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11.3一元一次不等式组
一、单选题
1．下列不等式组：①，②，③，④，⑤．
其中一元一次不等式组的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为（　　）
A．m＞1 B．m＜1 C．m≥1 D．m≤1
3．将不等式组的解集表示在同一条数轴上，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．已知不等式组的解集为﹣1＜x＜1，则a+b为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．0
5．已知平面直角坐标系上有一点P（m+2，5+m）位于第二象限，则m的值可能为（　　）
A．﹣3 B．1 C．﹣5 D．﹣6
6．某景点摊位要购进不倒翁和折扇两种纪念品，不倒翁的单价为20元，折扇的单价为10元．已知购买折扇的件数比购买不倒翁的件数的2倍少3件，如果购买不倒翁、折扇两种商品的总数量不少于35件，且购买这两种商品的总费用少于560元．设购买不倒翁x件，依题意可列不等式组得（　　）
A． B．
C． D．
7．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞94”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，则x的取值范围是（　　）
A．4≤x＜11 B．3≤x＜10 C．3＜x≤10 D．4＜x≤11
8．小明测量一种玻璃球的体积，他的测量方法是：①将500cm3的水倒进一个容量为750cm3的杯子中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗同样大小的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据这个现象，小明判断这样的一个玻璃球的体积可能是（　　）
A．70cm3 B．65cm3 C．55cm3 D．50cm3
9．已知关于x的不等式组，下列四个结论：
①若它的解集是1＜x≤3，则a＝7；
②当a＝3，不等式组有解；
③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是9≤x＜11；
④若不等式组有解，则a＞3．
其中正确的结论个数（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．关于x的方程2（x﹣3a）＝a﹣7的解是非负整数，且关于y的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数a的和为（　　）
A．8 B．12 C．15 D．18
二、填空题
11．已知，则x＝　 　 ．
12．已知关于x的不等式组只有一个解，a的值为 　 　 ．
13．对于实数m，n定义一种新运算“※”为m※n＝m﹣3n，例如7※2＝7﹣3×2＝1，若﹣3≤x※，则x的取值范围是　 　 ．
14．如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“有缘方程”，如：方程x﹣1＝0就是不等式组的“有缘方程”．若关于x方程3x+2k＝5（k为整数）是不等式组的一个有缘方程，则整数k的值为 　 　 ．
15．阅读理解：记[x]表示不超过x的最大整数，如[0.3]＝0，[1.3]＝1．应用：已知0＜a＜1，且，则[2025a]的值为 　 ．
三、解答题
16．解下列不等式组：
（1）； （2）；
（3）解不等式组，在数轴上表示它的解集并求出它的所有非负整数解．
17．先阅读下面的材料，再解答问题．
分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如等，怎样求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知，两数相除，同号得正，异号得负．
（1）若，则，或　 　 ；若，则　 　 ．
（2）根据上述信息，求不等式和的解集．
18．已知关于x，y的二元一次方程组．
