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上实验2024-2025学年第二学期高二年级数学期中
2025.4
一、填空题
1．若事件与互斥，且，（B），则 ．
2．某小组成员的年龄分布茎叶图如图所示，则该小组成员年龄的第25百分位数是 　 ．
3．上海市实验学校为了组织2025体育节，从高二年级挑选3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 种.
4．在的展开式中，的系数是 （结果用数字表示）.
5．若双曲线的一条渐近线方程为，则_________.
6．已知具有线性相关关系的两个变量x、y之间的一组数据如下：
x 0 1 2 3 4
y 1 2a 5 7
若回归方程为，则 ．
7．随着工业化以及城市车辆的增加，城市的空气污染越来越严重，空气质量指数API一直居高不下，对人体的呼吸系统造成了的严重的影响．现调查了某市500名居民的工作场所和呼吸系统健康状况，得到列联表如下，则 ．（结果精确到0.001）
室外工作 室内工作 总计
有呼吸系统疾病 150
无呼吸系统疾病 100
总计 200
8．设随机变量的分布列如下：
①；
②当时，；
③若为等差数列，则；
9．上海市实验学校高二理科班学习创新小组在一次偶然情况下发现：唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河，”其诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即为回到军营。上实高二理科班创新学习小组做了两种假设：（1）若军营所在区域为：；（2）若军营所在区域为：；试问军营在（1）（2）两种不同区域下，“将军饮马”的最短总路程的相差值为 .
10．2025上海市实验学校举办盛大体育节，高二（6）班组成篮球队参赛，为了取得优异比赛成绩，篮球队有5名队员做传球训练.第一次由队员甲将球传出，每次传球时传球者都等可能地将球传给另外四人中的任何一人，则第n次传球后篮球在队员甲手中的概率为 .
二、单选题
11．现有以下两项调查：①从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台进行质量检测；②在某校800名学生中，型、型、型和型血的学生依次有300，200，180，120人．为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为40的样本．完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是（ ）.
A．①②都采用简单随机抽样
B．①②都采用分层随机抽样
C．①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样
D．①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样
12．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）.
A．恰好有一个白球与都是红球
B．至多有一个白球与都是红球
C．至多有一个白球与都是白球
D．至多有一个白球与至多一个红球
13．已知的两条渐近线与直线围成三角形区域，那么，表示该区域的不等式组是（ ）.
A． B．
C． D．
14．2025上海市实验学校举办体育节，为了增加体育节的趣味性，同时提高全体师生的参与热情，学校体育组购买了很多奖品，然后放入个盲盒，其中有个内有奖品.若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时组织方（知道盲盒内部是否有奖品）打开了一个没有奖品的盲盒，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为；若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时有个未选的盲盒因被风吹掉而意外打开，且抽奖者发现其内部没有奖品，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为，则对任意符合题意的，，都有（ ）.
