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浙教版2024—2025学年八年级下学期数学第三次月考模拟试卷
满分：120分 时间：120分钟 范围：第一章二次根式到第五章特殊平行四边形
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．二次根式中x的取值范围是（　　）
A．x＝2 B．x≥2 C．x＞2 D．x＜2
2．用反证法证明命题“一个多边形最多有四个内角是直角”时，我们可以先假设（　　）
A．有三个直角
B．有四个直角
C．至少有四个内角是直角
D．至少有五个内角是直角
3．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的正确结果是（　　）
A．a+b﹣1 B．1﹣a﹣b C．a﹣b+3 D．b﹣a﹣3
4．下列图标中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
5．以下说法正确的是（　　）
A．菱形的对角线互相垂直且相等
B．矩形的对角线互相平分且互相垂直
C．正方形的对角线互相垂直且平分
D．平行四边形的对角线互相平分且相等
6．如图，在直角坐标系中，菱形OABC的顶点C（3，4），反比例函数图象交线段AB，射线BC于点E，F，连接EF，则S△BEF的值是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．已知正比例函数y1＝﹣2x与反比例函数．对于实数m，当x＝m时，y1＞y2；当x＝m+1时，y1＜y2，则m的取值范围为（　　）
A．m＜﹣2或0＜m＜2 B．﹣2＜m＜2
C．﹣3＜m＜﹣2或1＜m＜2 D．﹣2＜m＜0或m＞2
8．如图，在矩形ABCD中，M是矩形内一点，设△ABM，△ADM，△CDM，△BCM的面积分别表示S1，S2，S3，S4，要求出S3﹣S4的值，只需知道（　　）
A．S4﹣S1 B．S2﹣S1 C．S3+S2 D．S3﹣S2
9．若一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞1 B．k＜1 C．k＜1且k≠0 D．k≥1
10．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，E，F分别是边AD，BC的中点，CP⊥BE于P，DP的延长线交AB于G．下列结论：①PF＝2.5；②PF⊥DG；③．其中结论正确的有（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11．甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击平均成绩均为9环，方差分别为：S甲2＝2平方环，S乙2＝1.5平方环，则射击成绩较稳定的是　 　（填“甲”或“乙”）
12．若关于x的一元二次方程x2+kx﹣k﹣1＝0有两个相等的实数根，则k的值为　 　．
13．计算一组数据的方差，列式为，则该组数据的方差是 　 　．
14．二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 　 　．
15．已知方程3x2+kx﹣2＝0的一个根为2，则另一个根为 　 　．
16．如图，已知菱形ABCD的面积为，，点P，Q分别是在边BC，CD上（不与C点重合），且CP＝CQ，连结DP，AQ，则DP+AQ的最小值为 　 　．
浙教版2024—2025学年八年级下学期数学第三次月考模拟试卷
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
姓名：____________ 学号：_____________座位号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______ ______
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．（1）解方程：x（x﹣2）＝x﹣2；（2）解方程：（3x﹣4）2＝（4x﹣3）2．
18．（1）计算：；（2）计算：．
