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2025年北京市中考数学模拟预测卷
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）（2024秋 滨海新区期末）下列图形中可以作为一个正方体的展开图的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2分）（2024春 齐齐哈尔期中）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，若∠AOD＝132°，则∠EOC＝（　　）
A．32° B．42° C．48° D．52°
3．（2分）（2022 曹县二模）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）
A．|a|＞|b| B．b﹣a＜0 C．a＞﹣b D．ab＞0
4．（2分）（2024春 杭州月考）一元二次方程x2﹣5x+3＝0的根的情况为（　　）
A．无实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．不能判定
5．（2分）（2022秋 绥棱县校级期末）今年某市约有52400名七年级学生参加期末考试，52400用科学记数法表示为（　　）
A．0.52×105 B．5.24×104 C．0.524×105 D．5.2×104
6．（2分）（2023 张湾区模拟）掷一枚质地均匀的硬币，连续掷四次，前三次都是正面朝上，则第四次正面朝上的概率是（　　）
A．1 B． C． D．
7．（2分）（2024秋 东城区校级月考）如图，根据用直尺、圆规作一个角等于已知角的方法，画出了∠CO′D＝∠AOB．则图中△OEF≌△O′NM的理由是（　　）
A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
8．（2分）（2024秋 招远市期末）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，点D是弧AC上一动点（不与A，C重合），弦AC，BD交于点H．下列结论：①∠ADB＝60°；②当DB最长时，DB＝2DC；③当∠ABD＝20°时，CD＝2AD；④AH CH＝BH DH．其中一定正确的结论有（　　）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）（2023春 锡山区校级期中）若分式无意义，则x的值为 　 　 ．
10．（2分）（2022 连山区三模）分解因式4x2y﹣9y＝　 　 ．
11．（2分）（2024 临沂一模）关于x的分式方程的解为 　 　 ．
12．（2分）（2024秋 石家庄期末）已知反比例函数的图象经过点（2，﹣4）与（﹣2，m），则m的值为 　 　 ．
13．（2分）（2025 朝阳区一模）体育委员从全年级1000名学生中随机抽取了50名同学，统计了他们60秒跳绳的次数，并列出下面的频数分布表：
次数 80≤x＜100 100≤x＜120 120≤x＜140 140≤x＜160 160≤x≤180
频数 4 21 13 8 4
根据以上数据，估计该年级的1000名学生中60秒跳绳次数在100≤x＜140范围的学生有　 　 人．
14．（2分）（2025 西宁二模）如图，点A，B，C都在⊙O上，如果∠AOC＝∠ABC，那么∠A+∠C的度数为 　 　 ．
15．（2分）（2023 龙岩模拟）如图，在矩形ABCD中，，点E在线段BC上运动（不含B．C两点），连接AE，以AE为一边在AE的右上方作等边三角形AEF，连接DF，则线段DF长度的最小值为 　 　 ．
16．（2分）（2025春 海淀区校级期中）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下：
①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行；
②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；
③各道工序所需时间如表所示：
工序 A B C D E F G
所需时间/分钟 9 9 7 6 8 11 3
在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要 　 　 分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要 　 　 分钟．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）（2023 陈仓区模拟）计算：（）﹣1﹣（π﹣3.14）0+2sin45°．
18．（5分）（2024春 城关区校级期末）解不等式组．
19．（5分）（2022春 宿豫区期中）先化简，再求值：，其中a＝﹣2．
20．（6分）（2025 通州区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，过点D作DE⊥CB于点E，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F，连接FB．
（1）求证：四边形ACFD是平行四边形；
（2）若，求EF的长．
21．（6分）（2024秋 姜堰区期末）数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息：
信息1 该超市购物车的尺寸如图1所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列，如图2所示．3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米，且每增加一辆购物车，长度增加0.2米．
信息2 该超市购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次只能转运1列购物车列，且长度最多为5.8米，直立电梯一次性最多能转运2列长度均为2.6米的购物车列．
问题解决
