第4章三角形单元测试卷(含答案)

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第4章三角形单元测试卷(含答案)

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第4章三角形单元测试卷北师大版2024—2025学年七年级下册
总分:120分 时间:90分钟
姓名:________ 班级:_____________成绩:___________
一.单项选择题(每小题5分,满分40分)
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1.以下列数据为三边长能构成三角形的是(  )
A.1,2,3 B.2,3,4 C.14,4,9 D.7,2,4
2.根据下列已知条件,能画出唯一的△ABC的是(  )
A.AB=5,BC=4,AC=1 B.AB=5,AC=4,∠B=60°
C.∠A=30°,∠B=60°,∠C=90° D.∠A=30°,∠B=60°,AB=5
3.如图,∠A=70°,∠B=40°,∠C=30°,则∠D+∠E=(  )
A.30° B.40° C.60° D.70°
4.如图是由线段AB,CD,DF,BF,CA组成的平面图形,∠D=28°,则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为(  )
A.62° B.152° C.208° D.236°
5.如图,△ABC中,AE是∠BAC的平分线,AD是BC边上的高线,且∠B=50°,∠C=60°,则∠EAD的度数为(  )
A.35° B.5° C.15° D.25°
6.如图,将三角形纸片ABC按下面四种方式折叠,则AD是△ABC的高的是(  )
A. B. C. D.
7.用尺规作一个角等于已知角:如图,已知∠AOB,求作∠DEF,使∠DEF=∠AOB.可以通过以下步骤作图:
①作射线EG;
②以点E为圆心,以OP为半径画弧交EG于点D;
③以O为圆心,任意长为半径画弧,交OA于点P,交OB于点Q;
④过点F作射线EF,∠DEF即为所求作的角;
⑤以点D为圆心,以PQ为半径画弧交前面的弧于点F.
则下列排序正确的是(  )
A.①②③④⑤ B.①③②⑤④ C.①②③⑤④ D.①⑤②③④
8.小刚把一块三角形玻璃打碎成了如图所示的三块,现要到玻璃店取配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是(  )
A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.带①和②去
二.填空题(每小题5分,满分20分)
9.如图,△EFG≌△NMH,点H,G在线段EN上,若EH=1,NH=3,则HG的长为    .
10.如图,AB=8cm,∠A=∠B,AC=BD=6cm.点P在线段AB上,点Q在线段BD上.若△ACP与△BPQ全等,则AP的长为    .
11.如图,已知在△ABC中,∠BAC=58°,∠ACB=70°,BE是∠ABC的平分线,AF⊥BC,垂足是F,BE与AF相交于点D,∠ADE=    度.
12.如图,点O是△ABC的重心,延长AO交BC于点D,延长BO交AC于点E.若BC=6,AC=4,则BD+AE=    .
三.解答题(共6小题,每小题10分,每题须有必要的文字说明和解答过程)
13.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,E为线段AB上一点,连接CE交AD于点F,已知BD=DF,AD=CD.
(1)求证:△ABD≌△CFD;
(2)若CF=2BE,求∠BCE的度数.
14.如图,在△ABD中,∠ABC=45°,AC,BF为△ABD的两条高.
(1)求证:BE=AD;
(2)若过点C作CM∥AB,交AD于点M,求证:BE=AM+EM.
15.如图,在等腰锐角△ABC中,AB=AC,CD为AB边上的高线,E为AC边上的点,连结BE交CD于点F,设∠BCD=α.
(1)用含α的代数式表示∠A;
(2)若CE=CF,求∠EBC的度数;
(3)在(2)的条件下,若E为AC中点,AB=AC=2,求△ABC的面积.
16.综合与探索
如图,在△ABC中,AB=AC,BC=6,点P从点B出发沿射线BA移动,同时,点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动,已知点P,Q移动的速度相同,PQ与直线BC相交于点D.
(1)如图1,当点P为AB的中点时,求证:PD=DQ.
(2)如图2,过点P作直线BC的垂线,垂足为E,当点P,Q在移动的过程中,线段ED的长度是否保持不变?请说明理由.
17.小强为了测量一幢高楼高AB,在旗杆CD与楼之间选定一点P.如图,CD⊥DB,AB⊥DB,测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=36°,测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=54°,且CD=PB.
(1)证明:△CPD≌△PAB;
(2)CD=10,DB=36,求大楼AB的高.
18.如图,△ABC中,点D在BC边上,∠BAD=.100°,∠ABC的平分线交AC于点E,过点E作EF⊥AB,垂足为F,且∠AEF=50°,连接DE.
(1)求证:AE平分∠FAD.
(2)求证:DE平分∠ADC.
(3)若AB=7,AD=4,CD=8,S△ACD=15,求△ABE的面积.
参考答案
一、选择题
1—8:BDBCBABC
二、填空题
9.【解答】解:∵△EFG≌△NMH,
∴EG=NH=3,
∴HG=EG﹣EH=3﹣1=2,
故答案为:2.
10.【解答】解:当△ACP≌△BPQ时,
∴PB=AC=6cm,
∴AP=AB﹣PB=8﹣6=2(cm);
当△ACP≌△BQP时,
∴AP=BP,
∴APAB8=4(cm),
∴AP的长为2cm或4cm.
故答案为:2cm或4cm.
11.【解答】解:∵∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°,∠BAC=58°,∠ACB=70°,
∴∠ABC=180°﹣58°﹣70°=52°,
∵BE平分∠ABC,
∴∠DBF,
∵AF⊥BC,
∴∠BDF=90°﹣∠DBF=90°﹣26°=64°,
∴∠ADE=∠BDF=64°,
故答案为:64.
12.【解答】解:∵点O是△ABC的重心,延长AO交BC于点D,延长BO交AC于点E.
∴BD,AE,
∴BD+AE(BC+AC)5.
故答案为:5.
三、解答题
13.【解答】(1)证明:∵AD⊥BC于D,
∴∠ADB=∠CDF=90°,
在Rt△ABD与Rt△CFD中,

