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哈师大青冈实验中学2024-2025学年度4月份月考
高二数学试题
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。)
1.已知函数，则
A. B. C. D.
2.函数的单调递增区间为
A. B. C. D.
3.哈尔滨的冰雪旅游在冬季吸引了大量游客，在2023年度，哈尔滨市共接待总游客量达到1.35亿人次，同比增长，比2019年增长.甲、乙、丙三人从冰雪大世界、太阳岛和中央大街三个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲去过冰雪大世界，所以甲不选冰雪大世界，则不同的选法有
A.12 B.16 C.18 D.24
4.等差数列中，已知，则该数列的前9项和为
A.54 B.63 C.66 D.72
5.已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝
A.－1 B.0 C.2 D.4
6.函数有2个极值点，则的取值范围是
A. B. C. D.
7.已知，则
A.7 B.6 C.5 D.4
8.已知函数，，若，，使得，则的最小值为
A. B. C. D.
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。)
9.在的展开式中，则
A.二项式系数最大的项为第3项和第4项 B.所有项的系数和为0
C.常数项为 D.所有项的二项式系数和为64
10.现有4个编号为1，2，3，4的不同的球和个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是
A.共有种不同的放法
B.恰有一个盒子不放球，共有120种放法
C.每个盒子只放一个球，恰有2个盒子编号与球的编号相同，不同放法有18种
D.将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有5种
11.已知函数在上可导，其导函数为，若满足：，，则下列判断不正确的是
A. B. C. D.
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分。)
12.从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件为“第一次取到的是奇数”，事件B为“第二次取到的是3的整数倍”，则 .
13.某县政府为在线助农，组织了该县的5位网红主播直播带货，大力推广该县的农副产品，并安排了3个时间段进行直播，若每个时间段至少有1位网红主播直播带货，且每位网红主播均参加且只参加一个时间段的直播带货，则不同的安排方法有 种.(用数字作答)
14.已知函数，若在存在零点，则实数的最小值是 .
四、解答题(本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
15.(本题满分13分)
在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答补充完整的题目.
问题：已知，且______(只需填序号).
(1)求的值；
(2)求展开式中的奇数次幂项的系数之和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
16.(本题满分15分)
已知函数在处的切线方程.
(1)求，的值；
(2)求的单调区间与极值.
17.(本题满分15分)
某中学高二年级参加市数学联考，其中甲 乙两个班级优秀率分别为和，现在先从甲 乙两个班中选取一个班级，然后从选取的班级中再选出一名同学.选取甲 乙两个班级的规则如下：纸箱中有大小和质地完全相同的4个白球 2个黑球，从中摸出1个球，摸到白球就选甲班，摸到黑球就选乙班.
(1)分别求出选取甲班 乙班的概率；
(2)求选出的这名同学数学成绩优秀的概率.
18.(本题满分17分)
已知数列中，.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)若，设的前项和为.
①求；
②若都有不等式成立，求的取值范围.
19.(本题满分17分)
已知函数.
(1)当时，求的最小值；
(2)①求证：有且仅有一个极值点；
②当时，设的极值点为，若.求证：.
哈师大青冈实验中学2024-2025学年度4月份月考
高二学年数学试题 答案
单项选择题
1-5 CACAB 6-8 BCC
二、多项选择题
9.AC 10．BCD 11．BD.
三、填空题
12．/0.325 13．150 14．1
四、解答题
15．解：（1）选择条件①：
由题得中项为，
中项为，
所以，
即，整理得，
由，解得.
选择条件②：
由，
得，
解得.
选择条件③：
令得，
即，
解得.............................................................................................................6分
（2）方法一：由（1）得，
令得，
令得，
两式相减得，
所以，
所以展开式中的奇数次幂项的系数和为.
方法二：由（1）得，
由题得中项为，
中项为，项为，项为，
所以，
所以展开式中的奇数次幂项的系数和为................................................................................13分
解：（1），由已知可得，解得...............7分
由（1）可得，
∴，
令，解得；令，解得，
∴在单调递减，在单调递增，
∴当时，的极小值为，无极大值.......................................................15分
解：（1）记事件“选取甲班”，事件“选取乙班”
则，
故选取甲、乙两个班的概率分别为和...........................................................................7分
（2）由（1）可知“这名同学来自甲班”，“这名同学来自乙班”，
“这名同学数学成绩优秀”，
则，且与互斥，根据题意得，，，
，，
由全概率公式得
因此，选出的这名同学数学成绩优秀的概率为..............................................................15分
解：（1）由题可得，
又，所以，
所以是以1为首项，2为公比的等比数列；.............................................................4分
（2）①由(1)知，则 ，
则，
，
两式相减得，，所以.................................................................................................10分
②等价于，
，
因为，
当时，，当时，，
当时，，即，
所以，所以...............................................................17分
解：（1）由，得，
设，
当时，，，
令，则，
所以函数在上单调递增，又，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以的最小值是；..................................................................................5分
（2）①由（1）知：，
因为，所以在上单调递增，即在上单调递增，
又，，
所以，
所以存在唯一的变号零点，即有且仅有一个极值点；..................................10分②由①知，有且仅有一个极值点，且，
当时，，，
由①知，，
要证明，
只需证明，
而，那么，，
所以，
令，则，
令，则，
当时，
因为，所以在上单调递增，即在上单调递增，又，所以，
所以在上单调递增，即在上单调递增，又，
所以，
所以在上单调递增，所以，
当时，，
，
综上所述，当时，

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