任务1 若n辆购物车按图2的方式叠放，形成购物车列的长度为L米，则L＝ 　 　 （用含n的代数式表示）；
任务2 该超市直立电梯一次最多能转运购物车数量；
任务3 若该超市需转运m辆购物车，单独使用直立电梯和单独使用扶手电梯均需要2次，求这m辆购物车按图2的方式叠放，形成购物车列的长度的最大值．
22．（5分）（2025 海淀区模拟）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）与y＝﹣kx+3的图象交于点（1，1）．
（1）求k，b的值；
（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值既大于函数y＝kx+b的值，也大于函数y＝﹣kx+3的值，直接写出m的取值范围．
23．（5分）（2024 西乡塘区校级四模）为弘扬传统文化，增强同学们的爱国主义精神，某校团委组织举办了“红色经典阅读”竞赛，从九年级和八年级各随机抽取10名学生．统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理，分析．下面给出了部分信息．
【收集数据】
九年级10名学生竞赛成绩：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89
八年级10名学生竞赛成绩：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81
【整理数据】
班级 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100
九年级 6 3 1
八年级 4 5 1
【分析数据】
级部 平均数 中位数 众数 方差
九年级 80 a b 51.4
八年级 80 80 80，85 c
【解决问题】根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ；
（2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个级部成绩比较好，简要说明理由；
（3）九年级共有学生450人，八年级其有学生400人．按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？
24．（6分）（2025 亳州二模）在⊙O中，AB为⊙O的弦，连接OA，OB，∠ABO＝30°．
（1）如图1，若半径OC⊥AB于点D，CD＝1，求弦AB的长；
（2）如图2，MN为⊙O的切线，点P为切点，且MN∥OB，过点P作PF⊥AB于点F，与半径OB相交于点E．若⊙O的半径是3，求OE的长．
25．（5分）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发．设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据题中所给信息解答：
（1）甲、乙两地之间的距离为 　 　 km；
（2）图中点B的实际意义为 　 　 ；
（3）求慢车与快车的速度．
26．（6分）（2025 海安市一模）平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（0，﹣1），点B（6，y0）．
（1）若AB∥x轴，求抛物线的对称轴；
（2）点C（m，n）为抛物线在A、B之间的部分图象上的任意一点（包含A、B两点），都有n≥﹣1．
①求a的取值范围；
②若a＜0，点D（t，y1），E（3t+2，y2）在抛物线上，当1≤t≤2时，都有y1≥y2，求a的值．
27．（7分）（2024秋 南岗区期末）已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BG平分∠ABC交AD于点E，交AC于点G，GF⊥BC于点F，连接EF．
（1）如图1，求证：四边形AEFG是菱形；
（2）如图2，若点E为BG的中点，过点E作EM∥BC交AC于点M，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中长度等于CM的四条线段．
28．（7分）（2024秋 萧山区月考）综合与实践
问题情境：金金和山山两位同学在讨论三角形外接圆的问题，金金说：“任何三角形都有且只有一个外接圆”；山山说：“若知道特殊三角形的三边长，外接圆半径可求”．
（1）数学思考：①若直角三角形两条边长分别为3和4，则外接圆半径为 　 　 ；
②如图1，等腰△ABC内接于圆O，AB＝AC＝10，BC＝12，求圆O的半径．
（2）深入探究：金金经过探索发现：“所有形状的三角形，只要知道三边长，外接圆半径都可以求得”，山山也想到了：“对，一旦知道三边长，则一定能计算出三角形的高线，接下去只要构造出相似三角形，半径必然可求．”如图2，△ABC内接于圆O，AB＝15，BC＝14，AC＝13，AD⊥BC于点D，你可以参考山山的思路提示，求出△ABC外接圆的半径．
2025年北京市中考数学模拟预测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）（2024秋 滨海新区期末）下列图形中可以作为一个正方体的展开图的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】几何体的展开图．
【专题】展开与折叠；空间观念．
【答案】C
【分析】只要有“田”，“凹”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．能围成正方体的“一四一”，“二三一”，“三三”，“二二二”的基本形态要记牢．解题时，据此即可判断答案．
【解答】解：A，B，D不是正方体的展开图，C是正方体的展开图．
故选：C．
【点评】本题考查了几何体的展开图，解题关键是根据正方体的特征，熟记正方体的11种展开图．
2．（2分）（2024春 齐齐哈尔期中）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，若∠AOD＝132°，则∠EOC＝（　　）
A．32° B．42° C．48° D．52°
