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第3讲　实验:用单摆测量重力加速度
一、实验装置
二、实验器材
带孔小球、伸缩性小的细线(约1 m长)、铁架台、铁夹、刻度尺、停表、游标卡尺。
三、实验步骤
1.在细线的一端打一个比小球上的孔径稍大的结,将细线穿过球上的小孔。
2.把细线上端固定在铁架台的铁夹上,使铁夹伸到桌面以外,让摆球自然下垂,在单摆平衡位置处做上标记。
3.用刻度尺量出悬线长l′(准确到mm),用游标卡尺测出小球的直径d,然后计算出悬点到球心的距离l=l′+,即为摆长。
4.把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(小于5°),然后放开小球让它摆动,用停表测出单摆完成30~50次全振动的时间,计算出平均完成一次全振动的时间,即为单摆的振动周期。
5.变条件:改变摆长,重做几次实验。
四、数据处理
1.公式法:将相应的l和T代入公式g=中求出g值,通过改变摆长,求得重力加速度g的平均值。
2.图像法:由单摆周期公式T=2π,可得l=T2,以摆长l为纵坐标,以T2为横坐标作出的l-T2图像是一条过原点的直线,如图所示,其斜率k=,由图像斜率即可求得重力加速度g。
五、注意事项
1.实验所用的单摆应符合理论要求,即线要细且弹性要小,摆球用密度和质量较大的小球,并且要在摆角不超过5°的情况下进行实验。
2.要使单摆在竖直平面内振动,不能使其形成圆锥摆,方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放。
3.测量摆长时,摆长应为悬线长与摆球的半径之和。
4.测量单摆周期时,应从摆球通过平衡位置开始计时,并且采用倒数到0开始计时的方法,4、3、2、1、0、1、2、3…在数“0”的同时按下停表开始计时计数。
5.要注意进行多次测量,并取平均值。
六、误差分析
1.系统误差主要来源
单摆模型本身是否符合要求:①悬点是否固定。②小球与细线是否符合要求。③是单摆运动还是圆锥摆运动等。
2.本实验的偶然误差主要来源
(1)振动时间t(单摆周期T=)的测量:是否从摆球通过平衡位置开始计时、多记或漏记全振动的次数、停表的读数等。
(2)长度的测量:测量摆线长、摆球的直径读数时的误差等。
考点一　基础性实验
[例1] 【实验原理与操作】 (2024·广西卷,11)单摆可作为研究简谐运动的理想模型。
(1)制作单摆时,在图甲、图乙两种单摆的悬挂方式中,选择图甲方式的目的是要保持摆动中　　　　不变。
(2)用游标卡尺测量摆球直径,测得读数如图丙,则摆球直径为　　　　 cm。
(3)若将一个周期为T的单摆,从平衡位置拉开5°的角度释放,忽略空气阻力,摆球的振动可看作简谐运动。当地重力加速度为g,以释放时刻作为计时起点,则摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为　　　　　　　　　　　。
【答案】 (1)摆长　(2)1.06 (3)x=cos(t)
【解析】 (1)选择题图甲方式的目的是要保持摆动中摆长不变。
(2)摆球直径为d=1.0 cm+6×0.1 mm=1.06 cm。
(3)根据单摆的周期公式T=2π可得单摆的摆长为l=,从平衡位置拉开5°的角度处释放,可得振幅为A=lsin 5°,以该位置为计时起点,根据简谐运动规律可得摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为x=Acos ωt=cos(t)。
[例2] 【实验数据处理】 (2025·河南高考适应性考试)学生实验小组利用单摆测量当地的重力加速度。
实验器材有:铁架台、细线、摆球、秒表、卷尺等。
完成下列问题:
(1)实验时,将细线的一端连接摆球,另一端固定在铁架台上O点,如图甲所示,然后将摆球拉离平衡位置。使细线与竖直方向成夹角θ(θ<5°),释放摆球,让单摆开始摆动。为了减小计时误差,应该在摆球摆至　　　　(选填“最低点”或“最高点”)时开始计时。
(2)选取摆线长度为100.0 cm时,测得摆球摆动30个完整周期的时间(t)为60.60 s。若将摆线长度视为摆长,求得重力加速度大小为　　 　 m/s2。(取π2=9.870,结果保留3位有效数字)
(3)选取不同的摆线长度重复上述实验,相关数据汇总在下表中,在坐标纸上作出摆线长度(l)和单摆周期的二次方(T2)的关系曲线,如图乙所示。
l/m t/s T2/s2
0.800 54.17 3.26
0.900 57.54 3.68
1.000 60.60 4.08
1.100 63.55 4.49
1.200 66.34 4.89
设直线斜率为k,则重力加速度可表示为g=　　　　(用k表示)。由图乙求得当地的重力加速度大小为　　　　 m/s2(结果保留3位有效数字)。
(4)用图像法得到的重力加速度数值要比(2)中得到的结果更精确,原因是　 。
【答案】 (1)最低点　(2)9.68　(3)4π2k　9.69
(4)见解析
【解析】 (1)摆球经过最低点时速度最大,测量周期误差最小,故应选摆球经过最低点时开始计时。
(2)周期T== s=2.02 s,由单摆周期公式T=2π,解得g=≈9.68 m/s2。
(3)由上述分析有l=T2,可知斜率k=== m/s2= m/s2,故 g=4π2k,代入数据解得g≈9.69 m/s2。
(4)用图像法处理数据时,无论是否考虑摆球半径,图像斜率均为,对g的测量结果没有影响。
[例3] 【实验原理与误差分析】 (2024·湖北武汉模拟)在“用单摆测量重力加速度”实验中:
(1)用游标卡尺测量摆球的直径,测量结果如图甲所示,则该摆球的直径为　　　　cm,用最小刻度为1 mm的刻度尺测摆长,测量情况如图乙所示,悬挂点与刻度尺0刻度线对齐,由图甲和图乙可知单摆的摆长为　　　　m(结果保留3位小数)。
(2)将单摆正确悬挂后进行如下操作,其中正确的是　　　　。(多选)
A.实验时可以用停表测量摆球完成1次全振动所用时间并作为单摆的周期
B.把摆球从平衡位置拉开一个很小的角度静止释放,使之做简谐运动
C.实验时将摆球拉开一个很小的角度静止释放,并同时启动停表开始计时
D.摆球应选体积小,密度大的金属小球
(3)用多组实验数据作出T2-L图像,可以求出重力加速度g。已知三位同学作出的T2-L图线的示意图如图丙中的a、b、c所示,其中a和b平行,b和c都过原点,图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值。则相对于图线b,下列分析正确的是　　　　。
A.出现图线a的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长L
B.出现图线c的原因可能是误将51次全振动记为50次
C.图线c对应的重力加速度g大于图线b对应的g值
【答案】 (1)0.95　0.992　(2)BD　(3)C
【解析】 (1)游标卡尺分度值为0.1 mm,可知摆球的直径为d=9 mm+5×0.1 mm=0.95 cm;单摆的摆长为摆线的长度加上摆球的半径,由题图乙可得,摆线的长度为98.70 cm,则摆长为L=98.70 cm+ cm≈0.992 m。
(2)用停表测量单摆完成1次全振动所用时间并作为单摆的周期误差较大,应用累积法测量周期,即记录n次全振动的时间t,则周期为T=,A错误;把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放,使之做简谐运动,B正确;为了减小测量误差,在摆球经过平衡位置时开始计时,C错误;为了减小摆球摆动过程中的空气阻力,摆球应选体积小,密度大的金属小球,D正确。
(3)图线a中摆长为零时就已出现了振动周期,一定是摆长测短了,原因可能是误将悬点到摆球上端的距离记为摆长L,故A错误;实验中误将51次全振动记为50次,则周期的测量值偏大,导致重力加速度测量值变小,根据图线斜率k=,可知图线斜率偏大,不会出现图线c,故B错误;同理可知,图线c的斜率小于图线b的斜率,可知图线c对应的g值大于图线b对应的g值,故C正确。
考点二　创新性实验
[例4] 【实验器材创新】 (2024·黑吉辽卷,12)图甲为一套半圆拱形七色彩虹积木示意图,不同颜色的积木直径不同。某同学通过实验探究这套积木小幅摆动时周期T与外径D之间的关系。
(1)用刻度尺测量不同颜色积木的外径D,其中对蓝色积木的某次测量如图乙所示,从图中读出D=　　　　 cm。
(2)将一块积木静置于硬质水平桌面上,设置积木左端平衡位置的参考点O,将积木的右端按下后释放,如图丙所示。当积木左端某次与O点等高时记为第0次并开始计时,第20次时停止计时,这一过程中积木摆动了　　　　个周期。
(3)换用其他积木重复上述操作,测得多组数据。为了探究T与D之间的函数关系,可用它们的自然对数作为横、纵坐标绘制图像进行研究,数据如下表所示:
颜色 红 橙 黄 绿 青 蓝 紫
ln D 2.939 2 2.788 1 2.595 3 2.484 9 2.197 … 1.792
ln T -0.45 -0.53 -0.56 -0.65 -0.78 -0.92 -1.02
根据表中数据绘制出ln T-ln D图像如图丁所示,则T与D的近似关系为　　　　。
A.T∝ B.T∝D2
C.T∝ D.T∝
(4)请写出一条提高该实验精度的改进措施: 　 。
【答案】 (1)7.55　(2)10　(3)A　(4)见解析
【解析】 (1)刻度尺的分度值为0.1 cm,需要估读到分度值下一位,读数为D=7.55 cm。
(2)积木左端两次经过参考点O为一个周期,当积木左端某次与O点等高时记为第0次并开始计时,之后每计数一次,经历半个周期,可知,第20次时停止计时,这一过程中积木摆动了10个周期。
(3)由题图丁可知,ln T与ln D成线性关系,根据图像可知,直线经过(2.80,-0.5)与(1.80,-1.0),则有==0.5,解得ln T=0.5ln D-1.9,则有ln T=ln -ln e1.9=ln ,解得T=,可知T∝。故选A。
(4)为了减小实验误差,提高该实验精度的改进措施:用游标卡尺测量外径D、通过测量40次或60次左端与O点等高所用时间来求周期、适当减小摆动的幅度。
[例5] 【实验设计创新】 (2024·山东济南模拟)在利用单摆实验测量重力加速度时,某同学想改变传统停表计时的方式,改为使用霍尔元件和单片机进行计时。按图甲方式将霍尔元件置于磁性摆球静止时的正下方,当小球做单摆运动经过最低点时,霍尔传感器产生脉冲信号并发送给单片机,单片机接收信号并计时,并将数据传输给电脑和手机,实时显示测量结果并分析处理和存储数据。
甲
(1)实验前用刻度尺测出绳长为L,用游标尺上有20个小格的游标卡尺测量摆球的直径,结果如图乙所示,可读出摆球的直径d=　　　 cm。
乙
(2)电脑将单片机传输的计时数据处理后得到电压的脉冲信号随时间t的变化图线如图丙所示,则该单摆的周期为　　　　。
丙
(3)最后根据测量得到单摆的摆长和运动周期,计算出重力加速度,其表达式为g=　　　　。(用本题中涉及的符号表示)
(4)若某次实验找不到磁性小球,只有一个不规则的小磁铁,将小磁铁用细线悬挂起来做成单摆,以测量的绳长L为横坐标,T2为纵坐标,在图丁中作出T2-L图线。
