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数学试卷
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若向量，且，则（ ）
A. B.
C. D.
2.已知扇形的半径为6，圆心角为，则该扇形的弧长为（ ）
A. B. C.60 D.120
3.若，则（ ）
A. B. C. D.
4.下列函数为奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
5.已知点，则向量在向量方向上的投影的坐标为（ ）
A. B. C. D.
6.已知为第二象限角，且，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知为所在平面内的一点，为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
8.已知函数的图象经过点，的最小值为，且，则（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知角的终边经过点，则（ ）
A. B.
C. D.
10.为了得到函数的图象，只要将函数图象上（ ）
A.所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度
B.所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度
C.所有的点向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D.所有的点向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
11.已知非零向量的夹角为，且，则下列结论正确的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.的取值范围为 D.的最大值为12
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若，则__________，__________.
13.已知向量，且与的夹角为锐角，则的取值范围为__________.
14.的值为__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知向量.
（1）求的坐标；
（2）求的值.
16.（15分）
已知函数的最小正周期为，且的图象关于直线对称.
（1）求的解析式；
（2）求的单调递减区间；
（3）求在上的值域.
17.（15分）
如图，在四边形中，，设.
（1）用表示；
（2）若与相交于点，求.
18.（17分）
已知.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）若均为锐角，且，求的值.
19.（17分）
定义：区间的长度为，区间的长度为.
（1）已知不等式在上的解集为，求的长度.
（2）已知，函数.
①求在上的零点之和；
②若不等式在上的解集为，求的长度的最大值.
数学试卷参考答案
1.C 由题意得，得.
2.B 由题意得该扇形的弧长为.
3.B 因为，所以，解得.
4.D 是偶函数，是非奇非偶函数，是奇函数.
5.C 由题意得，则向量在向量方向上的投影为，所求坐标为.
6.D 由题意得，则，所以.
7.C 由题意得.
8.D 由题意得，得.由，得的图象关于点对称，则，得，因为，所以.
9.ACD 由题意得，得.
10.AC 由题意得，将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到的图象，A正确.
将图象上所有的点向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标
缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，C正确.
11.ACD 由，得，得.
若，则，得，A正确.
若，则或，当时，不成立，当时，，解得或6，B错误.
由得.因为，所以，C正确.
由，得，所以，当6时，
等号成立，D正确.
12.； .
13. 由题意得，得所以的取值范围为.
14. .
15.解：（1），
.
（2）由（1）得，
，
所以.
16.解：（1）由题意得.
因为的图象关于直线对称，所以，得.
又，所以.
故.
（2）由，
得，
所以的单调递减区间为.
（3）由，得，
由正弦函数的图象得，
.
故在上的值域为.
17.解：（1）由题意得，
.
（2）如图，以点为原点，所在直线为轴，过点的
的垂线为轴，建立平面直角坐标系.
，
则.
得.
备注：第（2）问也可利用第（1）问中的基底向量进行运算.
18.解：（1）由题意得
得.
（2）..
（3）由，得.
由，得，得，
所以.
由，得，
，
所以
.
19.解：（1）由题意得，
得，得，
因为，所以，即.故的长度为.
（2）①由，得.
由，得或，
所以方程在上均有两个实数根，即在上有4个
零点.
设的两根为的两根为，
得，且，
则，所以在上的零点之和为.
②由，得或，由①可得，则的长度为.
易得
则.
，
当且仅当，即时等号成立，
所以.
由，得，所以，
所以.故的长度的最大值为.

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