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上海上海师范大学附属中学2024 2025学年高二下学期期中考试数学试题
一、填空题（本大题共12小题）
1．已知函数在处可导，且，则 .
2．曲线在点处的切线方程是 ．
3．有2名老师和3名学生站成一排照相，若这2名老师都不站在两端，则不同的站法共有 种．（用数字作答）
4．二项式的展开式中，常数项为
5．今年国际国内金价屡创新高，金价波动也被金融媒体竞相报道 . 现抽取 2024 年前 11 个月的每月日的实物黄金价格数据如下表所示，则这组黄金价格数据的第 75 百分位数是
月份 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9月 10 月 11 月
黄金价格(元/克) 624 616 630 691 708 716 714 737 743 768 815
6．某电子设备有两套相互独立的供电系统和，在时间内系统和系统发生故障的概率分别为0.2和.若在时间内至少有一个系统不发生故障的概率为0.94，则 .
7．函数的单调减区间是 .
8．函数，的最小值是 .
9．记为的任意一个排列，则为偶数的排列的个数共有 .
10．若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是 .
12．已知关于的方程在上有两个不相等的实很，则实数的取值范围是 .
二、单选题（本大题共4小题）
13．已知事件 和 相互独立，且则（ ）
A． B． C． D．
14．甲、乙两组成员的某次立定跳远成绩（单位：厘米）如下：
甲组：244，245，245，246，248，251，251，253，254，255，257，263
乙组：239，241，243，245，245，247，248，249，251，252
则下列说法错误的是（ ）
A．甲组数据的第75百分位数是255
B．乙组数据的众数是245
C．从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在248.5厘米以上的概率为
D．乙组中存在这样的成员，将其调派到甲组后，甲、乙两组的跳远平均成绩都降低
15．如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．在上是增函数 B．在上是减函数
C．当时，取得极小值 D．当时，取得极小值
16．已知偶函数的图象是一条连续不断的曲线，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
三、解答题（本大题共5小题）
17．已知函数在处取得极值，在点处的切线方程为.
(1)求函数的解析式及单调增区间；
(2)求函数在区间的最大值与最小值.
18．某商场开展一项促销活动，凡在商场消费金额满200元的顾客可以免费抽奖，抽奖规则如下：在不透明箱子中装有除颜色外其他都相同的10个小球，其中红球2个，白球3个，黄球5个，顾客从箱子中摸出2个球，摸完后放回，根据摸出球的颜色情况分别进行兑奖.将顾客摸出的2个球的颜色分成以下四种情况：A：1个红球1个白球，B：2个红球，C：2个白球，D：至少一个黄球.若四种情况按发生的概率从小到大的顺序分别对应一等奖，二等奖，三等奖，不中奖.
(1)求顾客摸到均为红球的概率；
(2)求顾客分别获一、二、三等奖时对应的概率.
19．某中学高二年级举行了一次知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）：

(1)求的值，并估计本次竞赛成绩的平均分．
(2)如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取6人，再从6人中选2人，求2人中有来自组的学生的概率．
(3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了6名学生的分数：，已知这6个分数的平均数，标准差，若再抽取两名分数分别为82和88的学生，求这8个分数的方差．
20．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳5元的管理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为元时，产品一年的销售量为（为自然对数的底数）万件.已知每件产品的售价为40元时，该产品的一年销售量为500万件，经物价部门核定每件产品的售价最低不低于35元，最高不超过41元.
(1)求的值；
(2)求分公司经营该产品一年的利润（万元）与每件产品的售价（元）的函数关系式；
(3)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值.
21．函数的导函数记为，若对的定义域内任意，存在实数，使得不等式成立，则称为上的“函数”．
(1)判断函数是否为上的“函数”，并说明理由；
(2)若函数是上的“函数”，求的取值范围；
(3)若函数是上的“函数”，且存在，对任意，当时，都有恒成立，求的最大值．
参考答案
1．【答案】
【详解】因为，
所以，
所以.
2．【答案】
【详解】由，则，所以，
所以在点处的切线方程为，即．
3．【答案】
【详解】2名老师都不站在两端，故有种站法；剩下3个位置，站3名学生，有种站法，
故不同的站法共有种．
4．【答案】
【详解】由题得二项式通项公式为：，
令，
所以二项式的展开式中，常数项为.
故答案为：.
5．【答案】743
【详解】个数据按从小到大的顺序排列为：
，
因为，
所以这组黄金价格数据的第 75 百分位数是第九个数据，为.
6．【答案】0.3/
【详解】由题可知：，
∴.
7．【答案】/
【详解】函数的定义域为，
又，
令，解得，所以的单调递减区间为.
8．【答案】
【详解】因为，，所以，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，，
所以.
9．【答案】432
【详解】若为偶数的对立事件为“为奇数”，即、、全部为奇数，根据计数原理计算其个数，由，，，，，为1，2，3，4，5，6的任意一个排列，共有种，进而可得所求．
【详解】解：根据题意，，，，，，为1，2，3，4，5，6的任意一个排列，
则共有个排列，
若为偶数的对立事件为“为奇数”，
、、全部为奇数，有，
故则为偶数的排列的个数共有．
10．【答案】
【详解】，则，
令，
.
①当时，恒成立，即在上单调递增，
所以当时，则，当时，则，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极小值，符合题意；
②当时，恒成立，即在上单调递减，
当时，则，若时，则，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极大值，不符合题意；
③当时，使得，即，
但当时，即，在上单调递减，
故，即在单调递减，不符合题意.
综上所述：的取值范围是.
11．【答案】①③④
【详解】对于①，当时，则，
令，所以在上单调递增，
令，所以在上单调递减；
当时，则，
令，解得，在上单调递增，
令，解得，在上单调递减，
综上可得的单调递增区间是和，故①正确；
对于②，当时，；当时，；
当时，，当时，；
又在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，上单调递减。
作出函数的图象如下：

