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第5讲　小专题:动力学中的传送带模型
考点一　水平传送带中的动力学问题
1.传送带模型问题的两个关键分析
受力 分析 (1)摩擦力方向的判断:①同向“以快带慢”;②反向“互相阻碍”。 (2)共速时摩擦力可能突变:①滑动摩擦力突变为零;②滑动摩擦力突变为静摩擦力;③摩擦力方向突变
运动 分析 (1)参考系的选择:①研究物体的速度、位移、加速度时均以地面为参考系;②研究物体的滑行痕迹等一般以传送带为参考系。 (2)判断共速以后物体是否能与传送带保持相对静止。 (3)判断物体在达到共速之前是否滑出传送带
2.水平传送带的几种情况
(条件:传送带以速度v匀速运行,滑块的初速度为v0)
情境 滑块的运动情况
传送带不够长 传送带足够长
一直匀加速 先匀加速后匀速
续　表
情境 滑块的运动情况
传送带不够长 传送带足够长
v0v0>v时,一直匀减速 v0>v时,先匀减速再匀速
滑块一直 匀减速 滑块先匀减速到速度为零,后被传送带传回左端: (1)若v0v,返回到左端时速度为v
[例1] 【水平传送带】 如图所示,水平固定放置的传送带在电机的作用下一直保持速度v=4 m/s顺时针转动,两轮轴心间距L=10 m。一个物块(视为质点)以速度v0=8 m/s从左轮的正上方水平向右滑上传送带,经过t=2 s物块离开传送带,重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
[A] 物块在传送带上一直做匀减速直线运动
[B] 物块在传送带上做匀减速运动的时间为1.5 s
[C] 物块与传送带之间的动摩擦因数为0.4
[D] 物块在传送带上留下的划痕长为6 m
【答案】 C
【解析】 假设物块在传送带上一直做匀减速直线运动,设加速度的大小为a,L=v0t-at2,解得a=3 m/s2,离开传送带时物块的速度为v1=v0-at=2 m/s<4 m/s,假设不成立,故物块在传送带上先做匀减速直线运动,再与传送带共速做匀速直线运动,最后从右端离开,A错误;设物块在传送带上做匀减速运动的时间为t1,则与传送带一起匀速运动的时间为2 s-t1,L=t1+v×(2 s-t1),解得t1=1 s,B错误;根据加速度的定义式可得a== m/s2=4 m/s2,由牛顿第二定律可得μmg=ma,解得μ=0.4,物块与传送带之间的动摩擦因数为0.4,C正确;物块与传送带的相对位移大小即划痕长度为Δx=v0t1-a-vt1=2 m,物块在传送带上留下的划痕长为2 m,D错误。
[提升] 【水平加速传送带】 在[例1]中,若物块与传送带之间的动摩擦因数为μ。初始时,传送带与物块都是静止的,现让传送带以恒定的加速度a0开始运动,当其速度达到v0后,便以此速度做匀速运动。经过一段时间,物块在传送带上留下了一段痕迹后,物块相对于传送带不再滑动。求此痕迹的长度。
【答案】
【解析】 依题意知,a0>=μg,即传送带的加速度大于物块的加速度,由运动学公式可得,传送带达到匀速所用时间t1=,物块达到与传送带相对静止的时间t2=,
根据以上分析,物块与传送带的vt图线分别如图中直线OB和折线OAB所示。
因vt图线和t轴所围图形的面积表示位移,则△OAB的面积即为二者间的相对位移,即痕迹的长度。由几何知识得l=(t2-t1)v0=(-)v0,
整理得l=。
(1)传送带问题中物体所受摩擦力的“地位”。
①物体与传送带运动方向相同时,若v物v带,摩擦力为阻力,物体减速。
②物体与传送带运动方向相反时,摩擦力先为阻力,物体减速到零再为动力,物体反向加速运动。
③当v物=v带时,摩擦力发生突变,物体的加速度发生突变。
(2)求解“划痕”问题。
物体与传送带的划痕长度Δx等于物体与传送带的相对位移的大小,即等于两者对地的位移之差的绝对值,即Δx=|x带-x物|。
[例2] 【传送带与动力学图像的结合】 (2024·江苏镇江联考)如图所示,水平方向的传送带顺时针转动,传送带速度大小恒为v=2 m/s,两端A、B间距离为3 m,一物块从B端以初速度v0=4 m/s滑上传送带,物块与传送带间的动摩擦因数μ=0.4,g取10 m/s2。物块从滑上传送带到离开传送带的过程中,速度随时间变化的图像是下列选项图中的(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 物块先向左做匀减速运动,加速度大小a=μg=4 m/s2,经过t1==1 s速度减小到零,此时向左运动的位移x1=v0t1-a=2 m<3 m,物块没有到达传送带A端,因此接下来物块向右加速运动,加速度大小不变,经t2==0.5 s速度达到2 m/s,与传送带的速度相等,这时向右运动的位移x2=a=0.5 m,接下来向右匀速运动,选项B正确。
考点二　倾斜传送带中的动力学问题