19．已知关于x的方程x2﹣（m+5）x+3m＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程一定有实数根；
（2）若方程有一个实数根是5，求方程的另一个根．
20．如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上的点，连结AP交对角线BD于点E，连结EC．
（1）求证：AE＝CE．
（2）若∠ABC＝45°，AE＝PC，求∠BAP的度数．
21．为了进一步加强中小学生对于民族文化的认同感，某中学开展了形式多样的传统文化教育培训活动．为了解培训效果，该校组织全校学生参加了传统文化主题知识竞赛，为了解竞赛成绩，随机抽样调查了七、八年级各10名学生的成绩x（单位：分），分数如下：
七年级10名学生竞赛成绩：75，83，79，89，79，83，95，70，64，83；
八年级10名学生竞赛成绩中分布血80＜x≤90的成绩如下：84，85，85，85，86．
【整理数据】：
年级 0＜x≤70 70＜x≤80 80＜x≤90 90＜x≤100
七年级 2 m 4 1
八年级 1 3 5 1
【分析数据】：
年级 平均数 众数 中位数 方差
七年级 80 a 81 71.6
八年级 80 85 b 59.8
根据以上提供的信息，回答下列问题：
（1）填空：m＝　 　 ，a＝　 　 ，b＝　 　 ；
（2）若学生的竞赛成绩超过80分为“优秀”，请估计该校参加竞赛的八年级320名学生中，竞赛成绩为“优秀”的人数；
（3）根据以上统计结果，从不同角度说明七年级与八年级哪个年级成绩更优秀．
22．某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．
（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
（3）该商场1月份销售量为60件，2月和3月的月平均增长率为x，若前三个月的总销量为285件，求该季度的总利润．
23．含有公共顶点A的正方形ABCD和正方形AEFG按图1所示放置，连结BE，DG．
（1）求证：△AEB≌△AGD．
（2）如图2，把图1中的正方形AEFG绕点A旋转，边EF刚好经过点B，此时对角线EG与正方形ABCD的对角线BD交于点O，与边AB交于点H．
①求证：BO＝DO．
②若AE＝3，，请直接写出OE和OH的长．
24．在 ABCD中，AB＝6，AD＝4，∠A＝60°，点E，F分别为边CD，AB上异于端点的动点，且DE＝BF，连结EF，将四边形CEFB沿着EF折叠得到四边形HEFG．
（1）如图1，边HE，AB交于点Q，若AQ＝BF，求证：四边形AQED为平行四边形；
（2）如图2，当点C落在点A处时，求折痕EF的长；
（3）当点G落在 ABCD的边上时，求点B，G之间的距离．
25．关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0，当m＝1时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．
（1）求黄金分割数；
（2）已知实数a，b满足a2+ma＝1，b2﹣2mb＝4，且b≠﹣2a，请证明：a，是一元二次方程x2+mx﹣1＝0的两个根；
（3）已知两个不相等的实数p，q满足p2+np﹣1＝q，q2+nq﹣1＝p，求pq﹣n的值．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C B C C C B B D
1．【解答】解：由题意可得：x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故选：B．
2．【解答】解：用反证法证明命题“一个多边形最多有四个内角是直角”时，首先应该假设至少有五个内角是直角，
故选：D．
3．【解答】解：由实数a，b在数轴上的位置可知，﹣1＜a＜0＜1＜b＜2，
∴a+1＞0，b﹣2＜0，
∴原式＝|a+1|+|b﹣2|
＝a+1﹣b+2
＝a﹣b+3．
故选：C．
4．【解答】解：选项A、C、D的图形都不能找到某一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：B．