∴△ABD≌△CFD(SAS);
(2)解:∵∠ADC=90°,AD=CD,
∴∠ACD=∠CAD=45°,
∵△ABD≌△CFD,
∴∠BAD=∠ECB,AB=CF,
∵∠AFE=∠CFD,
∴∠AEC=∠ADC=90°,
∵AB=CF=2AE,
∴CE垂直平分AB,
∴CE平分∠ACB,
∴.
14.【解答】证明:(1)∵AC、BF是高,
∴∠BCE=∠ACD=∠AFE=90°,
∵∠AEF=∠BEC,∠CAD+∠D+∠ACD=180°,∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°,
∴∠DAC=∠EBC,
∵∠ACB=90°,∠ABC=45°,
∴∠BAC=45°=∠ABC,
∴BC=AC,
在△BCE和△ACD中
∴△BCE≌△ACD(ASA),
∴BE=AD.
(2)∵CM∥AB,
∴∠MCE=∠BAC=45°,
∵∠ACD=90°,
∴∠MCD=45°=∠MCE,
∵△BCE≌△ACD,
∴CE=CD,
在△CEM和△CDM中
∴△CEM≌△CDM(SAS),
∴ME=MD,
∴BE=AD=AM+DM=AM+ME,
即BE=AM+EM.
15.【解答】解:(1)∵CD为AB边上的高线,∠BCD=α,
∴∠ABC=90°﹣α,
∵AB=AC,
∴∠ACB=∠ABC=90°﹣α,
∴∠A=180°﹣(∠ACB+∠ABC)=180°﹣(90°﹣α+90°﹣α)=2α;
(2)∵CD为AB边上的高线,∠A=2α,
∴∠ACD=90°﹣2α,
∵CE=CF,
∴∠CFE=∠CEF(180°﹣∠ACD)(180°﹣90°+2α)=45°+α,
∵∠CFE是△BCF的一个外角,
∴∠CFE=∠EBC+∠BCD=∠EBC+α,
∴∠EBC+α=45°+α,
∴∠EBC=45°;
(3)过点A作AN⊥BC于点N,AN交BE于点M,连接CM,如图所示:
∵AB=AC,∠A=2α,
∴∠EAM=α,
∴∠EAM=∠BCD=α,
∵CE=CF,
∴∠CEF=∠CFE,
∵∠CEF+∠MEA=180°,∠CFE+∠BFC=180°,
∴∠MEA=∠BFC,
∵若E为AC中点,AB=AC,
∴AE=CE=CF
在△AEM和△CFB中,