（1）若5x+3y＝4，求m的值；
（2）若x，y均为非负数，求m的取值范围；
（3）已知w＝x﹣y+m，在（2）的条件下，求w的最大值和最小值．
19．为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售A，B两种头盔，批发价和零售价格如表所示，请解答下列问题．
名称 A种头盔 B种头盔
批发价（元/个） 60 40
零售价（元/个） 80 50
（1）该商店第一次批发A，B两种头盔共120个，用去5600元钱，求A，B两种头盔各批发了多少个；
（2）该商店第二次仍然批发这两种头盔（批发价和零售价不变），用去7200元钱，要求批发A种头盔不高于76个，要想将第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于2160元，则该商店第二次有几种批发方案．
20.某中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”．经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号“文房四室”的价格贵30元，买3套甲型号“文房四宝”和4套乙型号“文房四宝”共用930元．
（1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少元？
（2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共50套，总费用不超过6660元，并且根据学生需求，要求购进甲型号“文房四宝”的数量不少于20套，问共有哪几种购买方案？
21.今年3 15晚会曝光了许多与我们生活息息相关的存在食品安全问题的产品，这也警示了许多商家需重视食品安全，不可损害人民的利益．某糕点生产厂家严格把控食品品质，深得顾客的信赖，并在此基础上提出了“反对商品过度包装，去包装化”的口号，这也从另一个角度保证了食品安全，保护了生态环境．为此，厂家对购买简装糕点的顾客实施优惠，商品价格及优惠方案如下．
名称 小份（600g） 大份（900g）
肉松小贝 16元 18元
巧克力欧包 12元 20元
购买简装糕点，在以上价格的基础上，小份优惠1元/份，大份优惠2元/份．
（1）根据顾客反馈，某种糕点购买简装大份每克的价格比小份还贵，此种糕点为 　巧克力欧包　 ．
（2）为保证每种糕点简装大份每克的价格都比小份便宜，则应将大份的优惠价格修改为每份优惠几元？（优惠价格取最小整数）
（3）在（2）中优惠价格的基础上，然然妈妈带150元购买简装大份的肉松小贝和简装大份的巧克力欧包共10份，且购买肉松小贝的份数少于巧克力欧包份数的1.5倍，请利用不等式组说明然然妈妈应买几份简装大份的肉松小贝．
22.（1）阅读下列材料：
【问题】在关于x，y的二元一次方程组中，x＞﹣1，y＜0，求a的取值范围．
【分析】在关于x，y的二元一次方程组中，利用参数a的代数式表示x，y，然后根据x＞﹣1，y＜0列出关于参数a的不等式组即可求得a的取值范围．
解：由，得，
又因为x＞﹣1，y＜0，所以解得 　 　 ．
（1）请把材料中的解答过程补充完整；
（2）请你按照上述方法，完成下列问题：
①已知x﹣2y＝4，且x＞8，y＜4，求3x+2y的取值范围；
②已知a﹣b＝m，在关于x，y的二元一次方程组中，x＜0，y＞0，化简：2|a+b﹣3+m|+3|m﹣4+a+b|（结果用含a的式子表示）．
参考答案
一、单选题
1．
【分析】根据一元一次不等式组的定义，含有两个或两个以上的不等式，不等式中的未知数相同，并且未知数的最高次数是一次，对各选项判断后再计算个数即可．
【解答】解：根据一元一次不等式组的定义，①②④都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，所以都是一元一次不等式组；
③含有一个未知数，但未知数的最高次数是2，⑤含有两个未知数，所以②⑤都不是一元一次不等式组．
故有①②④三个一元一次不等式组．
故选：B．
2．
【分析】解第二个不等式求得其解集，再根据原不等式组无解确定m的取值范围即可．
【解答】解：解第二个不等式得：x＜1，
∵原不等式组无解，
∴m≥1，
故选：C．
