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第3讲　小专题:牛顿运动定律的综合应用
考点一　动力学中的连接体问题
在下列各图中,质量分别为m1、m2的物块A、B分别在恒力F的作用下沿同一平面做匀变速直线运动时,如何推导出在有、无摩擦力两种情况下A与B间弹力的表达式
提示:题图情境中,无论物体是否受到摩擦力(μ=0或μ1=μ2≠0),可先将物块A、B看作一个整体,然后再将其中一个隔离,分别根据牛顿第二定律列方程求解。
1.多个相互关联的物体连接(叠放、并排或由绳子、细杆、弹簧等连接)在一起构成的物体系统称为连接体。系统稳定时连接体一般具有相同的速度、加速度(或速度、加速度大小相等)。
2.常见连接体模型
类型 图示 特点
并排、 叠放类 通过弹力、摩擦力作用,稳定时具有相同的速度和加速度
轻绳类 轻绳在伸直状态下,两端的物体沿绳方向的速度大小总是相等
轻杆类 轻杆平动时,连接的两物体具有相同的平动速度
弹簧类 在弹簧发生形变的过程中,两端物体的速度、加速度不一定相等;在弹簧形变最大时,两端物体的速度、加速度相等
3.共速连接体对合力的“分配协议”
两物块在外力F作用下一起运动,系统的加速度与每个物块的加速度相同,如图。
图甲:水平地面光滑;
图乙:m1、m2与水平地面间的动摩擦因数相同,地面粗糙;
图丙:m1、m2一起竖直向上加速;
图丁:m1、m2与固定粗糙斜面间的动摩擦因数相同。
以上几种情境中,F一定,两物块间的弹力只与物块的质量有关且F弹=F。
[例1] 【叠放类】 (2024·湖南长沙阶段练习)如图所示,质量M=3 kg、倾角θ=37°的斜面体静止在粗糙水平地面上。在斜面上叠放质量m=2 kg的光滑楔形物块,物块在大小为19 N的水平恒力F作用下与斜面体恰好一起向右运动。取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,重力加速度g取10 m/s2,则斜面体与水平地面间的动摩擦因数为(　　)
[A] 0.10 [B] 0.18 [C] 0.25 [D] 0.38
【答案】 B
【解析】 以整体为研究对象,根据牛顿第二定律得F-μ(M+m)g=(M+m)a,再以楔形物块为研究对象,如图所示,在竖直方向有FNcos θ-mg=0,水平方向有F-FNsin θ=ma,联立解得μ=0.18,故B正确。
[例2] 【轻绳类】 如图所示,水平面上有两个质量分别为m1和m2的木块1和2,中间用一根轻绳连接,两木块的材料相同,现用力F向右拉木块2,当两木块一起向右做匀加速直线运动时,已知重力加速度为g,下列说法正确的是(　　)
[A] 若水平面是光滑的,则m2越大绳的拉力越大
[B] 若木块和地面间的动摩擦因数为μ,则绳的拉力为+μm1g
[C] 绳的拉力大小与水平面是否粗糙无关
[D] 绳的拉力大小与水平面是否粗糙有关
【答案】 C
【解析】 设木块和地面间的动摩擦因数为μ,以两木块整体为研究对象,根据牛顿第二定律有F-μ(m1+m2)g=(m1+m2)a,以木块1为研究对象,根据牛顿第二定律有FT-μm1g=m1a,解得FT=F,可知绳的拉力大小与动摩擦因数μ无关,与两木块质量大小有关,即与水平面是否粗糙无关,无论水平面是光滑的还是粗糙的,绳的拉力大小均为FT=F,且m2越大绳的拉力越小,故C正确。
[变式] 【轻绳连接体中的多物体问题】 在[例2]中,若木块1和2的质量分别为3m和2m,将质量为m的物体A叠放在木块1上,如图所示,水平面光滑,轻绳能承受的最大拉力为FT。现用水平拉力F拉木块2,使木块1、木块2和物体A以同一加速度向右运动,则绳即将断裂瞬间,A与木块1间的摩擦力为多大
【答案】 F
【解析】 水平面光滑,绳即将断裂瞬间,绳上拉力最大为FT,对A与木块1整体分析,加速度a=,对木块1、木块2和物体A整体分析,加速度a=,解得FT=F,对A隔离分析,A所受的摩擦力Ff=ma==F。
整体法与隔离法在分析共速连接体中的应用
(1)整体法:若连接体内的物体具有共同加速度,可以把它们看成一个整体,分析整体受到的外力,应用牛顿第二定律求出加速度。
(2)隔离法:求系统内两物体之间的作用力时,就需要把物体从系统中隔离出来,应用牛顿第二定律列方程求解。
(3)整体法和隔离法交替使用:一般情况下,若连接体内各物体具有相同的加速度,且求物体之间的作用力时,可以先用整体法求出加速度,然后再隔离某一物体,应用牛顿第二定律求相互作用力;若求某一外力,可以先隔离某一物体求出加速度,再用整体法求合力或某一个力。
[例3] 【弹簧类】 如图所示,质量为m的小球P用轻弹簧和细线分别悬挂于固定在小车上的支架M、N两点。已知弹簧劲度系数为k,重力加速度为g,当小车水平向右做直线运动时,细线与竖直方向的夹角为θ,轻弹簧处于竖直方向,则下列说法正确的是(　　)
[A] 细线的张力不可能为零
[B] 若小车向右做匀速直线运动,弹簧伸长量为
[C] 弹簧的弹力不可能为零,也不可能处于压缩状态
[D] 若小车水平向右的加速度a>gtan θ,弹簧伸长量为
【答案】 B
【解析】 若小车向右做匀速直线运动,则小球水平方向受力平衡,因轻弹簧处于竖直方向,可知细线拉力为零,此时弹簧弹力等于重力,即kx=mg,解得x=,故A错误,B正确。若小车向右做匀加速运动的加速度为a,设弹簧对小球的弹力为F弹,以竖直向上为正方向,则对小球有FTsin θ=ma,F弹+FTcos θ=mg,解得F弹=mg-。若a=gtan θ,则F弹=0,即弹簧的弹力为零。若向右的加速度a>gtan θ,则F弹<0,即弹簧对小球的弹力竖直向下,弹簧处于压缩状态,由胡克定律有kx′=-mg,解得弹簧压缩量为x′=,故C、D错误。
[提升] 【关联速度的连接体】 如图所示为阿特伍德机原理示意图,阿特伍德机是英国物理学家阿特伍德创制的一种力学实验装置,用来研究匀变速直线运动的规律。已知物体A、B的质量相等且均为M,物体C的质量为m,轻绳与轻滑轮间的摩擦不计,绳子不可伸长,如果m=M,重力加速度为g。求:
阿特伍德机原理示意图
(1)物体B运动过程中的加速度大小;
(2)系统由静止释放后,运动过程中物体B、C间作用力的大小。
【答案】 (1)g　(2)mg或Mg
【解析】 (1)设物体B运动过程中的加速度大小为a,绳子的张力为FT,
对物体A,FT-Mg=Ma,
对B、C整体,(M+m)g-FT=(M+m)a,
解得 a=g,