倾斜传送带的几种情况
(条件:传送带以速度v匀速运行,滑块的初速度为v0)
情境 滑块的运动情况
传送带不够长 传送带足够长
一直加速(一定满足关系μ>tan θ) 先加速后匀速(一定满足关系μ>tan θ)
一直加速(加速度为gsin θ+μgcos θ) 若μ≥tan θ,先加速后匀速
若μv0v0>v时:若μ>tan θ,一直减速,加速度大小为μgcos θ-gsin θ;若μv时:若μ>tan θ,先减速后匀速;若μ(摩擦力方向一定 沿斜面向上) μμ>tan θ,一直减速 μ>tan θ,先减速到速度为零后反向加速再匀速,若v0≤v,则回到原位置时速度大小为v0,若v0>v,则回到原位置时的速度大小为v
[例3] 【倾斜上传】 (2024·安徽卷,4)倾角为θ的传送带以恒定速率v0顺时针转动。t=0时在传送带底端无初速轻放一小物块,如图所示。t0时刻物块运动到传送带中间某位置,速度达到v0。不计空气阻力,则物块从传送带底端运动到顶端的过程中,加速度a、速度v随时间t变化的关系图线可能正确的是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 物块轻放在传送带上,0～t0时间内做加速运动。由受力分析可知,物块受重力、支持力、滑动摩擦力,滑动摩擦力大于重力沿传送带向下的分力,合力不变,加速度不变,做匀加速运动。t0之后,当物块速度与传送带相同时,静摩擦力与重力沿传送带向下的分力相等,加速度突变为零,物块做匀速直线运动,C正确,A、B、D错误。
[例4] 【倾斜下传】 (2024·江苏淮安检测)如图所示,传送带与水平地面的夹角θ=37°,从A到B的长度为L=10.25 m,传送带以v0=10 m/s的速率逆时针转动。在传送带上端A无初速度放一个质量为m=0.5 kg 的黑色煤块(可视为质点),它与传送带之间的动摩擦因数为μ=0.5,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,煤块在传送带上经过会留下黑色痕迹。取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g取10 m/s2。
(1)判断当煤块与传送带速度相同时,接下来它们能否相对静止;
(2)求煤块从A运动到B的时间;
(3)求煤块从A到B的过程中在传送带上留下痕迹的长度。
【答案】 (1)不能　(2)1.5 s　(3)5 m
【解析】 (1)由于mgsin 37°>μmgcos 37°,所以煤块与传送带速度相同后,它们不能相对静止。
(2)煤块刚放上时,受到沿传送带向下的摩擦力,由牛顿第二定律得
mgsin θ+μmgcos θ=ma1,
解得加速度大小为 a1=10 m/s2,
煤块加速运动至与传送带速度相同时需要的时间 t1==1 s,
发生的位移 x1=a1=5 m,
煤块速度达到v0后,加速度大小改变,继续沿传送带向下加速运动,则有
mgsin θ-μmgcos θ=ma2,
解得 a2=2 m/s2,
且 x2=L-x1=5.25 m,
由x2=v0t2+a2,得 t2=0.5 s,
故煤块从A运动到B的时间为t=t1+t2=1.5 s。
(3)第一过程痕迹长 Δx1=v0t1-x1=5 m,
第二过程痕迹长 Δx2=x2-v0t2=0.25 m,
Δx2与Δx1部分重合,故痕迹总长为5 m。
对点1.水平传送带中的动力学问题
1.(4分)(2024·贵州黔西联考)如图,水平传送带匀速顺时针转动,速度大小v1=2 m/s,A、B两轮间的距离L为4 m,在右端一物块以v2=3 m/s的速度滑上传送带,物块与传送带间的动摩擦因数μ=0.2,g取10 m/s2,则下列说法正确的是(　　)
[A] 物块能滑过B轮
[B] 物块经t=2 s速度减为零
[C] 物块返回到A轮时的速度大小仍是3 m/s
[D] 物块在传送带上滑动时加速度的大小是2 m/s2
【答案】 D
【解析】 物块向左运动时,受到的滑动摩擦力向右,产生的加速度大小为a==2 m/s2,物块向左运动速度减小到零时所用时间为t==1.5 s,通过的位移大小为x==2.25 m2.(6分)(多选)快递分拣站利用传送带可以大幅提高分拣效率,其过程可以简化为如图所示,水平传送带长为L,以一定的速度v2=8 m/s顺时针匀速运行,工作人员以一定的初速度v1将快递箱推放到传送带左端。若快递箱被从左端由静止释放,到达右端过程中加速时间和匀速时间相等,快递箱可视为质点,快递箱与传送带间的动摩擦因数μ=0.4,g取10 m/s2,则(　　)
[A] 传送带长L为24 m
[B] 若v1=0,全程快递箱在传送带上留下的痕迹长为4 m
[C] 若v1=v2,则全程快递箱的路程与传送带的路程之比为12∶13
[D] 若v1=0,将传送带速度增大为原来的2倍,则快递箱先匀加速运动再匀速运动
【答案】 AC
