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第6讲　小专题:带电粒子(带电体)在电场中的力电综合问题
考点一　带电体在重力场和电场中的运动
1.等效重力场
物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动,但是对于处在匀强电场和重力场中物体的运动问题就会变得复杂一些。此时可以将重力场与电场合二为一,用一个全新的“复合场”来代替,可形象称之为“等效重力场”。
2.概念解释
3.举例
[例1] 【“等效重力场”中的抛体运动模型】 (2024·湖南长沙阶段练习)如图所示,在水平向右的匀强电场中,质量为m的带电小球,以初速度v从M点竖直向上运动,通过N点时,速度大小为v,方向与电场方向相反,则小球从M运动到N的过程中,动量大小的最小值为(　　)
[A] mv [B] mv
[C] mv [D] 0
【答案】 A
【解析】带电小球在电场中竖直方向受重力做匀减速运动,水平方向受静电力做匀加速运动,由运动学公式有vy=v=gt,vx=v=at=t,联立得qE=mg,静电力和重力合成,设等效重力与竖直方向的夹角为θ,如图所示,故有tan θ==,则有sin θ=,当小球运动到等效最高点时,速度最小,动量大小最小,有pmin=mvmin=mvsin θ=。故选A。
[例2] 【“等效重力场”中的圆周运动】 (2025·河北保定模拟)(多选)如图所示,绝缘粗糙的水平轨道AB与处于竖直平面内的半圆形光滑绝缘轨道BC平滑连接,BC为竖直直径,半圆形轨道的半径R=0.5 m,所在空间存在水平向右的匀强电场,电场线平行于AB,电场强度大小E=1×104 N/C。现有一电荷量q=+3×10-4C、质量m=0.2 kg的带电体甲(可视为质点)与水平轨道的动摩擦因数μ=0.5,在P点由静止释放,之后与位于B点的另一质量m=0.2 kg不带电的绝缘体乙(可视为质点)发生正碰并瞬间粘在一起,P点到B点的距离xPB=5 m,g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。则下列说法正确的是(　　)
[A] 甲、乙粘在一起后在半圆形轨道上运动过程中机械能守恒
[B] 甲、乙整体运动到半圆形轨道最高点C时速度大小为 m/s
[C] 甲、乙整体在半圆形轨道上运动过程的最大动能为5.5 J
[D] 甲、乙整体在半圆形轨道上运动过程的最大动能为5 J
【答案】 BC
【解析】甲、乙粘在一起后在半圆形轨道上运动过程中,除重力做功之外,还有静电力做功,机械能不守恒,故A错误;设带电体甲到达B点时的速度为v0,则根据动能定理有qExPB-μmgxPB=m,解得v0=10 m/s,甲、乙碰撞后粘在一起,设碰后速度为v1,根据动量守恒定律有mv0=(m+m)v1,解得v1=5 m/s,甲、乙整体从B点运动到半圆形轨道最高点C时,根据动能定理有-2mg×2R=×2m-×2m,解得vC= m/s,故B正确;带电体在重力场和电场叠加而成的复合场中运动,当带电体在半圆形轨道上运动至速度方向与静电力和重力的合力方向垂直时,即运动到等效最低点时的动能最大,如图所示,由几何关系可知tan θ===,则甲、乙从B点运动到等效最低点时,根据动能定理有qERsin θ-2mgR(1-cos θ)=×2m-×2m,则甲、乙整体在半圆形轨道上运动过程的最大动能为Ekm=×2m=5.5 J,故C正确,D错误。
[例3] 【“等效重力场”中的单摆类模型】 (2024·海南海口期中)空间有如图所示的匀强电场,电场强度大小为E,与水平方向的夹角为θ=30°。一根绝缘轻绳一端固定在O点,另一端系一个质量为m的带电小球,OA水平。将小球自A点由静止释放,当摆到轻绳与竖直方向夹角也为θ的B位置时,小球的速度恰好为零,轻绳始终伸直。已知重力加速度为g,小球从A到B的过程中,下列说法正确的是(　　)
[A] 小球带负电
[B] 小球的电荷量为