因为m=M,所以 a=g。
(2)设B、C间的作用力为F,
对物体C,mg-F=ma,
解得 F=mg-ma=mg=Mg,
所以B、C间的作用力为mg或Mg。
关联速度的连接体问题处理方法
关联速度连接体做加速运动时,由于加速度的方向不同,一般分别选取研究对象,对两物体分别列牛顿第二定律方程,用隔离法求解加速度及相互作用力。
考点二　动力学中的图像问题
1.常见动力学图像及应用方法
v-t 图像 根据图像的斜率判断加速度的大小和方向,进而根据牛顿第二定律求解合力
F-a 图像 首先要根据具体的物理情境,对物体进行受力分析,然后根据牛顿第二定律推导出F、a两个物理量间的函数关系式,根据函数关系式结合图像,明确图像的斜率、截距或面积的意义,从而由图像给出的信息求出未知量
a-t 图像 要注意加速度的正、负,正确分析每一段的运动情况,然后结合物体受力情况根据牛顿第二定律列方程
F-t 图像 要结合物体受到的力,根据牛顿第二定律求出加速度,分析每一时间段的运动性质
2.解题策略
(1)分清图像的类别:即分清横、纵坐标轴所代表的物理量,明确其物理意义,掌握物理图像所反映的物理过程。
(2)注意图线中的一些特殊点所表示的物理意义:图线与横、纵坐标轴的交点、图线的转折点、两图线的交点等。
(3)明确能从图像中获得哪些信息:把图像与具体的题意、情境结合起来,应用物理规律列出与图像对应的函数关系式,进而明确图像与公式、图像与物体运动间的关系,以便对有关物理问题作出准确判断。
[例4] 【动力学中的常规图像】 某游泳运动员在0～6 s时间内运动的v-t图像如图所示。关于该运动员,下列说法正确的是(　　)
[A] 在0～6 s内所受的合力一直不为零
[B] 在0～6 s内的位移大小为24 m
[C] 在2～4 s内一定处于超重状态
[D] 在4～6 s内的位移大小为8 m
【答案】 D
【解析】 v-t图像的斜率表示加速度,由图像可知,在2～4 s该运动员的加速度为a==2 m/s2,由牛顿第二定律有F合=ma,在0～2 s与4～6 s该运动员加速度为零,即此时所受合力为零,综上所述,该运动员在0～2 s与4～6 s所受合力为零,在2～4 s所受合力不为零,故A错误;由于v-t图像与坐标轴围成的面积表示位移,所以在0～6 s内的位移大小为x1=×(2+4)×4 m=12 m,在4～6 s内的位移大小为x2=4×2 m=8 m,故B错误,D正确;竖直方向上运动员的加速度为零,故运动员并不处于超重状态,故C错误。
[例5] 【动力学中的非常规图像】 航天员在某星球上把一质量为m的物体(可视为质点)竖直向上抛出,物体速度的平方v2随高度h的变化情况如图所示,图中v0、v′、H均为已知量。若物体在运动过程中受到的阻力大小恒定,则下列说法正确的是(　　)
[A] 物体在整个运动过程中,加速度大小恒定
[B] 物体所受的阻力大小为
[C] 星球表面的重力加速度大小为
[D] 物体从被抛出到落回至抛出位置的时间为H(+)
【答案】 C
【解析】 对物体受力分析可知,物体上升过程中的加速度大小大于下落过程中的加速度大小,故A错误;设物体上升过程中的加速度大小为a1,下落过程中的加速度大小为a2,设星球表面的重力加速度大小为g0,物体所受的阻力大小为F阻,由题图可知a1=,a2=,根据牛顿第二定律可得mg0+F阻=ma1,mg-F阻=ma2,联立解得F阻=,g0=,故B错误,C正确;物体上升的时间为t1=,下落的时间为t2=,物体从被抛出到落回至抛出位置的时间t=t1+t2=2H(+),故D错误。
考点三　动力学中的临界和极值问题
1.临界、极值条件的标志
(1)题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼,明显表明题述的过程存在着临界点。
(2)题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明题述的过程存在着极值,这个极值点往往是临界点。
2.常见的临界条件
(1)两物体脱离的临界条件:FN=0。
(2)相对滑动的临界条件:静摩擦力达到最大值。
(3)绳子断裂或松弛的临界条件:绳子断裂的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力;绳子松弛的临界条件是FT=0。
(4)速度达到最大的临界条件:加速度变为零。
[例6] 【分离的临界问题】 (2024·山东潍坊一模)如图所示,一倾角为37°的足够长光滑斜面固定在水平地面上,斜面底端有一挡板,一根劲度系数k=100 N/m的轻弹簧两端分别连接在固定挡板和物体P上,紧挨着P放置物体Q(不与P粘连),现对Q施加一个沿斜面向上的拉力F使Q做匀加速直线运动,从施加拉力开始计时,t=0.2 s后拉力F不再变化,已知P的质量mP=1 kg,Q的质量mQ=4 kg,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
[A] t=0时P、Q间的作用力为24 N
[B] t=0.2 s时弹簧中的弹力为零
[C] t=0.2 s时拉力F=56 N
[D] Q的加速度大小为15 m/s2
【答案】 C
【解析】 刚开始弹簧的压缩量为Δx===0.3 m,由题意知t=0.2 s后拉力F不再变化,说明t=0.2 s时P、Q刚好分离,它们之间的弹力正好为零,而此时P和Q具有相同的沿斜面向上的加速度a,设此时弹簧的压缩量为Δx′,对P由牛顿第二定律有kΔx′-mPgsin 37°=mPa,该段时间内由运动学规律得Δx-Δx′=at2,t=0.2 s,联立解得Δx′=0.14 m,a=8 m/s2,故D错误;设t=0时P、Q间的作用力为F1,对P由牛顿第二定律得F弹-mPgsin 37°-F1=mPa,F弹=(mP+mQ)gsin 37°,解得F1=16 N,故A错误;根据前面分析可知t=0.2 s时,弹簧中的弹力F弹′=kΔx′=14 N,故B错误;t=0.2 s时对Q由牛顿第二定律得F-mQgsin 37°=mQa,解得F=56 N,故C正确。
[例7] 【相对滑动的临界问题】 (多选)如图甲所示,足够长的木板B静置于光滑水平面上,其上放置小滑块A,滑块A受到随时间t变化的水平拉力F作用时,用传感器测出滑块A的加速度a,得到如图乙所示的a-F图像,A、B之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度g取10 m/s2,则(　　)