5．【解答】解：A、菱形的对角线互相垂直且互相平分，故原选项错误，不符合题意；
B、矩形的对角线互相平分且相等，故原选项错误，不符合题意；
C、正方形的对角线互相垂直且平分，故原选项正确，符合题意；
D、平行四边形的对角线互相平分，故原选项错误，不符合题意．
故选：C．
6．【解答】解：∵C（3，4），
∴OC＝BC5，
∴B（8，4），
在反比例函数y中，当y＝4时，x＝2，
F（2，4），
BF＝8﹣2＝6．
设直线AB的解析式为y＝kx+b，A（5，0）、B（8，4）在直线上，
，解得，
∴直线AB的解析式为yx，
联立方程组，解得，，
∴E（6，），
∴S△BEF8．
故选：C．
7．【解答】解：联立方程组，解得或，
列函数的交点坐标为（2，﹣4），（﹣2，4），
∵当x＝m时，y1＞y2；
∴m＜﹣2，或0＜m＜2，
∵当x＝m+1时，y1＜y2，
∴﹣2＜m+1＜0或m+1＞2，
解得：﹣3＜m＜﹣1，或m＞1．
∴﹣3＜m＜﹣2或1＜m＜2．
故选：C．
8．【解答】解：如图所示：连接MC，分别过点M作ME⊥AB交AB于点E，MF⊥AD交AD于点F，延长EM交CD于点G，延长FM交BC于点H，
∴∠AEM＝∠MGD＝90°，∠AFM＝∠BHM＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ADC＝∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴四边形AEFM、BHME、MHCG和FMGD都是矩形，
∴AE＝MF，BE＝MH，EM＝AF，MG＝DF，
∴MF+MH＝AE+BE＝AB，EM+MG＝AF+DF＝AD，
∵△ABM的面积S1，△ADM的面积，△CDM的面积，△BCM的面积，
∴
，
S2+S4
，
∴S1+S3＝S2+S4，
∴S3﹣S4＝S2﹣S1，
∴要求出S3﹣S4的值，只需知道S2﹣S1，
故选：B．
9【解答】解：由题意知，Δ＝4﹣4k＞0，
解得：k＜1．
故选：B．
10．【解答】解：连接GF，由矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，E，F分别是边AD，BC的中点，CP⊥BE于P，
得PF＝BF＝CF＝2.5，故①对；
由DEADBC＝BF，DE∥BF，
得四边形BEDF是平行四边形，
得BE∥DF，
得CP⊥DF，
由PF＝CF，
得CP垂直平分DF，
得PD＝CD＝3，
得△DPF≌△DCF（SSS），
得∠DPF＝∠DCF＝90°，即PF⊥DG，故②对；
由∠GPF＝∠GBF＝90°，PF＝BF，GF＝GF，
得△GPF≌△GBF（HL），
得BG＝PG＝x，
由AG2+AD2＝GD2，
得（3﹣x）2+52＝（3+x）2，
得PG＝x，故③对．
故选：D．
二、填空题
11．【解答】解：∵S甲2＝2＞S乙2＝1.5，方差小的为乙，
∴本题中成绩比较稳定的是乙．
故答案为：乙．
12．【解答】解：∵方程x2+kx﹣k﹣1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝k2﹣4（﹣k﹣1）＝k2+4k+4＝（k+2）2＝0，
解得：k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
13．【解答】解：由方差计算公式得这组数据为：2，4，7，5，7，
∴，
∴
＝3.6；
故答案为：3.6．
14．【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴x+2≥0，解得x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
15．【解答】解：令方程的另一个根为m，
则2m，
所以m，
即方程的另一个根为．
故答案为：．
16．【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC于点M，延长AM到点A′，使A′M＝AM，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠ADC，
∵菱形ABCD的面积为，，
∴AM＝2，
