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云南省丽江市第一高级中学2024 2025学年高二下学期4月月考数学试题
一、单选题（本大题共9小题）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，则（ ）
A．2 B． C．1 D．4
3．已知向量，，若，则的值为
A． B．4 C． D．
4．若椭圆的焦距为，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．设是一个三次函数，为其导函数.图中所示的是的图像的一部分.则的极大值与极小值分别是（ ）.
A．与 B．与 C．与 D．与
6．已知正项等比数列的前项和为，若，且，则（ ）
A．32 B．31 C．17 D．15
7．已知函数（为自然对数的底数），，直线既与相切又与相切，则直线的方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
8．已知函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数是幂函数，对任意的，且，满足，记曲线C：，设函数．曲线C的对称中心为点M，曲线C上两个不重合的动点、关于点M对称，求的取值范围和的值（ ）
A．， B．，8098
C．， D．，4049
二、多选题（本大题共3小题）
10．在三棱锥中，，则（ ）
A．
B．向量与夹角的余弦值为
C．向量是平面的一个法向量
D．与平面所成角的正弦值为
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数 B．
C．在有且仅有2个极值点 D．的对称中心为，
12．已知双曲线（）的左、右焦点分别为，，P为双曲线右支上的动点，的内切圆的圆心为，到渐近线的距离为1，则（ ）
A．
B．当点P异于顶点时，的内切圆的圆心为M总在定直线上
C．过作直线PM的垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程为
D．为定值，定值是
三、填空题（本大题共3小题）
13．函数的图象在点处的切线方程为 ．
14．在等差数列中，为数列的前n项和，若，求 ．
15．已知双曲线C：的左、右焦点分别为,，若双曲线的左支上一点满足，以为圆心的圆与的延长线相切于点，且，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求A．
(2)若，且三角形的面积为，求的周长l．
17．已知等差数列的前四项和为10，且为等比数列；
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
18．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，且，是等边三角形，．

(1)证明：平面平面．
(2)若点为的中点，求与平面所成角的正弦值．
19．某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下:
零件直径 (单位: 厘米) [1.8，2.0]
零件个数 10 25 30 25 10
(1)经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间 内的概率;
(2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望;
(3)在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的 2 倍， 且甲机器生产的零件的次品率为 0.3， 乙机器生产的零件的次品率为0.2， 现从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率.
参考数据: 若随机变量，则，，.
20．已知函数．
(1)当，求在点处的切线方程；
(2)若，且，
（ⅰ）求的极值；
（ⅱ）当时，判断零点个数，并说明理由．
参考答案
1．【答案】A
【详解】因为，，
则，
所以.
故选A.
2．【答案】B
【详解】因为，
所以.
故选B.
3．【答案】C
【详解】依题意，解得，故选C.
4．【答案】B
【详解】由题意可知，椭圆的焦点在轴上，且，则，
又因为，则，因此，该椭圆的离心率为.
故选B.
5．【答案】C
【详解】易知，有三个零点
因为为二次函数，所以，它有两个零点
由图像易知，当时，；
当时，，故是极小值
类似地可知，是极大值.
故答案为C.
6．【答案】D
【详解】在正项等比数列数列中，
由，解得.
又∵，∴，解得：，∴，
∴
故选D.
7．【答案】C
【详解】设与相切于点，，则切线的斜率为，
切线方程：，即，
设与相切于点，，则切线的斜率为，
切线方程：，即
∴，解得，或，，
则直线的方程：或．所以满足条件的直线有2条．
故选C.
8．【答案】C
【详解】因为，函数在区间上是减函数，
所以，恒成立.
所以，恒成立.
设，，
因为对称轴为，所以在为增函数，
所以，所以.
故选C.
9．【答案】A
【详解】因为函数为幂函数，所以，即，
解得或．当时，；当时，．
因为函数对任意的，且，满足，
所以函数在上单调递增，所以，∴曲线C：，
因为，
得曲线的对称中心为，所以，即，，
又因为A、B两点不重合，故，得，所以.
∵，
∴关于点对称，设①，
②，
两式相加得.
故选A．
10．【答案】ACD
【详解】 ，
，故 A 正确；
，
，
，故 B 错误；
，,
，
是平面的一个法向量，故 C 正确；
与平面 所成角的正弦值为：
，故 D 正确．
故选ACD.
11．【答案】ABD
【详解】对于A．，故，故为偶函数，A正确．
对于B．，故B正确，
对于C．令，，得，当时，只有一个极值点，故C错误．
对于D．令，则，．故对称中心为，，故D正确．
故选ABD.
12．【答案】ACD
【详解】由题意，
A项，在双曲线中，渐近线：，即，
到渐近线的距离为1，
∴，解得：，故A正确；
B项，如图，的内切圆的圆心为M，分别与，，切于点，，，

则，，，
由双曲线的定义可得，故，
故，即，
又，故，故
∴的内切圆的圆心为M总在定直线上，故B错误；
C项，过作直线PM的垂线，垂足为D，延长交于点E，

由内切圆及垂线性质可知，，
则D为中点且，
连接OD，
由中位线定理可知，，
故点D的轨迹在以O为圆心，半径a为的圆上，
则点D的轨迹方程为，故C正确；
D项，∵，
又∵，，，
∵，，
∴，故D正确；
故选ACD.
13．【答案】
【详解】函数，求导得，则，而，
所以所求切线方程为，即.
14．【答案】24
【详解】由题意可得：.
15．【答案】
【详解】因为，所以由双曲线的定义可得：，
所以，.
因为，所以，，
又因为以为圆心的圆与的延长线相切于点，
所以．
在中，，
所以，
所以，.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵，
又，所以．
（2），即，
由余弦定理得：．解得：
所以的周长
17．【答案】(1)或
(2)或
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意，得，
又为等比数列，所以，即，
解得或，所以或；
（2）当时，，
此时；
当时，，
此时.
18．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取的中点，连接，
因是等边形，所以，且
又因底面是菱形，且，
所以是等边三角形，，且
则，有
因，平面，则平面，
又平面，则平面平面．
（2）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，
则，即，取，则，
设与平面所成角为，
则，
则与平面所成角的正弦值为．
19．【答案】(1)
(2)的分布列见解析；
(3)
【详解】（1）由题意，
得.
（2）由题意，随机抽取一个零件，直径在区间的概率为，
故由题意满足二项分布，
故，，
，，
，
故的分布列为
0 1 2 3 4
的数学期望为
（3）设事件为“从这批零件中随机抽取一件来自甲机器生产”，事件为“从这批零件中随机抽取一件为次品”
则为“从这批零件中随机抽取一件来自乙机器生产”，
由题意，，，，
则，
，
故，
故从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率为.
20．【答案】(1)
(2)（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）答案见解析
【详解】（1）当时，，，，，
所以切线方程为：，
即：；
（2）（ⅰ）函数的定义域为，且，
所以，则，
当，所以恒成立，所以在上单调递减，
在无极值，
当时，由得：
∴，，，，
即在单调递增，在单调递减，
所以时取得极大值为，无极小值
所以，综上所得：当时，在无极值，
当时，取得极大值为，无极小值．
（ⅱ）令，即，
因为，所以，
所以判断的零点个数，即判断的零点个数，
又，
因为，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减
所以，令，则
则令，，则，，
所以，
所以在上单调递减，．所以，当且仅当时等号成立，
所以当时有一个零点，即有一个零点，
当时无零点，即无零点，
综上所得当时有一个零点，当时无零点．

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