A． B．
C． D．无法确定与的大小关系
三、解答题
15．一个盒子里装有标号为1，2，3，4的4张标签，随机地选取两张标签，一次选取一张．
（1）若标签的选取是无放回的，写出该随机试验的一个等可能的样本空间，并求两张标签上的数字为相邻整数的概率；
（2）若标签的选取是有放回的，写出该随机试验的一个等可能的样本空间，并求两张标签上的数字为相邻整数的概率．
16. 已知椭圆（）的长轴长为，离心率为．直线与椭圆有两个不同的交点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线的方程为：，椭圆上点关于直线的对称点（与不重合）在椭圆上，求的值；
17．上海市实验学校为了举办好2025体育节，在全校推行志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，，第二组，，第三组，，第四组，，第五组，，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
（1）求、的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数；
（2）在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自同一组概率．
18. 2025上海市实验学校体育节开展飞镖趣味运动比赛，其中、两个班级进入飞镖趣味运动比赛的关键阶段，该比赛采取累计得分制，规则如下：每局比赛不存在平局，获胜者得分，失败者不得分，其中累计得分领先对方分即可赢得最终胜利，或者局比赛结束积分领先赢得最终胜利．假设每局比赛中班获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立．
(1)求飞镖趣味比赛班以比赢得最终胜利的概率；
(2)此次飞镖趣味比赛中记比赛停止时已比赛的局数为，求的分布及数学期望．
四、附加题
19．马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为，如此往复．
(1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；
(2)记该同学第天选择米饭套餐的概率为；
①证明：为等比数列；
②当时，恒成立，求取值范围．
20. 在平面直角坐标系中，双曲线．对平面内不在上的任意一点，记为过点且与有两个交点的直线的全体．对任意直线，记为与的两个交点，定义．若存在一条直线满足：与的两个交点位于轴异侧，且对任意直线，，均有，则称为“好点”．求所有好点所构成的区域的面积．
上实验2024-2025学年第二学期高二年级数学期中
2025.4
一、填空题
1．若事件与互斥，且，（B），则　 　．
【答案】
【解析】由于事件与互斥，且，所以（A）（B），
故（A），所以．故答案为：．
2．某小组成员的年龄分布茎叶图如图所示，则该小组成员年龄的第25百分位数是　 　．
【答案】32.5
【解析】因为，所以该小组成员年龄的第25百分位数是．故答案为：32.5．
3．上海市实验学校为了组织2025体育节，从高二年级挑选3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 种.
【答案】36
【解析】=36
4．在的展开式中，的系数是 （结果用数字表示）.
【答案】207
【解析】-=207
5．若双曲线的一条渐近线方程为，则_________.
【答案】2
6．已知具有线性相关关系的两个变量x、y之间的一组数据如下：
x 0 1 2 3 4
y 1 2a 5 7
若回归方程为，则 .
【答案】2
【解析】，，
因为回归方程为，所以，解得.故答案为:2
7．随着工业化以及城市车辆的增加，城市的空气污染越来越严重，空气质量指数API一直居高不下，对人体的呼吸系统造成了的严重的影响．现调查了某市500名居民的工作场所和呼吸系统健康状况，得到列联表如下，则 ．（结果精确到0.001）
室外工作 室内工作 总计
有呼吸系统疾病 150
无呼吸系统疾病 100
总计 200
【答案】3.968
【解析】补全列联表
室外工作 室内工作 总计
有呼吸系统疾病 150 200 350
无呼吸系统疾病 50 100 150
总计 200 300 500
.故答案为：3.968.
8．设随机变量的分布列如下：
①；
②当时，；
③若为等差数列，则；
【答案】①②③．
【解析】对于①，，
，
，故①正确；
对于②，当时，，故②正确；
对于③，若为等差数列，则，，故③正确；
对于④，当的通项公式为时，
，故④错误．
故答案为：①②③．
9．上海市实验学校高二理科班学习创新小组在一次偶然情况下发现：唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河，”其诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即为回到军营。上实高二理科班创新学习小组做了两种假设：（1）若军营所在区域为：；（2）若军营所在区域为：；试问军营在（1）（2）两种不同区域下，“将军饮马”的最短总路程的相差值为 .
【答案】
【解析】（1) 若军营所在区域为，
圆：的圆心为原点，半径为1，作图1如下：
设将军饮马点为，到达营区点为，设为关于直线的对称点，
因为，所以线段的中点为，则，
又，联立解得：，即.
所以总路程，要使得总路程最短，只需要最短，即点到圆上的点的最短距离，即为.
（2）军营所在区域为，
对于，在，时为令，得，令，则，
图形为连接点和的线段，根据对称性得到的图形为图2中所示的菱形，容易知道：为这个菱形的内部(包括边界).
由图2可知，最短路径为线段，连接交直线于点，
则饮马最佳点为点Q，所以点到区域最短距离．
即“将军饮马”最短总路程为.
