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西昌市2024—2025学年度下期期中检测
高二数学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，试题卷4页，答题卡2页。全卷满分为150分，考试时间120分钟。
答题前考生务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置；选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，其他试题用0.5毫米签字笔书写在答题卡对应题框内，不得超越题框区域。考试结束后将答题卡收回。
第Ⅰ卷选择题（共58分）
一、单项选择题（本题有8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一个选项正确）
1．已知数列的通项公式为，在下列各数中，不是的项的是（ ）
A．1 B． C．3 D．2
2．下列函数的求导正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知等差数列、的前n项和分别为、，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知是函数的导函数，且的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．函数的单调递减区间是，则（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
7．已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知定义域为R的函数，其导函数为，且满足，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题有3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中有多个选项正确，全部选对得6分，选对但不全得3分，有选错或不选得0分）
9．数列的前n项和为，已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列 B．
C．当时， D．当或4时，取得最大值
10．下列命题正确的是（ ）
A．函数的切线与函数的图象可以有两个公共点
B．若，则函数在处无切线
C．曲线在处的切线方程为，则
D．已知函数，则是函数的极值点
11．已知函数有且仅有三个不同的零点分别为，，，则（ ）
A．a的范围是 B．a的范围是 C． D．
第Ⅱ卷非选择题（共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．若数列是等比数列，且，则______．
13．已知曲线，则曲线过原点的切线方程为______。
14．已知，，若对，，使得成立，则a的取值范围是______。
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值。
16．（15分）已知函数，，为函数的导函数。
（1）求函数的单调性；
（2）若任意，恒成立，求a的取值范围。
17．（15分）已知正项等比数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，的前n项和．
18．（17分）已知关于x的函数，其图象与直线相切。
（1）求m的值；
（2）证明：；
（3）设数列，（），的前n项和为，证明：．
19．（17分）已知函数．
（1）当，时，求的单调递减区间；
（2）当时，若有两个极值点，．
（ⅰ）求b的取值范围；
（ⅱ）证明：．
西昌市2024~2025学年度下期期中检测
高二数学参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
选项 D B C D B A C D CD AC BCD
二、填空题
12．4 13． 14．
三、解答题
15．【解】（1）设等差数列的首项为，公差为d，则
由得：，∴，
由得：，
解之得（舍）或，
∴，
数列的通项公式为：．
（2）由等差数列的前n通项公式可得：，
则不等式即：，整理可得：，
解得：或，又n为正整数，故n的最小值为5．
16．【解】（1）因为，且定义域为R，
所以，令，则，
当时，，函数在R上单调递减；
当时，令，得到，令，得到，
故函数在上单调递减，在上单调递增；
综上：当时，在R上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增。
（2）由（1）得，
因为对于任意，恒成立，
所以恒成立，
化简得恒成立，故恒成立，
令，则恒成立，，
令，则，
得到在单调递增，即，
故，在单调递增，而，
即，故．
17．【解】（1）设等比数列的公比为q，则，所以，，整理可得，因为，解得，故．
（2）由（1）知，
……①
……②）
由①、②得：
整理得：．
18．【解】（1）函数的图象与轴相切，则，得，代入可得，∴．
（2）由（1）知，
则，得，，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，∴得证。
由（2）知，当时，，∴，即当时，，
当时，，∴，
∴，，∴，即，
累加得：
∴，
∴，．
19．【解】（1）当，时，，
由，所以．
故单调递减区间为．
（2）（ⅰ）当时，，令，即，
令，，则，是方程的两个正根，
则，即，
有，，
所以b的取值范围为：．
（ⅱ）当时，
令，
则．
令，则，
则在上单调递增，
又，，
故存在，使，即，
则当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递减增，
则，
又，故，
即．

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