【解析】 当v1=0时,根据牛顿第二定律知,快递箱加速时加速度a==μg=4 m/s2,快递箱加速过程的位移x1==8 m,快递箱匀速过程位移x2=v2·=16 m,所以传送带总长L=24 m,则痕迹长Δx=x2-x1=8 m,故A正确,B错误;如果v1=v2,快递箱加速时间t1==1 s,加速位移x1′==6 m,匀速时间t2==2.25 s,在此期间传送带匀速位移x=v2(t1+t2)=26 m,所以两者路程之比为L∶x=12∶13,故C正确;如果传送带速度加倍,则快递箱加速时间t1′==4 s,加速位移x1″==32 m,大于24 m,所以快递箱一直匀加速运动,故D错误。
对点2.倾斜传送带中的动力学问题
3.(4分)如图甲所示,MN是一段倾角为θ=30°的传送带,一个可以看作质点、质量为m=1 kg的物块,以沿传送带向下的速度v0=4 m/s从M点开始沿传送带运动。物块运动过程的部分vt图像如图乙所示,g取10 m/s2,则(　　)
[A] 物块最终从传送带N点离开
[B] 物块将在4.8 s时回到原处
[C] 物块与传送带之间的动摩擦因数为
[D] 传送带的速度v=1 m/s,方向为逆时针
【答案】 C
【解析】 由题图乙可知,物块速度减为零后反向向上运动,最终的速度大小为1 m/s,因此物块没从N点离开,物块最终与传送带共速,所以传送带沿顺时针方向运动,速度大小为1 m/s,故A、D错误;vt图像中的斜率表示加速度,可知物块沿传送带下滑时的加速度大小为a= m/s2=2.5 m/s2,根据牛顿第二定律可得a=,联立解得物块与传送带之间的动摩擦因数为μ=,故C正确;物块沿传送带向下减速到速度为零所用时间为t1==1.6 s,物块沿传送带向下减速通过的位移大小为x1=t1=3.2 m,物块反向向上加速到与传送带共速所用时间为t2==0.4 s,物块反向向上加速通过的位移大小为x2=t2=0.2 m,则物块与传送带共速后继续向上运动回到原处所用时间为t3==3 s,则物块从滑上传送带到回到原处所用时间为t=t1+t2+t3=5 s,故B错误。
4.(6分)(2024·江西南昌二模)(多选)如图所示,一传送带倾斜放置,以恒定速率v顺时针转动。t=0时刻一物块以初速度v0从A端冲上传送带,t=t0时刻离开传送带,则物块速度随时间变化的图像可能是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 AC
【解析】 对物块受力分析可知,物块受到重力、摩擦力和支持力。设最大静摩擦力大小为Fm,重力沿传送带向下的分力为mgsin θ。若v0v,物块先做匀减速运动,加速度a1=gsin θ+μgcos θ,与传送带共速后,若Fm5.(8分)机场地勤工作人员利用传送带从飞机上卸行李。如图所示,以恒定速率v1=0.6 m/s运行的传送带与水平面间的夹角θ=37°,转轴间距L=3.95 m。工作人员沿传送方向以速度v2=1.6 m/s从传送带顶端推下一件小包裹(可视为质点)。小包裹与传送带间的动摩擦因数μ=0.8。重力加速度g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。求:
(1)小包裹相对传送带滑动时加速度的大小a;
(2)小包裹通过传送带所需的时间t。
【答案】 (1)0.4 m/s2　(2)4.5 s
【解析】 (1)小包裹的速度v2大于传送带的速度v1,所以小包裹受到传送带的摩擦力沿传送带向上,根据牛顿第二定律可知μmgcos θ-mgsin θ=ma,
解得a=0.4 m/s2。
(2)根据(1)可知小包裹开始阶段在传送带上做匀减速直线运动,用时t1==2.5 s,
在传送带上滑动的距离为x1=t1=2.75 m,
因为小包裹所受滑动摩擦力大于重力沿传送带方向上的分力,即μmgcos θ>mgsin θ,所以小包裹与传送带共速后做匀速直线运动至传送带底端,匀速运动的时间为t2==2 s,
所以小包裹通过传送带的时间为t=t1+t2=4.5 s。
6.(6分)(多选)如图甲所示,水平放置的传送带在电机的作用下以v2=4 m/s的速度顺时针转动,两轮轴心间距为L=5 m。质量为m=0.5 kg的物块(可视为质点),从左轮的正上方以速度v1水平向右滑上传送带后物块与传送带的vt图像如图乙所示,经过时间t0从右轮的正上方离开传送带,物块与传送带间的动摩擦因数为μ=0.2,重力加速度g取10 m/s2,物块在传送带上运动的过程中,下列说法正确的是(　　)
[A] 物块在传送带上运动时先受滑动摩擦力再受静摩擦力
[B] 物块在传送带上运动的时间为t0=1 s
[C] 物块滑上传送带的速度v1=6 m/s
[D] 物块与传送带之间的相对位移大小为Δx=1 m
【答案】 BCD