所以函数有两个零点，故②错误；
对于③，，结合图象可得不等式的解集为，故③正确；
对于④，当时，不等式恒成立等价于即恒成立，
令，，则，
令可得，所以当时，，为递减函数；
当时，，为递增函数，
所以，即，
当时，不等式恒成立，
当时，，
当时，由简单复合函数的单调性可得；当时，，此时即可；
综上的最大值为1，故④正确.
12．【答案】
【详解】由，可得方程
可化为，
令，，
因为在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
故时，值域为.
方程可化为，
当时，方程可化为，不成立，
故，故原方程可化为，
由已知在有两个不相等的实根，
即和，有两个不同的交点.
，
当和时，，
即在上递减，在上递减；
当时，，在递增.
另外，时，；时，；
，当时，，
当，且时，，
当，且时，，
根据以上信息，函数，大致图象如下，
当时，和，的图象有两个不同的交点.
所以的取值范围是.
13．【答案】C
【详解】由事件A与事件B相互独立，得.
故选C.
14．【答案】A
【详解】对于A，由题意得甲组数据共有个数字，
而，则第百分位数是第个数和第个数的平均数，
为，故A错误，
对于B，我们发现出现了次，其它数据只出现了次，
则乙组数据的众数是，故B正确，
对于C，甲组中跳远成绩在厘米以上的有7人，其概率为，
乙组中跳远成绩在厘米以上的有人，其概率为，
而从甲，乙两组各随机选取一个成员，设从甲组抽取为事件，
从乙组抽取为事件，两人跳远成绩均在厘米以上的概率为，
得到，，而相互独立，
由独立事件概率公式得，故C正确；
对于D，甲组的平均成绩为厘米，
乙组的平均成绩为厘米，
则将乙组中跳远成绩为厘米或厘米或厘米的成员调派到甲组后，
甲，乙两组的跳远平均成绩都有降低，故D正确.
故选A.
15．【答案】D
【详解】对于选项A，由图知，当时，的符号有正有负，
不是单调的函数，所以选项A错误，
对于选项B，由图知，当时，是增函数，所以选项B错误，
对于选项C，由图知，且在左侧附近，，在右侧附近，，
所以是极大值点，在处取到极大值，所以选项C错误，
对于选项D，由图知，且在左侧附近，，在右侧附近，，
所以是极小值点，在处取到极小值，所以选项D正确，
故选D.
16．【答案】D
【详解】设，对求导，可得：
已知当时，，所以当时，，则在上单调递增.
因为是偶函数，即，那么，所以也是偶函数.
已知，则，由是偶函数可得.
不等式两边同时乘以可得，即.
因为，所以.
又因为是偶函数且在上单调递增，所以.
即或.解得或.
同时要注意，即.
综上，不等式的解集为.
故选D.
17．【答案】(1)，单调递增区间为和.
(2)最大值为4，最小值为.
【详解】（1）由，则，
因为函数在处取得极值，则，即，
此时，则，
令，得或；令，得，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
所以函数在处取得极小值，则，
又函数在点处的切线方程为，
则，所以，
单调递增区间为和.
（2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以函数的最大值为4，最小值为.
18．【答案】(1)
(2)、、.
【详解】（1）由题意得；
（2）由题意知，，，
，，
由于，因此顾客分别获一、二、三等奖的概率分别为、、.
19．【答案】(1)；
(2)
(3)
【详解】（1）因为小长方形面积和为，
所以，
解得，而设平均分为，
得到，
，
即本次竞赛成绩的平均分为分.
（2）若从样本成绩为和的学生中共抽取6人，
且成绩在的人数为人，
在的人数为人，
即从的学生中取人，从中取人，
设这名学生分别为，2人中有来自组的学生的概率为，
则基本事件为，
，共有种基本事件，
符合条件的有，共种，
则，故2人中有来自组的学生的概率为.
（3）因为这6个分数的平均数，标准差，
所以这6个分数的平均数为分，，
则，解得，
设新的方差为，
，则这8个分数的方差为.
20．【答案】(1)
(2)
(3)36元，最大值为
【详解】（1）由题意可知，已知每件产品的售价为40元时，该产品的一年销售量为500万件
即，解得，
（2）
（3）
令，，令，
∴在区间上为增函数，为减函数
即时，
∴当每年产品的售价为36元时，分公司一年的利润最大，最大值为
21．【答案】(1)是，理由见解析
(2)
(3)6
【详解】（1）因为，所以.
因为当时，，
即时，.
所以对任意恒成立，所以是上的“函数”．
（2），由题意，得
所以在上恒成立．
设，，则．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以．
所以，即．
所以的取值范围是．
（3），由题意，得在上恒成立，
即在上恒成立．
设，，
①若，即，则．
②若，则．
③若，则．
综上所述，．
不妨设，则，
转化为，
．
设，，则在上单调递增．
所以，
由题意得存在，对任意，使得，
所以，又．
所以．
所以的最大值为6．

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