丁
(5)使用图像法处理数据测重力加速度,不规则小磁铁的重心不确定,这对测量结果是否有影响 　　 (选填“是”或“否”)。
【答案】 (1)0.810　(2)2t0　(3)　(4)图见解析　(5)否
【解析】 (1)由题图甲可知游标卡尺分度值为0.05 mm,则摆球的直径是d=8 mm+2×0.05 mm=0.810 cm。
(2)由题意可知,当小球做单摆运动经过最低点时,霍尔传感器产生脉冲信号,相邻两个电压脉冲之间的时间间隔为半个周期,由题图丙可知该单摆的周期为2t0。
(3)可知绳长为L,摆球的直径为d,则有摆长为L′=L+,由单摆的周期公式可得g=。
(4)以测量的绳长L为横坐标,T2为纵坐标,设小磁铁的重心到固定小磁铁悬线的距离为d′,可知单摆的摆长为L+d′,由单摆的周期公式可得T2=L+,可知T2-L图线如图所示。
(5)使用图像法处理数据测重力加速度,不规则小磁铁的重心不确定,由T2=L+,可知T2-L 图线的斜率不变,则测量值g不变,因此这对测量结果没有影响。
1.(4分)了解地球表面重力加速度的分布,对地球物理学、航空航天技术及大地测量等领域有十分重要的意义。某同学利用图甲所示的装置测量重力加速度。请回答下列问题:
乙
(1)实验中用停表测量单摆的周期。摆球某次经过最低点开始计时并数0,当摆球第60次经过最低点停止计时,停表的示数如图乙所示,则单摆的周期为　　　　 s(结果保留3位有效数字)。
(2)改变摆长,多次测量,作出周期的平方与摆长的图像如图丙所示,则重力加速度为
　　　　 m/s2(π2取9.86,结果保留3位有效数字)。
【答案】 (1)1.90　(2)9.76
【解析】 (1)摆球某次经过最低点开始计时并数0,当摆球第60次经过最低点停止计时,则摆球经过30次全振动,由题图乙可知单摆在30次全振动所用的时间为t=30 s+27.10 s=57.10 s,则单摆的周期为T== s≈1.90 s。
(2)由单摆周期公式T=2π,可得T2=L,由题图丙所示T2-L图像可知,图线的斜率k== s2/m,解得重力加速度为g≈9.76 m/s2。
2.(9分)某实验小组利用图甲所示的装置做“用单摆测量重力加速度”的实验。在铁架台上端用摆线悬挂一摆球,铁架台下端固定一个激光源,发出的激光方向与水平面平行,在摆球的右边与摆球中心等高的位置固定一智能手机,使得激光的中心与摆球的中心以及智能手机的光线接收口在同一水平直线上。利用手机光线传感器接收到的光照强度随时间变化情况,测出摆球的周期。
(1)实验主要过程如下:
①按图甲安装实验装置,下列有关器材的选择和安装最合理的是　　　　。
　　　
A B C D
②如图乙所示,用游标卡尺测出摆球的直径d=　　　　 cm;用刻度尺测出摆线长度l,算出摆长L。
③打开激光光源和手机传感器,运行软件。
④让单摆做简谐运动,采集数据。
⑤改变摆线长度l,重复步骤④。
⑥导出数据获得单摆振动周期T,从而得到对应的T2与L的数据,如表所示:
　　次数 数据　　 1 2 3 4 5 6
L/cm 38.00 48.00 58.00 68.00 78.00 88.00
T/s 1.24 1.39 1.53 1.66 1.78 1.89
T2/s2 1.54 1.93 2.34 2.76 3.17 3.57
⑦根据表中数据在坐标纸上描点,如图丙所示。
丙
⑧请在图丙中绘出T2-L图像,并根据图像求出当地的重力加速度g=　　　　m/s2。(π2取9.87,结果保留3位有效数字)
(2)下列关于本实验的误差中,属于系统误差的有　　　　。(多选)
A.测量摆长引起的误差
B.描绘图线引起的误差
C.摆线具有伸缩性引起的误差
D.利用手机测量周期引起的误差
【答案】 (1)①B　②1.13　⑧图见解析　9.72　(2)CD
【解析】 (1)①摆线悬点应固定,摆线应选择质量小、不易伸长的细丝线,摆球应选择体积小、质量大的铁球,故B符合题意。
②摆球直径d=11 mm+3×0.1 mm=11.3 mm=1.13 cm。
⑧根据数据绘出T2-L图像如图所示,
由T=2π得T2=L,图线斜率k==,得g≈9.72 m/s2。
(2)测量摆长引起的误差和描绘图线引起的误差是由不稳定随机因素造成的,属于偶然误差,A、B错误;摆线具有伸缩性和手机测量周期引起的误差是由仪器不完善、测量方法不准确等因素造成的,属于系统误差,C、D正确。
3.(8分)(2024·湖北武汉模拟)某同学欲利用一固定光滑圆弧面测定重力加速度,圆弧面如图甲所示,图中虚线为圆弧面最低处,圆弧面半径约为1.5 m,该同学取一小铁球进行实验。
(1)用游标卡尺测量小铁球的直径,示数如图乙所示,则小铁球的直径d=　　　　 cm。
(2)该同学将小铁球从槽中虚线左侧接近虚线处由静止释放,则小铁球的运动可等效为一单摆。当小铁球第一次经过虚线处开始用停表计时,并计数为1,当计数为60时,所用的时间为t,则等效单摆的周期T=　　　　。
(3)更换半径不同的金属球进行实验,正确操作,根据实验记录的数据,绘制的T2-图像如图丙所示,图中图线的横、纵截距均已标出,则当地的重力加速度g=　　　　,圆弧面的半径R=　　 　　。
【答案】 (1)1.66　(2)　(3)　a
【解析】 (1)由题图乙可知游标卡尺的精确度为0.1 mm,则小球直径为d=16 mm+6×0.1 mm=16.6 mm=1.66 cm。
(2)根据题意可知,当计数为60时,小铁球完成个周期所用的时间为t,则等效单摆的周期为T==。
(3)根据题意摆长为l=R-,由单摆周期公式T=2π,得T2=4π2,联立解得T2=-·+R,斜率为-=-,解得g=;纵截距为R=b,解得R=b=a。
