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江苏省宿迁市沭阳县2024 2025学年高二下学期4月期中调研测试数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．若，则正整数m的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．已知点，若向量，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．在四面体OABC中，，，，点M在OA上，且，N为中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
4．（ ）
A． B． C． D．
5．已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A．2 B． C． D．
6．若平面过点且该平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．学校开展班级轮值活动，高二某班有A，B，C，D四个轮值小组负责甲，乙，丙三个地点的站岗值班任务，每个小组负责一个地点，每个地点至少有一个小组负责，且A小组不去甲地点，则不同的任务分配方法种数为（ ）
A．36 B．24 C．18 D．12
8．若正整数，满足等式，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．2023 D．2024
二、多选题（本大题共3小题）
9．若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
10．用数字0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字的四位数，下列说法正确的是（ ）
A．共可组成360个四位数
B．四位偶数有156个
C．能被25整除的四位数有21个
D．从小到大排列第89个数为2340
11．已知：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面α的方程为；过点且一个方向向量为的直线l的方程为.利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为，直线l是平面与的交线，则下列说法正确的是（ ）
A．平面α的一个法向量为
B．直线l经过点
C．直线l的一个方向向量为
D．直线l与平面α所成角的正弦值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为.若，则实数λ的值为 .
13．的展开式中的系数为 （用数字作答）.
14．设集合，若I的非空子集满足，我们称有序集合对为I的“互斥集合对”，则集合I的“互斥集合对”的个数为 .（用数字作答）
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知.
(1)求；
(2)当时，求实数k的值.
16．高二某班准备从7名班委中（其中男生4人，女生3人）选择4人参加活动.
(1)共有多少种不同选法？（结果用数字作答）
(2)若要求至少有两名女生，共有多少种不同选法？（结果用数字作答）
(3)若7名班委中班长和副班长两人不能同时参加该活动，则不同的选择方法有多少种？（结果用数字作答）
17．如图，平行六面体的底面为正方形，棱长都为，且，设，，，，分别是棱，的中点，点为棱上的动点.

(1)用，，表示；
(2)若为棱的中点，求；
(3)是否存在点，使，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由.
18．已知.
(1)若，求：
①的值，
②的值；
(2)若，求的最小值.
19．如图，直角梯形和矩形所在的平面互相垂直，，，.

(1)证明：；
(2)若，动点在矩形内（含边界），且.
①求动点的轨迹的长度；
②设直线与平面所成角为，求的取值范围.
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，得.
故选C.
2．【答案】A
【详解】设，因为，且，
则，所以，即.
故选A.
3．【答案】D
【详解】
.
故选D.
4．【答案】B
【详解】，
故选B.
5．【答案】B
【详解】空间向量在向量方向上的投影向量为，
因为为单位向量，，，
所以，
所以，
故选B.
6．【答案】A
【详解】由题意可知：，且平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离.
故选A.
7．【答案】B
【详解】若甲地去一组，从B，C，D选一组，剩下3组分成2组去两地即可，
则有，
若甲地去两组，从B，C，D选两组，剩下2组分成2组去两地即可，
则有，
故共有种，
故选B.
8．【答案】D
【详解】∵
，
∴.
故选D.
9．【答案】BCD
【详解】对于A：因为，共面，不能构成基底；
对于B：设，所以，无解，
所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故B正确；
对于C：设，显然无解，所以能构成空间的一个基底，C正确；
对于D：设，则，
所以，无解，
所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故D正确；
故选BCD.
10．【答案】BC
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，由能被整除的数后两位为，则，故C正确；
对于D，最高位为的四位数有，前两位为的四位数有，
前两位为的四位数有，前三位为的四位数有，
由，且，，则从小到大排列第个数为，故D错误.
故选BC.
11．【答案】ABD
【详解】由平面的方程为，所以可得平面法向量为，故A正确；
因为直线l是平面与的交线，
所以直线l经过的点必在这两个平面上，经检验：
满足方程，也满足，
故直线l经过点，故B正确；
设直线l的一个方向向量为，
而平面与的法向量分别为，
则有，可得，
令，则，所以，故C错误；
,
故直线l与平面α所成角的正弦值为，故D正确；
故选ABD.
12．【答案】/2.5
【详解】由题意可得：，
即，
解得：.
13．【答案】
【详解】因为的二项展开式为，
令，可得；
令，可得；
可得，
所以的展开式中的系数为.
14．【答案】602
【详解】若中只有一个元素，有种选择，此时对应的为的补集中个元素的非空子集有个，故有，
若中只有2个元素，有种选择，此时对应的为的补集中4个元素的非空子集有个，故有，
若中只有3个元素，有种选择，此时对应的为的补集中3个元素的非空子集有个，故有，
若中只有4个元素，有种选择，此时对应的为的补集中2个元素的非空子集有个，故有，
若中只有5个元素，有种选择，此时对应的为的补集中1个元素的非空子集有个，故有，
所以共有.
15．【答案】(1)2
(2)－1
【详解】（1），
所以
（2）因为，
若，则存在，使得
即，
所以，解得，
所以实数k的值为－1.
16．【答案】(1)35
(2)22
(3)25
【详解】（1）（种）
（2）（种）
（3）（种）
17．【答案】(1)
(2)
(3)存在，为的中点
【详解】（1）；
（2）若P为棱的中点，则，，
所以
；
（3）设，
则，由（1）知
所以,
即，
化简得，解得，
所以这样的点存在，且为的中点.
18．【答案】(1)①153②78
(2)85
【详解】（1）因为，所以
①令得，，
令得，，
所以，
②令得，，
由①得，，
所以；
（2）由得，，
所以，
当时，，，
当时，，
结合二次函数的性质可知当时，
所以的最小值为85
19．【答案】(1)证明见解析
(2)①②
【详解】（1）证明：直角梯形和矩形所在的平面互相垂直，且交线为，，
平面，所以平面,
因为平面，所以，
因为，
所以，可知，
又因为，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以.
（2）

①因为平面，，
以为坐标原点，直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，
设，则，
因为，所以，即，
整理可得：，
可知动点M的轨迹是以为圆心，半径为1的半圆，
所以动点M的轨迹的长度，
②由①可设：，
可得，
设平面的法向量，
则，则，取，可得，
则，
因为，则，可得，
所以，

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