在Rt△ABM中，根据勾股定理得：
BM1，
以点B为原点，BC为x轴，垂直于BC方向为y轴，建立平面直角坐标系，
∴B（0，0），A（1，2），C（，0），D（1，2），A′（1，﹣2），
∵PC＝CQ，BC＝CD，
∴BP＝DQ，
在△ABP和△ADQ中，
，
∴△ABP≌△ADQ（SAS），
∴AP＝AQ＝A′P，
连接A′D，AP，A′P，
∵A′P+PD＞A′D，
∴A′，P，D三点共线时，PD+A′P取最小值，
∴PD+AQ的最小值＝PD+A′P的最小值＝A′D．
故答案为：．
三、解答题
17．【解答】解：（1）x（x﹣2）＝x﹣2，
x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣1）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝2，x2＝1．
（2）（3x﹣4）2＝（4x﹣3）2，
（3x﹣4）2﹣（4x﹣3）2＝0，
（3x﹣4+4x﹣3）（3x﹣4﹣4x+3）＝0，
（7x﹣7）（﹣x﹣1）＝0，
则7x﹣7＝0或﹣x﹣1＝0，
所以x1＝1，x2＝﹣1．
18．【解答】解：（1）原式＝263
；
（2）原式＝（2）2
＝2﹣22
＝2．
19．【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+5）]2﹣4×1×3m
＝m2+10m+25﹣12m
＝m2﹣2m+25
＝（m﹣1）2+24，
∵（m﹣1）2≥0，
∴Δ＞0，
∴无论m取何值，此方程一定有实数根；
（2）解：∵方程一个根为5，
∴25﹣5（m+5）+3m＝0，
∴m＝0，
∴方程为x2﹣5x＝0，
∴x1＝0，x2＝5，
∴另一个根为0．
20．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴BA＝BC，∠ABD＝∠CBD，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE；
（2）解：设∠BAP＝α，
∵△ABE≌△CBE，
∴∠BAP＝∠BCE＝α，
∵AE＝PC，AE＝CE，
∴PC＝CE，
∴∠CPE＝∠CEP（180°﹣∠BCE）＝90°α，
∵∠CPE是△ABP的一个外角，∠ABC＝45°，
∴∠CPE＝∠ABC+∠BAP，
∴90°α＝45°+α，
∴α＝30°，
∴∠BAP＝α＝30°．
21．【解答】解：（1）m＝10﹣2﹣4﹣1＝3，
在75，83，79，89，79，83，95，70，64，83中，出现次数最多的是83，
∴众数a＝83；
m＝10﹣2﹣4﹣1＝3，
八年级成绩中处于中间的两个数据为84和85，
∴中位数b84.5；
故答案为：3，83；84.5；
（2）320192（人），
∴估计该校参加竞赛的八年级320名学生中，竞赛成绩为“优秀”的人数192人；
（3）我认为八年级成绩更好，理由如下：
因为两个年级的平均数相同，而八年级的成绩的中位数和众数均都大于七年级．
22．【解答】解：（1）根据题意得：（360﹣280）×60
＝80×60
＝4800（元）．
答：降价前商场每月销售该商品的利润是4800元；
（2）设每件商品降价m元，则每件的销售利润为（360﹣m﹣280）元，每月可售出（60+5m）件，
根据题意得：（360﹣m﹣280）（60+5m）＝7200，
整理得：m2﹣68m+480＝0，
解得：m1＝8，m2＝60，
又∵要有利于减少库存，
∴m＝60．
答：每件商品应降价60元；
（3）根据题意得：60+60（1+x）+60（1+x）2＝285，
整理得：4x2+12x﹣7＝0，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣3.5（不符合题意，舍去），
∴60（1+x）＝60×（1+50%）＝90（件），60（1+x）2＝60×（1+50%）2＝135（件），
∴2月份这种商品的售价为360354（元），3月份这种商品的售价为360345（元），
∴该季度的总利润为（360﹣280）×60+（354﹣280）×90+（345﹣280）×135＝20235（元）．
答：该季度的总利润为20235元．