4.(9分)(2024·湖南长沙模拟)科技文化节中,某兴趣小组做了如下实验。利用单摆测量重力加速度,实验操作如下:
(1)使用游标卡尺测量实心钢球的直径,如图a所示,钢球直径的读数为d=　　　　 mm。
a
(2)将器材按图b方式连接,用刻度尺测量出悬点与钢球最上端间细线长度为l;使钢球按照图c方式运动,摆角小于5°,钢球第1次经过最低点处开始计时,第n次经过最低点时的总时间为t,则重力加速度g=　　　　　　　　　　。(用测得的物理量表示)
(3)若钢球实际按图d方式在水平面内做圆周运动,但仍然视作单摆,则测量出的重力加速度值　　　　(选填“偏大”或“偏小”)。
(4)该小组将钢球换成沙摆,如图e所示,薄木板在沿箭头方向被水平拉出的过程中,漏斗漏出的沙在板上形成的一段曲线如图f所示,当沙摆摆动经过最低点时开始计时(记为第1次),当它第20次经过最低点时测得所需的时间为19 s(忽略摆长的变化),当地重力加速度g取10 m/s2,则:
①该沙摆的摆长约为　　　m(结果保留2位有效数字)。
②由图f可知薄木板做的是匀加速运动,且加速度大小约为　　　　　　　m/s2(结果保留2位有效数字)。
【答案】 (1)12.35　(2)
(3)偏大　(4)①1.0　②3.1×10-2
【解析】 (1)20分度的游标卡尺精确度为0.05 mm,则钢球直径的读数为d=12 mm+7×0.05 mm=12.35 mm。
(2)根据题意可知单摆的摆长为L=l+,钢球第1次经过最低点处开始计时,第n次经过最低点时的总时间为t,则单摆的周期为T==,由单摆的周期公式T=2π,可得重力加速度为g=。
(3)设绳与中心线的夹角为θ,由牛顿第二定律有mgtan θ=m·Lsin θ,解得圆锥摆的周期为T1=2π(4)①当沙摆摆动经过最低点时开始计时(记为第1次),当它第20次经过最低点时测得所需的时间为19 s,周期T2= s=2 s,根据T2=2π,解得L′≈1.0 m。
②根据Δx=a()2,得a=×10-2 m/s2=3.1×10-2 m/s2。
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)第3讲　实验:用单摆测量重力加速度
一、实验装置
二、实验器材
带孔小球、伸缩性小的细线(约1 m长)、铁架台、铁夹、刻度尺、停表、游标卡尺。
三、实验步骤
1.在细线的一端打一个比小球上的孔径稍大的结,将细线穿过球上的小孔。
2.把细线上端固定在铁架台的铁夹上,使铁夹伸到桌面以外,让摆球自然下垂,在单摆平衡位置处做上标记。
3.用刻度尺量出悬线长l′(准确到mm),用游标卡尺测出小球的直径d,然后计算出悬点到球心的距离l=l′+,即为摆长。
4.把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(小于5°),然后放开小球让它摆动,用停表测出单摆完成30~50次全振动的时间,计算出平均完成一次全振动的时间,即为单摆的振动周期。
5.变条件:改变摆长,重做几次实验。
四、数据处理
1.公式法:将相应的l和T代入公式g=中求出g值,通过改变摆长,求得重力加速度g的平均值。
2.图像法:由单摆周期公式T=2π,可得l=T2,以摆长l为纵坐标,以T2为横坐标作出的l-T2图像是一条过原点的直线,如图所示,其斜率k=,由图像斜率即可求得重力加速度g。
五、注意事项
1.实验所用的单摆应符合理论要求,即线要细且弹性要小,摆球用密度和质量较大的小球,并且要在摆角不超过5°的情况下进行实验。
2.要使单摆在竖直平面内振动,不能使其形成圆锥摆,方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放。
3.测量摆长时,摆长应为悬线长与摆球的半径之和。
4.测量单摆周期时,应从摆球通过平衡位置开始计时,并且采用倒数到0开始计时的方法,4、3、2、1、0、1、2、3…在数“0”的同时按下停表开始计时计数。
5.要注意进行多次测量,并取平均值。
六、误差分析
1.系统误差主要来源
单摆模型本身是否符合要求:①悬点是否固定。②小球与细线是否符合要求。③是单摆运动还是圆锥摆运动等。
2.本实验的偶然误差主要来源
(1)振动时间t(单摆周期T=)的测量:是否从摆球通过平衡位置开始计时、多记或漏记全振动的次数、停表的读数等。
(2)长度的测量:测量摆线长、摆球的直径读数时的误差等。
考点一　基础性实验
[例1] 【实验原理与操作】 (2024·广西卷,11)单摆可作为研究简谐运动的理想模型。
(1)制作单摆时,在图甲、图乙两种单摆的悬挂方式中,选择图甲方式的目的是要保持摆动中　　　　不变。
(2)用游标卡尺测量摆球直径,测得读数如图丙,则摆球直径为　　　　 cm。
(3)若将一个周期为T的单摆,从平衡位置拉开5°的角度释放,忽略空气阻力,摆球的振动可看作简谐运动。当地重力加速度为g,以释放时刻作为计时起点,则摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为　　　　　　　　　　　。
[例2] 【实验数据处理】 (2025·河南高考适应性考试)学生实验小组利用单摆测量当地的重力加速度。
实验器材有:铁架台、细线、摆球、秒表、卷尺等。
完成下列问题:
(1)实验时,将细线的一端连接摆球,另一端固定在铁架台上O点,如图甲所示,然后将摆球拉离平衡位置。使细线与竖直方向成夹角θ(θ<5°),释放摆球,让单摆开始摆动。为了减小计时误差,应该在摆球摆至　　　　(选填“最低点”或“最高点”)时开始计时。
