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第五章图形的轴对称单元测试北师大版2024—2025学年七年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．围棋起源于中国，距今已有4000多年的历史，小萍与人工智能机器人进行了围棋人机对战．截取对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是（　　）
A．15：01 B．10：51 C．10：21 D．12：01
3．如图，AD为△ABC的中线．若AB＝AC，则下列结论不一定成立的是（　　）
A．BD＝CD B．AD⊥BC C．∠BAD＝∠CAD D．AD＝CD
4．如图，AD是Rt△ABC的角平分线，∠C＝90°，DC＝3，则点D到AB的距离为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，已知在△ABC中，DE垂直平分BC，若AB＝5，△ABD的周长是13，则线段AC的长是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．如图，若△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，BB1交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（　　）
A．AC＝A1C1 B．BO＝B1O C．CC1⊥MN D．AB∥B1C1
7．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝2，OD＝5，则△POD的面积为（　　）
A．2 B．4 C．5 D．10
8．如图，在△ABC中，PM，QN分别是线段AB，AC的垂直平分线，若∠BAC＝110°．则∠PAQ的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．70°
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．已知等腰三角形的一个内角等于40°，则它的顶角是 　 　 °．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝4，AB＝17，则△ABD的面积为 　 　 ．
11．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8cm，DE是BC边上的垂直平分线，△ABD 的周长为14cm，则AB的长度是 　 　 cm．
12．如图，在△ABC中，∠BAC＝114°，点D在BC上，连接AD，若BA＝BD，DA＝DC，则∠B的度数为 　 　 ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）请在图中画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1（其中A1，B1，C1分别是A，B，C的对应点，不写画法）；
（2）直接写出A1，B1，C1三点的坐标：A1　 　，B1　　，C1　 　；
（3）在y轴上画出点P，使得PA+PB最小．
14．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OA，OB，OC．
（1）若△ADE的周长为8cm，线段BC的长为　 　 ；
（2）判断点O是否在BC的垂直平分线上；
（3）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数．
15．如图，点P在四边形ABCD的内部，且点P与点M关于AD对称，PM交AD于点G，点P与点N关于BC对称，PN交BC于点H，MN分别交AD，BC于点E，F．
（1）连接PE，PF，若MN＝12cm，求△PEF的周长；
（2）若∠C+∠D＝134°，求∠HPG的度数．
16．国庆期间，高笋塘广场上设置了一个庆祝国庆75周年的造型（如图所示）．造型平面呈轴对称，其正中间为一个半径为b的半圆，摆放花草，其余部分为展板．
（1）用含a、b的代数式表示出展板的面积，并求出当a＝1米，b＝3米时展板的面积．
（2）在（1）的条件下，已知摆放花草部分造价为400元/平方米，展板部分造价为100元/平方米，求制作整个造型的造价（π取3）．
17．如图，在等腰锐角△ABC中，AB＝AC，CD为AB边上的高线，E为AC边上的点，连结BE交CD于点F，设∠BCD＝α．
（1）用含α的代数式表示∠A；
（2）若CE＝CF，求∠EBC的度数；
（3）在（2）的条件下，若E为AC中点，AB＝AC＝2，求△ABC的面积．
18．在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，BD＝AD．
（1）如图1，求∠BAC的度数；
（2）如图2，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．求证：AF＝AB+BC．
参考答案
选择题
1—8：BCBBCDAB
二、填空题
9．【解答】解：此题要分情况考虑：
①40°是它的顶角；
②40°是它的底角，则顶角是180°﹣40°×2＝100°．
所以这个等腰三角形的顶角为40°或100°．
故答案为：40°或100°．
10．【解答】解：如图所示，过D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，
∴DE＝CD＝4，
又∵AB＝17，
∴△ABD的面积为，
故答案为：34．
11．【解答】解：∵DE是BC边上的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∵△ABD的周长为14cm，
∴AB+AD+BD＝14cm，
∴AB+AD+DC＝AB+AC＝14cm，
∵AC＝8cm，
∴AB＝14﹣8＝6（cm），
故答案为：6．