[A] 滑块A的质量为4 kg
[B] 木板B的质量为2 kg
[C] 当F=10 N时滑块A的加速度为6 m/s2
[D] 滑块A与木板B间的动摩擦因数为0.2
【答案】 BC
【解析】 设滑块A的质量为m,木板B的质量为M,滑块A与木板B间的动摩擦因数为μ。由题图乙可知,当F=Fm=6 N时,滑块A与木板B达到最大共同加速度am=2 m/s2,根据牛顿第二定律有Fm=(M+m)am,解得M+m=3 kg,当F>6 N时,A与B将发生相对滑动,对A单独应用牛顿第二定律有F-μmg=ma,整理得a=-μg;根据题图乙知= kg-1,解得m=1 kg,μ=0.4,则M=2 kg,A、D错误,B正确;当F=10 N时,滑块A的加速度为aA==6 m/s2,C正确。
[例8] 【绳子断裂与松弛的临界问题】 如图所示,在平直公路上行驶的厢式货车内,用轻绳AO、BO在O点悬挂质量为m的重物,轻绳AO、BO与货车顶部夹角分别为30°、60°,且轻绳所能承受的最大拉力Fmax=mg。在货车行驶过程中,为保持重物悬挂在O点位置不动,重力加速度为g,厢式货车的最大加速度为(　　)
[A] [B] g [C] g [D] g
【答案】 B
【解析】 当货车向前加速行驶时,设最大加速度为a1,此时绳AO恰无张力,绳BO的拉力与重物重力的合力产生加速度,则mgtan 30°=ma1,解得a1=g,此时绳BO的拉力FBO==mgFmax,绳AO会断裂,故取FAO′=Fmax=mg,设此时最大加速度为a3,竖直方向有FAO′sin 30°+FBO′sin 60°=mg,水平方向由牛顿第二定律可得FAO′sin 60°-FBO′sin 30°=ma3,联立解得FBO′=mg,a3=g。故选B。
处理临界问题的三种方法
极限法 把物理问题(或过程)推向极端,从而使临界现象(或状态)暴露出来,以达到正确解决问题的目的
假设法 临界问题存在多种可能,特别是有非此即彼两种可能时,或变化过程中可能出现临界条件,也可能不出现临界条件时,往往用假设法解决问题
数学 分析法 将物理过程转化为数学表达式,根据数学表达式解出临界条件
对点1.动力学中的连接体问题
1.(4分)(2024·河南安阳阶段练习)如图所示,质量为2m、倾角为θ的光滑斜面体A放置在光滑的水平桌面上,细线绕过固定在桌面右侧的光滑定滑轮,一端与斜面体A相连,另一端悬挂着质量为m的物块C,斜面体与定滑轮之间的细线平行于桌面。现将质量为m的物块B放在斜面上,同时释放物块C,斜面体A与物块B恰能保持相对静止并一起滑动。则tan θ 等于(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 C
【解析】 设细线上的拉力大小为FT,对物块C,由牛顿第二定律有mg-FT=ma,对A、B整体,有FT=3ma,解得a=g,对物块B,由牛顿第二定律有mgtan θ=ma,解得tan θ=,故选C。
2.(4分)如图所示,质量相等的两小球A、B,二者用一轻弹簧竖直连接,A的上端用轻绳系在足够高的天花板上,初始时A、B均静止。现将轻绳剪断,则从此刻开始到弹簧第一次恢复原长之前(　　)
[A] A的加速度大小的最大值为g
[B] B的加速度大小的最大值为2g
[C] A的位移大小一定大于B的位移大小
[D] A的速度大小均不大于同一时刻B的速度大小
【答案】 C
【解析】 设小球A与B的质量均为m,轻绳剪断瞬间,弹簧长度不变,弹力不变,B球所受的合力为零,则B球的加速度为零,A球加速度为aA0==2g,两小球从静止开始下落,至弹簧第一次恢复原长过程中,设弹簧的伸长量为x。对A球,由牛顿第二定律得mg+kx=maA,对B球,由牛顿第二定律得mg-kx=maB,可知随着x减小,A球的加速度aA减小,B球的加速度aB增大,所以轻绳剪断瞬间,A球的加速度最大,为2g。当弹簧第一次恢复原长时,B球的加速度最大,为g,故A、B错误。从开始下落到弹簧第一次恢复原长的过程中,A球的加速度大于B球的加速度,所以A球的位移大小一定大于B球的位移大小,A球的速度大小均大于同一时刻B球的速度大小,故C正确,D错误。
对点2.动力学中的图像问题
3.(4分)(2024·山西临汾三模)质量为m的物块静止在动摩擦因数为μ的水平地面上,0～3 s内所受水平拉力与时间的关系如图甲所示,0～2 s内加速度图像如图乙所示。重力加速度g取10 m/s2,由图可知(　　)
[A] m=1 kg,μ=0.2 [B] m=1 kg,μ=0.1
[C] m=2 kg,μ=0.2 [D] m=2 kg,μ=0.1
【答案】 A
【解析】 0～1 s内,根据牛顿第二定律可得F1-μmg=ma,1～2 s内,物块仍运动,受到滑动摩擦力,由题图乙知加速度为零,有F2=μmg,联立可得m=1 kg,μ=0.2,故A正确。
4.(4分)一个质量为6 kg的物体在粗糙的水平面上运动,图中的两条直线的其中一条为物体受水平拉力作用而另一条为不受拉力作用时的速度—时间图像,则物体所受摩擦力的大小的可能值为(　　)
[A] 1 N [B] 2 N [C] 2.5 N [D] 3 N
【答案】 B
【解析】 根据v-t图像可知两图线对应的加速度大小分别为a1= m/s2= m/s2,a2= m/s2= m/s2,设摩擦力大小为Ff,若水平拉力与运动方向相反,则有a1=,a2=,解得F=2 N,Ff=2 N,若水平拉力与运动方向相同,则有a1=,a2=,解得F=2 N,Ff=4 N,故B正确。
对点3.动力学中的临界和极值问题
5.(4分)(2024·湖南娄底二模)如图甲,光滑水平面上放置有紧靠在一起但并不粘合的A、B两个物体,A、B的质量分别为mA=6 kg,mB=4 kg,从t=0开始,推力FA和拉力FB分别作用于A、B上,FA、FB大小随时间变化的规律分别如图乙、丙所示,则(　　)
[A] t=0时,A物体的加速度为2 m/s2
[B] t=1 s时,A、B开始分离
[C] t=0时,A、B之间的相互作用力为3 N
[D] A、B开始分离时的速度为3 m/s
【答案】 B
【解析】 由力与时间的图像可得FA=8-2t(N),FB=2+2t(N),当两物体之间的相互作用力恰好为零时开始分离,此时两物体的加速度相同,则有=,即=,解得t=1 s,则t=0时,两物体不会分开,A、B两物体的加速度为a==1 m/s2,设t=0时A、B之间的相互作用力为F,对B根据牛顿第二定律可得F+FB0=mBa,解得F=2 N,故A、C错误,B正确;A、B开始分离时的速度为v=at=1 m/s,故D错误。
