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江苏省盐城市七校联盟2024 2025学年高二下学期4月期中联考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知随机变量X的分布规律为，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，则（ ）
A．30 B．120 C．360 D．720
3．的展开式中的系数为（ ）
A．6 B．-6 C．4 D．-4
4．已知为平面的一个法向量，为直线l的一个方向向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知随机变量X的取值为0，1，2，若，，则标准差为（ ）
A． B． C． D．
6．从4种不同的颜色中选出一些颜色给如图所示的3个格子涂色，每个格子涂一种颜色，记事件为“相邻的2个格子颜色不同”，事件为“3个格子的颜色均不相同”，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知正四棱锥的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．若，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．
C．的展开式中偶数项的二项式系数之和为
D．的展开式中二项式系数最大项为
二、多选题（本大题共3小题）
9．将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式，在数学中将这种思想方法称为“算两次”．请用此法判断下列等式中，正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．在某独立重复实验中，事件A，B相互独立，且在一次实验中，事件A发生的概率为p，事件B发生的概率为，其中．若进行n次实验，记事件A发生的次数为X，事件B发生的次数为Y，事件AB发生的次数为Z，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，若正方体的棱长为2，E，F分别是棱AB，的中点，则（ ）
A．三个向量，，不可以构成空间的一组基底
B．四面体的外接球的表面积为
C．平面截该正方体的内切球所得截面的面积为
D．直线与平面所成角的余弦值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知直线l的方向向量为，则向量在直线l上的投影向量坐标为 ．
13．为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校开设了航模、无人机、Ai技术等5门课程．分别安排在周一到周五，每天一节，其中Ai技术课不排在周一，航模和无人机课两天相邻的课程的安排方案种数为 ．
14．一个袋子中有5个大小相同的球，其中红球3个，白球2个，现从中不放回地随机摸出3个球作为样本，用随机变量X表示样本中红球的个数，用随机变量表示第i次抽到红球的个数，则随机变量X期望 ； ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，．
(1)用，，表示，，；
(2)求异面直线AC与所成角的正切值．
16．在的展开式中，______．
给出下列条件：①各项系数之和为729，②第三项的二项式系数为15，③二项式系数和为64，试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题：
(1)求n的值并求展开式中的常数项；
(2)求展开式中的系数．
17．驾驶证考试规定需依次按科目一（理论）、科目二（场内）、科目三（场外）进行，只有当上一科目考试合格才可以参加下一科目的考试，每个科目只允许有一次补考机会，三个科目考试均合格方可获得驾驶证．若某人已通过了科目一的考试，假设他科目二考试合格的概率为，科目三考试合格的概率为，且每次考试或补考合格与否互不影响．
(1)求丁某不需要补考就可获得驾驶证的概率；
(2)若丁某不放弃所有考试机会，记为参加考试的次数，求的分布列与数学期望．
18．如图，在中，，，，D，E分别是AC，AB上的点，满足且DE经过的重心，将沿DE折起到的位置，使，M是的中点．