23．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠EAG＝∠BAD＝90°，
∴∠EAG﹣∠BAG＝∠BAD﹣∠BAG，
即∠EAB＝∠GAD，
∴△AEB≌△AGD（SAS）；
（2）①证明：由（1）可知△AEB≌△AGD，
∴DG＝BE，∠AGD＝∠AEB＝90°
∴点F，G，D共线．
如图，过点D作DK⊥DG交EG延长线于点K，
∵∠DGK＝∠FGE＝45°，
∴△DGK是等腰直角三角形，
∴∠K＝∠BEO＝45°，DK＝DG＝BE，
又∵∠BOE＝∠DOK，
∴△OBE≌△ODK（AAS），
∴BO＝DO；
②解：∵AE＝3，△AEG为等腰直角三角形，
∵EG＝3，，
在Rt△AEB中由勾股定理可得BE1，
∴DK＝BE＝1，
∴GK，
∴EK＝EG+GK＝4，
由①知△OBE≌△ODK，
∴OE＝OKEK＝2，
如图，设EK交CD于点P，作PQ⊥DG于点Q，
设PQ＝m，
则GQ＝PQ＝m，
∵∠EAB+∠BAG＝90°＝∠BAG+∠GAD＝∠GAD+∠ADG＝∠ADG+∠PDQ，
∴∠EAB＝∠QDP，
∴△ABE∽△DPQ，
∴，
∴DQ＝3PQ＝3m，
∴DG＝4m＝1，
∴mPQ，
∴PG，
∵OE＝2，
∴OG，
∴OH＝OP，
∴OE＝2，OH．
24．【解答】（1）证明：∵DE＝BF，AQ＝BF，
∴AQ＝DE，
∵在平行四边形ABCD中，DC∥AB，
∴四边形AQED为平行四边形；
（2）解：过点A作CD的垂线，交CD延长线于点H，连结AC，交EF于点O，如图，
由轴对称性可知：EF垂直平分AC，
∴AE＝EC，
在Rt△AHD中，
∵∠HAD＝90°﹣∠DAB＝30°，
∴DHAD＝2，
∴AH＝AD cos30°＝2，CH＝CD+DH＝8．
由勾股定理得：AC2，
∴OA＝OCAC．
在Rt△AHE中，
由勾股定理得：AH2+HE2＝AE2，
设AE＝x，则EC＝x，HE＝8﹣x，
∴（8﹣x）2＝x2，
解得：x，
∴AE＝EC，
∴OE，
由平行四边形的中心对称性，得EF＝2OE．
∴折痕EF的长为．
（3）解：①当点G落在AB边上时，如图，
由折叠性质可知：FG＝FB，HE＝CE，∠EFG＝90°，
∵DE＝BF，
∴FG＝DE，
在平行四边形ABCD中，
∵AB//CD，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∴∠DGA＝∠EFG＝90°，
在Rt△ADG中，
∵∠ADG＝30°，
∴AGAD＝2，
∴BG＝AB﹣AG＝6﹣2＝4．
②当点G落在AD边上时，连结BD交EF于点O，连接OG，如图，
由平行四边形的中心对称性，得DO＝BO，
由翻折的性质得：GO＝BO
∴OG＝DO＝OBBD，
∴△BGD为直角三角形，∠DGB＝90°，
∴BG＝AB sin60°＝63；
③当点G落在DC边上时，连结BG交EF于点O，如图，
由折叠可知：FG＝FB，
∵FB＝DE，
∴FG＝DE．
则BG垂直平分EF，
由轴对称性可知EF垂直平分BG，
∴点G与点D重合．
过点D作AB的垂线交于点M，
在Rt△BGM中，
∵AMAD＝2，GM＝DM＝2，
∴BM＝AB﹣AM＝4，
∴由勾股定理，得BG2．
综上所述，点B，G之间的距离为4或3或2．
25．【解答】（1）解：由题意，将m＝1代入x2+mx﹣1＝0，得x2+x﹣1＝0，
∴．
∵黄金分割数大于0，
∴黄金分割数为；
（2）证明：∵b2﹣2mb＝4，
∴b2﹣2mb﹣4＝0．
∴．
又b≠﹣2a，a2+ma﹣1＝0，
∴是一元二次方程x2+mx﹣1＝0的两个根；
（3）解：由题意，令p2+np﹣1＝q①，q2+nq﹣1＝p②，
∴①+②得（p2+q2）+n（p+q）﹣2＝p+q，
（p+q）2﹣2pq+n（p+q）﹣2＝p+q．
①﹣②得（p2﹣q2）+n（p﹣q）＝﹣（p﹣q）．
由条件可知p﹣q≠0．
∴（p+q）+n＝﹣1，
∴p+q＝﹣n﹣1，
又（p+q）2﹣2pq+n（p+q）﹣2＝p+q，
∴n2+2n+1﹣2pq﹣n2﹣n﹣2＝﹣n﹣1，
∴pq＝n，
∴pq﹣n＝0．
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