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黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2024 2025学年高二下学期4月考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知等差数列满足，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．根据变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型，求得残差图．对于以下四幅残差图，满足一元线性回归模型中对随机误差假设的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知数列的前n项和，则（ ）
A． B．2 C．4 D．8
4．设是等比数列的前n项和，若，，则（ ）
A．8 B．9 C．18 D．19
5．已知蝗虫的产卵量y与温度x的关系可以用模型拟合，设，其变换后得到一组数据：
x 20 23 25 27 30
z 2 2.4 3 3 4.6
由上表可得经验回归方程，则（ ）
A． B． C． D．3
6．记为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列的各项为正数，且，，则（ ）
A． B． C． D．
8．若等差数列满足，则（ ）
A．2025 B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列的叙述正确的有（ ）
A．关于一元线性回归，若相关系数，则y与x的相关程度很强
B．关于一元线性回归，若决定系数越大，模型的拟合效果越差
C．关于独立性检验，随机变量的值越大，认为“两个分类变量有关系”的把握性越大
D．关于独立性检验，若的观测值满足，依据小概率值的独立性检验，认为“两个分类变量无关”（参考数据：）
10．已知数列的前项和，则下列说法正确的是（ ）
A． B．为中的最大项
C． D．
11．如图，有一列曲线，，……，，……，且1是边长为1的等边三角形，是对进行如下操作而得到：将曲线的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到，记曲线的边数为，周长为，围成的面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．数列{}是首项为3，公比为4的等比数列
B．数列{}是首项为3，公比为的等比数列
C．数列是首项为，公比为的等比数列
D．当n无限增大时，趋近于定值
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知数列中，，，，则 .
13．已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则使得为整数的正整数n的值为 .
14．已知数列的前n项和，且，数列，均为等差数列，又数列的前n项和为，且，则的值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列，，其中是各项均为正数的等比数列，满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)且，求数列的前2n项和.
16．已知数列满足（，），且.
(1)求，，并证明数列是等比数列；
(2)若，求数列的前n项和.
17．推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择.为加强社区居民的垃圾分类意识，某社区在健身广场举办了“垃圾分类，从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量，为此需要征集一部分垃圾分类志愿者.
(1)为调查社区居民喜欢担任垃圾分类志愿者是否与性别有关，现随机选取了一部分社区居民进行调查，其中被调查的男性居民30人，女性居民20人，男性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占男性居民的，女性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占女性居民的.根据所给数据，得到成对样本数据的分类统计结果，完成下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关？
性别 合计
男性 女性
喜欢担任
不喜欢担任
合计
附：，
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
(2)若某垃圾站的日垃圾分拣量y（千克）与垃圾分类志愿者人数x（人）之间具有较强的线性相关性，求回归直线方程，并预测志愿者人数为10人时，该垃圾站的日垃圾分拣量.
数据统计如表：
志愿者人数x（人） 2 3 4 5 6
日垃圾分拣量y（千克） 24 29 41 46 60
参考数据，附：，
18．已知数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足：，求数列的通项公式；
(3)若存在实数，使不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
19．若数列的前项和，满足，其中、，则称数列是数列.
(1)若，判断是否为数列；
(2)若数列是数列，且，求数列的通项公式；
(3)在（2）成立的条件下，若数列是数列，，数列的前项和，且，求证：.
参考答案
1．【答案】B
【详解】因为，解得.
故选B.
2．【答案】A
【详解】对于A，残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，故A正确；
对于B，残差与观测时间有线性关系，故B错误；
对于C，残差的方差不是一个常数，随着观测时间变大而变小再变大，故C错误；
对于D，残差与观测时间是非线性关系，故D错误.
故选A.
3．【答案】D
【详解】已知，当时，.
当时，
.
当时，；
当时，；
当时，.
将，，代入可得：
.
的值为.
故选D.
4．【答案】D
【详解】设等比数列的公比为，由，得，
则，，
，
所以.
故选D.
5．【答案】A
【详解】，由题可得
注意到回归直线过点，
由题可得，
则.
故选A.
6．【答案】B
【详解】由，则，
则等差数列的公差，故.
故选B.
7．【答案】A
【详解】因为数列的各项为正数，且，，
故当时，，
由题意可知，对任意的，，则，所以，，
则有，所以，数列为常数列，
故，所以.