综上：两种不同区域下，“将军饮马”的最短总路程相差值为
10．2025上海市实验学校举办盛大体育节，高二（6）班组成篮球队参赛，为了取得优异比赛成绩，篮球队有5名队员做传球训练.第一次由队员甲将球传出，每次传球时传球者都等可能地将球传给另外四人中的任何一人，则第n次传球后篮球在队员甲手中的概率为 .
【答案】
【解析】设表示经过第n次传球后球在甲手中，n次传球后球在甲手中的概率为，，2，3， ，则有，，
所以
，
即，所以，
又，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即，
二、单选题
11．现有以下两项调查：①从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台进行质量检测；②在某校800名学生中，型、型、型和型血的学生依次有300，200，180，120人．为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为40的样本．完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是（ ）.
A．①②都采用简单随机抽样
B．①②都采用分层随机抽样
C．①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样
D．①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样
【答案】C
【解析】由题意对于①，40台刚出厂的大型挖掘机被抽取的可能性一样，
故为简单随机抽样，
对于②，为了研究血型与色弱的关系，说明某校800名学生被抽取的可能性要按照血型比例分层抽取，故为分层随机抽样．故选：．
12．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）.
A．恰好有一个白球与都是红球
B．至多有一个白球与都是红球
C．至多有一个白球与都是白球
D．至多有一个白球与至多一个红球
【答案】A
【解析】从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，表示的事件分别为（红，白），（红，红），（白，白）三种情况，故选项互斥不对立，正确，
选项：至多有一个白球表示的是（红，白），（红，红），与都是红球不互斥，故错误，
选项：由选项的分析可知互斥且对立，故错误，
选项：至多有一个红球表示的是（红，白），（白，白），所以两个事件不互斥，故错误，
故选：．
13．已知的两条渐近线与直线围成三角形区域，那么，表示该区域的不等式组是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
14．2025上海市实验学校举办体育节，为了增加体育节的趣味性，同时提高全体师生的参与热情，学校体育组购买了很多奖品，然后放入个盲盒，其中有个内有奖品.若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时组织方（知道盲盒内部是否有奖品）打开了一个没有奖品的盲盒，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为；若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时有个未选的盲盒因被风吹掉而意外打开，且抽奖者发现其内部没有奖品，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为，则对任意符合题意的，，都有（ ）.
A． B． C． D．无法确定与的大小关系
【答案】C
【解析】设事件为“最终中奖”，事件为“一开始选中的有奖”，则，
在组织方打开无奖的盲盒后，若一开始选中的有奖，则剩余个盲盒中有个奖品，
更换后，
若一开始选中的无奖，则剩余个盲盒中有个奖品，则更换后，
故，
由于风吹掉为随机吹掉，故所有个盲盒中有个奖品，且所有盲盒中有奖品的概率相等，，因此，故.故选：C
三、解答题
15．一个盒子里装有标号为1，2，3，4的4张标签，随机地选取两张标签，一次选取一张．
（1）若标签的选取是无放回的，写出该随机试验的一个等可能的样本空间，并求两张标签上的数字为相邻整数的概率；
（2）若标签的选取是有放回的，写出该随机试验的一个等可能的样本空间，并求两张标签上的数字为相邻整数的概率．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）标签的选取是无放回的，则样本空间，，，，，，，，，，，，
其中两张标签上的数字为相邻整数的有，，，，，共6个基本事件，所以两张标签上的数字为相邻整数的概率．
（2）标签的选取是有放回的，则样本空间，，，，，，，，，，，，，，，，
其中两张标签上的数字为相邻整数的有，，，，，共6个基本事件，所以两张标签上的数字为相邻整数的概率．
16. 已知椭圆（）的长轴长为，离心率为．直线与椭圆有两个不同的交点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线的方程为：，椭圆上点关于直线的对称点（与不重合）在椭圆上，求的值；
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由题意得，所以，又因为，所以，所以，所以椭圆的标准方程为．
（2）由题意得关于直线：的对称点，
代入椭圆方程，得： ，
化简得： ，所以或，当时，与点M重合，舍.
