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江西省上高二中2024 2025学年高二下学期阶段性测试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知复数，则（ ）
A． B．1 C． D．2
2．记为等比数列的前项和，若，则（ ）
A．81 B．71 C．61 D．51
3．随机变量，若，则的展开式中的系数为（ ）
A．12 B．15 C．16 D．20
4．用数学归纳法证明：，第二步从到，等式左边应添加的项是（ ）
A． B．
C． D．
5．过点的直线与圆相切，则直线的方程为（ ）
A． B．或
C． D．或
6．已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知，为双曲线C：的左、右焦点，过作直线l与双曲线的右支交于A，B两点，且，，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知等差数列、的前项和分别为、，若，对，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知的二项式系数和为64，则（ ）
A．
B．常数项是第3项
C．二项式系数最大值为20
D．所有项系数之和等于1
10．人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究 开发用于模拟 延伸和扩展人的智能的理论 方法 技术及应用系统的一门新的技术科学.很多学校已经推出基于的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史 关键技术及其在科学研究 社会发展中的高效应用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新.某探究小组利用解答了50份高考模拟试卷，收集其准确率，整理得到如下频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．估计准确率的分位数为
C．估计准确率的平均数为
D．估计准确率的中位数为
11．已知两点的坐标分别为为坐标平面内的动点，直线的斜率分别为，且满足（为定值），设动点的轨迹为．则（ ）
A．轨迹关于原点对称
B．轨迹关于直线对称
C．当时，轨迹为一条直线
D．当时，轨迹存在最高点
三、填空题（本大题共3小题）
12．在的展开式中，常数项为 .
13．一件家用电器，现价2000元，实行分期付款，一年后还清，购买后一个月第一次付款，以后每月付款一次，每次付款数相同，共付12次，月利率为0.8%，并按复利计息，那么每期应付款 元．（参考数据：，，，）
14．过抛物线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．记数列的前项和为，已知.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列的前项和.
16．2024年9月16日，沈阳市举行马拉松比赛，全球马拉松爱好者积极参与本场比赛，某服务部门为提升服务质量，随机采访了120名参赛人员，得到下表：
满意度 性别 合计
女性 男性
比较满意 50
非常满意 40 70
合计 60 120
(1)求的值；
(2)能否有的把握认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异？
(3)用频率估计概率，现随机采访本场比赛的1名女性参赛人员与2名男性参赛人员，已知3人中恰有一人对该部门服务非常满意，求该人为女性的概率．
附：．
0.1 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
17．如图，在等腰梯形ABCD中，，，E，F分别为AB，CD的中点，沿线段EF将四边形AEFD翻折到四边形MEFN的位置，连接MB，NC.已知，，，P为射线FN上一点.
(1)若，证明：平面BCNM.
(2)若直线FN与平面CEP所成角的正弦值为，求PF.
18．为宣扬中国文化，某校组织古诗词知识比赛.比赛分为两阶段，第一阶段为基础知识问答，每位选手都需要回答3个问题，答对其中至少2个问题，进入第二阶段，否则被淘汰；第二阶段分高分组、和低分组，第一阶段3个问题都答对的选手进入高分组，共回答4个问题，每答对一个得20分，答错不得分；第一阶段答对2个问题的选手进入低分组，共回答4个问题，每答对一个得10分，答错不得分.第一阶段，每个问题选手甲答对的概率都是；第二阶段，若选手甲进入高分组，每个问题答对的概率都是，若选手甲进入低分组，每个问题答对的概率都是.
(1)求选手甲第一阶段不被淘汰的概率；
(2)求选手甲在该次比赛得分数为40分的概率；
(3)已知该次比赛选手甲进入了高分组，记选手甲在该次比赛中得分数为，求随机变量的分布列和期望值.
19．椭圆C:，、为该椭圆的左右焦点，为过的一条直线，与椭圆交于两点，弦长的最小值为，且当最小时，三角形面积为.
(1)求椭圆的标准方程及离心率；
(2)对任意的斜率不为0直线，在轴上总存在一点，使得直线与直线的斜率之和为1，求的取值范围.
参考答案
1．【答案】B
【详解】由，
所以，
所以，
故选B.
2．【答案】C
【详解】由题可知，，成等比数列，
所以，即，得，
则此等比数列的首项是1，公比是，那么，
，
所以.
故选C.
3．【答案】B
【详解】因为随机变量，正态曲线关于对称，
由，可得，
即，解得．
则展开式的通项为，
令，得，
所以的系数为.
故选B．
4．【答案】C
【详解】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，
由于，左边；
时，左边，
比较两式，从而等式左边应添加的式子是．
故选C.
5．【答案】D
【详解】若直线的斜率不存在，则直线的方程为：，
圆心，半径为，圆心到直线的距离为，符合要求；
若直线的斜率存在，设直线的方程为即，
故圆心到直线的距离为，故，
故此时直线的方程为.
故选D.
6．【答案】D
【详解】记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件，
根据题意可得，
，
所以
.