6.(6分)(多选)在水平直轨道上运动的火车车厢内有一个倾角为30°的斜面,如图所示。小球的重力、绳对球的拉力、斜面对小球的弹力分别用G、FT、FN表示,重力加速度g取10 m/s2,当火车以加速度a向右加速运动时,则(　　)
[A] 若a=20 m/s2,小球受G、FT、FN三个力的作用
[B] 若a=20 m/s2,小球只受G、FT两个力的作用
[C] 若a=10 m/s2,小球只受G、FT两个力的作用
[D] 若a=10 m/s2,小球受G、FT、FN三个力的作用
【答案】 BD
【解析】 设火车加速度为a0时,小球刚好对斜面没有压力,对小球,根据牛顿第二定律可得=ma0,解得a0=10 m/s2≈17 m/s2。若a=20 m/s2,可知小球已经离开斜面,小球受到重力和绳子拉力两个力的作用,A错误,B正确;若a=10 m/s2,可知小球还没有离开斜面,小球受到重力、绳子拉力和斜面对小球的弹力三个力的作用,C错误,D正确。
7.(6分)(多选)如图所示,轻弹簧的一端固定在倾角为θ的固定光滑斜面的底部,另一端和质量为m的小物块A相连,质量为m的小物块B紧靠A静止在斜面上,此时弹簧的压缩量为x0。从t=0时开始,对B施加沿斜面向上的外力,使B始终做匀加速直线运动。经过一段时间后,物块A、B分离,再经过同样长的时间,B距其出发点的距离恰好为x0。弹簧始终在弹性限度内,其中心轴线与斜面平行,重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　)
[A] 弹簧的劲度系数为
[B] A、B分离时,弹簧的压缩量为
[C] 物块B加速度的大小为gsin θ
[D] 物块B加速度的大小为gsin θ
【答案】 AC
【解析】 小物块B紧靠A静止在斜面上,将二者看成一个整体,可知弹力大小与整体重力沿斜面方向的分力大小相等,有kx0=m总gsin θ,解得k=,故A正确;B做初速度为零的匀加速运动,设第一段时间内的位移为x1,则由匀变速直线运动规律可得=,即x1=x0,则A、B分离时,弹簧的压缩量为Δx=x0-x1=x0,故B错误;两物块刚好要分离时,A与B之间无相互作用力且加速度相同,对A由牛顿第二定律有k×x0-mgsin θ=ma,代入k后解得a=gsin θ,故C正确,D错误。
8.(6分)(2024·山东青岛模拟)(多选)如图甲所示,一倾角为θ的足够长光滑斜面固定在水平地面上,斜面底端有一挡板,一根劲度系数k=100 N/m的轻弹簧两端分别连接在固定挡板和物块A上,紧挨着A放置物块B(不与A粘连),物块C用轻质细线通过光滑的轻质定滑轮与物块B连接,细线与斜面平行。开始时A、B均静止在斜面上,用手托住C,使细线刚好被拉直但无拉力。现撤去外力,C由静止开始运动,运动过程中物块A的加速度a与位移x的关系图像如图乙所示,已知运动过程中物体C未触地,g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
[A] 放手前弹簧的压缩量为15 cm
[B] 物块C的质量为2 kg
[C] 物块A的质量为2 kg
[D] 斜面倾角θ=30°
【答案】 ABD
【解析】 设放手前弹簧的压缩量为x0,则kx0=(mA+mB)gsin θ,放手后且A、B分离前,设物块A的运动位移为x,有k(x0-x)+mCg-(mA+mB)gsin θ=(mA+mB+mC)a1,得a1=-x+,由题图乙可知=4 m/s2,= s-2,解得mC=2 kg,mA+mB+mC=5 kg,A、B分离后,对A,有k(x0-x)-mAgsin θ=mAa2,得a2=-x+,由题图乙可知= s-2,=10 m/s2,联立解得mA=1 kg,mB=2 kg,θ=30°,x0=15 cm,故A、B、D正确,C错误。
9.(12分)(2025·河南高考适应性考试)如图甲所示的水平地面上,质量为1 kg的物体在水平方向力F的作用下从静止开始做直线运动。图乙为F随时间t变化的关系图像,已知物体与水平地面之间的动摩擦因数为0.2,重力加速度大小g取 10 m/s2。求:
(1)在2 s末物体的速度大小;
(2)在0～3 s内物体所受摩擦力做的功。
【答案】 (1)8 m/s　(2)-27 J
【解析】 (1)0～2 s内,由牛顿第二定律有
F1-μmg=ma1,
解得a1=4 m/s2,
v=a1t1=8 m/s。
(2)0～2 s内,物体的位移
x1=a1=8 m,
2～3 s内,由牛顿第二定律有
F2+μmg=ma2,
解得a2=5 m/s2,方向水平向左,
位移x2=vt2-a2=5.5 m,
物体在0～3 s内的总位移
x总=x1+x2=13.5 m,
在0～3 s内物体所受摩擦力做的功
Wf=-fx总=-27 J。
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考点一　动力学中的连接体问题
在下列各图中,质量分别为m1、m2的物块A、B分别在恒力F的作用下沿同一平面做匀变速直线运动时,如何推导出在有、无摩擦力两种情况下A与B间弹力的表达式
提示:题图情境中,无论物体是否受到摩擦力(μ=0或μ1=μ2≠0),可先将物块A、B看作一个整体,然后再将其中一个隔离,分别根据牛顿第二定律列方程求解。
1.多个相互关联的物体连接(叠放、并排或由绳子、细杆、弹簧等连接)在一起构成的物体系统称为连接体。系统稳定时连接体一般具有相同的速度、加速度(或速度、加速度大小相等)。
2.常见连接体模型
类型 图示 特点
并排、 叠放类 通过弹力、摩擦力作用,稳定时具有相同的速度和加速度
轻绳类 轻绳在伸直状态下,两端的物体沿绳方向的速度大小总是相等
轻杆类 轻杆平动时,连接的两物体具有相同的平动速度
弹簧类 在弹簧发生形变的过程中,两端物体的速度、加速度不一定相等;在弹簧形变最大时,两端物体的速度、加速度相等
3.共速连接体对合力的“分配协议”
两物块在外力F作用下一起运动,系统的加速度与每个物块的加速度相同,如图。
图甲:水平地面光滑;
图乙:m1、m2与水平地面间的动摩擦因数相同,地面粗糙;
图丙:m1、m2一起竖直向上加速;
图丁:m1、m2与固定粗糙斜面间的动摩擦因数相同。
以上几种情境中,F一定,两物块间的弹力只与物块的质量有关且F弹=F。