[C] 小球的机械能先增加后减小
[D] 小球在B点时轻绳的拉力最大
【答案】 B
【解析】 小球到B点速度为零,可以得出小球带正电,选项A错误;A、B的中间位置处于重力与静电力夹角的角平分线上,所以静电力等于重力,即qE=mg,解得q=,选项B正确;小球从A到B的过程中轻绳拉力不做功,静电力一直做负功,小球的机械能一直减小,选项C错误;由等效重力可知,小球经过∠AOB的角平分线位置时轻绳对小球的拉力最大,选项D错误。
考点二　电场中的力电综合问题
1.动力学的观点
(1)由于匀强电场中带电粒子所受静电力和重力都是恒力,可用正交分解法。
(2)综合运用牛顿运动定律和匀变速直线运动规律,注意受力分析要全面,特别注意重力是否需要考虑的问题。
2.能量的观点
(1)运用动能定理时注意过程分析要全面,准确求出过程中所有力做的功,判断是对分过程还是对全过程使用动能定理。
(2)运用能量守恒定律时注意题目中有哪些形式的能量出现。
3.动量的观点
(1)运用动量定理时要注意动量定理的表达式是矢量式,在一维情况下,各个矢量必须选同一个正方向。
(2)运用动量守恒定律时除了要注意动量守恒定律的表达式是矢量式,还要注意题目表述是否为某方向上动量守恒。
[例4] 【带电体在水平面上的运动】 (2025·河北邯郸模拟)如图所示,电场强度为E的匀强电场中有一光滑水平绝缘平面,一根轻弹簧左端固定在平面上,右端拴接一个带正电的绝缘物块甲,平衡时物块甲静止在a点。某时刻在b点由静止释放带有正电的绝缘物块乙,乙与甲发生碰撞后一起向左运动但未粘连,当甲、乙一起返回到c点时,弹簧恰好恢复原长,甲、乙速度刚好为零。若在d点由静止释放乙,乙与甲发生碰撞后仍一起压缩弹簧运动,返回到c点时甲、乙分离,分离后,乙刚好能够返回到e点(未画出)。已知物块甲、乙可视为质点,质量均为m,电荷量均为q,a、b间距离为L,a、c间距离以及b、d间距离均为,忽略甲、乙间的库仑力。求:
(1)初始状态弹簧储存的弹性势能;
(2)e点与a点的距离。
【答案】 (1)qEL　(2)L
【解析】 (1)乙从b到a由动能定理得qEL=m,
解得乙与甲碰撞前的速度大小v0=,
乙与甲碰撞由动量守恒定律得mv0=2mv,
解得碰撞后甲、乙的速度大小均为v=,
甲、乙从一起压缩弹簧到甲、乙一起返回到c点,由功能关系得Ep+×2mv2=2qE×,
解得初始状态弹簧储存的弹性势能Ep=qEL。
(2)在d点由静止释放乙,到乙与甲发生碰撞前,对乙由动能定理得qE×(L+L)=m,
解得碰撞前乙的速度大小v1=,
甲、乙的碰撞过程由动量守恒定律得mv1=2mv2,
解得碰撞后甲、乙的速度大小均为v2=,
从甲、乙碰撞后到甲、乙一起返回到c点时,由功能关系得
Ep+×2m=2qE×L+×2m,
解得甲、乙分离时的速度大小均为v3=,
从甲、乙分离后到乙停止运动,由动能定理得-qEL′=0-m,
解得L′=L,
则e点与a点的距离为x=L+L=L。
[例5] 【带电体在斜面上的运动】 (2024·山东卷,10)(多选)如图所示,带电量为+q的小球被绝缘棒固定在O点,右侧有固定在水平面上、倾角为30°的光滑绝缘斜面。质量为m、带电量为+q的小滑块从斜面上A点由静止释放,滑到与小球等高的B点时加速度为零,滑到C点时速度为零。已知AC间的距离为s,重力加速度大小为g,静电力常量为k,下列说法正确的是(　　)
[A] OB的距离l=
[B] OB的距离l=
[C] 从A到C,静电力对小滑块做功W=-mgs
[D] AC之间的电势差UAC=-
【答案】 AD
【解析】 由题意知,小滑块在B点处的加速度为零,对小滑块受力分析,根据平衡条件有=mgtan 30°,解得l=,故A正确,B错误;因为滑到C点时速度为零,小滑块从A到C的过程,静电力对小滑块做的功为W,根据动能定理有W+mgssin 30°=0,解得W=-,故C错误;根据电势差与静电力做功的关系可知AC之间的电势差UAC==-,故D正确。
