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九年级阶段性学业水平考试检测（二）
数学试题
本试卷共6页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1．在实数中，最小的数是（ ）
A． B．－3 C． D．
2．下列图形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图1，直线，它们之间的距离是（ ）
图1
A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度
4．如图2是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）
图2
A．长方体 B．三棱柱 C．正方体 D．圆柱
5．下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如果，那么代数式的值为（ ）
A． B．－2 C． D．2
7．“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于现行简谱的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”通过数学方法获得的，现有一款“一起听古音”的音乐玩具（如图3），音乐小球从处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞中的可能性大小相同．现有一个音乐小球从处先后两次进入小洞，先发出“宫”音，再发出“羽”音的概率是（ ）
图3
A． B． C． D．
8．如图4，正五边形内接于，连接，则的度数是（ ）
图4
A．60° B．70° C．72° D．144°
9．某便利店的咖啡单价为10元/杯，为了吸引顾客，该店共推出了三种会员卡，如下表：
会员卡类型 办卡费用/元 有效期 优惠方式
A类 40 1年 每杯打九折
B类 80 1年 每杯打八折
C类 130 1年 一次性购买2杯，第二杯半价
例如，购买A类会员卡，1年内购买50次咖啡，每次购买2杯，则消费=940元．若小明1年内在该便利店购买咖啡的次数介于75~85次之间，且每次购买2杯，则最省钱的方式为（ ）
A．购买A类会员卡 B．购买B类会员卡 C．购买C类会员卡 D．不购买会员卡
10．如图5，抛物线．将该抛物线在轴和轴下方的部分记作，将沿轴翻折记作和构成的图形记作．关于图形，给出如下四个结论，其中错误的是（ ）
图5
A．图形恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）
B．图形上任意一点到原点的距离都不超过1
C．图形的周长大于
D．图形所围成的区域的面积大于2且小于
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11．小亮在阅读一篇文章时看到水分子的直径约为0.4纳米，通过百度搜索小亮又知道1纳米米，则水分子的直径约为_____米．
12．已知“若，则”是真命题，请写出一个满足条件的的值是_____．
13．在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，．以原点为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到，则点的对应点的坐标是_____．
14．正方形的边长为4，点，在对角线上（可与点，重合），，点，在正方形的边上．下面四个结论中，①存在无数个四边形是平行四边形；②存在无数个四边形是菱形；③存在无数个四边形是矩形；④至少存在一个四边形是正方形．所有正确结论的序号是_____．
15．在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点为“同号点”．下列函数中，①；②；③；④，其图象中不存在“同号点”的是_____．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本题每小题4分，共8分）（1）计算：．
（2）已知关于的一元二次方程．如果此方程有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的的值，并求此时方程的根．
17．（本题共8分）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为2，函数的图象经过点，与直线交于点．
（1）求的值；
（2）直线与边所在直线交于点，与轴交于点．
①当点为中点时，求的值；
②当时，结合函数图象，直接写出的取值范围．
18．（本题共8分）如图，在中，是边中线．延长至点，作的角平分线，过点作于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，求的长．
19．（本题共9分）2024年7月至8月，某校开展了一系列居家阅读活动．学生利用“宅家”时光，在书海中遨游，从阅读中获得精神慰藉和自我提升．为了解学生居家阅读的情况，学校分别随机抽取了七、八两个年级各50名学生，进行居家阅读情况调查．下面给出了部分数据信息：
a．两个年级学生平均每周阅读时长（单位：小时）的频数分布直方图如下（数据分成4组：）：
b．七年级学生居家阅读每周平均时长在这一组的是：
6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
c．两个年级学生平均每周阅读时长的平均数、中位数、众数、方差如下：
平均数 中位数 众数 方差
七年级 6.3 8 7.0
八年级 6.0 7 7 6.3
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全图2；
（2）写出表中的值；
（3）返校后，学校计划将平均每周阅读时长不低于9小时的学生授予“阅读之星”称号．小丽说：“根据频数直方图中的数据信息，估计七年级约有20%的学生获得该称号，八年级约有18%的学生获得该称号，所以七年级获得该称号的人数一定比八年级得该称号的人数多．”你认为她的说法_____（填入“正确”或“错误”）；
（4）请你结合数据对两个年级的居家阅读情况进行评价．
20．（本题共9分）九年级（1）班学生在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动．
（1）操作探究：如图①，为等腰三角形，，将绕点旋转，得到，连接是的中点，连接，则_____°，与的数量关系是_____．
（2）迁移探究：如图②，（1）中的其他条件不变，当绕点逆时针旋转，点正好落在的平分线上时，得到，求出此时的度数及与的数量关系．
（3）拓展应用：如图③，在等腰三角形中，，．将绕点旋转，得到，连接是的中点，连接．当时，请直接写出的长．
21．（本题共10分）如图，为的直径，点在上，过点作切线交的延长线于点，过点作交切线于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
22．（本题共10分）桑梯是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图①是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图②所示，已知，设，为保证安全，的调整范围是．
（1）当时，若人站在的中点处，求此人离地面的高度；
（2）在安全使用范围下，求桑梯顶端到地面的距离范围．
（结果精确到．参考数据：）
23．（本题共13分）已知二次函数（，为常数）的图象经过点，对称轴为直线
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值；
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围．
九年级学业水平模拟考试数学试题（2）参考答案与评分标准
阅卷须知：
1．为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可．
2．若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分．
3．评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数．
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．B；2．D；3．B；4．B；5．B；6．C；7．A；8．C；9．C；10．C．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共15分，直接填写答案。）
11．；12．－1（答案不唯一，负数即可）；13．或；14．①②④；15．③．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．解：（1）原式．
（2）一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
即，
．
不妨令，则一元二次方程为．
，
．
故一元二次方程为的解为．
17．解：（1）正方形的边长为2，
．
函数的图象经过点，
．
（2）直线与边所在直线交于点，
又边所在直线方程为，
．
直线与轴交于点，．
点为中点，．
点在函数的图象上，
．
（3）．
18．（1）证明：在中，是边中线，
，平分，
．
平分，，
，
，即．
，，四边形CDOF是矩形．
（2）解：，
．
，，
，，
设，则．
，，，
在矩形中，．
19．（1）正确补全图形；
（2）6.5；（3）错误．（4）答案不唯一，理由支持结论即可．
20．解：（1）90，；
（2）由旋转的性质，可知．
为等边三角形，平分为等边三角形，
．
．
．
是等腰直角三角形，．
是的中点，，
是等腰直角三角形．．
（3）或2．
21．（1）证明：如图，连接，
为的直径，
．
是的切线，，
．
是的半径，，
．
，，．
（2）解：在Rt中，，
．
，
，，
，．
为中点，，
．
22．（1）如图，过点E作于点H．
．
为的中点，，
．
在中，，
．
（2）如图，过点作于点．
当时，，
．，
．
当时，．
，
．
桑梯顶端D到地面BC的距离范围为．
23．解：（1）二次函数为，
抛物线的对称轴为直线，
．二次函数的表达式为．
又二次函数的图象经过点，
．
二次函数的表达式为．
（2）点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度，
平移后的点为．
又点在的图象上，
．
解得或（舍去）．．
（3）由题意知，当时，最大值与最小值的差为．
解得，不符合题意，舍去．
当时，最大值与最小值的差为，符合题意．
当时，最大值与最小值的差为，
解得或．不符合题意，舍去．
综上所述，的取值范围为．

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