故选D.
7．【答案】B
【详解】由双曲线定义得，，，
设，则由图，，
在中，由余弦定理得，解得，
∴.
在中，由余弦定理得，
∴，故离心率.
故选B.
8．【答案】C
【详解】等差数列、的前项和分别为、，且，
则，
且当时，，
因为，，，则，即的最小值为.
故选C.
9．【答案】ACD
【详解】对于A，由题意，二项式系数和为64，则，解得，故A正确；
对于B，通项公式为，令，得，则第四项为常数项，故B错误；
对于C，二项式系数最大项为中间项第四项，所以为，故C正确；
对于D，令则系数和为，故D正确.
故选ACD.
10．【答案】ABD
【详解】对于A选项，由频率分布直方图可得，解得，A对；
对于B选项，前两个矩形的面积之和为，
所以估计准确率的分位数为，B对；
对于C选项，估计准确率的平均数为，C错；
对于D选项，设中位数为，前三个矩形的面积之和为，
所以，则，解得，
所以估计准确率的中位数为，D对.
故选ABD.
11．【答案】BD
【详解】设，则，整理得，
即，所以轨迹为挖去两个点的关于轴对称的抛物线，故A错误，B正确；
当时，，即一条直线挖去了两个点，故C错误；
当时，轨迹为，开口向下，有最高点，故D正确．
故选BD.
12．【答案】
【详解】因为的通项公式为，
则的展开式中的项为或，
所以常数项为.
13．【答案】176
【详解】设每期应付款x元，第n期付款后欠款元，
则，
，…
．
因为，所以，
解得，
即每期应付款176元．
14．【答案】4
【详解】由题意知的圆心为，半径为2，
如图，，则，

而，当最小时，最小，则最小；
由于P在抛物线上，设，
则，
当时，取最小值8，即取到最小值，
则取最小值2，故的最小值为4.
15．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为，所以，
当时，，
两式相减得，①
则，②
②①得，
所以.
因为，
又，所以当时，；
当时，，则，
所以，满足，
所以，故数列为等差数列.
（2）由（1）可知数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，，
则，
所以.
16．【答案】(1)
(2)有的把握认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异，理由见详解
(3)
【详解】（1）解：完善列联表为：
满意度 性别 合计
女性 男性
比较满意 30 20 50
非常满意 30 40 70
合计 60 60 120
故，，，，故；
（2）假设：依据小概率值的独立性检验，认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价没有差异，根据题目所给公式：．
，
故不成立，依据小概率值的独立性检验，有的把握认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异．
（3）女性对服务满意的概率为，女性对服务不满意的概率为，男性对服务满意的概率为，男性对服务不满意的概率为；
设事件为“采访1名女性参赛人员与2名男性参赛人员中，3人中恰有一人对该部门服务非常满意”，事件为“该人为女性”；
；
，
故所求概率．
【规律方法】独立性检验的具体步骤
(1)根据实际问题的需要确定允许推断“事件X与Y有关系”犯错误的概率的上界α，然后查表确定临界值xα.
(2)利用公式χ2＝计算随机变量χ2.
(3)如果xα，推断“X与Y有关系”这种推断犯错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够的证据支持结论“X与Y有关系”．
17．【答案】(1)证明见解析
(2)3
【详解】（1）证明：在线段CN上取一点Q，使得，连接PQ，BQ.
因为，所以，且，
因为，，所以，且，
所以四边形EBQP是平行四边形，.
因为平面BCNM，平面BCNM，所以平面BCNM.
（2）以F为坐标原点，FN，FE所在直线分别为x轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，.
设（），则.
设平面CEP的法向量为，
则，
令，则.
直线FN的一个方向向量为.
，
解得（舍去）.
故.
18．【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析，20
【详解】（1）选手甲第一阶段不被淘汰，即甲回答三个问题答对其中2个或3个，其概率为：
（2）选手甲在该次比赛得分数为40分有两种情况：进入高分组，答对2个问题；进入低分组，答对4个问题.故概率为：
（3）的可能取值有，
，
，
，
所以分布列为：
0 20 40 60 80
所以.
19．【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）依题意，为焦点弦，当且仅当轴时，弦长取最小值为，
此时将代入，解得，则①，
又的面积为，即，解得.则②.
联立①②，可得：，得（负值舍去）.
把代入，得.
所以椭圆的标准方程为，离心率.
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入椭圆方程可得，不妨设，.
由，根据直线斜率公式可得，解得.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，.
联立，得：，.
由韦达定理可得，（*）.
根据直线斜率公式，，且，，
得.
分子化简得：.
则，整理得到
将（*）代入上式得：.
去分母化简得：，即.
因为对任意的直线，在轴上总存在一点满足条件，
所以关于的方程有解.
当即满足题意；
当需使方程的判别式，解得，
又当时，，直线的方程为，直线过点A,直线的斜率不存在，不合题意；
综上，的取值范围是.

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