12．【解答】解：设∠B＝x，∠C＝y，
∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝y，
∵∠ADB＝∠C+∠DAC＝2y，
∵BA＝BD，
∴∠ADB＝∠BAD＝2y，
∴∠BAD+∠DAC＝2y+y＝3y＝114°，
∴y＝38°＝∠C，
∴∠B＝180°﹣114°﹣38°＝28°，
故答案为：28°．
三、解答题
13．【解答】解：（1）按照轴对称图形的特点作图1如下：
△A1B1C1即为所作；
（2）根据（1）的图形可知：A1（1，5），B1（1，0），C1（4，3）；
故答案为：（1，5），（1，0），（4，3）；
（3）P点即为所求，如图2，
14．【解答】解：（1）∵l1是AB边的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∵l2是AC边的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∵△ADE的周长为8cm，
∴BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝8（cm）；
故答案为：8cm；
（2）点O在BC的垂直平分线上，
理由：∵l1是AB边的垂直平分线，
∴OA＝OB，
∵l2是AC边的垂直平分线，
∴OA＝OC，
∴OB＝OC，
∴点O在BC的垂直平分线上；
（3）∵∠BAC＝120°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣120°＝60°，
∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，
∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝120°﹣60°＝60°，
所以∠DAE的度数为60°．
15．【解答】解：（1）∵点P与点M关于AD对称，点P与点N关于BC对称，
∴EM＝EP，FP＝FN，
∴C△PEF＝PE+PF+EF＝ME+EF+FN＝MN＝12（cm）．
（2）∵∠C+∠D＝134°，
∴∠A+∠B＝360°﹣134°＝226°．
又∵PG⊥AD，PH⊥BC，
∴∠PGA＝∠PHB＝90°，
∴∠HPG＝540°﹣90°﹣90°﹣226°＝134°．
16．【解答】解：（1）如图所示：
根据轴对称的性质得：OC＝b，AC＝7a，AB＝BP＝b，
∴OB＝OE＝7a+b﹣b＝7a，
∴BE＝2×7a＝14a，
∴展板的面积＝长方形BEHP＝BE BP＝14ab，
当a＝1米，b＝3米时，
展板的面积＝14×1×3＝42（平方米）；
（2）∵摆放花草部分的面积为：πb2，
又∵π＝3，b＝3米，
∴摆放花草部分的面积为：3×32＝13.5（平方米），
又∵摆放花草部分造价为400元/平方米，展板部分造价为100元/平方米，
∴制作整个造型的造价为：400×13.5+100×42＝9600（元）．
答：制作整个造型的造价为9600元．
17．【解答】解：（1）∵CD为AB边上的高线，∠BCD＝α，
∴∠ABC＝90°﹣α，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝90°﹣α，
∴∠A＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝180°﹣（90°﹣α+90°﹣α）＝2α；
（2）∵CD为AB边上的高线，∠A＝2α，
∴∠ACD＝90°﹣2α，
∵CE＝CF，
∴∠CFE＝∠CEF（180°﹣∠ACD）（180°﹣90°+2α）＝45°+α，
∵∠CFE是△BCF的一个外角，
∴∠CFE＝∠EBC+∠BCD＝∠EBC+α，
∴∠EBC+α＝45°+α，
∴∠EBC＝45°；
（3）过点A作AN⊥BC于点N，AN交BE于点M，连接CM，如图所示：
∵AB＝AC，∠A＝2α，
∴∠EAM＝α，
∴∠EAM＝∠BCD＝α，
∵CE＝CF，
∴∠CEF＝∠CFE，
∵∠CEF+∠MEA＝180°，∠CFE+∠BFC＝180°，
∴∠MEA＝∠BFC，
∵若E为AC中点，AB＝AC，
∴AE＝CE＝CF
在△AEM和△CFB中，
，
∴△AEM≌△CFB（SAS），
∴设ME＝BF＝x，
∵AB＝AC，AN⊥BC，
∴AN是BC的垂直平分线，
∴MC＝MB，
∵∠EBC＝45°，
∴∠MCB＝∠EBC＝45°，
即△BCM是等腰直角三角形，
∴∠BMC＝90°，
即CM⊥EF，
∵CE＝CF，
∴ME＝MF＝BF＝x，
∴MC＝MB＝BF+MF＝2x，
在Rt△CME中，ME＝x，CM＝2x，CE＝√（5），
由勾股定理得：CE，
∴，
∴x＝1，
∴MC＝MB＝2x＝2，
在Rt△MBC中，由勾股定理得：BC，
∴BN＝CNBC，
在Rt△ACN中，由勾股定理得：AN，
∴S△ABCBC AN6．
18．【解答】（1）解：设∠ABD＝x°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝x°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝2x°，
又∵BD＝AD，
∴∠A＝x°，
又∵∠BDC＝∠A+∠ABD，即2x°＝∠A+x°，
∴∠BDC＝∠C＝2x°，
∴BD＝BC，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴x+2x+2x＝180，
解得x＝36，
∴∠A＝36°，
∴∠BAC的度数为36°；
（2）∵E是AB的中点，BD＝AD，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，
∴∠FBA＝∠FAB＝72°，
∴∠AFB＝∠FAC＝36°，
∴CA＝CF，
∴AB＝AC＝CF，
∴AF＝BF＝BC+CF＝AB+BC．
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