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山东省济宁市2024 2025学年高二下学期期中教学质量检测数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．若，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．展开式中系数为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
3．一质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为，则质点在时的瞬时速度为（单位：）（ ）
A．21 B．20 C．18 D．16
4．已知，则（ ）
A．80 B．81 C．242 D．243
5．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次，甲、乙去询问成绩，回答者对甲说“你没有得到冠军和最后一名”，对乙说“你的名次与丙相邻”，则这5人不同名次排列的种数为（ ）
A．12 B．24 C．36 D．48
7．设函数、是闭区间上的可导函数．若当，有．则一定有（ ）
A． B．
C． D．
8．为保证华为尊界S800的预订活动顺利进行，现开通华为汽车APP、华为官网、华为商城3个预定通道，消费者选择其中一个通道进行预订．由AI对预订情况进行统计．实施更新预订数据．据统计，在有意向预订的消费者中，选择华为汽车APP、华为官网、华为商城预订的概率分别为、、，且对应预订成功的概率分别为、、，则在消费者预订成功的条件下，选择华为汽车APP预订的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的是（ ）
A．用1～9这9个自然数组成的四位数的个数是
B．用1～9这9个自然数组成的没有重复数字的四位数的个数是
C．用1～9这9个自然数组成的千位数字小于百位数字，百位数字小于十位数字，十位数字小于个位数字的四位数的个数是
D．用1～9这9个自然数组成的没有重复数字的四位数中，包含1和3，且1和3不相邻的四位数的个数是
10．函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．，
B．若方程有3个不同的实数根，则
C．直线是曲线的切线
D．点是曲线的对称中心
11．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现．在“杨辉三角”中．除每行（不含第0行）两边的数都是1外．其余每个数都是其“肩上”的两个数之和．例如：第4行的6为第3行中两个3的和．则下列说法正确的是（ ）
A．第6行从左到右第4个数是20
B．第行的所有数字之和为
C．第2025行中从左到右第1013个数和第1014个数相等，且是该行中最大的数
D．若存在，使得（且）为公差不为0的等差数列，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知函数，则 ．
13．为了落实五育并举，全面发展学生素质，某学校准备组建书法、音乐、美术三个社团，现将5名同学分配到这3个社团进行培训，每名同学只分配到1个社团，每个社团至少分配1名同学，则不同的分配方案的种数为 ．
14．若关于的方程仅有一个实数根，则实数的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知的展开式中第项为常数项．
(1)求的值；
(2)求展开式中所有的有理项．
16．某公司销售员统计了自己3月份出差一次离公司的距离（单位：km）可能取值为：20、30、32、36，它们发生的概率依次是：、、、．
(1)求的均值和方差；
(2)若销售员出差一次，公司所给油费补贴规则如下：起步5元，若出差距离不超过3km时，补贴5元；若出差距离超过3km时，则超过3km的部分按照每超出1km（不足1km的也按1km计算）补贴3元，求此销售员3月份出差一次所获油费补贴的均值和方差．
17．已知函数
(1)若在上单调递增，求的取值范围；
(2)若函数在处取得极小值．
（i）求：
（ii）证明：当时，．
18．甲、乙两个箱子中各装有大小质地完全相同的10个球，其中甲箱中有8个红球和2个白球，乙箱中有5个红球和5个白球．
(1)现从甲、乙两个箱子中各摸出1球，记摸到红球的个数为，求的分布列．
(2)现做如下试验：先在两个箱子中选择一个并从中随机摸一球，若摸出的球是白球，则该试验结束；若摸出的球是红球，则从另一个箱子中再随机摸一球，无论摸出的球是白球还是红球，该试验都结束．假设从甲箱子中摸出一球是红球得奖金100元，否则不得奖金；从乙箱子中摸出一球是红球得奖金200元，否则不得奖金．为使累计得奖金额的均值最大，如果摸球顺序由你选择，你应该先从哪个箱子开始摸球？并说明理由．
19．已知函数．
(1)当时，求函数在上的值域；
(2)若在恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1．【答案】C
【详解】由得：，
故选C.
2．【答案】A
【详解】展开式的项是4个因式中任取3个用，另一个因式用常数项相乘的和，
则展开式中的项为，
所以含项的系数为10.
故选A.
3．【答案】B
【详解】因为，所以，
所以，所以质点在时的瞬时速度为.
故选B.
4．【答案】C
【详解】，
令，得；
令，得；
所以.
故选C.
5．【答案】D
【详解】由得
所以
又，∴切点为
所以曲线在点处的切线方程为，即.
故选D.
6．【答案】B
【详解】因为甲没有得冠军和最后一名，
当甲为第二名，且乙丙相邻时共有，
当甲为第三名，且乙丙相邻时共有，
当甲为第四名，且乙丙相邻时共有，
所以总的排列总数为，
故选B.