【解析】 由题图乙可知物块在传送带上运动的过程中,始终做匀减速运动,对其受力分析可知,物块在传送带上运动时始终受滑动摩擦力的作用,故A错误;物块在传送带上运动的过程中,以初速度方向为正方向,由牛顿第二定律可得-μmg=ma,物块在传送带上运动的过程中,由匀变速直线运动的规律可得-=2aL,L=t0,联立解得v1=6 m/s,t0=1 s,故B、C正确;传送带的位移为x=v2t0=4 m,物块与传送带之间的相对位移大小为Δx=L-x=1 m,故D正确。
7.(6分)(多选)如图甲所示,一足够长的传送带倾斜放置,倾角为θ,以恒定速率顺时针转动,一煤块以初速度v0=12 m/s从A端冲上传送带,煤块的速度随时间变化的图像如图乙所示,g取10 m/s2,则下列说法正确的是(　　)
[A] 倾斜传送带与水平方向夹角的正切值tan θ=0.75
[B] 煤块与传送带间的动摩擦因数μ=0
[C] 煤块从最高点下滑到A端所用的时间为2 s
[D] 煤块在传送带上留下的痕迹长为(12+4)m
【答案】 AD
【解析】 0～1 s内煤块的加速度大小为a1=||= m/s2=8 m/s2,根据牛顿第二定律可得mgsin θ+μmgcos θ=ma1,1 s后煤块的加速度大小为a2=||= m/s2=4 m/s2,根据牛顿第二定律可得mgsin θ-μmgcos θ=ma2,联立解得θ=37°,μ=0.25,倾斜传送带与水平方向夹角的正切值为tan θ=0.75,故A正确,B错误;0～1 s煤块的位移为x1=v0t1-a1=12×1 m-×8×12 m=8 m,1～2 s煤块的位移为x2=v1t2-a2=4×1 m-×4×12 m=2 m,煤块下滑的过程中,根据运动学公式有x1+x2=a2,解得煤块从最高点下滑到A端所用的时间为t3= s,故C错误;0～1 s煤块相对传送带向上的位移Δx1=x1-v′t1=(8-4×1)m=4 m,1～2 s煤块相对传送带向下的位移为Δx2=v′t2-x2=4×1 m-2 m=2 m,2～(2+)s煤块相对传送带向下的位移为Δx3=x1+x2+v′t3=8 m+2 m+4 m=(10+4)m,由于Δx2+Δx3>Δx1,煤块在传送带上留下的痕迹长为Δx=Δx2+Δx3=(12+4)m,故D正确。
8.(10分)应用于地铁的包裹安检装置,其传送包裹部分可简化为如图所示的传送带示意图。若安检时某乘客将可视为质点的包裹静止放在传送带的最左端,传送带始终以v0=0.5 m/s的速度顺时针匀速运行,包裹与传送带间的动摩擦因数为μ=0.05,传送带全长l=2 m,包裹传送到最右端时乘客才能将其拿走,重力加速度g取10 m/s2。
(1)求包裹在传送带上运动的时间;
(2)求当包裹与传送带相对静止时,包裹相对于传送带运动的距离;
(3)若乘客将包裹放在传送带上后,立即以v=1 m/s 的速度匀速从传送带最左端走到传送带的最右端,求乘客要想拿到包裹,需要在传送带最右端等待的时间。
【答案】 (1)4.5 s　(2)0.25 m　(3)2.5 s
【解析】 (1)设包裹的质量为m,包裹加速阶段的加速度大小为a,则由牛顿第二定律可得
μmg=ma,
解得a=0.5 m/s2,
包裹加速到v0所用的时间为t1=,
解得t1=1 s,
t1时间内包裹的位移大小为x1=a,
解得x1=0.25 m,
包裹在传送带上匀速运动的时间为t2=,
解得t2=3.5 s,
故包裹在传送带上运动的总时间t=t1+t2=4.5 s。
(2)t1时间内传送带的位移大小为x2=v0t1,
解得x2=0.5 m,
故包裹相对于传送带运动的距离为Δx=x2-x1=0.25 m。
(3)乘客从传送带的最左端走到最右端所用的时间为t3==2 s,
故乘客需要在传送带最右端等待的时间为Δt=t-t3=2.5 s。
9.(10分)如图所示为某工厂的货物传送装置,倾斜运输带AB(与水平面成α=37°角)与一斜面BC(与水平面成θ=30°角)平滑连接,B点到C点的距离为L=0.6 m,运输带运行速度恒为v0=5 m/s,A点到B点的距离为x=4.5 m,现将一质量为m=0.4 kg的小物体轻轻放于A点,物体恰好能到达最高点C点,已知物体与斜面间的动摩擦因数μ1=,g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,求:
(1)小物体运动到B点时的速度v的大小;
(2)小物体与运输带间的动摩擦因数μ;
(3)小物体从A点运动到C点所经历的时间t。
【答案】 (1)3 m/s　(2)　(3)3.4 s
【解析】 (1)设小物体在斜面上做匀减速运动的加速度为a1,由牛顿第二定律得
mgsin θ+μ1mgcos θ=ma1,
由运动学公式知v2=2a1L,
联立解得v=3 m/s。
(2)因为v又因为v2=2a2x,
联立解得μ=。
(3)小物体从A点运动到B点的时间t1=,
从B点运动到C点的时间t2=,
联立并代入数据得小物体从A点运动到C点所经历的时间t=t1+t2=3.4 s。