(1)求证：平面平面；
(2)求与平面所成角的大小；
(3)在线段上是否存在点N（不包含端点），使平面BMN与平面CBM夹角正切值为 若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．
19．设函数．
(1)若且，求；
(2)当时，求展开式中系数最大的项；
(3)当时，设n是正整数，t为正实数，实数t满足，求证：．
参考答案
1．【答案】A
【详解】因为随机变量X的分布规律为，
所以，解得，
所以.
故选A.
2．【答案】C
【详解】由题意可得，解得，则.
故选C.
3．【答案】D
【详解】解：的展开式的通项公式为：，
当时，则有，则的系数为：.
故选D.
4．【答案】A
【详解】由为平面的一个法向量，为直线的方向向量，若，则，即充分性成立；
由为平面的一个法向量，为直线的方向向量，若，则或，即必要性不成立.
故“”是“”的充分不必要条件．
故选A．
5．【答案】C
【详解】设，则可得分布列如下表;
0 1 2
根据期望公式得：，
解得，
所以根据方差公式得：，
即标准差为，
故选C.
6．【答案】B
【详解】用4种颜色涂图示中3个格子的试验的所有样本点有个，它们等可能，
相邻的2个格子颜色不同时，可先涂中间格子有4种方法，再涂两边的格子各有3种方法，由分步乘法计数原理得事件A所含样本点有个，
3个格子的颜色均不相同时，相当于4种颜色占三个不同位置有种方法，即得事件B所含样本点有个，
于是得，，
所以.
故选B.
7．【答案】B
【详解】由题意可作图如下：
由，则，
由共面，则，解得，
所以
.
故选B.
8．【答案】D
【详解】对于A，令可得，故A正确；
对于B，展开式的通项为，
所以系数，
所以，
令，即可得，所以，故B正确；
对于C，因为，的展开式中偶数项的二项式系数之和为，故C正确；
对于D，因为为偶数，的展开式中二项式系数最大项为第6项，
即，故D错误.
故选D.
9．【答案】ABD
【详解】对于A，二项式的展开式中的通项为，则展开式中的系数为，
而二项式的展开式中的通项为，
所以的展开式中得系数为，
因为，所以，故A正确；
对于B，从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数为，
同时还可以分步骤考虑：
第一步：从个元素中选一个安排在首位，则安排的个数为；
第二步：剩下个位置可从其余个元素中抽出个元素全排列，则所有的排列个数为；
故从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数为，
所以，故B正确；
对于C，从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数为，
同时还可以分类考虑：
第一类：取出个元素不包括元素甲，则所有排列的个数为，
第二类：取出个元素包括元素甲，则先排元素甲，有个位置，
然后从其余n个元素中抽出个元素全排列，则所有的排列个数为，
综上，从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数为，
所以，故C不正确；
对于D，从个不同的人中选出个人组成一个团队，且选一个人做队长，可以有两种选法：
第一种，从个不同的人中选出个人组成一个团队有种选法，再从选中的个人中选一人当队长有种选法，则形成的团队方法数为；
第二种，先从从个不同的人中选出一人做队长，有种选法，再从余下的选出个人组成团员有种选法，则形成的团队方法数为；
综上，，故D正确.
故选ABD.
10．【答案】BC
【详解】由题知，则，，，
又相互独立，则，易知，
则，
对于选项A，因为，
当时，，所以选项A错误，
对于选项B，因为，，所以，故选项B正确，
对于选项C，因为，，
所以，故C正确；
对于选项D，因为，，
所以，故选项D错误，
故选BC.
11．【答案】ABC
【详解】
对于A：如图以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，
故，
若向量，，共面，
则存在唯一实数对，使得，
即，
所以，解得：，
所以向量，，共面，
所以三个向量，，不可以构成空间向量的一组基，故A正确；
对于B：由，可知其中点坐标为，
因为三角形为直角三角形，所以其外接圆圆心坐标为，
由球的性质可知，球心一定在过且与坐标面垂直的直线上，
所以可设球心坐标为，
则由可得： ，
解得：，
所以球的半径为：，
所以四面体的外接球的表面积为正确；
对于C，设正方体内切球的球心为，则，，
则，
设平面的法向量为，
则有，令，则，
所以点到平面的距离，
又正方体内切球得半径，
所以平面截该正方体的内切球所得截面圆的半径，
所以平面截该正方体的内切球所得截面的面积为，故C正确.
对于D，直线与平面所成角的余弦值为，
，设平面的法向量为，
则，即，
令，可得：，
即，又，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以.故D错；
故选ABC.
12．【答案】
【详解】直线的方向向量为，，
则，，
则向量在直线上的投影向量坐标为：．
13．【答案】
【详解】当航模或无人机课排周一时，此时情况数为；
当航模与无人机都不排课在周一时，此时情况数为；
所以符合题意的情况数为.
14．【答案】
【详解】由题意可知，，.
所以：，
根据全概率公式得：.
15．【答案】(1)，，
(2)
【详解】（1），
，
；
（2）因为，
，
又，，
所以，
，
，
设异面直线AC与所成角为，
则，
所以，故，
所以异面直线AC与所成角的正切值为.
16．【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）若选①：
由的展开式通项为，
令，则，解得，即，
令，即，则.
若选②：
由的展开式通项为，
由，则，即，
分解因式可得，解得，即，
令，即，则.
若选③：
由题意可得，解得，
由的展开式通项为，
令，即，则.
（2）由（1）可得的展开式通项为，
令，解得，令，解得
则，
所以展开式中的系数为.
17．【答案】(1)
(2)的分布列见解析，
【详解】（1）设丁某参加科目二考试合格和补考为事件、，参加科目三考试合格和补考合格为事件、，
事件、、、，互为独立
设事件“丁某不需要补考就可获得驾驶证”，
则，
所以丁某不需要补考就可获得驾驶证的概率为；
（2）的取值可能为2，3，4，则；
；
；
；
所以，随机变量的分布列为
2 3 4
所以．
18．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在；
【详解】（1）因为在中，，，所以，
因为折叠前后对应角相等，所以平面，
所以平面，平面，所以，
又，平面，所以平面；
因为平面，所以平面平面.
（2）因为DE经过的重心，故，
由（1）知平面BCDE，
如图以为原点建立空间直角坐标系，因为，
故，
，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，
设CM与平面所成角的大小为，
则，
故，即CM与平面所成角的大小为；

（3）假设在线段上存在点，使平面与平面成角正切值为.
在空间直角坐标系中，，，，
设，则，，
设平面的法向量为，则有，即，
不妨令，则，，所以，
设平面的法向量为，则有，即，
不妨令，则，，所以，
若平面与平面成角正切值为，
则平面与平面成角余弦值为.
则满足，
化简得，解得（舍去）或，即，
故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角正切值为，此时的长度为.
19．【答案】(1)或
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由题可得，
所以，则，故，
令可得各项系数之和为或；
（2）当时，，
其展开式的通项为，
设展开式的系数为，为偶数时系数为正，为奇数时系数为负，
又，
所以展开式中系数最大的项为；
（3）由可得，
即，所以，
所以，
而，
所以原不等式成立．

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