故选A.
8．【答案】C
【详解】由等差数列满足，
则对于，当时，，
则，
设，则，
两式相加可得，解得.
故选C.
9．【答案】ACD
【详解】对于A，相关系数很接近1，则随机变量y与x的相关程度很强，故A正确；
对于B，关于一元线性回归，决定系数越大，则模型的拟合效果越好，故B错误；
对于C，关于独立性检验，随机变量的值越大，可判断“两个分类变量有关系”的把握性越大，故C正确；
对于D，因的观测值满足，则零假设成立，
即在犯错概率不超过的情形下，可认为“两个分类变量无关”，故D正确.
故选ACD.
10．【答案】AC
【详解】对于A：当时，；当时，，
经检验，当时，，故，A正确；
对于B：令，则，故当时，，故和为中的最大项，B错误；
对于C：，C正确；
对于D：
，D错误．
故选AC
11．【答案】ABD
【详解】是在的基础上，每条边新增加3条新的边，故，又,所以数列{}是首项为3，公比为4的等比数列,且 故A正确，
第个图形的边长为 ，所以，故数列{}是首项为3，公比为的等比数列，故B正确，
因为是在的每条边上再生出一个小正三角形，于是
，
同理，对是在的每条边上再生出一个小正三角形，
于是的面积等于的面积加上个新增小三角形的面积，
即，
于是可以利用累加的方法得到
将上面式子累加得
当时， ，故C错误，D正确，
故选ABD.
12．【答案】15
【详解】数列中，由，得，
因此，数列是周期数列，周期为3，，
所以.
13．【答案】2或8
【详解】因为，
所以，
，
若使为整数，则是的因数，
因为，所以或.
14．【答案】/
【详解】因数列为等差数列，则，即，化简得：①
又因数列也为等差数列，则，即②
将①代入②：，两边平方整理得：，再两边平方，可得，解得，
故数列 的公差为，故，解得，
当时，，显然时符合，
故数列的通项公式为：，
则，
则
.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等比数列的公比为q，因为，
所以，所以，所以，所以，
所以.
（2）n是奇数时，；n是偶数时，
∴，
所以
16．【答案】(1)，，证明见解析
(2)
【详解】（1）由题意，，，
令，，
当时，.
所以数列是以2为首项，公比为2的等比数列，
即数列是以2为首项，公比为2的等比数列.
（2）由（1）可知：，则，
所以
则，①
两边同乘2得：，②
①②得：
，
所以.
17．【答案】(1)表格见解析，有关
(2)，93.4千克.
【详解】（1）零假设：居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别无关根据题意，列出的2×2列联表如下：
性别 合计
男性 女性
喜欢担任 10 15 25
不喜欢担任 20 5 25
合计 30 20 50
则，
依据小概率值的独立性检验，不成立，
因此认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.005.
（2）由表中数据可知，，，
，又，
则，，
∴回归直线方程为.
当时，，
所以当志愿者为10人时，垃圾分拣量大约为93.4千克.
18．【答案】(1)
(2)
(3).
【详解】（1）数列的前n项和为，由，得，解得，
当时，，整理得，
因此数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以.
（2）由（1）知，则化为，
当时，，两式相减得，即，
当时，，满足上式，
所以数列的通项公式是.
（3）令，则，
当时，，即，
当时，，则，递增，即，
当n是偶数时，由对任意正整数n恒成立，得，而递增，
即，且，因此；
当n是奇数时，由对任意正整数n恒成立，得，
而，当时，递增，即，因此，解得，
所以的取值范围是.
19．【答案】(1)是数列
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）若，则，且，所以，数列是以首项和公比都为的等比数列，
则，所以，
且当，时，，，
即数列满足，所以是数列.
（2）若数列是数列，设数列的前项和，则有，
当时，，，
两式相减得，
又，所以，
即，
整理得，
又，所以，所以是等差数列，
因为，，所以，，解得，
所以，数列的公差为，所以.
（3）若数列是数列，所以，所以，.
当时，，，则，解得，
当时，（ⅰ），（ⅱ），
（ⅰ）－（ⅱ）可得，
因为，所以，
所以，整理可得，
又，所以首项为、公比为的等比数列，可知，
由（2）知，则，
，所以得证.

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