(2)选取摆线长度为100.0 cm时,测得摆球摆动30个完整周期的时间(t)为60.60 s。若将摆线长度视为摆长,求得重力加速度大小为　　 　 m/s2。(取π2=9.870,结果保留3位有效数字)
(3)选取不同的摆线长度重复上述实验,相关数据汇总在下表中,在坐标纸上作出摆线长度(l)和单摆周期的二次方(T2)的关系曲线,如图乙所示。
l/m t/s T2/s2
0.800 54.17 3.26
0.900 57.54 3.68
1.000 60.60 4.08
1.100 63.55 4.49
1.200 66.34 4.89
设直线斜率为k,则重力加速度可表示为g=　　　　(用k表示)。由图乙求得当地的重力加速度大小为　　　　 m/s2(结果保留3位有效数字)。
(4)用图像法得到的重力加速度数值要比(2)中得到的结果更精确,原因是　 。
[例3] 【实验原理与误差分析】 (2024·湖北武汉模拟)在“用单摆测量重力加速度”实验中:
(1)用游标卡尺测量摆球的直径,测量结果如图甲所示,则该摆球的直径为　　　　cm,用最小刻度为1 mm的刻度尺测摆长,测量情况如图乙所示,悬挂点与刻度尺0刻度线对齐,由图甲和图乙可知单摆的摆长为　　　　m(结果保留3位小数)。
(2)将单摆正确悬挂后进行如下操作,其中正确的是　　　　。(多选)
A.实验时可以用停表测量摆球完成1次全振动所用时间并作为单摆的周期
B.把摆球从平衡位置拉开一个很小的角度静止释放,使之做简谐运动
C.实验时将摆球拉开一个很小的角度静止释放,并同时启动停表开始计时
D.摆球应选体积小,密度大的金属小球
(3)用多组实验数据作出T2-L图像,可以求出重力加速度g。已知三位同学作出的T2-L图线的示意图如图丙中的a、b、c所示,其中a和b平行,b和c都过原点,图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值。则相对于图线b,下列分析正确的是　　　　。
A.出现图线a的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长L
B.出现图线c的原因可能是误将51次全振动记为50次
C.图线c对应的重力加速度g大于图线b对应的g值
考点二　创新性实验
[例4] 【实验器材创新】 (2024·黑吉辽卷,12)图甲为一套半圆拱形七色彩虹积木示意图,不同颜色的积木直径不同。某同学通过实验探究这套积木小幅摆动时周期T与外径D之间的关系。
(1)用刻度尺测量不同颜色积木的外径D,其中对蓝色积木的某次测量如图乙所示,从图中读出D=　　　　 cm。
(2)将一块积木静置于硬质水平桌面上,设置积木左端平衡位置的参考点O,将积木的右端按下后释放,如图丙所示。当积木左端某次与O点等高时记为第0次并开始计时,第20次时停止计时,这一过程中积木摆动了　　　　个周期。
(3)换用其他积木重复上述操作,测得多组数据。为了探究T与D之间的函数关系,可用它们的自然对数作为横、纵坐标绘制图像进行研究,数据如下表所示:
颜色 红 橙 黄 绿 青 蓝 紫
ln D 2.939 2 2.788 1 2.595 3 2.484 9 2.197 … 1.792
ln T -0.45 -0.53 -0.56 -0.65 -0.78 -0.92 -1.02
根据表中数据绘制出ln T-ln D图像如图丁所示,则T与D的近似关系为　　　　。
A.T∝ B.T∝D2
C.T∝ D.T∝
(4)请写出一条提高该实验精度的改进措施: 　 。
[例5] 【实验设计创新】 (2024·山东济南模拟)在利用单摆实验测量重力加速度时,某同学想改变传统停表计时的方式,改为使用霍尔元件和单片机进行计时。按图甲方式将霍尔元件置于磁性摆球静止时的正下方,当小球做单摆运动经过最低点时,霍尔传感器产生脉冲信号并发送给单片机,单片机接收信号并计时,并将数据传输给电脑和手机,实时显示测量结果并分析处理和存储数据。
甲
(1)实验前用刻度尺测出绳长为L,用游标尺上有20个小格的游标卡尺测量摆球的直径,结果如图乙所示,可读出摆球的直径d=　　　 cm。
乙
(2)电脑将单片机传输的计时数据处理后得到电压的脉冲信号随时间t的变化图线如图丙所示,则该单摆的周期为　　　　。
丙
(3)最后根据测量得到单摆的摆长和运动周期,计算出重力加速度,其表达式为g=　　　　。(用本题中涉及的符号表示)
(4)若某次实验找不到磁性小球,只有一个不规则的小磁铁,将小磁铁用细线悬挂起来做成单摆,以测量的绳长L为横坐标,T2为纵坐标,在图丁中作出T2-L图线。
丁
(5)使用图像法处理数据测重力加速度,不规则小磁铁的重心不确定,这对测量结果是否有影响 　　 (选填“是”或“否”)。
(满分:30分)
1.(4分)了解地球表面重力加速度的分布,对地球物理学、航空航天技术及大地测量等领域有十分重要的意义。某同学利用图甲所示的装置测量重力加速度。请回答下列问题:
乙
(1)实验中用停表测量单摆的周期。摆球某次经过最低点开始计时并数0,当摆球第60次经过最低点停止计时,停表的示数如图乙所示,则单摆的周期为　　　　 s(结果保留3位有效数字)。
(2)改变摆长,多次测量,作出周期的平方与摆长的图像如图丙所示,则重力加速度为
　　　　 m/s2(π2取9.86,结果保留3位有效数字)。
2.(9分)某实验小组利用图甲所示的装置做“用单摆测量重力加速度”的实验。在铁架台上端用摆线悬挂一摆球,铁架台下端固定一个激光源,发出的激光方向与水平面平行,在摆球的右边与摆球中心等高的位置固定一智能手机,使得激光的中心与摆球的中心以及智能手机的光线接收口在同一水平直线上。利用手机光线传感器接收到的光照强度随时间变化情况,测出摆球的周期。
(1)实验主要过程如下:
①按图甲安装实验装置,下列有关器材的选择和安装最合理的是　　　　。
　　　
A B C D
②如图乙所示,用游标卡尺测出摆球的直径d=　　　　 cm;用刻度尺测出摆线长度l,算出摆长L。
③打开激光光源和手机传感器,运行软件。
④让单摆做简谐运动,采集数据。
⑤改变摆线长度l,重复步骤④。
⑥导出数据获得单摆振动周期T,从而得到对应的T2与L的数据,如表所示:
　　次数 数据　　 1 2 3 4 5 6
L/cm 38.00 48.00 58.00 68.00 78.00 88.00
T/s 1.24 1.39 1.53 1.66 1.78 1.89
T2/s2 1.54 1.93 2.34 2.76 3.17 3.57
⑦根据表中数据在坐标纸上描点,如图丙所示。
丙
⑧请在图丙中绘出T2-L图像,并根据图像求出当地的重力加速度g=　　　　m/s2。(π2取9.87,结果保留3位有效数字)
(2)下列关于本实验的误差中,属于系统误差的有　　　　。(多选)
A.测量摆长引起的误差
B.描绘图线引起的误差
C.摆线具有伸缩性引起的误差
D.利用手机测量周期引起的误差
3.(8分)(2024·湖北武汉模拟)某同学欲利用一固定光滑圆弧面测定重力加速度,圆弧面如图甲所示,图中虚线为圆弧面最低处,圆弧面半径约为1.5 m,该同学取一小铁球进行实验。
(1)用游标卡尺测量小铁球的直径,示数如图乙所示,则小铁球的直径d=　　　　 cm。
(2)该同学将小铁球从槽中虚线左侧接近虚线处由静止释放,则小铁球的运动可等效为一单摆。当小铁球第一次经过虚线处开始用停表计时,并计数为1,当计数为60时,所用的时间为t,则等效单摆的周期T=　　　　。
(3)更换半径不同的金属球进行实验,正确操作,根据实验记录的数据,绘制的T2-图像如图丙所示,图中图线的横、纵截距均已标出,则当地的重力加速度g=　　　　,圆弧面的半径R=　　 　　。
4.(9分)(2024·湖南长沙模拟)科技文化节中,某兴趣小组做了如下实验。利用单摆测量重力加速度,实验操作如下:
(1)使用游标卡尺测量实心钢球的直径,如图a所示,钢球直径的读数为d=　　　　 mm。
a
(2)将器材按图b方式连接,用刻度尺测量出悬点与钢球最上端间细线长度为l;使钢球按照图c方式运动,摆角小于5°,钢球第1次经过最低点处开始计时,第n次经过最低点时的总时间为t,则重力加速度g=　　　　　　　　　　。(用测得的物理量表示)
(3)若钢球实际按图d方式在水平面内做圆周运动,但仍然视作单摆,则测量出的重力加速度值　　　　(选填“偏大”或“偏小”)。
(4)该小组将钢球换成沙摆,如图e所示,薄木板在沿箭头方向被水平拉出的过程中,漏斗漏出的沙在板上形成的一段曲线如图f所示,当沙摆摆动经过最低点时开始计时(记为第1次),当它第20次经过最低点时测得所需的时间为19 s(忽略摆长的变化),当地重力加速度g取10 m/s2,则:
①该沙摆的摆长约为　　　m(结果保留2位有效数字)。
②由图f可知薄木板做的是匀加速运动,且加速度大小约为　　　　　　　m/s2(结果保留2位有效数字)。
(
第
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)(共66张PPT)
高中总复习·物理
第3讲　
实验:用单摆测量重力加速度
一、实验装置
二、实验器材
带孔小球、伸缩性小的细线(约1 m长)、铁架台、铁夹、刻度尺、停表、游标卡尺。
三、实验步骤
1.在细线的一端打一个比小球上的孔径稍大的结,将细线穿过球上的小孔。
2.把细线上端固定在铁架台的铁夹上,使铁夹伸到桌面以外,让摆球自然下垂,在单摆平衡位置处做上标记。
4.把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(小于5°),然后放开小球让它摆动,用停表测出单摆完成30~50次全振动的时间,计算出平均完成一次全振动的时间,即为单摆的振动周期。
5.变条件:改变摆长,重做几次实验。
四、数据处理
五、注意事项
1.实验所用的单摆应符合理论要求,即线要细且弹性要小,摆球用密度和质量较大的小球,并且要在摆角不超过5°的情况下进行实验。
2.要使单摆在竖直平面内振动,不能使其形成圆锥摆,方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放。
3.测量摆长时,摆长应为悬线长与摆球的半径之和。
4.测量单摆周期时,应从摆球通过平衡位置开始计时,并且采用倒数到0开始计时的方法,4、3、2、1、0、1、2、3…在数“0”的同时按下停表开始计时计数。
5.要注意进行多次测量,并取平均值。
六、误差分析
1.系统误差主要来源
单摆模型本身是否符合要求:①悬点是否固定。②小球与细线是否符合要求。③是单摆运动还是圆锥摆运动等。
2.本实验的偶然误差主要来源
(2)长度的测量:测量摆线长、摆球的直径读数时的误差等。
[例1] 【实验原理与操作】 (2024·广西卷,11)单摆可作为研究简谐运动的理想模型。
(1)制作单摆时,在图甲、图乙两种单摆的悬挂方式中,选择图甲方式的目的是要保持摆动中　　 　　不变。
摆长
【解析】 (1)选择题图甲方式的目的是要保持摆动中摆长不变。
(2)用游标卡尺测量摆球直径,测得读数如图丙,则摆球直径为　　　　 cm。
【解析】 (2)摆球直径为d=1.0 cm+6×0.1 mm=1.06 cm。
1.06
(3)若将一个周期为T的单摆,从平衡位置拉开5°的角度释放,忽略空气阻力,摆球的振动可看作简谐运动。当地重力加速度为g,以释放时刻作为计时起
