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第4章三角形单元测试卷北师大版2024—2025学年七年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．以下列数据为三边长能构成三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．14，4，9 D．7，2，4
2．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（　　）
A．AB＝5，BC＝4，AC＝1 B．AB＝5，AC＝4，∠B＝60°
C．∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90° D．∠A＝30°，∠B＝60°，AB＝5
3．如图，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E＝（　　）
A．30° B．40° C．60° D．70°
4．如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D＝28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为（　　）
A．62° B．152° C．208° D．236°
5．如图，△ABC中，AE是∠BAC的平分线，AD是BC边上的高线，且∠B＝50°，∠C＝60°，则∠EAD的度数为（　　）
A．35° B．5° C．15° D．25°
6．如图，将三角形纸片ABC按下面四种方式折叠，则AD是△ABC的高的是（　　）
A． B． C． D．
7．用尺规作一个角等于已知角：如图，已知∠AOB，求作∠DEF，使∠DEF＝∠AOB．可以通过以下步骤作图：
①作射线EG；
②以点E为圆心，以OP为半径画弧交EG于点D；
③以O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点P，交OB于点Q；
④过点F作射线EF，∠DEF即为所求作的角；
⑤以点D为圆心，以PQ为半径画弧交前面的弧于点F．
则下列排序正确的是（　　）
A．①②③④⑤ B．①③②⑤④ C．①②③⑤④ D．①⑤②③④
8．小刚把一块三角形玻璃打碎成了如图所示的三块，现要到玻璃店取配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（　　）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．如图，△EFG≌△NMH，点H，G在线段EN上，若EH＝1，NH＝3，则HG的长为 　 　．
10．如图，AB＝8cm，∠A＝∠B，AC＝BD＝6cm．点P在线段AB上，点Q在线段BD上．若△ACP与△BPQ全等，则AP的长为 　 　．
11．如图，已知在△ABC中，∠BAC＝58°，∠ACB＝70°，BE是∠ABC的平分线，AF⊥BC，垂足是F，BE与AF相交于点D，∠ADE＝ 　 　度．
12．如图，点O是△ABC的重心，延长AO交BC于点D，延长BO交AC于点E．若BC＝6，AC＝4，则BD+AE＝ 　 　．
三．解答题（共6小题，每小题10分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，E为线段AB上一点，连接CE交AD于点F，已知BD＝DF，AD＝CD．
（1）求证：△ABD≌△CFD；
（2）若CF＝2BE，求∠BCE的度数．
14．如图，在△ABD中，∠ABC＝45°，AC，BF为△ABD的两条高．
（1）求证：BE＝AD；
（2）若过点C作CM∥AB，交AD于点M，求证：BE＝AM+EM．
15．如图，在等腰锐角△ABC中，AB＝AC，CD为AB边上的高线，E为AC边上的点，连结BE交CD于点F，设∠BCD＝α．
（1）用含α的代数式表示∠A；
（2）若CE＝CF，求∠EBC的度数；
（3）在（2）的条件下，若E为AC中点，AB＝AC＝2，求△ABC的面积．
16．综合与探索
如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．
（1）如图1，当点P为AB的中点时，求证：PD＝DQ．
（2）如图2，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P，Q在移动的过程中，线段ED的长度是否保持不变？请说明理由．
17．小强为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．如图，CD⊥DB，AB⊥DB，测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC＝36°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB＝54°，且CD＝PB．
（1）证明：△CPD≌△PAB；
（2）CD＝10，DB＝36，求大楼AB的高．
18．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝.100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求证：AE平分∠FAD．
（2）求证：DE平分∠ADC．
（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，S△ACD＝15，求△ABE的面积．
参考答案
一、选择题
1—8：BDBCBABC
二、填空题
9．【解答】解：∵△EFG≌△NMH，
∴EG＝NH＝3，
∴HG＝EG﹣EH＝3﹣1＝2，
故答案为：2．
10．【解答】解：当△ACP≌△BPQ时，
∴PB＝AC＝6cm，
∴AP＝AB﹣PB＝8﹣6＝2（cm）；
当△ACP≌△BQP时，
∴AP＝BP，
∴APAB8＝4（cm），
∴AP的长为2cm或4cm．
故答案为：2cm或4cm．
11．【解答】解：∵∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，∠BAC＝58°，∠ACB＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣58°﹣70°＝52°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠DBF，
∵AF⊥BC，
∴∠BDF＝90°﹣∠DBF＝90°﹣26°＝64°，
∴∠ADE＝∠BDF＝64°，
故答案为：64．
12．【解答】解：∵点O是△ABC的重心，延长AO交BC于点D，延长BO交AC于点E．
∴BD，AE，
∴BD+AE（BC+AC）5．
故答案为：5．
三、解答题
13．【解答】（1）证明：∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB＝∠CDF＝90°，
在Rt△ABD与Rt△CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（SAS）；
（2）解：∵∠ADC＝90°，AD＝CD，
∴∠ACD＝∠CAD＝45°，
∵△ABD≌△CFD，
∴∠BAD＝∠ECB，AB＝CF，
∵∠AFE＝∠CFD，
∴∠AEC＝∠ADC＝90°，
∵AB＝CF＝2AE，
∴CE垂直平分AB，
∴CE平分∠ACB，
∴．
14．【解答】证明：（1）∵AC、BF是高，
∴∠BCE＝∠ACD＝∠AFE＝90°，
∵∠AEF＝∠BEC，∠CAD+∠D+∠ACD＝180°，∠EBC+∠BCE+∠BEC＝180°，
∴∠DAC＝∠EBC，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠BAC＝45°＝∠ABC，
∴BC＝AC，
在△BCE和△ACD中
∴△BCE≌△ACD（ASA），
∴BE＝AD．
（2）∵CM∥AB，
∴∠MCE＝∠BAC＝45°，
∵∠ACD＝90°，
∴∠MCD＝45°＝∠MCE，
∵△BCE≌△ACD，
∴CE＝CD，
在△CEM和△CDM中
∴△CEM≌△CDM（SAS），
∴ME＝MD，
∴BE＝AD＝AM+DM＝AM+ME，
即BE＝AM+EM．
15．【解答】解：（1）∵CD为AB边上的高线，∠BCD＝α，
∴∠ABC＝90°﹣α，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝90°﹣α，
∴∠A＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝180°﹣（90°﹣α+90°﹣α）＝2α；
（2）∵CD为AB边上的高线，∠A＝2α，
∴∠ACD＝90°﹣2α，
∵CE＝CF，
∴∠CFE＝∠CEF（180°﹣∠ACD）（180°﹣90°+2α）＝45°+α，
∵∠CFE是△BCF的一个外角，
∴∠CFE＝∠EBC+∠BCD＝∠EBC+α，
∴∠EBC+α＝45°+α，
∴∠EBC＝45°；
（3）过点A作AN⊥BC于点N，AN交BE于点M，连接CM，如图所示：
∵AB＝AC，∠A＝2α，
∴∠EAM＝α，
∴∠EAM＝∠BCD＝α，
∵CE＝CF，
∴∠CEF＝∠CFE，
∵∠CEF+∠MEA＝180°，∠CFE+∠BFC＝180°，
∴∠MEA＝∠BFC，
∵若E为AC中点，AB＝AC，
∴AE＝CE＝CF
在△AEM和△CFB中，
，
∴△AEM≌△CFB（SAS），
∴设ME＝BF＝x，
∵AB＝AC，AN⊥BC，
∴AN是BC的垂直平分线，
∴MC＝MB，
∵∠EBC＝45°，
∴∠MCB＝∠EBC＝45°，
即△BCM是等腰直角三角形，
∴∠BMC＝90°，
即CM⊥EF，
∵CE＝CF，
∴ME＝MF＝BF＝x，
∴MC＝MB＝BF+MF＝2x，
在Rt△CME中，ME＝x，CM＝2x，CE＝√（5），
由勾股定理得：CE，
∴，
∴x＝1，
∴MC＝MB＝2x＝2，
在Rt△MBC中，由勾股定理得：BC，
∴BN＝CNBC，
在Rt△ACN中，由勾股定理得：AN，
∴S△ABCBC AN6．
16．【解答】（1）证明：如图1，过点P作 PF∥AQ交BC于点F．
∴∠PFB＝∠ACB，∠DPF＝∠Q．
∵点P和点Q同时出发，且移动的速度相同，
∴BP＝CQ．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB．
∴∠B＝∠PFB．
∴BP＝PF＝CQ．
∵∠PDF＝∠QDC，
∴△DPF≌△DQC（AAS）．
∴PD＝DQ．
（2）线段ED 的长度保持不变，理由如下：
分两种情况，①若点P在线段AB上，
如图2，过点P作 PF∥AC交BC于点F．
与（1）同理可知，PB＝PF，△DPF≌△DQC，
∴DF＝DC．
∵PE⊥BC，
∴BE＝EF．
∴．
②若点P在线段BA的延长线上，
如图3，过点P作 PM∥AC交BC的延长线于点M．
∴∠M＝∠ACB．
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB．
∴∠B＝∠M．
∴PM＝PB＝CQ．
∵PE⊥BM，
∴BE＝EM．
∵PM∥AC，
∴∠MPD＝∠CQD．
又∵∠PDM＝∠CDQ，
∴△PMD≌△QCD（ASA）．
∴MD＝CD．
∵BE＝EM，CD＝DM，
∴．
综上所述，线段ED的长度保持不变．
17．【解答】（1）证明：∵∠CPD＝36°，∠APB＝54°，∠CDP＝∠ABP＝90°，
∴∠DCP＝∠APB＝54°，
在△CPD和△PAB中，
，
∴△CPD≌△PAB（ASA）；
（2）解：∵△CPD≌△PAB，
∴DP＝AB，
∵DB＝36米，PB＝10米，
∴AB＝36﹣10＝26（米），
故楼AB高是26米．
18．【解答】（1）证明：∵EF⊥AB，
∴∠AFE＝90°，
∵∠AEF＝50°，
∴∠EAF＝90°﹣∠AEF＝90°﹣50°＝40°，
∵∠BAD＝100°，
∴∠DAE＝180°﹣100°﹣40°＝40°＝∠EAF，
∴AE平分∠FAD；
（2）证明：过E作EM⊥AD于M，EN⊥BC于N，
∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，
∴EF＝EN，
∵AE平分∠DAF，EF⊥AB，
∴FE＝EM，
∴EM＝EN，
∵EM⊥AD，EN⊥CD，
∴DE平分∠ADC；
（3）解：∵△ACD的面积＝△ADE的面积+△CDE的面积，
∴AD EMCD EN＝15，
∴（AD+CD） EM＝15，
∴（4+8）×EM＝15，
∴EM，
∴EF，
∴△ABE的面积AB EF7．
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