对点1.带电体在重力场和电场中的运动
1.(4分)(2024·陕西西安模拟)如图所示,电场强度为E的匀强电场方向竖直向下,所带电荷量为-q、质量为m的带电小球用长为L的绝缘细线拴住,小球可以在竖直平面内绕O做圆周运动,A、B分别是轨迹的最高点和最低点。已知小球静止时的位置是A点,重力加速度大小为g,小球可以看成质点,下列说法正确的是(　　)
[A] 若小球恰好可以做完整的圆周运动,则小球通过A点时速度最小值为
[B] 若小球恰好可以做完整的圆周运动,则小球通过A点时速度最小值为
[C] 若小球恰好可以做完整的圆周运动,则小球通过A点时速度最小值为
[D] 若小球恰好可以做完整的圆周运动,则小球通过A点时速度最小值为
【答案】 A
【解析】 若小球恰好可以做完整的圆周运动,则在B点有qE-mg=m,根据动能定理有(qE-mg)·2L=m-m,解得vA=,故选A。
2.(4分)(2024·浙江杭州开学考试)如图所示,长为L的轻绳上端固定在O点,下端系一带电荷量为+q的小球,置于水平向右的匀强电场中,电场强度为E=,OA与竖直方向的夹角为37°,OA一半处的P点有一小钉子。现将小球拉至B点,使轻绳与OA夹角很小,然后由静止释放小球,小球在竖直平面内运动。点C(图中未标出)是小球能够到达OA左侧最远位置,重力加速度为g,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,不计空气阻力,下列说法正确的是(　　)
[A] 小球在C点时所受合力为零
[B] 小球在A点时绳子拉力等于mg
[C] 小球摆动到C点时具有的机械能等于在B点具有的机械能
[D] 小球摆动的周期为π(2+)
【答案】 D
【解析】 小球在C点时速度为零,即将返回,具有沿切线方向的加速度,故此时合力不为零,故A错误;小球摆动时的等效重力大小为G′==mg,设轻绳与竖直方向的夹角为θ,则有tan θ==,θ=37°,故A点是等效最低点,小球经过A点,根据牛顿第二定律有FT-G′=m,可得FT=m+G′>G′=mg,故B错误;小球由B到C,静电力做负功,故机械能减少,故C错误;小球摆动时的等效重力加速度为g′==g,小球摆动的周期为T=(T1+T2)=π(2+),故D正确。
3.(6分)(2025·江西萍乡模拟)(多选)如图所示,竖直面内的绝缘半圆弧轨道BC与绝缘水平轨道AB相切于B点,匀强电场电场强度E=2×104 N/C,方向与水平方向成θ=37°。一个电荷量q=+1×10-4 C的小物块以初速度v0=16 m/s从A点开始向右运动,已知AB间距L=10 m,物块在运动过程中电荷量不变,物块质量m=0.2 kg,圆弧半径R=1 m,重力加速度g取
10 m/s2,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,摩擦阻力忽略不计。则(　　)
[A] 物块从A到B过程中,电势能增加了16 J
[B] 物块通过C点时速度大小为20 m/s
[C] 物块在C点处受到的轨道压力大小为79.2 N
[D] 物块从C点抛出后的加速度大小为10 m/s2
【答案】 BC
【解析】 物块从A到B过程中,静电力做功为WAB=EqLcos θ,代入数据解得WAB=16 J,静电力做正功,电势能减小,即物块从A到B过程中,电势能减少了16 J,故A错误;物块从A到C,根据动能定理可得Eq(Lcos θ+2Rsin θ)-mg·2R=m-m,解得物块通过C点时的速度大小为vC=20 m/s,故B正确;在C点,根据牛顿第二定律有mg+FN-Eqsin θ=m,解得FN=79.2 N,即物块在C点处受到的轨道压力大小为79.2 N,故C正确;由于静电力大小与重力大小相等,所以物块从C点抛出后的合力大小为F合=2mgcos,所以加速度大小为a==2gcos=4 m/s2,故D错误。
对点2.电场中的力电综合问题