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)第5讲　小专题:动力学中的传送带模型
考点一　水平传送带中的动力学问题
1.传送带模型问题的两个关键分析
受力 分析 (1)摩擦力方向的判断:①同向“以快带慢”;②反向“互相阻碍”。 (2)共速时摩擦力可能突变:①滑动摩擦力突变为零;②滑动摩擦力突变为静摩擦力;③摩擦力方向突变
运动 分析 (1)参考系的选择:①研究物体的速度、位移、加速度时均以地面为参考系;②研究物体的滑行痕迹等一般以传送带为参考系。 (2)判断共速以后物体是否能与传送带保持相对静止。 (3)判断物体在达到共速之前是否滑出传送带
2.水平传送带的几种情况
(条件:传送带以速度v匀速运行,滑块的初速度为v0)
情境 滑块的运动情况
传送带不够长 传送带足够长
一直匀加速 先匀加速后匀速
续　表
情境 滑块的运动情况
传送带不够长 传送带足够长
v0v0>v时,一直匀减速 v0>v时,先匀减速再匀速
滑块一直 匀减速 滑块先匀减速到速度为零,后被传送带传回左端: (1)若v0v,返回到左端时速度为v
[例1] 【水平传送带】 如图所示,水平固定放置的传送带在电机的作用下一直保持速度v=4 m/s顺时针转动,两轮轴心间距L=10 m。一个物块(视为质点)以速度v0=8 m/s从左轮的正上方水平向右滑上传送带,经过t=2 s物块离开传送带,重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
[A] 物块在传送带上一直做匀减速直线运动
[B] 物块在传送带上做匀减速运动的时间为1.5 s
[C] 物块与传送带之间的动摩擦因数为0.4
[D] 物块在传送带上留下的划痕长为6 m
[提升] 【水平加速传送带】 在[例1]中,若物块与传送带之间的动摩擦因数为μ。初始时,传送带与物块都是静止的,现让传送带以恒定的加速度a0开始运动,当其速度达到v0后,便以此速度做匀速运动。经过一段时间,物块在传送带上留下了一段痕迹后,物块相对于传送带不再滑动。求此痕迹的长度。
(1)传送带问题中物体所受摩擦力的“地位”。
①物体与传送带运动方向相同时,若v物v带,摩擦力为阻力,物体减速。
②物体与传送带运动方向相反时,摩擦力先为阻力,物体减速到零再为动力,物体反向加速运动。
③当v物=v带时,摩擦力发生突变,物体的加速度发生突变。
(2)求解“划痕”问题。
物体与传送带的划痕长度Δx等于物体与传送带的相对位移的大小,即等于两者对地的位移之差的绝对值,即Δx=|x带-x物|。
[例2] 【传送带与动力学图像的结合】 (2024·江苏镇江联考)如图所示,水平方向的传送带顺时针转动,传送带速度大小恒为v=2 m/s,两端A、B间距离为3 m,一物块从B端以初速度v0=4 m/s滑上传送带,物块与传送带间的动摩擦因数μ=0.4,g取10 m/s2。物块从滑上传送带到离开传送带的过程中,速度随时间变化的图像是下列选项图中的(　　)
[A] [B]
[C] [D]
考点二　倾斜传送带中的动力学问题
倾斜传送带的几种情况
(条件:传送带以速度v匀速运行,滑块的初速度为v0)
情境 滑块的运动情况
传送带不够长 传送带足够长
一直加速(一定满足关系μ>tan θ) 先加速后匀速(一定满足关系μ>tan θ)
一直加速(加速度为gsin θ+μgcos θ) 若μ≥tan θ,先加速后匀速
若μv0v0>v时:若μ>tan θ,一直减速,加速度大小为μgcos θ-gsin θ;若μv时:若μ>tan θ,先减速后匀速;若μ(摩擦力方向一定 沿斜面向上) μμ>tan θ,一直减速 μ>tan θ,先减速到速度为零后反向加速再匀速,若v0≤v,则回到原位置时速度大小为v0,若v0>v,则回到原位置时的速度大小为v
[例3] 【倾斜上传】 (2024·安徽卷,4)倾角为θ的传送带以恒定速率v0顺时针转动。t=0时在传送带底端无初速轻放一小物块,如图所示。t0时刻物块运动到传送带中间某位置,速度达到v0。不计空气阻力,则物块从传送带底端运动到顶端的过程中,加速度a、速度v随时间t变化的关系图线可能正确的是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
[例4] 【倾斜下传】 (2024·江苏淮安检测)如图所示,传送带与水平地面的夹角θ=37°,从A到B的长度为L=10.25 m,传送带以v0=10 m/s的速率逆时针转动。在传送带上端A无初速度放一个质量为m=0.5 kg 的黑色煤块(可视为质点),它与传送带之间的动摩擦因数为μ=0.5,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,煤块在传送带上经过会留下黑色痕迹。取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g取10 m/s2。