[例1] 【叠放类】 (2024·湖南长沙阶段练习)如图所示,质量M=3 kg、倾角θ=37°的斜面体静止在粗糙水平地面上。在斜面上叠放质量m=2 kg的光滑楔形物块,物块在大小为19 N的水平恒力F作用下与斜面体恰好一起向右运动。取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,重力加速度g取10 m/s2,则斜面体与水平地面间的动摩擦因数为(　　)
[A] 0.10 [B] 0.18 [C] 0.25 [D] 0.38
[例2] 【轻绳类】 如图所示,水平面上有两个质量分别为m1和m2的木块1和2,中间用一根轻绳连接,两木块的材料相同,现用力F向右拉木块2,当两木块一起向右做匀加速直线运动时,已知重力加速度为g,下列说法正确的是(　　)
[A] 若水平面是光滑的,则m2越大绳的拉力越大
[B] 若木块和地面间的动摩擦因数为μ,则绳的拉力为+μm1g
[C] 绳的拉力大小与水平面是否粗糙无关
[D] 绳的拉力大小与水平面是否粗糙有关
[变式] 【轻绳连接体中的多物体问题】 在[例2]中,若木块1和2的质量分别为3m和2m,将质量为m的物体A叠放在木块1上,如图所示,水平面光滑,轻绳能承受的最大拉力为FT。现用水平拉力F拉木块2,使木块1、木块2和物体A以同一加速度向右运动,则绳即将断裂瞬间,A与木块1间的摩擦力为多大
整体法与隔离法在分析共速连接体中的应用
(1)整体法:若连接体内的物体具有共同加速度,可以把它们看成一个整体,分析整体受到的外力,应用牛顿第二定律求出加速度。
(2)隔离法:求系统内两物体之间的作用力时,就需要把物体从系统中隔离出来,应用牛顿第二定律列方程求解。
(3)整体法和隔离法交替使用:一般情况下,若连接体内各物体具有相同的加速度,且求物体之间的作用力时,可以先用整体法求出加速度,然后再隔离某一物体,应用牛顿第二定律求相互作用力;若求某一外力,可以先隔离某一物体求出加速度,再用整体法求合力或某一个力。
[例3] 【弹簧类】 如图所示,质量为m的小球P用轻弹簧和细线分别悬挂于固定在小车上的支架M、N两点。已知弹簧劲度系数为k,重力加速度为g,当小车水平向右做直线运动时,细线与竖直方向的夹角为θ,轻弹簧处于竖直方向,则下列说法正确的是(　　)
[A] 细线的张力不可能为零
[B] 若小车向右做匀速直线运动,弹簧伸长量为
[C] 弹簧的弹力不可能为零,也不可能处于压缩状态
[D] 若小车水平向右的加速度a>gtan θ,弹簧伸长量为
[提升] 【关联速度的连接体】 如图所示为阿特伍德机原理示意图,阿特伍德机是英国物理学家阿特伍德创制的一种力学实验装置,用来研究匀变速直线运动的规律。已知物体A、B的质量相等且均为M,物体C的质量为m,轻绳与轻滑轮间的摩擦不计,绳子不可伸长,如果m=M,重力加速度为g。求:
阿特伍德机原理示意图
(1)物体B运动过程中的加速度大小;
(2)系统由静止释放后,运动过程中物体B、C间作用力的大小。
关联速度的连接体问题处理方法
关联速度连接体做加速运动时,由于加速度的方向不同,一般分别选取研究对象,对两物体分别列牛顿第二定律方程,用隔离法求解加速度及相互作用力。
考点二　动力学中的图像问题
1.常见动力学图像及应用方法
v-t 图像 根据图像的斜率判断加速度的大小和方向,进而根据牛顿第二定律求解合力
F-a 图像 首先要根据具体的物理情境,对物体进行受力分析,然后根据牛顿第二定律推导出F、a两个物理量间的函数关系式,根据函数关系式结合图像,明确图像的斜率、截距或面积的意义,从而由图像给出的信息求出未知量
a-t 图像 要注意加速度的正、负,正确分析每一段的运动情况,然后结合物体受力情况根据牛顿第二定律列方程
F-t 图像 要结合物体受到的力,根据牛顿第二定律求出加速度,分析每一时间段的运动性质
2.解题策略
(1)分清图像的类别:即分清横、纵坐标轴所代表的物理量,明确其物理意义,掌握物理图像所反映的物理过程。
(2)注意图线中的一些特殊点所表示的物理意义:图线与横、纵坐标轴的交点、图线的转折点、两图线的交点等。
(3)明确能从图像中获得哪些信息:把图像与具体的题意、情境结合起来,应用物理规律列出与图像对应的函数关系式,进而明确图像与公式、图像与物体运动间的关系,以便对有关物理问题作出准确判断。
[例4] 【动力学中的常规图像】 某游泳运动员在0～6 s时间内运动的v-t图像如图所示。关于该运动员,下列说法正确的是(　　)
[A] 在0～6 s内所受的合力一直不为零
[B] 在0～6 s内的位移大小为24 m
[C] 在2～4 s内一定处于超重状态
[D] 在4～6 s内的位移大小为8 m
[例5] 【动力学中的非常规图像】 航天员在某星球上把一质量为m的物体(可视为质点)竖直向上抛出,物体速度的平方v2随高度h的变化情况如图所示,图中v0、v′、H均为已知量。若物体在运动过程中受到的阻力大小恒定,则下列说法正确的是(　　)
[A] 物体在整个运动过程中,加速度大小恒定
[B] 物体所受的阻力大小为
[C] 星球表面的重力加速度大小为
[D] 物体从被抛出到落回至抛出位置的时间为H(+)
考点三　动力学中的临界和极值问题
1.临界、极值条件的标志
(1)题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼,明显表明题述的过程存在着临界点。
(2)题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明题述的过程存在着极值,这个极值点往往是临界点。
2.常见的临界条件
(1)两物体脱离的临界条件:FN=0。
(2)相对滑动的临界条件:静摩擦力达到最大值。
(3)绳子断裂或松弛的临界条件:绳子断裂的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力;绳子松弛的临界条件是FT=0。
(4)速度达到最大的临界条件:加速度变为零。
[例6] 【分离的临界问题】 (2024·山东潍坊一模)如图所示,一倾角为37°的足够长光滑斜面固定在水平地面上,斜面底端有一挡板,一根劲度系数k=100 N/m的轻弹簧两端分别连接在固定挡板和物体P上,紧挨着P放置物体Q(不与P粘连),现对Q施加一个沿斜面向上的拉力F使Q做匀加速直线运动,从施加拉力开始计时,t=0.2 s后拉力F不再变化,已知P的质量mP=1 kg,Q的质量mQ=4 kg,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
