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江西省南昌市南昌中学2024 2025学年高二下学期4月期中考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．在等差数列中，若，，则公差（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．在上是减函数 B．在上是增函数
C．在处取得极大值 D．在处取得极小值
3．已知直线l：，且与曲线切于点，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
4．某个蜂巢里有一只蜜蜂，第一天它飞出去带回了六个伙伴，第二天七只蜜蜂飞出去各自带回六个伙伴，如果这个过程继续下去，那么第七天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂的数量是（ ）
A．只 B．只 C．只 D．只
5．若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，其中是的导函数，则（ ）
A． B． C． D．
7．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知数列满足，，，设其前项和为，则（ ）
A．2400 B．2500 C．2600 D．2700
二、多选题（本大题共3小题）
9．设等差数列的前项和为，公差为，已知，，则下列选项正确的有（ ）
A．最小时， B．时，的最小值为16
C．数列是递增数列 D．
10．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（ ）
A． B．
C． D．
11．如图所示，设铁路，B、C之间距离为8，现将货物从运往，已知单位距离铁路费用为3，公路费用为5，如果在上点M处修筑公路至，可使运费由至最省．则下列正确的是（ ）
A．点M到B的距离为 B．由A至C运费最省时，运费是212
C．点M到C的距离为12 D．由点M到C的公路运费是50
三、填空题（本大题共3小题）
12．函数的导函数是，则 ．
13．函数在时有极小值，则 ．
14．已知数列的通项公式，在其相邻两项，之间插入个3（），得到新的数列，记的前n项和为，则使成立的n的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知等差数列满足：，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若等差数列的公差不为零，且数列满足：，求数列的前99项和.
16．设函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求函数的极值；
17．已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)若在上是增函数，求实数的取值范围．
18．已知数列满足，，数列的各项均为正数且前项和满足.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列，的通项公式；
(3)设，求数列的前项和.
19．帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，.（注：，，，，为的导数）已知在处的阶帕德近似为.
(1)求实数，的值；
(2)证明：当时，；
(3)设为实数，讨论函数的单调性.
参考答案
1．【答案】A
【详解】，所以，
，所以，
所以.
故选A.
2．【答案】D
【详解】由图象知，时，，所以在上是增函数，故A错误；
在时，符号有变化，所以在上不单调，故B错误；
在两侧，导数的符号都为正，故不是极值点，故C错误；
因为时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，故D正确.
故选D.
3．【答案】C
【详解】由直线l：与曲线切于点可知，
所以，
故选C.
4．【答案】D
【详解】设第天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂只，则，
根据题意，时，，
所以数列是首项为7，公比为7的等比数列，
则.
故选D.
5．【答案】C
【详解】，令，
因为函数在区间上不单调，
所以在上有变号零点，
即，解得，
故选C.
6．【答案】A
【详解】由求导可得，，
则，解得，
所以，则.
故选A.
7．【答案】B
【详解】由，
当时，函数单调递增，在时，该函数单调递减，
所以当时，函数有最大值，且，
所以当时，有两个不同的极值点，等价于直线与函数有两个不同的交点，如图，
所以，即.
故选B.
8．【答案】B
【详解】，
当是奇数时，即，
，
当是偶数时，即，
偶数项是首相为，公差为的等差数列，
99项中有50个奇数项49个偶数项，
.
故选B.
9．【答案】AC
【详解】由，则，
又，则，D错误；当最小时，，故A正确；
所以，数列是递增数列，故C正确；
对于B，由上分析，当时，，当时，，
又，又，所以时，的最小值为15，故B错误；
故选AC.
10．【答案】BCD
【详解】由题意可知：所以，所以选项A错误；
时，,
以上式子累加可得：，即，
也适合上式，故，所以选项C正确；
因为，
所以，所以选项B正确；
因为，
所以，所以选项D正确；
故选BCD.
11．【答案】BD
【详解】设，铁路上的运费为，
公路上的运费为，
则由到的总运费为.
则.
令，解得，(舍).
当时，，当时，.
故当时，取得最小值，，
即当在距离点为的点处修筑公路至时总运费最小，
此时，，点M到C的公路运费是50，
故选BD.
12．【答案】
【详解】由题意知，
所以.
13．【答案】
【详解】由题意，则，则，
两式作差消去整理得，得或.
当时，；时，.
①当，时，
或时，，时，，
所以在上单调递增，在单调递减，
则在时有极小值，符合题意.
②，时，
在上单调递增，在单调递减，
则在时有极大值，不符合题意.
所以，，则.
14．【答案】30
【详解】由题意得数列的前项依次为：
，3，，，3，3，3，，，个，，个，，，
当时，，
当时，，
因，则数列为递增数列，
所以使成立的的最小值为.
15．【答案】(1)或；
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为d，依题意，，，成等比数列，
所以，解得：或
当时，；当时，，
所以数列的通项公式为或.
（2）因为等差数列的公差不为零，由（1）知（），
则，
所以
.
16．【答案】(1)
(2)极小值为，无极大值
【详解】（1）的定义域为，
，，又，
∴曲线在处的切线方程为，即；
（2），令，得，
列表如下：
x
－ 0 ＋
递减 极小值 递增
所以，无极大值.
17．【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为；
(2).
【详解】（1）由求导可得，
则，解得.
将代入得，，
令，得或；令，得.
所以，的单调递增区间是，，单调递减区间是．
（2）因为在上是增函数，所以在上恒成立，
分离参数可得，
当时，是增函数，所以，当时，取最小值为，
所以，则实数的取值范围是．
18．【答案】(1)证明见解析
(2)，
(3)
【详解】（1），
又因为，
所以，
所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列.
（2）由（1）得，所以.
因为，即，
当时，.
当时，由有：，
两式相减得，
，即，
所以（），
所以数列是以1为首项，以2为公差的等差数列.
所以，.
（3）由题意，
所以①，
②，
①－②得：
，
所以.
19．【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【详解】（1）由，知：；
∵，，
，，
∴，，
∴，.
（2）由（1）知：；
令，
则，
∴在上单调递增，
又，∴，
即当时，.
（3）由题意知：，
∴；
①当，即时，，
∴，
∴在上单调递增；
②当，即时，令得：，
∴当时，；当时，；
∴在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.

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