7．【答案】D
【详解】令，，
则，
因为当，有，所以，
所以在上单调递增，
所以（），即，
所以，，故D正确，C错误；
由于不知道、的值，故无法确定A、B的正误.
故选D.
8．【答案】C
【详解】记选择华为汽车APP、华为官网、华为商城预订分别为事件，预订成功为事件，
由题意可得：，，
则，
所以.
故选C.
9．【答案】BC
【详解】对于A：用1～9这9个自然数组成的四位数的个数是，故A错误；
对于B：用1～9这9个自然数组成的没有重复数字的四位数的个数是，故B正确；
对于C：因为各位数字从左到右依次递增，所以排列方法唯一且不能出现重复数字，
所以这样的四位数有个，故C正确；
对于D：首先从其余个数字中选出个数字并排列好，有种，
再将1和3插入所形成的三个空中，则有种插法，
按照分步乘法计数原理可知一共有个数字，故D错误.
故选BC.
10．【答案】ABD
【详解】求导，
根据图象可得，即，解得，故A正确；
则，
由图可知，，，
根据有个不同的实数根，则，故B正确；
设切点坐标，则，
故，解得，
当时，，切线方程，
当时，，切线方程，故C错误；
由，则
则，
故点是曲线的对称中心，故D正确.
故选ABD.
11．【答案】ACD
【详解】对A，根据规律，第6行从左到右第4个数等于第5行的第3、第4个数之和，
即，A正确；
对B，第行的数字即为的展开式的二项式系数，
所以其所有数字之和为，B错误；
对C，第2025行从左到右的数分别为展开式中的二项式系数，
其中从左到右第1013个数和第1014个数分别为，
由二项式系数的性质可知，且在中二项式系数中最大，C正确；
对D，因为，，所以的可能取值有，
当时，，此时为常数列，不满足题意；
当时，，此时为公差为1的等差数列；
当时，，显然不是等差数列.
综上，若（且）为公差不为0的等差数列，则.
则
，D正确.
故选ACD.
12．【答案】/0.6
【详解】因为，则，
令，可得，解得.
13．【答案】150
【详解】先将5名同学分成3组，则有1,2,2或1,1,3两种情况，
1,2,2的情况有种方案，1,1,3的情况有种方案，
然后将三组同学分配到3个社团有种方案，
所以不同的分配方案有种.
14．【答案】
【详解】由，可得，
令，则，即，所以或，
令，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
当时，当时，且时，时，
则的图象如下所示：
因为关于的方程仅有一个实数根，
所以或有且仅有一个实数根，
显然无解，所以有且仅有一个实数根，
即与有且仅有一个交点，所以或，
即实数的取值范围为.
15．【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）二项式的通项为（且），
因为第项为常数项，所以，解得；
（2）二项式的通项为（且），
令，解得或或或或，
所以展开式的有理项有，，
，，，
即展开式中的有理项为，，，，共5项.
16．【答案】(1)，；
(2)均值为元，方差为
【详解】（1）由题意，得，解得．
所以的分布列如下：
所以，
；
（2）设此销售员3月份出差一次油费补贴为元，
则，
所以，
．
故此销售员3月份出差一次所获油费补贴的均值为元，方差为．
17．【答案】(1)
(2)（i）；（ii）证明见解析
【详解】（1）因为，所以，
依题意可得在上恒成立，
所以在上恒成立，因为在上单调递减，且当时，
所以，即的取值范围为；
（2）（i）由，依题意可得，解得，
此时，则，当时，当时，
所以在处取得极小值，符合题意；
（ii）由（i）可知，
令，，
令，，
则，令，，
则，所以在上单调递增，所以，
即在上恒成立（仅在处取等号），所以在上单调递增，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
所以在上恒成立，
即当时，.
18．【答案】(1)答案见详解；
(2)从甲箱开始摸球，理由见详解.
【详解】（1）记从甲箱摸出1个球是红球为事件，从乙箱摸出1个球是红球为事件，
则，
从甲、乙两个箱子中各摸出1球，摸到红球的个数的取值有，
易知事件、相互独立，则，
，，
所以的分布列为：
0 1 2
（2）记从甲箱开始摸球所得奖金为，其所有可能取值为，
，
，
分布列为：
0 100 300
所以（元）；
记从乙箱开始摸球所得奖金为，其所有可能取值为，
，
，
分布列为：
0 200 300
所以（元）.
因为，所以先从甲箱开始摸球.
19．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，，
所以在上的值域为；
（2）由在恒成立，
即在恒成立，
当时，
所以，即在恒成立，
即在恒成立，令，，
则，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以；
由在恒成立，
两边取对数可得在恒成立，
即在恒成立，
令，则在上单调递增，
由，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，
则，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以；
综上可得，即实数的取值范围为.

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