[A] t=0时P、Q间的作用力为24 N
[B] t=0.2 s时弹簧中的弹力为零
[C] t=0.2 s时拉力F=56 N
[D] Q的加速度大小为15 m/s2
[例7] 【相对滑动的临界问题】 (多选)如图甲所示,足够长的木板B静置于光滑水平面上,其上放置小滑块A,滑块A受到随时间t变化的水平拉力F作用时,用传感器测出滑块A的加速度a,得到如图乙所示的a-F图像,A、B之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度g取10 m/s2,则(　　)
[A] 滑块A的质量为4 kg
[B] 木板B的质量为2 kg
[C] 当F=10 N时滑块A的加速度为6 m/s2
[D] 滑块A与木板B间的动摩擦因数为0.2
[例8] 【绳子断裂与松弛的临界问题】 如图所示,在平直公路上行驶的厢式货车内,用轻绳AO、BO在O点悬挂质量为m的重物,轻绳AO、BO与货车顶部夹角分别为30°、60°,且轻绳所能承受的最大拉力Fmax=mg。在货车行驶过程中,为保持重物悬挂在O点位置不动,重力加速度为g,厢式货车的最大加速度为(　　)
[A] [B] g [C] g [D] g
处理临界问题的三种方法
极限法 把物理问题(或过程)推向极端,从而使临界现象(或状态)暴露出来,以达到正确解决问题的目的
假设法 临界问题存在多种可能,特别是有非此即彼两种可能时,或变化过程中可能出现临界条件,也可能不出现临界条件时,往往用假设法解决问题
数学 分析法 将物理过程转化为数学表达式,根据数学表达式解出临界条件
(满分:50分)
对点1.动力学中的连接体问题
1.(4分)(2024·河南安阳阶段练习)如图所示,质量为2m、倾角为θ的光滑斜面体A放置在光滑的水平桌面上,细线绕过固定在桌面右侧的光滑定滑轮,一端与斜面体A相连,另一端悬挂着质量为m的物块C,斜面体与定滑轮之间的细线平行于桌面。现将质量为m的物块B放在斜面上,同时释放物块C,斜面体A与物块B恰能保持相对静止并一起滑动。则tan θ 等于(　　)
[A] [B] [C] [D]
2.(4分)如图所示,质量相等的两小球A、B,二者用一轻弹簧竖直连接,A的上端用轻绳系在足够高的天花板上,初始时A、B均静止。现将轻绳剪断,则从此刻开始到弹簧第一次恢复原长之前(　　)
[A] A的加速度大小的最大值为g
[B] B的加速度大小的最大值为2g
[C] A的位移大小一定大于B的位移大小
[D] A的速度大小均不大于同一时刻B的速度大小
对点2.动力学中的图像问题
3.(4分)(2024·山西临汾三模)质量为m的物块静止在动摩擦因数为μ的水平地面上,0～3 s内所受水平拉力与时间的关系如图甲所示,0～2 s内加速度图像如图乙所示。重力加速度g取10 m/s2,由图可知(　　)
[A] m=1 kg,μ=0.2 [B] m=1 kg,μ=0.1
[C] m=2 kg,μ=0.2 [D] m=2 kg,μ=0.1
4.(4分)一个质量为6 kg的物体在粗糙的水平面上运动,图中的两条直线的其中一条为物体受水平拉力作用而另一条为不受拉力作用时的速度—时间图像,则物体所受摩擦力的大小的可能值为(　　)
[A] 1 N [B] 2 N [C] 2.5 N [D] 3 N
对点3.动力学中的临界和极值问题
5.(4分)(2024·湖南娄底二模)如图甲,光滑水平面上放置有紧靠在一起但并不粘合的A、B两个物体,A、B的质量分别为mA=6 kg,mB=4 kg,从t=0开始,推力FA和拉力FB分别作用于A、B上,FA、FB大小随时间变化的规律分别如图乙、丙所示,则(　　)
[A] t=0时,A物体的加速度为2 m/s2
[B] t=1 s时,A、B开始分离
[C] t=0时,A、B之间的相互作用力为3 N
[D] A、B开始分离时的速度为3 m/s
6.(6分)(多选)在水平直轨道上运动的火车车厢内有一个倾角为30°的斜面,如图所示。小球的重力、绳对球的拉力、斜面对小球的弹力分别用G、FT、FN表示,重力加速度g取10 m/s2,当火车以加速度a向右加速运动时,则(　　)
[A] 若a=20 m/s2,小球受G、FT、FN三个力的作用
[B] 若a=20 m/s2,小球只受G、FT两个力的作用
[C] 若a=10 m/s2,小球只受G、FT两个力的作用
[D] 若a=10 m/s2,小球受G、FT、FN三个力的作用
7.(6分)(多选)如图所示,轻弹簧的一端固定在倾角为θ的固定光滑斜面的底部,另一端和质量为m的小物块A相连,质量为m的小物块B紧靠A静止在斜面上,此时弹簧的压缩量为x0。从t=0时开始,对B施加沿斜面向上的外力,使B始终做匀加速直线运动。经过一段时间后,物块A、B分离,再经过同样长的时间,B距其出发点的距离恰好为x0。弹簧始终在弹性限度内,其中心轴线与斜面平行,重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　)
[A] 弹簧的劲度系数为
[B] A、B分离时,弹簧的压缩量为
[C] 物块B加速度的大小为gsin θ
[D] 物块B加速度的大小为gsin θ
8.(6分)(2024·山东青岛模拟)(多选)如图甲所示,一倾角为θ的足够长光滑斜面固定在水平地面上,斜面底端有一挡板,一根劲度系数k=100 N/m的轻弹簧两端分别连接在固定挡板和物块A上,紧挨着A放置物块B(不与A粘连),物块C用轻质细线通过光滑的轻质定滑轮与物块B连接,细线与斜面平行。开始时A、B均静止在斜面上,用手托住C,使细线刚好被拉直但无拉力。现撤去外力,C由静止开始运动,运动过程中物块A的加速度a与位移x的关系图像如图乙所示,已知运动过程中物体C未触地,g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
[A] 放手前弹簧的压缩量为15 cm
[B] 物块C的质量为2 kg
[C] 物块A的质量为2 kg
[D] 斜面倾角θ=30°
9.(12分)(2025·河南高考适应性考试)如图甲所示的水平地面上,质量为1 kg的物体在水平方向力F的作用下从静止开始做直线运动。图乙为F随时间t变化的关系图像,已知物体与水平地面之间的动摩擦因数为0.2,重力加速度大小g取 10 m/s2。求:
(1)在2 s末物体的速度大小;
(2)在0～3 s内物体所受摩擦力做的功。