【考点】垂线；对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】根据邻补角的定义得出∠AOC＝48°，再根据垂线的定义得出∠AOE＝90°，再根据角的和差关系得出∠EOC．
【解答】解：∵∠AOD＝132°，
∴∠AOC＝180°﹣∠AOD＝48°，
∵EO⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∴∠EOC＝∠AOE﹣∠AOC＝42°，
故选：B．
【点评】本题考查了垂线，邻补角的定义，掌握邻补角的定义是解题的关键．
3．（2分）（2022 曹县二模）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）
A．|a|＞|b| B．b﹣a＜0 C．a＞﹣b D．ab＞0
【考点】实数与数轴；绝对值．
【专题】实数；符号意识．
【答案】C
【分析】根据绝对值的定义判断A选项；根据数轴上右边的数总比左边的大判断B选项；根据相反数判断C选项；根据有理数的乘法判断D选项．
【解答】解：A选项，∵|a|＜2，|b|＞2，
∴|a|＜|b|，故该选项不符合题意；
B选项，∵b＞a，
∴b﹣a＞0，故该选项不符合题意；
C选项，∵a＞﹣2，﹣b＜﹣2，
∴a＞﹣b，故该选项符合题意；
D选项，∵a＜0，b＞0，
∴ab＜0，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了实数与数轴，绝对值，掌握数轴上一个数所对应的点到原点的距离是这个数的绝对值是解题的关键．
4．（2分）（2024春 杭州月考）一元二次方程x2﹣5x+3＝0的根的情况为（　　）
A．无实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．不能判定
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】求出判别式的值即可判断．
【解答】解：x2﹣5x+3＝0，
Δ＝（﹣5）2﹣4×1×3＝13＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是记住一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
5．（2分）（2022秋 绥棱县校级期末）今年某市约有52400名七年级学生参加期末考试，52400用科学记数法表示为（　　）
A．0.52×105 B．5.24×104 C．0.524×105 D．5.2×104
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：52400＝5.24×104，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6．（2分）（2023 张湾区模拟）掷一枚质地均匀的硬币，连续掷四次，前三次都是正面朝上，则第四次正面朝上的概率是（　　）
A．1 B． C． D．
【考点】概率的意义；列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】B
【分析】根据概率的意义，概率公式，即可解答．
【解答】解：掷一枚质地均匀的硬币，前3次都是正面朝上，掷第4次时正面朝上的概率是，
故选：B．
【点评】本题考查了概率的意义，概率公式，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
7．（2分）（2024秋 东城区校级月考）如图，根据用直尺、圆规作一个角等于已知角的方法，画出了∠CO′D＝∠AOB．则图中△OEF≌△O′NM的理由是（　　）
A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；尺规作图；几何直观．
【答案】D
【分析】由作图痕迹可知，OE＝O'N，OF＝O'M，EF＝NM，结合全等三角形的判定可得答案．
【解答】解：由作图痕迹可知，OE＝O'N，OF＝O'M，EF＝NM，
∴△OEF≌△O′NM（SSS），
∴图中△OEF≌△O′NM的理由是SSS．
故选：D．
【点评】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键．
8．（2分）（2024秋 招远市期末）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，点D是弧AC上一动点（不与A，C重合），弦AC，BD交于点H．下列结论：①∠ADB＝60°；②当DB最长时，DB＝2DC；③当∠ABD＝20°时，CD＝2AD；④AH CH＝BH DH．其中一定正确的结论有（　　）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【考点】三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质；三角形三边关系；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理．
【专题】推理能力．
【答案】A
【分析】由等边三角形的性质得∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，然后通过圆周角定理得出∠ADB＝∠ACB＝60°，即可判断①；由等边三角形的判定与性质可判断②；在BD上截取DE＝AD，以E为圆心，截取EF＝AE交AB于点F，证明△DAC≌△BAE（SAS），故有BE＝CD，然后通过外角性质和等腰三角形的性质即可判断③；由相似三角形的判定与性质可判断④．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AC＝AB，AC＝AB，
∴∠ADB＝∠ACB＝60°，故①正确；
当DB最长时，即DB为⊙O直径，连接OC，如图，
∴∠BDC＝∠BAC＝60°，
∵OD＝OC，
∴△ODC是等边三角形，
∴OD＝CD，
∴DB＝2DC，故②正确；
如图，在BD上截取DE＝AD，以E为圆心，截取EF＝AE交AB于点F，
同上理可证△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAC+∠CAE＝∠BAE+∠CAE，