4.(4分)(2024·四川成都三模)如图所示,竖直平面内足够长的光滑绝缘倾斜杆底端固定有一点电荷Q,M、N为杆上的两点。套在杆上的绝缘带电小球从某点静止释放后,沿杆向上运动,先后通过了M、N两点。由此可以判断(　　)
[A] 点电荷Q在M点处产生的电场强度方向一定沿杆向上
[B] 小球在M点的加速度一定大于在N点的加速度
[C] 小球在M点的电势能一定大于在N点的电势能
[D] 小球在M点的动能一定大于在N点的动能
【答案】 C
【解析】 绝缘带电小球先后通过了M、N两点,故可知其与点电荷Q电性相同,由于电性未知,故电场强度方向未知,故A错误;根据F=可知,距离越远库仑力越小,根据牛顿第二定律可知,在M点,F1-mgsin θ=maM,在N点,若此时库仑力小于重力分力,则mgsin θ-F2=
maN,可知小球在M点的加速度与在N点的加速度大小关系无法判断,故B错误;静电力做正功,电势能减小,故小球在M点的电势能一定大于在N点的电势能,故C正确;由B项可知若从M点到N点加速度方向变化,则从释放位置到重力分力与静电力大小相同的位置,合力做正功,动能增加;此后合力做负功,动能减小,故先加速后减速,所以动能大小无法比较,故D错误。
5.(6分)(2025·河南许昌阶段练习)(多选)如图所示的装置静止在水平向右的匀强电场中,轻质的细绳与竖直方向的夹角为θ,绝缘轻质弹簧与竖直方向的夹角为φ,A、B两小球均可视为质点,小球A的质量为m且带电,小球B的质量为2m且不带电,重力加速度为g,下列说法正确的是(　　)
[A] 一定有φ<θ
[B] 小球A一定带正电
[C] 剪断细绳瞬间,小球B的加速度大小为
[D] 从与B相连处剪断弹簧瞬间,小球B的加速度大小为gsin φ
【答案】 BC
【解析】 小球A受力平衡,有tan φ=,研究A、B两小球组成的系统,根据平衡条件有tan θ=,则有φ>θ,故A错误;研究A和B两小球组成的系统,由于细绳的拉力有水平向左的分力,因此小球A受到的静电力方向一定水平向右,故小球A一定带正电,故B正确;A和B两小球组成的系统平衡时,细绳的拉力F=,剪断细绳瞬间,弹簧弹力不变,小球B受到的合力大小等于F,根据牛顿第二定律可得F=2ma,解得a=,故C正确;从与B相连处剪断弹簧瞬间,细绳上的拉力大小发生突变,小球B仅受重力和绳子拉力,将做圆周运动,有2mgsin θ=2ma′,解得a′=gsin θ,故D错误。
6.(4分)(2025·北京昌平模拟)如图所示,在水平向右且电场强度大小为E的匀强电场中,两个半径相同、质量均为m的小球A、B静止放置在光滑的水平面上,且A、B所在直线与电场线平行。A带电荷量为q(q>0),B不带电,A、B之间的距离为L。t=0时刻开始,A在静电力的作用下开始沿直线运动,并与B发生弹性碰撞。碰撞过程中A、B之间没有电荷量转移,仅碰撞时才考虑A、B之间的相互作用,下列说法正确的是(　　)
[A] 两球第一次碰撞到发生第二次碰撞的时间间隔为
[B] 两球第n次碰撞到发生第n+1次碰撞的时间间隔为2n
[C] 两球连续两次碰撞的时间间隔均为
[D] 两球连续两次碰撞的时间间隔均为2
【答案】 D
【解析】 A、B第一次碰撞前,有qEL=mv2,解得A、B第一次碰撞前A的速度为v=,A、B第一次碰撞时,有mv=mvA1+mvB1,mv2=m+m,解得A、B第一次碰撞后A、B的速度分别为vA1=0,vB1==v,两球第一次碰撞到第二次碰撞,×·=vB1t1,解得两球第一次碰撞到第二次碰撞的时间间隔为t1=2,A错误;A、B第二次发生碰撞前,vA2=
t1=2=2v,vB2=vB1==v,A、B第二次碰撞时,mvA2+mvB2=mvA2′+mvB2′,
m+m=mvA2′2+mvB2′2,解得A、B第二次碰撞后A、B的速度分别为vA2′=v,vB2′=2v,第三次碰撞前有x1′=vt′+×·t′2,x2′=2vt′,x1′=x2′时A、B再次碰撞,解得第二次与第三次碰撞时间间隔t′=2,以此类推,故两球连续两次碰撞的时间间隔t=2,B、C错误,D正确。