(
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高中总复习·物理
第3讲　
小专题:牛顿运动定律的综合应用
在下列各图中,质量分别为m1、m2的物块A、B分别在恒力F的作用下沿同一平面做匀变速直线运动时,如何推导出在有、无摩擦力两种情况下A与B间弹力的表达式
提示:题图情境中,无论物体是否受到摩擦力(μ=0或μ1=μ2≠0),可先将物块A、B看作一个整体,然后再将其中一个隔离,分别根据牛顿第二定律列方程求解。
1.多个相互关联的物体连接(叠放、并排或由绳子、细杆、弹簧等连接)在一起构成的物体系统称为连接体。系统稳定时连接体一般具有相同的速度、加速度(或速度、加速度大小相等)。
2.常见连接体模型
3.共速连接体对合力的“分配协议”
两物块在外力F作用下一起运动,系统的加速度与每个物块的加速度相同,如图。
图甲:水平地面光滑;
图乙:m1、m2与水平地面间的动摩擦因数相同,地面粗糙;
图丙:m1、m2一起竖直向上加速;
图丁:m1、m2与固定粗糙斜面间的动摩擦因数相同。
[例1] 【叠放类】 (2024·湖南长沙阶段练习)如图所示,质量M=3 kg、倾角θ=37°的斜面体静止在粗糙水平地面上。在斜面上叠放质量m=2 kg的光滑楔形物块,物块在大小为19 N的水平恒力F作用下与斜面体恰好一起向右运动。取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,重力加速度g取10 m/s2,则斜面体与水平地面间的动摩擦因数为(　　)
[A] 0.10 [B] 0.18 [C] 0.25 [D] 0.38
B
【解析】 以整体为研究对象,根据牛顿第二定律得F-μ(M+m)g=(M+m)a,再以楔形物块为研究对象,如图所示,在竖直方向有FNcos θ-mg=0,水平方向有F-FNsin θ=ma,联立解得μ=0.18,故B正确。
[例2] 【轻绳类】 如图所示,水平面上有两个质量分别为m1和m2的木块1和2,中间用一根轻绳连接,两木块的材料相同,现用力F向右拉木块2,当两木块一起向右做匀加速直线运动时,已知重力加速度为g,下列说法正确的是(　　)
[A] 若水平面是光滑的,则m2越大绳的拉力越大
[C] 绳的拉力大小与水平面是否粗糙无关
[D] 绳的拉力大小与水平面是否粗糙有关
C
[变式] 【轻绳连接体中的多物体问题】 在[例2]中,若木块1和2的质量分别为3m和2m,将质量为m的物体A叠放在木块1上,如图所示,水平面光滑,轻绳能承受的最大拉力为FT。现用水平拉力F拉木块2,使木块1、木块2和物体A以同一加速度向右运动,则绳即将断裂瞬间,A与木块1间的摩擦力为多大
整体法与隔离法在分析共速连接体中的应用
(1)整体法:若连接体内的物体具有共同加速度,可以把它们看成一个整体,分析整体受到的外力,应用牛顿第二定律求出加速度。
(2)隔离法:求系统内两物体之间的作用力时,就需要把物体从系统中隔离出来,应用牛顿第二定律列方程求解。
(3)整体法和隔离法交替使用:一般情况下,若连接体内各物体具有相同的加速度,且求物体之间的作用力时,可以先用整体法求出加速度,然后再隔离某一物体,应用牛顿第二定律求相互作用力;若求某一外力,可以先隔离某一物体求出加速度,再用整体法求合力或某一个力。
方法点拨
[例3] 【弹簧类】 如图所示,质量为m的小球P用轻弹簧和细线分别悬挂于固定在小车上的支架M、N两点。已知弹簧劲度系数为k,重力加速度为g,当小车水平向右做直线运动时,细线与竖直方向的夹角为θ,轻弹簧处于竖直方向,则下列说法正确的是(　　)
B
阿特伍德机原理示意图
(1)物体B运动过程中的加速度大小;
规范答题
(2)系统由静止释放后,运动过程中物体B、C间作用力的大小。
规范答题
关联速度的连接体问题处理方法
关联速度连接体做加速运动时,由于加速度的方向不同,一般分别选取研究对象,对两物体分别列牛顿第二定律方程,用隔离法求解加速度及相互作用力。
方法点拨
1.常见动力学图像及应用方法
v-t 图像 根据图像的斜率判断加速度的大小和方向,进而根据牛顿第二定律求解合力
F-a 图像 首先要根据具体的物理情境,对物体进行受力分析,然后根据牛顿第二定律推导出F、a两个物理量间的函数关系式,根据函数关系式结合图像,明确图像的斜率、截距或面积的意义,从而由图像给出的信息求出未知量
a-t 图像 要注意加速度的正、负,正确分析每一段的运动情况,然后结合物体受力情况根据牛顿第二定律列方程
F-t 图像 要结合物体受到的力,根据牛顿第二定律求出加速度,分析每一时间段的运动性质
2.解题策略
(1)分清图像的类别:即分清横、纵坐标轴所代表的物理量,明确其物理意义,掌握物理图像所反映的物理过程。
(2)注意图线中的一些特殊点所表示的物理意义:图线与横、纵坐标轴的交点、图线的转折点、两图线的交点等。
(3)明确能从图像中获得哪些信息:把图像与具体的题意、情境结合起来,应用物理规律列出与图像对应的函数关系式,进而明确图像与公式、图像与物体运动间的关系,以便对有关物理问题作出准确判断。
[例4] 【动力学中的常规图像】 某游泳运动员在0～6 s时间内运动的v-t图像如图所示。关于该运动员,下列说法正确的是(　　)
[A] 在0～6 s内所受的合力一直不为零
[B] 在0～6 s内的位移大小为24 m
[C] 在2～4 s内一定处于超重状态
[D] 在4～6 s内的位移大小为8 m
D
[例5] 【动力学中的非常规图像】 航天员在某星球上把一质量为m的物体(可视为质点)竖直向上抛出,物体速度的平方v2随高度h的变化情况如图所示,图中v0、v′、H均为已知量。若物体在运动过程中受到的阻力大小恒定,则下列说法正确的是(　　)
C
1.临界、极值条件的标志
(1)题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼,明显表明题述的过程存在着临界点。
(2)题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明题述的过程存在着极值,这个极值点往往是临界点。
2.常见的临界条件
(1)两物体脱离的临界条件:FN=0。
(2)相对滑动的临界条件:静摩擦力达到最大值。
(3)绳子断裂或松弛的临界条件:绳子断裂的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力;绳子松弛的临界条件是FT=0。
