四个轨道中，最大的是（ ）
A. 轨道① B. 轨道② C. 轨道③ D. 轨道④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
12. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_____．
13. 如图，四边形是内接四边形，是的直径，若，则的度数为____．
14. 在直角坐标系中，点A的坐标是，点B在坐标轴上，点B绕点A顺时针旋转落在直线上，则点B的坐标是______．
15. 某人工智能实验室研发了两种智能算法模型和，为测试其性能，设置了如下实验：制作两个模拟数据生成器甲和乙，数据生成器甲可产生四个数据：，数据生成器乙可产生三个数据：（每个数据被生成的概率相同），每次实验时，同时启动两个数据生成器，甲、乙生成的数据分别记为和，该人工智能系统会对生成的两个数据和进行运算：
若，则算法模型的性能评估加分；
若，则算法模型的性能评估加分；
若，则两个算法模型均不加分．
当实验次数为600次时，若算法模型的加分次数为，算法模型的加分次数为，估计的值为_____．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 计算：
（1）；
（2）先化简，再求值：，其中．
17. 扫地机器人已经成为新时代人们日常生活的重要助手．为了解扫地机器人在一次充满电后运行的最长时间情况，小明所在的综合实践小组利用周末时间开展调查活动．他们在相关技术人员的帮助下，对两款扫地机器人分别随机调查了10台，记录了它们运行的最长时间x（分钟），并将数据分为四个等级：较差，一般，较好，很好．
收集数据：
A款：112 98 96 102 92 108 108 95 100 89
B款：102 92 102 99 97 112 101 91 94 110
分析数据：
类别 平均数 中位数 众数 方差
A a 99 b 50.6
B 100 c 102 354
解决问题：根据以上信息，解决下列问题：
（1）上表中的______，______，______；
（2）某商场购进了一批B款扫地机器人500台，请估算这批B款扫地机器人运行最长时间等级为就“较好及以上”的台数；
（3）根据以上统计信息和数据，你认为哪款扫地机器人的运行最长时间更好？请说明理由（写出一条理由即可）．
18. 如图，四边形是平行四边形，进行如下操作：
第一步，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交和于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点；第二步，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线交边于点，连接，交于点．
（1）请确定线段与的数量关系，并证明你的结论；
（2）若，求的值．
19. 学校科研小组制作了一款机械手臂如图①所示，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座．
（1）若上臂与水平面平行，，计算点到地面的距离（保留根号）；
（2）在一次操作中，平台上有一高度为的模具，如图③，点恰好与点重合，此时测得中臂与底座成夹角，请计算此时上臂与中臂夹角的大小．（，，）
20. 如图，内接于，是的直径，点在圆上，且，过点作，垂足为点，与的延长线相交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求线段的长．
21. 如图，直线的图象与反比例函数的图象交于，两点，直线与坐标轴分别交于，两点．
（1）当点坐标为时；
①求一次函数的解析式和点坐标；
②请根据图象直接写出不等式的解集；
（2）若点位于轴正半轴，请判断线段与的数量关系，并说明理由．
22. 综合与实践
【折一折】
将边长为的正方形纸片折叠，使边都落在对角线上，展开得折痕，连接，如图1．
（1）_____________；点到的距离是_____________（用含的代数式表示）．
【转一转】
（2）将图1中的绕点旋转，使它的两边分别交边于点，连接，如图2，点到的距离是否发生变化？说明理由；
【探一探】
（3）连接正方形对角线，若图2中的的边分别交对角线于点，如图3，当点是边的三等分点时，直接写出的长（用含的代数式表示）．
23. 已知抛物线（，是常数，且）经过点．
（1）若，求该函数的表达式及顶点坐标；
（2）当时，函数有最小值，求的值；
（3）如图，在（1）的条件下，抛物线与轴交于点，与轴交于另一点，连接．若动直线，直线与抛物线交于两点（点在点左侧），直线与直线相交于点，求点到轴的距离．
义务教育学校学生发展质量监测2025年春季学期测评
九年级数学试题
（满分120分，时间120分钟）
本试卷共6页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】B
【9题答案】
【答案】A
【10题答案】
【答案】B
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
【11题答案】
【答案】且
【12题答案】
【答案】##
【13题答案】
【答案】##110度
【14题答案】
【答案】或
【15题答案】
【答案】150
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【16题答案】
【答案】（1）
（2），
【17题答案】
【答案】（1）100，108，100
（2）250台 （3）款，理由见解析
【18题答案】
【答案】（1），证明见解析
（2）
【19题答案】
【答案】（1）点到地面的距离为
（2）
【20题答案】
【答案】（1）见解析 （2）
【21题答案】
【答案】（1）①一次函数的解析式，点坐标；②或
（2），理由见解析
【22题答案】
【答案】（1）45，；（2）不变，理由见解析；（3）或
【23题答案】
【答案】（1）；顶点坐标
（2）或
（3）点的横坐标是为定值

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