(1)判断当煤块与传送带速度相同时,接下来它们能否相对静止;
(2)求煤块从A运动到B的时间;
(3)求煤块从A到B的过程中在传送带上留下痕迹的长度。
(满分:60分)
对点1.水平传送带中的动力学问题
1.(4分)(2024·贵州黔西联考)如图,水平传送带匀速顺时针转动,速度大小v1=2 m/s,A、B两轮间的距离L为4 m,在右端一物块以v2=3 m/s的速度滑上传送带,物块与传送带间的动摩擦因数μ=0.2,g取10 m/s2,则下列说法正确的是(　　)
[A] 物块能滑过B轮
[B] 物块经t=2 s速度减为零
[C] 物块返回到A轮时的速度大小仍是3 m/s
[D] 物块在传送带上滑动时加速度的大小是2 m/s2
2.(6分)(多选)快递分拣站利用传送带可以大幅提高分拣效率,其过程可以简化为如图所示,水平传送带长为L,以一定的速度v2=8 m/s顺时针匀速运行,工作人员以一定的初速度v1将快递箱推放到传送带左端。若快递箱被从左端由静止释放,到达右端过程中加速时间和匀速时间相等,快递箱可视为质点,快递箱与传送带间的动摩擦因数μ=0.4,g取10 m/s2,则(　　)
[A] 传送带长L为24 m
[B] 若v1=0,全程快递箱在传送带上留下的痕迹长为4 m
[C] 若v1=v2,则全程快递箱的路程与传送带的路程之比为12∶13
[D] 若v1=0,将传送带速度增大为原来的2倍,则快递箱先匀加速运动再匀速运动
对点2.倾斜传送带中的动力学问题
3.(4分)如图甲所示,MN是一段倾角为θ=30°的传送带,一个可以看作质点、质量为m=1 kg的物块,以沿传送带向下的速度v0=4 m/s从M点开始沿传送带运动。物块运动过程的部分vt图像如图乙所示,g取10 m/s2,则(　　)
[A] 物块最终从传送带N点离开
[B] 物块将在4.8 s时回到原处
[C] 物块与传送带之间的动摩擦因数为
[D] 传送带的速度v=1 m/s,方向为逆时针
4.(6分)(2024·江西南昌二模)(多选)如图所示,一传送带倾斜放置,以恒定速率v顺时针转动。t=0时刻一物块以初速度v0从A端冲上传送带,t=t0时刻离开传送带,则物块速度随时间变化的图像可能是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
5.(8分)机场地勤工作人员利用传送带从飞机上卸行李。如图所示,以恒定速率v1=0.6 m/s运行的传送带与水平面间的夹角θ=37°,转轴间距L=3.95 m。工作人员沿传送方向以速度v2=1.6 m/s从传送带顶端推下一件小包裹(可视为质点)。小包裹与传送带间的动摩擦因数μ=0.8。重力加速度g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。求:
(1)小包裹相对传送带滑动时加速度的大小a;
(2)小包裹通过传送带所需的时间t。
6.(6分)(多选)如图甲所示,水平放置的传送带在电机的作用下以v2=4 m/s的速度顺时针转动,两轮轴心间距为L=5 m。质量为m=0.5 kg的物块(可视为质点),从左轮的正上方以速度v1水平向右滑上传送带后物块与传送带的vt图像如图乙所示,经过时间t0从右轮的正上方离开传送带,物块与传送带间的动摩擦因数为μ=0.2,重力加速度g取10 m/s2,物块在传送带上运动的过程中,下列说法正确的是(　　)
[A] 物块在传送带上运动时先受滑动摩擦力再受静摩擦力
[B] 物块在传送带上运动的时间为t0=1 s
[C] 物块滑上传送带的速度v1=6 m/s
[D] 物块与传送带之间的相对位移大小为Δx=1 m
7.(6分)(多选)如图甲所示,一足够长的传送带倾斜放置,倾角为θ,以恒定速率顺时针转动,一煤块以初速度v0=12 m/s从A端冲上传送带,煤块的速度随时间变化的图像如图乙所示,g取10 m/s2,则下列说法正确的是(　　)
[A] 倾斜传送带与水平方向夹角的正切值tan θ=0.75
[B] 煤块与传送带间的动摩擦因数μ=0
[C] 煤块从最高点下滑到A端所用的时间为2 s
[D] 煤块在传送带上留下的痕迹长为(12+4)m
8.(10分)应用于地铁的包裹安检装置,其传送包裹部分可简化为如图所示的传送带示意图。若安检时某乘客将可视为质点的包裹静止放在传送带的最左端,传送带始终以v0=0.5 m/s的速度顺时针匀速运行,包裹与传送带间的动摩擦因数为μ=0.05,传送带全长l=2 m,包裹传送到最右端时乘客才能将其拿走,重力加速度g取10 m/s2。
(1)求包裹在传送带上运动的时间;
(2)求当包裹与传送带相对静止时,包裹相对于传送带运动的距离;
(3)若乘客将包裹放在传送带上后,立即以v=1 m/s 的速度匀速从传送带最左端走到传送带的最右端,求乘客要想拿到包裹,需要在传送带最右端等待的时间。