(4)速度达到最大的临界条件:加速度变为零。
[例6] 【分离的临界问题】 (2024·山东潍坊一模)如图所示,一倾角为37°的足够长光滑斜面固定在水平地面上,斜面底端有一挡板,一根劲度系数k=100 N/m的轻弹簧两端分别连接在固定挡板和物体P上,紧挨着P放置物体Q(不与P粘连),现对Q施加一个沿斜面向上的拉力F使Q做匀加速直线运动,从施加拉力开始计时,t=0.2 s后拉力F不再变化,已知P的质量mP=1 kg,Q的质量mQ=4 kg,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
[A] t=0时P、Q间的作用力为24 N
[B] t=0.2 s时弹簧中的弹力为零
[C] t=0.2 s时拉力F=56 N
[D] Q的加速度大小为15 m/s2
C
[例7] 【相对滑动的临界问题】 (多选)如图甲所示,足够长的木板B静置于光滑水平面上,其上放置小滑块A,滑块A受到随时间t变化的水平拉力F作用时,用传感器测出滑块A的加速度a,得到如图乙所示的a-F图像,A、B之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度g取10 m/s2,则(　 　)
[A] 滑块A的质量为4 kg
[B] 木板B的质量为2 kg
[C] 当F=10 N时滑块A的加速度为6 m/s2
[D] 滑块A与木板B间的动摩擦因数为0.2
BC
B
处理临界问题的三种方法
方法点拨
极限法 把物理问题(或过程)推向极端,从而使临界现象(或状态)暴露出来,以达到正确解决问题的目的
假设法 临界问题存在多种可能,特别是有非此即彼两种可能时,或变化过程中可能出现临界条件,也可能不出现临界条件时,往往用假设法解决问题
数学 分析法 将物理过程转化为数学表达式,根据数学表达式解出临界条件
基础对点练
对点1.动力学中的连接体问题
1.(4分)(2024·河南安阳阶段练习)如图所示,质量为2m、倾角为θ的光滑斜面体A放置在光滑的水平桌面上,细线绕过固定在桌面右侧的光滑定滑轮,一端与斜面体A相连,另一端悬挂着质量为m的物块C,斜面体与定滑轮之间的细线平行于桌面。现将质量为m的物块B放在斜面上,同时释放物块C,斜面体A与物块B恰能保持相对静止并一起滑动。则tan θ 等于(　　)
C
2.(4分)如图所示,质量相等的两小球A、B,二者用一轻弹簧竖直连接,A的上端用轻绳系在足够高的天花板上,初始时A、B均静止。现将轻绳剪断,则从此刻开始到弹簧第一次恢复原长之前(　　)
[A] A的加速度大小的最大值为g
[B] B的加速度大小的最大值为2g
[C] A的位移大小一定大于B的位移大小
[D] A的速度大小均不大于同一时刻B的速度大小
C
对点2.动力学中的图像问题
3.(4分)(2024·山西临汾三模)质量为m的物块静止在动摩擦因数为μ的水平地面上,0～3 s内所受水平拉力与时间的关系如图甲所示,0～2 s内加速度图像如图乙所示。重力加速度g取10 m/s2,由图可知(　　)
[A] m=1 kg,μ=0.2 [B] m=1 kg,μ=0.1
[C] m=2 kg,μ=0.2 [D] m=2 kg,μ=0.1
A
【解析】 0～1 s内,根据牛顿第二定律可得F1-μmg=ma,1～2 s内,物块仍运动,受到滑动摩擦力,由题图乙知加速度为零,有F2=μmg,联立可得m=1 kg,
μ=0.2,故A正确。
4.(4分)一个质量为6 kg的物体在粗糙的水平面上运动,图中的两条直线的其中一条为物体受水平拉力作用而另一条为不受拉力作用时的速度—时间图像,则物体所受摩擦力的大小的可能值为(　　)
[A] 1 N [B] 2 N [C] 2.5 N [D] 3 N
B
对点3.动力学中的临界和极值问题
5.(4分)(2024·湖南娄底二模)如图甲,光滑水平面上放置有紧靠在一起但并不粘合的A、B两个物体,A、B的质量分别为mA=6 kg,mB=4 kg,从t=0开始,推力FA和拉力FB分别作用于A、B上,FA、FB大小随时间变化的规律分别如图乙、丙所示,则(　　)
[A] t=0时,A物体的加速度为2 m/s2
[B] t=1 s时,A、B开始分离
[C] t=0时,A、B之间的相互作用力为3 N
[D] A、B开始分离时的速度为3 m/s
B
6.(6分)(多选)在水平直轨道上运动的火车车厢内有一个倾角为30°的斜面,如图所示。小球的重力、绳对球的拉力、斜面对小球的弹力分别用G、FT、FN表示,重力加速度g取10 m/s2,当火车以加速度a向右加速运动时,则( 　 　)
[A] 若a=20 m/s2,小球受G、FT、FN三个力的作用
[B] 若a=20 m/s2,小球只受G、FT两个力的作用
[C] 若a=10 m/s2,小球只受G、FT两个力的作用
[D] 若a=10 m/s2,小球受G、FT、FN三个力的作用
BD
AC
综合提升练
8.(6分)(2024·山东青岛模拟)(多选)如图甲所示,一倾角为θ的足够长光滑斜面固定在水平地面上,斜面底端有一挡板,一根劲度系数k=100 N/m的轻弹簧两端分别连接在固定挡板和物块A上,紧挨着A放置物块B(不与A粘连),物块C用轻质细线通过光滑的轻质定滑轮与物块B连接,细线与斜面平行。开始时A、B均静止在斜面上,用手托住C,使细线刚好被拉直但无拉力。现撤去外力,C由静止开始运动,运动过程中物块A的加速度a与位移x的关系图像如图乙所示,已知运动过程中物体C未触地,g取10 m/s2。下列说法正确的是(　 　 )
[A] 放手前弹簧的压缩量为15 cm
[B] 物块C的质量为2 kg
[C] 物块A的质量为2 kg
[D] 斜面倾角θ=30°
ABD
9.(12分)(2025·河南高考适应性考试)如图甲所示的水平地面上,质量为1 kg的物体在水平方向力F的作用下从静止开始做直线运动。图乙为F随时间t变化的关系图像,已知物体与水平地面之间的动摩擦因数为0.2,重力加速度大小g取 10 m/s2。求:
(1)在2 s末物体的速度大小;
【答案】 (1)8 m/s　
【解析】 (1)0～2 s内,由牛顿第二定律有
F1-μmg=ma1,
解得a1=4 m/s2,
v=a1t1=8 m/s。
(2)在0～3 s内物体所受摩擦力做的功。
【答案】　(2)-27 J

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