7.(10分)(2025·福建泉州模拟)空间存在一方向竖直向下的匀强电场,O、P是电场中的两点。从O点沿水平方向以不同速度先后发射两个质量均为m的小球A、B。A不带电,B的电荷量为q(q>0)。A从O点发射时的速度大小为v0,到达P点所用时间为t;B从O点到达P点所用时间为。重力加速度为g,求:
(1)O点到P点的高度差;
(2)小球B的加速度大小和电场强度的大小;
(3)B运动到P点时的动能。
【答案】 (1)gt2　(2)4g　　
(3)2m(+g2t2)
【解析】 (1)小球A在竖直方向做自由落体运动,因此高度差为h=gt2。
(2)设电场强度的大小为E,小球B运动的加速度为a。根据牛顿第二定律、运动学公式和题给条件,有mg+qE=ma,h=a()2,
解得a=4g,E=。
(3)设B从O点发射时的速度为v1,到达P点时的动能为Ek,
根据动能定理有mgh+qEh=Ek-m,
且有v1·=v0t,h=gt2,
联立得Ek=2m(+g2t2)。
8.(12分)(2024·四川绵阳阶段练习)如图所示,圆心为O、半径为R的圆形区域内存在一个平行于该区域的匀强电场,MN为圆的一条直径。质量为m、电荷量为+q的粒子从M点以速度v射入电场,速度方向与MN夹角θ=30°,一段时间后粒子运动到N点,速度大小也为v,不计粒子重力。求:
(1)匀强电场的电场强度大小E;
(2)仅改变粒子速度大小,当粒子离开圆形区域的电势能最小时,粒子动量改变量的大小Δp。
【答案】 (1)　(2)mv
【解析】 (1)从M到N粒子动能不变,静电力不做功,所以MN为等势线,电场线与MN垂直,粒子做类斜抛的运动,沿MN方向,粒子做匀速运动,
2R=vcos 30°·t,
垂直MN方向
0=vsin 30°·t-at2,
根据牛顿第二定律有qE=ma,
解得E=。
(2)如图所示,当粒子运动到P点时,电势能最小,
由R=v1cos 30°·t′,
R=-v1sin 30°·t′+at′2,
qEt′=Δp,
联立求得Δp=mv。
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)第6讲　小专题:带电粒子(带电体)在电场中的力电综合问题
考点一　带电体在重力场和电场中的运动
1.等效重力场
物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动,但是对于处在匀强电场和重力场中物体的运动问题就会变得复杂一些。此时可以将重力场与电场合二为一,用一个全新的“复合场”来代替,可形象称之为“等效重力场”。
2.概念解释
3.举例
[例1] 【“等效重力场”中的抛体运动模型】 (2024·湖南长沙阶段练习)如图所示,在水平向右的匀强电场中,质量为m的带电小球,以初速度v从M点竖直向上运动,通过N点时,速度大小为v,方向与电场方向相反,则小球从M运动到N的过程中,动量大小的最小值为(　　)
[A] mv [B] mv
[C] mv [D] 0
[例2] 【“等效重力场”中的圆周运动】 (2025·河北保定模拟)(多选)如图所示,绝缘粗糙的水平轨道AB与处于竖直平面内的半圆形光滑绝缘轨道BC平滑连接,BC为竖直直径,半圆形轨道的半径R=0.5 m,所在空间存在水平向右的匀强电场,电场线平行于AB,电场强度大小E=1×104 N/C。现有一电荷量q=+3×10-4C、质量m=0.2 kg的带电体甲(可视为质点)与水平轨道的动摩擦因数μ=0.5,在P点由静止释放,之后与位于B点的另一质量m=0.2 kg不带电的绝缘体乙(可视为质点)发生正碰并瞬间粘在一起,P点到B点的距离xPB=5 m,g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。则下列说法正确的是(　　)
[A] 甲、乙粘在一起后在半圆形轨道上运动过程中机械能守恒
[B] 甲、乙整体运动到半圆形轨道最高点C时速度大小为 m/s