∴∠DAC＝∠BAE，
在△DAC和△EAB中，
，
∴△DAC≌△EAB（SAS），
∴BE＝CD，
当∠ABD＝20°，∠ADB＝60°，
∴∠BAD＝100°，
∴∠EAF＝∠BAD﹣∠DAE＝100°﹣60°＝40°，
∴∠EAF＝∠EFA＝40°，
∵∠EFA＝∠FBE+∠FEB，∠FBE＝20°，
∴40°＝20°+∠FEB，
∴∠FBE＝∠FEB＝20°，
∴BF＝EF＝AD，
在△BEF中，BF+EF＞BE，
∴AD+AD＞CD，
∴CD＜2AD，故③错误；
∵∠ABD＝∠ACD，∠BAC＝∠BDC，
∴△ABH∽△DCH，
∴，
∴AH CH＝BH DH，故④正确；
综上可知：①②④正确，
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的三边关系，掌握知识点的应用是解题的关键．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）（2023春 锡山区校级期中）若分式无意义，则x的值为 　2　 ．
【考点】分式有意义的条件．
【专题】分式；运算能力．
【答案】2．
【分析】根据分式的分母为0，分式无意义，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
x﹣2＝0，
∴x＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母为0，分式无意义是解题的关键．
10．（2分）（2022 连山区三模）分解因式4x2y﹣9y＝　y（2x+3）（2x﹣3）　 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】y（2x+3）（2x﹣3）．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【解答】解：4x2y﹣9y
＝y（4x2﹣9）
＝y（2x+3）（2x﹣3），
故答案为：y（2x+3）（2x﹣3）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
11．（2分）（2024 临沂一模）关于x的分式方程的解为 　x＝﹣5　 ．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】x＝﹣5．
【分析】先去分母，将分式方程化为整式方程，再进行解答，最后检验即可．
【解答】解：，
去分母，得：2（x+2）＝x﹣1，
去括号，得：2x+4＝x﹣1，
移项，得：2x﹣x＝﹣1﹣4，
合并同类项，得：x＝﹣5，
检验：当x＝﹣5时，（x﹣1）（x+2）≠0，
∴x＝﹣5是原分式方程的解．
故答案为：x＝﹣5．
【点评】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法和步骤．
12．（2分）（2024秋 石家庄期末）已知反比例函数的图象经过点（2，﹣4）与（﹣2，m），则m的值为 　4　 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】4．
【分析】根据反比例函数解析式的比例系数k＝2×（﹣4）＝﹣2m，求出m即可．
【解答】解：设反比例函数解析式为：y，
∵反比例函数的图象经过点（2，﹣4）与（﹣2，m），
∴k＝2×（﹣4）＝﹣2m，
∴m＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，关键是掌握反比例函数系数k＝xy的应用．
13．（2分）（2025 朝阳区一模）体育委员从全年级1000名学生中随机抽取了50名同学，统计了他们60秒跳绳的次数，并列出下面的频数分布表：
次数 80≤x＜100 100≤x＜120 120≤x＜140 140≤x＜160 160≤x≤180
频数 4 21 13 8 4
根据以上数据，估计该年级的1000名学生中60秒跳绳次数在100≤x＜140范围的学生有　680　 人．
【考点】频数（率）分布表；用样本估计总体．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】680．
【分析】用1000乘样本中60秒跳绳次数在100≤x＜140范围的学生所占比例即可．
【解答】解：估计该年级的1000名学生中60秒跳绳次数在100≤x＜140范围的学生有：
1000680（人），
故答案为：680．
【点评】本题考查频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是正确列出算式．
14．（2分）（2025 西宁二模）如图，点A，B，C都在⊙O上，如果∠AOC＝∠ABC，那么∠A+∠C的度数为 　120°　 ．
【考点】圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先利用圆周角定理以及周角是360°可得∠AOC+2∠ABC＝360°，再结合已知可得3∠AOC＝360°，从而可得∠AOC＝∠ABC＝120°，然后利用四边形内角和是360°进行计算即可解答．
【解答】解：如图：
∵∠AOC+∠1＝360°，∠1＝2∠ABC，
∴∠AOC+2∠ABC＝360°，
∵∠AOC＝∠ABC，
∴3∠AOC＝360°，
∴∠AOC＝∠ABC＝120°，
∴∠A+∠C＝360°﹣∠AOC﹣∠ABC＝120°，
故答案为：120°．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
15．（2分）（2023 龙岩模拟）如图，在矩形ABCD中，，点E在线段BC上运动（不含B．C两点），连接AE，以AE为一边在AE的右上方作等边三角形AEF，连接DF，则线段DF长度的最小值为 　　 ．
【考点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力．
【答案】．
【分析】在AB的右侧作等边三角形ABG，连接GF，GF与AD交于点H，通过判定ABE≌AGF，即可得到∠AGF＝∠ABE＝90°，进而得出当点E运动时，点F在过点G且与AG垂直的垂线GH上运动．当DF⊥GF时，DF最短，此时∠AGH＝∠DFH＝90°；再根据△AGH∽△DFH，即可得到DF的长．