∴△AEM≌△CFB(SAS),
∴设ME=BF=x,
∵AB=AC,AN⊥BC,
∴AN是BC的垂直平分线,
∴MC=MB,
∵∠EBC=45°,
∴∠MCB=∠EBC=45°,
即△BCM是等腰直角三角形,
∴∠BMC=90°,
即CM⊥EF,
∵CE=CF,
∴ME=MF=BF=x,
∴MC=MB=BF+MF=2x,
在Rt△CME中,ME=x,CM=2x,CE=√(5),
由勾股定理得:CE,
∴,
∴x=1,
∴MC=MB=2x=2,
在Rt△MBC中,由勾股定理得:BC,
∴BN=CNBC,
在Rt△ACN中,由勾股定理得:AN,
∴S△ABCBC AN6.
16.【解答】(1)证明:如图1,过点P作 PF∥AQ交BC于点F.
∴∠PFB=∠ACB,∠DPF=∠Q.
∵点P和点Q同时出发,且移动的速度相同,
∴BP=CQ.
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB.
∴∠B=∠PFB.
∴BP=PF=CQ.
∵∠PDF=∠QDC,
∴△DPF≌△DQC(AAS).
∴PD=DQ.
(2)线段ED 的长度保持不变,理由如下:
分两种情况,①若点P在线段AB上,
如图2,过点P作 PF∥AC交BC于点F.
与(1)同理可知,PB=PF,△DPF≌△DQC,
∴DF=DC.
∵PE⊥BC,
∴BE=EF.
∴.
②若点P在线段BA的延长线上,
如图3,过点P作 PM∥AC交BC的延长线于点M.
∴∠M=∠ACB.
又∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB.
∴∠B=∠M.
∴PM=PB=CQ.
∵PE⊥BM,
∴BE=EM.
∵PM∥AC,
∴∠MPD=∠CQD.
又∵∠PDM=∠CDQ,
∴△PMD≌△QCD(ASA).
∴MD=CD.
∵BE=EM,CD=DM,
∴.
综上所述,线段ED的长度保持不变.
17.【解答】(1)证明:∵∠CPD=36°,∠APB=54°,∠CDP=∠ABP=90°,
∴∠DCP=∠APB=54°,
在△CPD和△PAB中,

∴△CPD≌△PAB(ASA);
(2)解:∵△CPD≌△PAB,
∴DP=AB,
∵DB=36米,PB=10米,
∴AB=36﹣10=26(米),
故楼AB高是26米.
18.【解答】(1)证明:∵EF⊥AB,
∴∠AFE=90°,
∵∠AEF=50°,
∴∠EAF=90°﹣∠AEF=90°﹣50°=40°,
∵∠BAD=100°,
∴∠DAE=180°﹣100°﹣40°=40°=∠EAF,
∴AE平分∠FAD;
(2)证明:过E作EM⊥AD于M,EN⊥BC于N,
∵BE平分∠ABC,EF⊥AB,
∴EF=EN,
∵AE平分∠DAF,EF⊥AB,
∴FE=EM,
∴EM=EN,
∵EM⊥AD,EN⊥CD,
∴DE平分∠ADC;
(3)解:∵△ACD的面积=△ADE的面积+△CDE的面积,
∴AD EMCD EN=15,
∴(AD+CD) EM=15,
∴(4+8)×EM=15,
∴EM,
∴EF,
∴△ABE的面积AB EF7.
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