9.(10分)如图所示为某工厂的货物传送装置,倾斜运输带AB(与水平面成α=37°角)与一斜面BC(与水平面成θ=30°角)平滑连接,B点到C点的距离为L=0.6 m,运输带运行速度恒为v0=5 m/s,A点到B点的距离为x=4.5 m,现将一质量为m=0.4 kg的小物体轻轻放于A点,物体恰好能到达最高点C点,已知物体与斜面间的动摩擦因数μ1=,g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,求:
(1)小物体运动到B点时的速度v的大小;
(2)小物体与运输带间的动摩擦因数μ;
(3)小物体从A点运动到C点所经历的时间t。
(
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高中总复习·物理
第5讲　
小专题:动力学中的传送带
模型
1.传送带模型问题的两个关键分析
受力 分析 (1)摩擦力方向的判断:①同向“以快带慢”;②反向“互相阻碍”。
(2)共速时摩擦力可能突变:①滑动摩擦力突变为零;②滑动摩擦力突变为静摩擦力;③摩擦力方向突变
运动 分析 (1)参考系的选择:①研究物体的速度、位移、加速度时均以地面为参考系;②研究物体的滑行痕迹等一般以传送带为参考系。
(2)判断共速以后物体是否能与传送带保持相对静止。
(3)判断物体在达到共速之前是否滑出传送带
2.水平传送带的几种情况
(条件:传送带以速度v匀速运行,滑块的初速度为v0)
情境 滑块的运动情况
传送带不够长 传送带足够长
一直匀加速 先匀加速后匀速
v0v0>v时,一直匀减速 v0>v时,先匀减速再匀速
滑块一直 匀减速 滑块先匀减速到速度为零,后被传送带传回左端:
(1)若v0(2)若v0>v,返回到左端时速度为v
[例1] 【水平传送带】 如图所示,水平固定放置的传送带在电机的作用下一直保持速度v=4 m/s顺时针转动,两轮轴心间距L=10 m。一个物块(视为质点)以速度v0=8 m/s从左轮的正上方水平向右滑上传送带,经过t=2 s物块离开传送带,重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
[A] 物块在传送带上一直做匀减速直线运动
[B] 物块在传送带上做匀减速运动的时间为1.5 s
[C] 物块与传送带之间的动摩擦因数为0.4
[D] 物块在传送带上留下的划痕长为6 m
C
[提升] 【水平加速传送带】 在[例1]中,若物块与传送带之间的动摩擦因数为μ。初始时,传送带与物块都是静止的,现让传送带以恒定的加速度a0开始运动,当其速度达到v0后,便以此速度做匀速运动。经过一段时间,物块在传送带上留下了一段痕迹后,物块相对于传送带不再滑动。求此痕迹的长度。
方法点拨
(1)传送带问题中物体所受摩擦力的“地位”。
①物体与传送带运动方向相同时,若v物v带,摩擦力为阻力,物体减速。
②物体与传送带运动方向相反时,摩擦力先为阻力,物体减速到零再为动力,物体反向加速运动。
③当v物=v带时,摩擦力发生突变,物体的加速度发生突变。
(2)求解“划痕”问题。
物体与传送带的划痕长度Δx等于物体与传送带的相对位移的大小,即等于两者对地的位移之差的绝对值,即Δx=|x带-x物|。
B
[A] [B] [C] [D]
倾斜传送带的几种情况
(条件:传送带以速度v匀速运行,滑块的初速度为v0)
情境 滑块的运动情况
传送带不够长 传送带足够长
一直加速(一定满足关系μ>tan θ) 先加速后匀速(一定满足关系μ>tan θ)
一直加速(加速度为gsin θ+μgcos θ) 若μ≥tan θ,先加速后匀速
若μμgcos θ加速,后以a2=gsin θ-μgcos θ加速
v0v0>v时:若μ>tan θ,一直减速,加速度大小为μgcos θ-gsin θ;若μv时:若μ>tan θ,先减速后匀速;若μ(摩擦力方向一定 沿斜面向上) μμ>tan θ,一直减速 μ>tan θ,先减速到速度为零后反向加速再匀速,若v0≤v,则回到原位置时速度大小为v0,若v0>v,则回到原位置时的速度大小为v
C
[例3] 【倾斜上传】 (2024·安徽卷,4)倾角为θ的传送带以恒定速率v0顺时针转动。t=0时在传送带底端无初速轻放一小物块,如图所示。t0时刻物块运动到传送带中间某位置,速度达到v0。不计空气阻力,则物块从传送带底端运动到顶端的过程中,加速度a、速度v随时间t变化的关系图线可能正确的是(　　)
[A] [B] [C] [D]