所以.
17．上海市实验学校为了举办好2025体育节，在全校推行志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，，第二组，，第三组，，第四组，，第五组，，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
（1）求、的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数；
（2）在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自同一组概率．
【答案】（1）， ， （2）
【解析】（1）因为第三、四、五组的频率之和为0.7，
所以，解得，
所以前两组的频率之和为，
即，所以；
平均数为，
（2）第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，
故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，，，，第五组志愿者人数为1，设为，
这5人中选出2人，所有情况有10种情况，分别为：
，，，，，．，，，，
其中选出的两人来自同一组的有：
，，，，，，共6种情况，
故选出的两人来自同一组的概率为．
18. 2025上海市实验学校体育节开展飞镖趣味运动比赛，其中、两个班级进入飞镖趣味运动比赛的关键阶段，该比赛采取累计得分制，规则如下：每局比赛不存在平局，获胜者得分，失败者不得分，其中累计得分领先对方分即可赢得最终胜利，或者局比赛结束积分领先赢得最终胜利．假设每局比赛中班获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立．
(1)求飞镖趣味比赛班以比赢得最终胜利的概率；
(2)此次飞镖趣味比赛中记比赛停止时已比赛的局数为，求的分布及数学期望．
【答案】（1） （2）的分布见解析，
【解析】（1）记班以比赢得最终胜利，为事件，
则第一局和第二局、两个班级各胜一局，第三局，第四局班获胜时，
此时班以比1赢得最终胜利，因此.
（2）的可能取值为，当时，即班前两局获胜，或者班前两局获胜，
则，
当时，则第一局和第二局、两个班级各胜一局，
第三局，第四局班获胜，或者第一局和第二局、两个班级各胜一局，
第三局，第四局班获胜，
则，
当时，则第一局和第二局、两个班级各胜一局，
第三局，第四局、两个班级各胜一局，
则，
所以的分布为：
所以数学期望.
四、附加题
19．马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为，如此往复．
(1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；
(2)记该同学第天选择米饭套餐的概率为；
①证明：为等比数列；
②当时，恒成立，求取值范围．
【答案】（1） （2）①证明见解析；②
【解析】（1）设为“第天选择米饭套餐”，为“第天选择米饭套餐”，
则为“第1天不选择米饭套餐”，
根据题意，
由全概率公式得：.
（2）①设为“第天选择米饭套餐”，则，
根据题意，
由全概率公式得：，
因此，因为，
所以是以为首，为公比的等比数列．
②由①可得，
当为大于的奇数时，
当为正偶数时，
因此，当时，，所以．
20. 在平面直角坐标系中，双曲线．对平面内不在上的任意一点，记为过点且与有两个交点的直线的全体．对任意直线，记为与的两个交点，定义．若存在一条直线满足：与的两个交点位于轴异侧，且对任意直线，，均有，则称为“好点”．求所有好点所构成的区域的面积．
【答案】4
【解析】设为好点，考虑需满足的充要条件．
对任意直线，设的倾斜角为，
则的参数方程可写为①
将①代入的方程，整理得关于的方程
②
根据条件，②有两个不同的实数解，这等价于，
且判别式．
化简得③
当的倾斜角满足③时，由①中参数的几何意义及的定义，
可知其中(因不在上)．
当与交于轴异侧两点时，由双曲线的性质知．
此时显然满足③，且．
当且仅当时，取到最小值，这里直线．
当与交于轴同侧两点时，要求满足③且．
根据题意，对任意这样的(如果这样的存在)，均有
即，而这等价于．
换言之，需满足：对任意，③都不成立，
即对任意，均有④
在④中令，分别得，
由此可知
反之，当时，注意到当时有，
故
即④成立．
因此，为好点当且仅当．
于是所有好点对应的区域为．所求面积为．

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