3．
【分析】分别解出两个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分即可．
【解答】解：，
解不等式①，得x≤﹣1，
解不等式②，得x＞﹣3，
所以不等式组的解集为﹣3＜x≤﹣1，
故选：A．
4．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，然后通过解二元一次方程组求出a，b的值，再代入计算即可．
【解答】解：由x﹣a＞2得：x＞a+2，
由x+3＜b得：x＜b﹣3，
∵解集为﹣1＜x＜1，
∴a+2＝﹣1，b﹣3＝1，
解得a＝﹣3，b＝4，
a+b＝﹣3+4＝1，
故选：A．
5．
【分析】根据第二象限的点：横坐标为负，纵坐标为正，可得到关于m的不等式组，即可求解．
【解答】解：由条件可知，
解得：﹣5＜m＜﹣2，
则m的值可能为﹣3．
故选：A．
6．
【分析】设购买不倒翁x件，则购买折扇（2x﹣3）件，根据购买不倒翁、折扇两种商品的总数量不少于35件得到x+（2x﹣3）≥35，根据购买这两种商品的总费用少于560元得到20x+10（2x﹣3）＜560，据此可得答案．
【解答】解：设购买不倒翁x件，则购买折扇（2x﹣3）件，
由题意得，，
故选：A．
7．
【分析】根据程序操作进行了三次才停止，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可求出x的取值范围．
【解答】解：依题意列方程组得：，
解得3＜x≤10，
∴x的取值范围是3＜x≤10．
综上所述，只有选项C正确，符合题意，
故选：C．
8．
【分析】先设一个球的体积为x cm3，根据4个球排开水的体积不到750cm3﹣500cm3，5个球排开水的体积超过750cm3﹣500cm3得出不等式组，求出解集即可．
【解答】解：设一个球的体积为x cm3，根据题意得，
，
解得，
一个玻璃球的体积可能是55cm3．
故选：C．
9．
【分析】本题考查解一元一次不等式组，根据不等式组的解求参数等．根据题意先解出不等式组，再逐一分析序号进行判断即可．
【解答】解：解不等式x2得：x＞1，
解不等式2x﹣a≤﹣1得：，
∵若它的解集是1＜x≤3，即，解得：a＝7，
∴①正确，
∵当a＝3，x≤1，即不等式组无解，
∴②错误，
∵若它的整数解仅有3个，即，
∴a的取值范围是9≤a＜11，
∴③正确，
∵若不等式组有解，即1，则a＞3，
∴④正确，
故选：C．
10．
【分析】先根据所给方程的解为非负整数，得出a的取值范围，再结合所给不等式组的整数解只有3个即可解决问题．
【解答】解：由方程2（x﹣3a）＝a﹣7得，
x，
因为关于x的方程2（x﹣3a）＝a﹣7的解是非负整数，
所以，
解得a≥1，
解不等式组得，
，
因为此不等式组有且仅有3个整数解，
所以，
解得3≤a＜7，
∵x为整数，
所以符合条件的所有整数a的和是：3+5＝8．
故选：A．
二、填空题
11．
【分析】根据算术平方根的非负性得出，求出x≥2，再由，x﹣2＝0，即可解答．
【解答】解：已知，
∴，
∴x≥2，
∵，
∴x﹣2＝0，
∴x＝2．
故答案为：2．
12．
【分析】求出不等式组中两不等式的解集，根据不等式取解集的方法：同大取大；同小取小；大大小小无解；大小小大取中间的法则表示出不等式组的解集，由不等式组只有一个解，即可得出a的值．
【解答】解：
解不等式①得，
解不等式②得x≤4，
∴，
由条件可知，
∴a＝11，
故答案为：11．
13．
【分析】由题意得，x※x﹣32x﹣1，解不等式组﹣3≤﹣2x﹣1＜2即可．
【解答】解：由题意得，x※x﹣32x﹣1，
∴﹣3≤﹣2x﹣1＜2，
解得．
故答案为：．
14．
【分析】先求出方程的解和不等式组的解集，利用有缘方程的定义，得到关于k的不等式组，求出整数解即可．
【解答】解：解方程得：，
解不等式组得：，
∵关于x方程3x+2k＝5（k为整数）是不等式组的一个有缘方程，
∴，
解得，
∵k是整数，
∴k的值为2或3．
故答案为：2或3．
15．
【分析】理解[x]表示不超过x的最小整数，由题意得到，，进而确定，，，解不等式组得到2023≤2025a＜2024即可由定义得到答案．
【解答】解：由题意可得：
，
∴，，