[例4] 【倾斜下传】 (2024·江苏淮安检测)如图所示,传送带与水平地面的夹角θ=37°,从A到B的长度为L=10.25 m,传送带以v0=10 m/s的速率逆时针转动。在传送带上端A无初速度放一个质量为m=0.5 kg 的黑色煤块(可视为质点),它与传送带之间的动摩擦因数为μ=0.5,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,煤块在传送带上经过会留下黑色痕迹。取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g取10 m/s2。
(1)判断当煤块与传送带速度相同时,接下来它们能否相对静止;
【答案】 (1)不能
规范答题
【解析】 (1)由于mgsin 37°>μmgcos 37°,所以煤块与传送带速度相同后,它们不能相对静止。
(2)求煤块从A运动到B的时间;
【答案】 (2)1.5 s
规范答题
(3)求煤块从A到B的过程中在传送带上留下痕迹的长度。
【答案】 (3)5 m
规范答题
1.(4分)(2024·贵州黔西联考)如图,水平传送带匀速顺时针转动,速度大小v1=2 m/s,A、B两轮间的距离L为4 m,在右端一物块以v2=3 m/s的速度滑上传送带,物块与传送带间的动摩擦因数μ=0.2,g取10 m/s2,则下列说法正确的是(　　)
[A] 物块能滑过B轮
[B] 物块经t=2 s速度减为零
[C] 物块返回到A轮时的速度大小仍是3 m/s
[D] 物块在传送带上滑动时加速度的大小是2 m/s2
对点1.水平传送带中的动力学问题
基础对点练
D
AC
对点2.倾斜传送带中的动力学问题
C
[A] [B] [C] [D]
AC
【解析】 对物块受力分析可知,物块受到重力、摩擦力和支持力。设最大静摩擦力大小为Fm,重力沿传送带向下的分力为mgsin θ。若v0确,B错误;若v0>v,物块先做匀减速运动,加速度a1=gsin θ+μgcos θ,与传送带共速后,若Fm(1)小包裹相对传送带滑动时加速度的大小a;
【答案】 (1)0.4 m/s2　
【解析】 (1)小包裹的速度v2大于传送带的速度v1,所以小包裹受到传送带的摩擦力沿传送带向上,
根据牛顿第二定律可知μmgcos θ-mgsin θ=ma,
解得a=0.4 m/s2。
(2)小包裹通过传送带所需的时间t。
【答案】 (2)4.5 s
6.(6分)(多选)如图甲所示,水平放置的传送带在电机的作用下以v2=4 m/s的速度顺时针转动,两轮轴心间距为L=5 m。质量为m=0.5 kg的物块(可视为质点),从左轮的正上方以速度v1水平向右滑上传送带后物块与传送带的v-t图像如图乙所示,经过时间t0从右轮的正上方离开传送带,物块与传送带间的动摩擦因数为μ=0.2,重力加速度g取10 m/s2,物块在传送带上运动的过程中,下列说法正确的是(　 　)
[A] 物块在传送带上运动时先受滑动摩擦力再受静摩擦力
[B] 物块在传送带上运动的时间为t0=1 s
[C] 物块滑上传送带的速度v1=6 m/s
[D] 物块与传送带之间的相对位移大小为Δx=1 m
BCD
综合提升练
7.(6分)(多选)如图甲所示,一足够长的传送带倾斜放置,倾角为θ,以恒定速率顺时针转动,一煤块以初速度v0=12 m/s从A端冲上传送带,煤块的速度随时间变化的图像如图乙所示,g取10 m/s2,则下列说法正确的是(　 　)
[A] 倾斜传送带与水平方向夹角的正切值tan θ=0.75
[B] 煤块与传送带间的动摩擦因数μ=0
[C] 煤块从最高点下滑到A端所用的时间为2 s
[D] 煤块在传送带上留下的痕迹长为(12+4)m
AD
8.(10分)应用于地铁的包裹安检装置,其传送包裹部分可简化为如图所示的传送带示意图。若安检时某乘客将可视为质点的包裹静止放在传送带的最左端,传送带始终以v0=0.5 m/s的速度顺时针匀速运行,包裹与传送带间的动摩擦因数为μ=0.05,传送带全长l=2 m,包裹传送到最右端时乘客才能将其拿走,重力加速度g取10 m/s2。
(1)求包裹在传送带上运动的时间;
【答案】 (1)4.5 s　
(2)求当包裹与传送带相对静止时,包裹相对于传送带运动的距离;
【答案】 (2)0.25 m
【解析】 (2)t1时间内传送带的位移大小为x2=v0t1,
解得x2=0.5 m,
故包裹相对于传送带运动的距离为Δx=x2-x1=0.25 m。
(3)若乘客将包裹放在传送带上后,立即以v=1 m/s 的速度匀速从传送带最左端走到传送带的最右端,求乘客要想拿到包裹,需要在传送带最右端等待的时间。
【答案】 (3)2.5 s
(1)小物体运动到B点时的速度v的大小;
【答案】 (1)3 m/s
【解析】 (1)设小物体在斜面上做匀减速运动的加速度为a1,由牛顿第二定律得mgsin θ+μ1mgcos θ=ma1,
由运动学公式知v2=2a1L,
联立解得v=3 m/s。
(2)小物体与运输带间的动摩擦因数μ;
(3)小物体从A点运动到C点所经历的时间t。
【答案】 (3)3.4 s

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