【解答】解：如图所示，在AB的右侧作等边三角形ABG，连接GF，GF与AD交于点H，
又∵△AEF是等边三角形，
∴AB＝AG，∠BAG＝∠EAF，AE＝AF，
∴∠BAE＝∠GAF，
∴△ABE≌AGF（SAS），
∴∠AGF＝∠ABE＝90°，
∴当点E运动时，点F在过点G且与AG垂直的垂线GH上运动，
∴当DF⊥GF时，DF最短，此时∠AGH＝∠DFH＝90°，
∴DF∥AG，
∴△AGH∽△DFH，
∴，
又∵Rt△AGH中，AG＝1，∠GAH＝30°，
∴AH，
∴DH，
∴，即DF，
∴线段DF长度的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形．
16．（2分）（2025春 海淀区校级期中）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下：
①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行；
②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；
③各道工序所需时间如表所示：
工序 A B C D E F G
所需时间/分钟 9 9 7 6 8 11 3
在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要 　53　 分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要 　27　 分钟．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】53；27．
【分析】根据各个工序的时间求出由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工需要的时间，根据题意分配两人完成各个工序的顺序，进而求出由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工需要的时间．
【解答】解：由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要的时间为：9+9+7+6+8+11+3＝53（分钟），
设由甲、乙两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，
∵工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，
∴由甲完成A，乙完成B，需要9分钟，
由甲完成D，接首完成E和G，需要17分钟，
同时由乙完成C后，再完成F，需要18分钟，
共需要：9+18＝27（分钟），
故答案为：53；27．
【点评】本题考查的是有理数的混合运算，能够合理分配两人完成各个工序的顺序是解题的关键．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）（2023 陈仓区模拟）计算：（）﹣1﹣（π﹣3.14）0+2sin45°．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】实数；解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值化简，再算加减即可．
【解答】解：原式＝﹣2﹣1+2
＝﹣2﹣1
＝﹣3．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．（5分）（2024春 城关区校级期末）解不等式组．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】x．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①，得：x≥﹣1，
解不等式②，得：x，
∴不等式组的解集为x．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（5分）（2022春 宿豫区期中）先化简，再求值：，其中a＝﹣2．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】，1．
【分析】先算括号内的式子，然后计算括号外的除法，再将a的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：

，
当a＝﹣2时，原式1．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20．（6分）（2025 通州区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，过点D作DE⊥CB于点E，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F，连接FB．
（1）求证：四边形ACFD是平行四边形；
（2）若，求EF的长．
【考点】平行四边形的判定与性质；解直角三角形；直角三角形斜边上的中线．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）3．
【分析】（1）先根据垂直定义可得∠ACB＝∠DEB＝90°，从而可得AC∥DE，然后利用平行四边形的判定即可解答；
（2）先利用直角三角形斜边上的中线性质可得AB＝2CD＝2BD＝10，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，从而利用勾股定理求出AC的长，再利用（1）的结论可得AC＝DF＝6，最后利用等腰三角形的三线合一性质可得CE＝EB，从而可得DE是△ACB的中位线，进而可得DE＝3，即可解答．
【解答】（1）证明：∵DE⊥CB，
∴∠DEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DEB＝90°，
∴AC∥DE，
∵CF∥AB，
∴四边形ACFD是平行四边形；
（2）解：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，