点,则摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为　　　　 　　 　　。
[例2] 【实验数据处理】 (2025·河南高考适应性考试)学生实验小组利用单摆测量当地的重力加速度。
实验器材有:铁架台、细线、摆球、秒表、卷尺等。
完成下列问题:
(1)实验时,将细线的一端连接摆球,另一端固定在铁架台上O点,如图甲所示,然后将摆球拉离平衡位置。使细线与竖直方向成夹角θ(θ<5°),释放摆球,让单摆开始摆动。为了减小计时误差,应该在摆球摆至　　 　　(选填“最低点”或
“最高点”)时开始计时。
最低点
【解析】 (1)摆球经过最低点时速度最大,测量周期误差最小,故应选摆球经过最低点时开始计时。
(2)选取摆线长度为100.0 cm时,测得摆球摆动30个完整周期的时间(t)为60.60 s。若将摆线长度视为摆长,求得重力加速度大小为　　 　 m/s2。(取π2=9.870,结果保留3位有效数字)
9.68
(3)选取不同的摆线长度重复上述实验,相关数据汇总在下表中,在坐标纸上作出摆线长度(l)和单摆周期的二次方(T2)的关系曲线,如图乙所示。
l/m t/s T2/s2
0.800 54.17 3.26
0.900 57.54 3.68
1.000 60.60 4.08
1.100 63.55 4.49
1.200 66.34 4.89
设直线斜率为k,则重力加速度可表示为g=
　　　 　(用k表示)。由图乙求得当地的重力加速度大小为
　　　m/s2(结果保留3位有效数字)。
4π2k
9.69
(4)用图像法得到的重力加速度数值要比(2)中得到的结果更精确,原因是
　 。
[例3] 【实验原理与误差分析】 (2024·湖北武汉模拟)在“用单摆测量重力加速度”实验中:
(1)用游标卡尺测量摆球的直径,测量结果如图甲所示,则该摆球的直径为
　　　　cm,用最小刻度为1 mm的刻度尺测摆长,测量情况如图乙所示,悬挂点与刻度尺0刻度线对齐,由图甲和图乙可知单摆的摆长为　　　　 m
(结果保留3位小数)。
0.95
0.992
(2)将单摆正确悬挂后进行如下操作,其中正确的是　　　　。(多选)
A.实验时可以用停表测量摆球完成1次全振动所用时间并作为单摆的周期
B.把摆球从平衡位置拉开一个很小的角度静止释放,使之做简谐运动
C.实验时将摆球拉开一个很小的角度静止释放,并同时启动停表开始计时
D.摆球应选体积小,密度大的金属小球
BD
(3)用多组实验数据作出T2-L图像,可以求出重力加速度g。已知三位同学作出的T2-L图线的示意图如图丙中的a、b、c所示,其中a和b平行,b和c都过原点,图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值。则相对于图线b,下列分析正确的是　　　　。
A.出现图线a的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长L
B.出现图线c的原因可能是误将51次全振动记为50次
C.图线c对应的重力加速度g大于图线b对应的g值
C
[例4] 【实验器材创新】 (2024·黑吉辽卷,12)图甲为一套半圆拱形七色彩虹积木示意图,不同颜色的积木直径不同。某同学通过实验探究这套积木小幅摆动时周期T与外径D之间的关系。
(1)用刻度尺测量不同颜色积木的外径D,其中对蓝色积木的某次测量如图乙所示,从图中读出D=　　 　　 cm。
7.55
【解析】 (1)刻度尺的分度值为0.1 cm,
需要估读到分度值下一位,读数为D=7.55 cm。
(2)将一块积木静置于硬质水平桌面上,设置积木左端平衡位置的参考点O,将积木的右端按下后释放,如图丙所示。当积木左端某次与O点等高时记为第0次并开始计时,第20次时停止计时,这一过程中积木摆动了　　 　　个周期。
10
【解析】 (2)积木左端两次经过参考点O为一个周期,当积木左端某次与O点等高时记为第0次并开始计时,之后每计数一次,经历半个周期,可知,第20次时停止计时,这一过程中积木摆动了10个周期。
(3)换用其他积木重复上述操作,测得多组数据。为了探究T与D之间的函数关系,可用它们的自然对数作为横、纵坐标绘制图像进行研究,数据如下表所示:
颜色 红 橙 黄 绿 青 蓝 紫
ln D 2.939 2 2.788 1 2.595 3 2.484 9 2.197 … 1.792
ln T -0.45 -0.53 -0.56 -0.65 -0.78 -0.92 -1.02
根据表中数据绘制出ln T-ln D图像如图丁所示,则T与D的近似关系为
　　　　。
A
(4)请写出一条提高该实验精度的改进措施:
　 。
为了减小实验误差,提高该实验精度的改进措施:用游标卡尺测量外径D、通过测量40次或60次左端与O点等高所用时间来求周期、适当减小摆动的幅度
[例5] 【实验设计创新】 (2024·山东济南模拟)在利用单摆实验测量重力加速度时,某同学想改变传统停表计时的方式,改为使用霍尔元件和单片机进行计时。按图甲方式将霍尔元件置于磁性摆球静止时的正下方,当小球做单摆运动经过最低点时,霍尔传感器产生脉冲信号并发送给单片机,单片机接收信号并计时,并将数据传输给电脑和手机,实时显示测量结果并分析处理和存储数据。
甲
(1)实验前用刻度尺测出绳长为L,用游标尺上有20个小格的游标卡尺测量摆球的直径,结果如图乙所示,可读出摆球的直径d=　　 　 cm。
0.810
乙
【解析】 (1)由题图甲可知游标卡尺分度值为0.05 mm,
则摆球的直径是d=8 mm+2×0.05 mm=0.810 cm。
甲
(2)电脑将单片机传输的计时数据处理后得到电压的脉冲信号随时间t的变化图线如图丙所示,则该单摆的周期为　　　　。