则，，，
解得2023≤2025a＜2024，
∴[2025a]＝2023，
故答案为：2023．
三、解答题
16．解：（1），
解不等式①，得x＜2，
解不等式②，得x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x＜2；
（2），
解不等式①，得x≥1，
解不等式②，得x＜3，
则不等式组的解集为1≤x＜3；
（3），
由①得：x＜3，
由②得：x≥﹣2，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜3；
解集表示在数轴上为：
，
它的所有非负整数解为0、1、2．
17．解：（1）根据有理数除法法则可得：
若，则，或；
若，则，或．
故答案为：；；．
（2）由条件可知或，
解得x＞2或者x＜﹣1；
由条件可知或，
解得．
18．解：已知关于x，y的二元一次方程组，
（1）①+②得：5x+3y＝2m，
∵5x+3y＝4，
∴2m＝4，
解得：m＝2；
（2）②×2﹣①得：x＝m﹣3，
将x＝m﹣3代入②得：2m﹣6+y＝m﹣1，
解得：y＝5﹣m，
∵x，y均为非负数，
∴，
解得：3≤m≤5；
（3）∵x＝m﹣3，y＝5﹣m，
∴w＝x﹣y+m＝m﹣3﹣5+m+m＝3m﹣8，
∵3≤m≤5；
∴1≤3m﹣8≤7，
即w的最大值为7，最小值为1．
19．解：（1）设A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个，依意得：
，
解得：，
答：A种头盔批发了40个，B种头盔批发了80个；
（2）设该商店第二次批发了m个A种头盔，则批发了个B种头盔，根据题意得，
，解得：72≤m≤76，
又∵m，均为正整数，
∴m可以为72，74，76，
∴该商店第二次有3种批发方案．
20.解：（1）设每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是a，b元，由题意可得：
，
解得：，
答：每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是150元，120元；
（2）设需购进甲型号“文房四宝”x套，则需购进乙型号“文房四宝”（50﹣x）套，由题意可得：
，
解得20≤x≤22，
又∵x为正整数，
∴x可以取20，21，22，50﹣x可以取30，29，28；
∴有3种购买方案．
第一种：购进甲型号“文房四宝”20套，则需购进乙型号“文房四宝”30套，
第二种：购进甲型号“文房四宝”21套，则需购进乙型号“文房四宝”29套，
第三种：购进甲型号“文房四宝”22套，则需购进乙型号“文房四宝”28套．
21.解：（1）购买肉松小贝大份每克的价格：元，
肉松小贝小份每克的价格：元，
∴购买肉松小贝大份每克的价格比小份每克的价格便宜；
巧克力欧包大份每克的价格：元，
巧克力欧包小份每克的价格：元，
∴购买巧克力欧包大份每克的价格比小份每克的价格还贵；
故此种糕点为巧克力欧包，
故答案为：巧克力欧包；
（2）设应将大份的优惠价格修改为每份优惠x元．
由题意，得，
解得x＞3.5．
∵x取最小整数，
∴x＝4，即大份每份应优惠4元；
（3）设购买m份简装大份的肉松小贝，则购买（10﹣m）份简装大份的巧克力欧包．
由题意，得
解得5≤m＜6．
答：然然妈妈应买5份简装大份的肉松小贝．
22．解：（1），
解不等式①得：a＞﹣4，
解不等式②得：a＜2，
∴不等式组的解集为﹣4＜a＜2，
故答案为：﹣4＜a＜2；
（2）①设3x+2y＝a，则，
解得，
∵x＞8，y＜4，
∴，
解得：28＜a＜44，
即28＜3x+2y＜44；
②解方程组得：，
∵x＜0，y＞0，
∴，
解得：1.5＜a＜2，
∵a﹣b＝m，
∴2|a+b﹣3+m|+3|m﹣4+a+b|
＝2|a+b﹣3+a﹣b|+3|a﹣b﹣4+a+b|
＝2|2a﹣3|+3|2a﹣4|，
∵1.5＜a＜2，
∴3＜2a＜4，
∴2a﹣3＞0，2a﹣4＜0，
∴2|2a﹣3|+3|2a﹣4|
＝2（2a﹣3）﹣3（2a﹣4）
＝4a﹣6﹣6a+12
＝6﹣2a．

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