∴AB＝2CD＝2BD＝10，
在Rt△ABC中，sinA，
∴BC＝AB sinA＝108，
∴AC6，
∵四边形ACFD是平行四边形，
∴AC＝DF＝6，
∵BD＝CD，DE⊥CB，
∴CE＝EB，
∴DE是△ACB的中位线，
∴DEAC＝3，
∴EF＝DF﹣DE＝6﹣3＝3．
【点评】本题考查了解直角三角形，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21．（6分）（2024秋 姜堰区期末）数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息：
信息1 该超市购物车的尺寸如图1所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列，如图2所示．3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米，且每增加一辆购物车，长度增加0.2米．
信息2 该超市购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次只能转运1列购物车列，且长度最多为5.8米，直立电梯一次性最多能转运2列长度均为2.6米的购物车列．
问题解决
任务1 若n辆购物车按图2的方式叠放，形成购物车列的长度为L米，则L＝ 　1+0.2n　 （用含n的代数式表示）；
任务2 该超市直立电梯一次最多能转运购物车数量；
任务3 若该超市需转运m辆购物车，单独使用直立电梯和单独使用扶手电梯均需要2次，求这m辆购物车按图2的方式叠放，形成购物车列的长度的最大值．
【考点】列代数式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】任务1：1+0.2n；
任务2：16辆；
任务3：7.4m．
【分析】任务1：根据题意作答即可；
任务2：将L＝2.6代入L的表达式，求出对应n的值，再求计算2n的值即可；
任务3：根据题意，列关于m的一元一次不等式组并求其解集，将m的最大值代入L的表达式，求出对应L的值即可．
【解答】解：任务1：根据题意，得L＝1+0.2n．
故答案为：1+0.2n．
任务2：当L＝2.6时，得1+0.2n＝2.6，
解得n＝8，
8×2＝16（辆）．
答：该超市直立电梯一次最多能转运购物车数量16辆．
任务3：当L＝5.8时，得1+0.2n＝5.8，
解得n＝24，
根据题意，得，
解得25≤m≤32，
∵当m最大时，L最大，
∴当m＝32时，L＝1+0.2×32＝7.4．
答：形成购物车列的长度的最大值为7.4m．
【点评】本题考查列代数式，写出L的表达式、掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
22．（5分）（2025 海淀区模拟）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）与y＝﹣kx+3的图象交于点（1，1）．
（1）求k，b的值；
（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值既大于函数y＝kx+b的值，也大于函数y＝﹣kx+3的值，直接写出m的取值范围．
【考点】两条直线相交或平行问题；一次函数图象与系数的关系；待定系数法求一次函数解析式．
【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】（1）k＝2，b＝﹣1；
（2）m的取值范围是m≥2．
【分析】（1）先根据直线y＝﹣kx+3点（1，1）得出k＝2，再将点（1，1）代入y＝2x+b，求出b的值；
（2）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣kx+3点（1，1），
∴﹣k+3＝1，
解得k＝2，
将点（1，1）代入y＝2x+b得：2+b＝1，
解得b＝﹣1．
（2）∵当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值既大于函数y＝2x﹣1的值，也大于函数y＝﹣2x+3的值，
∴m≥2．
∴m的取值范围是m≥2．
【点评】本题是两条直线相交或平行问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
23．（5分）（2024 西乡塘区校级四模）为弘扬传统文化，增强同学们的爱国主义精神，某校团委组织举办了“红色经典阅读”竞赛，从九年级和八年级各随机抽取10名学生．统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理，分析．下面给出了部分信息．
【收集数据】
九年级10名学生竞赛成绩：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89
八年级10名学生竞赛成绩：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81
【整理数据】
班级 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100
九年级 6 3 1
八年级 4 5 1
【分析数据】
级部 平均数 中位数 众数 方差
九年级 80 a b 51.4
八年级 80 80 80，85 c
【解决问题】根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝　79　 ，b＝　79　 ，c＝　27　 ；
（2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个级部成绩比较好，简要说明理由；
（3）九年级共有学生450人，八年级其有学生400人．按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？
【考点】方差；用样本估计总体；频数（率）分布表；中位数；众数．
【专题】数据的收集与整理；推理能力．
【答案】（1）79；79；27；
（2）八年级，理由见解析；
（3）420人．