2t0
丙
【解析】 (2)由题意可知,当小球做单摆运动经过最低点时,霍尔传感器产生脉冲信号,相邻两个电压脉冲之间的时间间隔为半个周期,由题图丙可知该单摆的周期为2t0。
(3)最后根据测量得到单摆的摆长和运动周期,计算出重力加速度,其表达式
为g=　　 　　。(用本题中涉及的符号表示)
(4)若某次实验找不到磁性小球,只有一个不规则的小磁铁,将小磁铁用细线悬挂起来做成单摆,以测量的绳长L为横坐标,T2为纵坐标,在图丁中作出T2-L图线。
丁
(5)使用图像法处理数据测重力加速度,不规则小磁铁的重心不确定,这对测量结果是否有影响 　　　(选填“是”或“否”)。
否
1.(4分)了解地球表面重力加速度的分布,对地球物理学、航空航天技术及大地测量等领域有十分重要的意义。某同学利用图甲所示的装置测量重力加速度。请回答下列问题:
(1)实验中用停表测量单摆的周期。摆球某次经过最低点开始计时并数0,当摆球第60次经过最低点停止计时,停表的示数如图乙所示,则单摆的周期为
　　　　 s(结果保留3位有效数字)。
1.90
乙
乙
(2)改变摆长,多次测量,作出周期的平方与摆长的图像如图丙所示,则重力加速度为　　　　 m/s2(π2取9.86,结果保留3位有效数字)。
9.76
2.(9分)某实验小组利用图甲所示的装置做“用单摆测量重力加速度”的实验。在铁架台上端用摆线悬挂一摆球,铁架台下端固定一个激光源,发出的激光方向与水平面平行,在摆球的右边与摆球中心等高的位置固定一智能手机,使得激光的中心与摆球的中心以及智能手机的光线接收口在同一水平直线上。利用手机光线传感器接收到的光照强度随时间变化情况,测出摆球的周期。
(1)实验主要过程如下:
①按图甲安装实验装置,下列有关器材的选择和安装最合理的是　　　　。
B
A B C D
【解析】 (1)①摆线悬点应固定,摆线应选择质量小、不易伸长的细丝线,摆球应选择体积小、质量大的铁球,故B符合题意。
②如图乙所示,用游标卡尺测出摆球的直径d=　　　　 cm;用刻度尺测出摆线长度l,算出摆长L。
1.13
【解析】 ②摆球直径d=11 mm+3×0.1 mm=11.3 mm=1.13 cm。
③打开激光光源和手机传感器,运行软件。
④让单摆做简谐运动,采集数据。
⑤改变摆线长度l,重复步骤④。
⑥导出数据获得单摆振动周期T,从而得到对应的T2与L的数据,如表所示:
　　次数 数据　　 1 2 3 4 5 6
L/cm 38.00 48.00 58.00 68.00 78.00 88.00
T/s 1.24 1.39 1.53 1.66 1.78 1.89
T2/s2 1.54 1.93 2.34 2.76 3.17 3.57
⑦根据表中数据在坐标纸上描点,如图丙所示。
丙
⑧请在图丙中绘出T2-L图像,并根据图像求出当地的重力加速度g=
　　 　　m/s2。(π2取9.87,结果保留3位有效数字)
9.72
(2)下列关于本实验的误差中,属于系统误差的有　　　　。(多选)
A.测量摆长引起的误差
B.描绘图线引起的误差
C.摆线具有伸缩性引起的误差
D.利用手机测量周期引起的误差
CD
【解析】 (2)测量摆长引起的误差和描绘图线引起的误差是由不稳定随机因素造成的,属于偶然误差,A、B错误;摆线具有伸缩性和手机测量周期引起的误差是由仪器不完善、测量方法不准确等因素造成的,属于系统误差,
C、D正确。
3.(8分)(2024·湖北武汉模拟)某同学欲利用一固定光滑圆弧面测定重力加速度,圆弧面如图甲所示,图中虚线为圆弧面最低处,圆弧面半径约为1.5 m,该同学取一小铁球进行实验。
(1)用游标卡尺测量小铁球的直径,示数如图乙所示,则小铁球的直径d=
　　　　 cm。
1.66
【解析】 (1)由题图乙可知游标卡尺的精确度为0.1 mm,
则小球直径为d=16 mm+6×0.1 mm=16.6 mm=1.66 cm。
(2)该同学将小铁球从槽中虚线左侧接近虚线处由静止释放,则小铁球的运动可等效为一单摆。当小铁球第一次经过虚线处开始用停表计时,并计数
为1,当计数为60时,所用的时间为t,则等效单摆的周期T=　　　　。
a
4.(9分)(2024·湖南长沙模拟)科技文化节中,某兴趣小组做了如下实验。利用单摆测量重力加速度,实验操作如下:
(1)使用游标卡尺测量实心钢球的直径,如图a所示,钢球直径的读数为d=
　　 　　 mm。
a
12.35
【解析】 (1)20分度的游标卡尺精确度为0.05 mm,
则钢球直径的读数为d=12 mm+7×0.05 mm=12.35 mm。
(2)将器材按图b方式连接,用刻度尺测量出悬点与钢球最上端间细线长度为l;使钢球按照图c方式运动,摆角小于5°,钢球第1次经过最低点处开始计时,
第n次经过最低点时的总时间为t,则重力加速度g=　　　　　　　 　　　。
(用测得的物理量表示)
(3)若钢球实际按图d方式在水平面内做圆周运动,但仍然视作单摆,则测量出的重力加速度值　　　　(选填“偏大”或“偏小”)。
偏大
(4)该小组将钢球换成沙摆,如图e所示,薄木板在沿箭头方向被水平拉出的过程中,漏斗漏出的沙在板上形成的一段曲线如图f所示,当沙摆摆动经过最低点时开始计时(记为第1次),当它第20次经过最低点时测得所需的时间为
19 s(忽略摆长的变化),当地重力加速度g取10 m/s2,则:
①该沙摆的摆长约为　　　m(结果保留2位有效数字)。
1.0
②由图f可知薄木板做的是匀加速运动,且加速度大小约为　　　　　 m/s2
(结果保留2位有效数字)。
3.1×10-2

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