【分析】（1）根据中位数，众数，方差的定义求解；
（2）结合平均数，中位数，众数，方差综合分析说明；
（3）样本估计总体，用样本中符合条件的数据占比估计总体，计算符合条件的数据个数．
【解答】解：（1）九年级抽取的成绩从低到高排列：70，71，72，78，79，79，85，86，89，91，
故中位数a＝79，众数b＝79；
八年级数据方差：
＝27，
故答案为：79；79；27；
（2）八年级成绩与九年级平均数相同，中位数、众数高于九年级，方差小于九年级，代表八年级成绩的集中度比九年级好，总体八年级成绩比较好；
（3）获奖人数（人）．
答：两个班获奖人数为420人．
【点评】本题考查数据统计分析，样本估计总体，掌握数据统计分析中位数，众数，方差的定义是解题的关键．
24．（6分）（2025 亳州二模）在⊙O中，AB为⊙O的弦，连接OA，OB，∠ABO＝30°．
（1）如图1，若半径OC⊥AB于点D，CD＝1，求弦AB的长；
（2）如图2，MN为⊙O的切线，点P为切点，且MN∥OB，过点P作PF⊥AB于点F，与半径OB相交于点E．若⊙O的半径是3，求OE的长．
【考点】切线的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】（1）AB的长为2；
（2）OE的长是．
【分析】（1）由半径OC⊥AB于点D，根据垂径定理得AD＝BD，由∠ODB＝90°，∠ABO＝30°，得ODOB，所以OB﹣1OB，求得OB＝2，OD＝1，求得BD，则AB＝2BD＝2；
（2）连接OP，由MN与⊙O相切于点P，得MN⊥OP于点P，由MN∥OB，得∠POB＝∠OPN＝90°，由∠BFE＝90°，∠OEP＝∠FEB，推导出∠OPE＝∠ABO＝30°，所以PE＝2OE，由OPOE＝3，求得OE．
【解答】解：（1）∵半径OC⊥AB于点D，CD＝1，OC＝OB，
∴AD＝BD，∠ODB＝90°，OD＝OC﹣1＝OB﹣1，
∵∠ABO＝30°，
∴ODOB，
∴OB﹣1OB，
∴OB＝2，
∴OD＝1，
∴BD，
∴AB＝2BD＝2，
∴AB的长为2．
（2）如图2，连接OP，
∵MN与⊙O相切于点P，
∴MN⊥OP于点P，
∵MN∥OB，
∴∠POB＝∠OPN＝90°，
∵PF⊥AB于点F，交OB于点E
∴∠BFE＝90°，
∵∠OEP＝∠FEB，
∴∠OPE＝90°﹣∠OEP＝90°﹣∠FEB＝∠ABO＝30°，
∴PE＝2OE，
∵⊙O的半径是3，
∴OPOE＝3，
∴OE，
∴OE的长是．
【点评】此题重点考查垂径定理、勾股定理、切线的性质、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
25．（5分）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发．设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据题中所给信息解答：
（1）甲、乙两地之间的距离为 　600　 km；
（2）图中点B的实际意义为 　两车出发2h相遇　 ；
（3）求慢车与快车的速度．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）600；（2）两车出发2h相遇；（3）100，200．
【分析】（1）分析图象可知，A点的纵坐标即为两地之间的距离；
（2）因为B的纵坐标为0，则在B点处两车之间的距离为0，据此完成解答；
（3）点B是当快车、慢车行驶2h时，两车相遇点；点C是当快车、慢车行驶3h时，快车到达乙地，慢车还在行驶中；点D是当慢车行驶6h时，慢车到达甲地，据此完成解答．
【解答】解：（1）图中的折线表示y与x之间的关系式，则坐标系中A点的纵坐标即为两地距离，即甲、乙两地之间的距离为600km；
故答案为：600；
（2）图中点B的纵坐标为0，则B点的实际意义是：两车出发2h相遇；
故答案为：两车出发2h相遇；
（3）点B是当快车、慢车行驶2h时，两车相遇点；
点C是当快车、慢车行驶3h时，快车到达乙地，慢车还在行驶中；
点D是当慢车行驶6h时，慢车到达甲地．
慢车速度：600÷6＝100（km/h），
快车速度：600÷3＝200（km/h）．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解此题的关键读懂图形．
26．（6分）（2025 海安市一模）平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（0，﹣1），点B（6，y0）．
（1）若AB∥x轴，求抛物线的对称轴；
（2）点C（m，n）为抛物线在A、B之间的部分图象上的任意一点（包含A、B两点），都有n≥﹣1．
①求a的取值范围；
②若a＜0，点D（t，y1），E（3t+2，y2）在抛物线上，当1≤t≤2时，都有y1≥y2，求a的值．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）直线x＝3；
（2）①a的取值范围是a＜0或a＞0；②a的值是．
【分析】（1）根据抛物线的对称性即可求得；
（2）①当a＞0时，抛物线开口向上，点A（0，﹣1），点B（6，y0）都在对称轴的右侧，满足题意；当a＜0时，抛物线开口向下，则点A（0，﹣1），点B（6，y0）都在对称轴的左侧，满足题意，据此求得即可；
②由题意可知，点D（t，y1），E（3t+2，y2）的中点在对称轴的右侧，据此列出，解得t，根据1≤t≤2得到1，解方程即可．
【解答】解：（1）∵AB∥x轴，
∴点A（0，﹣1），点B（6，y0）关于对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线x3；
（2）①抛物线y＝ax2+x+c的对称轴为直线x，
当a＞0时，抛物线开口向上，0，
∴点A（0，﹣1），点B（6，y0）都在y轴的右侧，
∴点C（m，n）为抛物线在A、B之间的部分图象上的任意一点（包含A、B两点），都有n≥﹣1，
故a的取值范围是a＞0；
当a＜0时，抛物线开口向下，0，
∵点C（m，n）为抛物线在A、B之间的部分图象上的任意一点（包含A、B两点），都有n≥﹣1，
∴点A（0，﹣1），点B（6，y0）都在对称轴的左侧，
∴6，解得a，
a的取值范围是a＜0，
故a的取值范围是a＜0或a＞0；
②若a＜0，则抛物线开口向下，
∵点D（t，y1），E（3t+2，y2）在抛物线上，y1≥y2，
∴，
解得t，
∵1≤t≤2，
∴1，
解得a，
经检验a是原方程的解，
∴a的值是．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的增减性和对称性是解题的关键．
27．（7分）（2024秋 南岗区期末）已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BG平分∠ABC交AD于点E，交AC于点G，GF⊥BC于点F，连接EF．
（1）如图1，求证：四边形AEFG是菱形；
（2）如图2，若点E为BG的中点，过点E作EM∥BC交AC于点M，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中长度等于CM的四条线段．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先证明四边形AEFG是平行四边形，再证明AE＝AG即可．
（2）先证明ABAG，再分别证明AB＝BF＝CF＝EM，CM＝AG即可．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，GF⊥BC，
∴∠ADF＝∠GFC＝90°，
∴AE∥GF，
在△ABG和△FBG中，
，
∴△ABG≌△FBG，
∴AG＝FG，
∵∠FBG+∠BED＝90°，
∵∠BED＝∠AEG，
∴∠FBG+∠AEG＝90°，
∵∠ABG+∠AGE＝90°，
∵∠ABG＝∠FBG，
∴∠AEG＝∠AGE，
∴AE＝AG，
∴AE＝FG，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∵AE＝AG，
∴四边形AEFG是菱形；
（2）解：∵四边形AEFG是菱形，
∴AE＝AG，
∵BE＝EG，∠BAG＝90°，
∴AE＝BE＝EG，
∴△AEG是等边三角形，
∴∠AGE＝60°，
在Rt△ABG中，∵∠ABG＝30°，
∴ABAG，
∵∠C＝30°，
∴BC＝2AB，
∴BE＝GE，EF∥AC，EM∥BC，
∴BF＝FC，CM＝GM，
在Rt△AEM中，
∵∠AME＝∠C＝30°，∠GEM+∠GME＝60°，
∴∠GEM＝∠GME＝30°，
∴EG＝AG＝GM＝CM，
∵EM∥FC，EF∥CM，
∴四边形EFCM是平行四边形，
∴AB＝BF＝CF＝EMCM，
∴是CM长倍的所有线段有AB、BF、CF、EM．
【点评】本题考查菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、直角三角形30度角的性质等知识，寻找全等三角形是解题的关键，必须熟练掌握特殊三角形边角关系，属于中考常考题型．
28．（7分）（2024秋 萧山区月考）综合与实践
问题情境：金金和山山两位同学在讨论三角形外接圆的问题，金金说：“任何三角形都有且只有一个外接圆”；山山说：“若知道特殊三角形的三边长，外接圆半径可求”．
（1）数学思考：①若直角三角形两条边长分别为3和4，则外接圆半径为 　2.5或2　 ；
②如图1，等腰△ABC内接于圆O，AB＝AC＝10，BC＝12，求圆O的半径．
（2）深入探究：金金经过探索发现：“所有形状的三角形，只要知道三边长，外接圆半径都可以求得”，山山也想到了：“对，一旦知道三边长，则一定能计算出三角形的高线，接下去只要构造出相似三角形，半径必然可求．”如图2，△ABC内接于圆O，AB＝15，BC＝14，AC＝13，AD⊥BC于点D，你可以参考山山的思路提示，求出△ABC外接圆的半径．
【考点】圆的综合题．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】（1）①2.5或2；
②6.25；
（2）．
【分析】（1）①分两种情况进行讨论：当4是直角边时，根据勾股定理得到斜边是5，这个直角三角形外接圆的直径是5，半径是2.5；当4是斜边时，直角三角形外接圆直径是4，半径是2；
②连接AO并延长交BC于点D，连接OC，根据垂径定理得AD⊥BC．根据勾股定理求出AD，再用半径表示出OD，然后根据勾股定理即可求出半径；
（2）连接AO并延长交⊙O于点F，连接BF，由勾股定理示出AD＝12，证明△BFA∽△DCA，得出，则可得出答案．
【解答】解：（1）①当4是直角边时，斜边是5，这个直角三角形外接圆的直径是5，半径是2.5；
当4是斜边时，直角三角形外接圆直径是4，半径是2．
所以这个三角形的外接圆半径等于2.5或2．
故答案为：2.5或2；
②连接AO并延长交BC于点D，连接OC，
∵AB＝AC＝10，
∴，
∵OB＝OC，
∴AO⊥BC，CDBC＝6，
∵AC＝10，CD＝6，
∴AD8，
设⊙O的半径为r，
则在Rt△OCD中，OD＝8﹣r，CD＝6，OC＝r，
所以（8﹣r）2+62＝r2，
解得r＝6.25．
∴⊙O的半径为6.25；
（2）连接AO并延长交⊙O于点F，连接BF，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
设BD＝x，
∵BC＝14，
∴CD＝BC﹣BD＝14﹣x，
在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝225﹣x2，
在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2＝169﹣（14﹣x）2，
∴225﹣x2＝169﹣（14﹣x）2，
解得：x＝9，
∴BD＝9，
∴AD12，
∵AF是⊙O的直径，
∴∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠ADC＝90°，
∵∠F＝∠C，
∴△BFA∽△DCA，
∴，
∴，
∴AF，
∴外接圆的半径AF．
【点评】本题考查了圆周角定理，三角形的外接圆与外心，相似三角形的判定和性质，熟练掌握性质和定理是本题的关键．
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