[C] 甲、乙整体在半圆形轨道上运动过程的最大动能为5.5 J
[D] 甲、乙整体在半圆形轨道上运动过程的最大动能为5 J
[例3] 【“等效重力场”中的单摆类模型】 (2024·海南海口期中)空间有如图所示的匀强电场,电场强度大小为E,与水平方向的夹角为θ=30°。一根绝缘轻绳一端固定在O点,另一端系一个质量为m的带电小球,OA水平。将小球自A点由静止释放,当摆到轻绳与竖直方向夹角也为θ的B位置时,小球的速度恰好为零,轻绳始终伸直。已知重力加速度为g,小球从A到B的过程中,下列说法正确的是(　　)
[A] 小球带负电
[B] 小球的电荷量为
[C] 小球的机械能先增加后减小
[D] 小球在B点时轻绳的拉力最大
考点二　电场中的力电综合问题
1.动力学的观点
(1)由于匀强电场中带电粒子所受静电力和重力都是恒力,可用正交分解法。
(2)综合运用牛顿运动定律和匀变速直线运动规律,注意受力分析要全面,特别注意重力是否需要考虑的问题。
2.能量的观点
(1)运用动能定理时注意过程分析要全面,准确求出过程中所有力做的功,判断是对分过程还是对全过程使用动能定理。
(2)运用能量守恒定律时注意题目中有哪些形式的能量出现。
3.动量的观点
(1)运用动量定理时要注意动量定理的表达式是矢量式,在一维情况下,各个矢量必须选同一个正方向。
(2)运用动量守恒定律时除了要注意动量守恒定律的表达式是矢量式,还要注意题目表述是否为某方向上动量守恒。
[例4] 【带电体在水平面上的运动】 (2025·河北邯郸模拟)如图所示,电场强度为E的匀强电场中有一光滑水平绝缘平面,一根轻弹簧左端固定在平面上,右端拴接一个带正电的绝缘物块甲,平衡时物块甲静止在a点。某时刻在b点由静止释放带有正电的绝缘物块乙,乙与甲发生碰撞后一起向左运动但未粘连,当甲、乙一起返回到c点时,弹簧恰好恢复原长,甲、乙速度刚好为零。若在d点由静止释放乙,乙与甲发生碰撞后仍一起压缩弹簧运动,返回到c点时甲、乙分离,分离后,乙刚好能够返回到e点(未画出)。已知物块甲、乙可视为质点,质量均为m,电荷量均为q,a、b间距离为L,a、c间距离以及b、d间距离均为,忽略甲、乙间的库仑力。求:
(1)初始状态弹簧储存的弹性势能;
(2)e点与a点的距离。
[例5] 【带电体在斜面上的运动】 (2024·山东卷,10)(多选)如图所示,带电量为+q的小球被绝缘棒固定在O点,右侧有固定在水平面上、倾角为30°的光滑绝缘斜面。质量为m、带电量为+q的小滑块从斜面上A点由静止释放,滑到与小球等高的B点时加速度为零,滑到C点时速度为零。已知AC间的距离为s,重力加速度大小为g,静电力常量为k,下列说法正确的是(　　)
[A] OB的距离l=
[B] OB的距离l=
[C] 从A到C,静电力对小滑块做功W=-mgs
[D] AC之间的电势差UAC=-
(满分:50分)
对点1.带电体在重力场和电场中的运动
1.(4分)(2024·陕西西安模拟)如图所示,电场强度为E的匀强电场方向竖直向下,所带电荷量为-q、质量为m的带电小球用长为L的绝缘细线拴住,小球可以在竖直平面内绕O做圆周运动,A、B分别是轨迹的最高点和最低点。已知小球静止时的位置是A点,重力加速度大小为g,小球可以看成质点,下列说法正确的是(　　)
[A] 若小球恰好可以做完整的圆周运动,则小球通过A点时速度最小值为
[B] 若小球恰好可以做完整的圆周运动,则小球通过A点时速度最小值为
[C] 若小球恰好可以做完整的圆周运动,则小球通过A点时速度最小值为
[D] 若小球恰好可以做完整的圆周运动,则小球通过A点时速度最小值为
2.(4分)(2024·浙江杭州开学考试)如图所示,长为L的轻绳上端固定在O点,下端系一带电荷量为+q的小球,置于水平向右的匀强电场中,电场强度为E=,OA与竖直方向的夹角为37°,OA一半处的P点有一小钉子。现将小球拉至B点,使轻绳与OA夹角很小,然后由静止释放小球,小球在竖直平面内运动。点C(图中未标出)是小球能够到达OA左侧最远位置,重力加速度为g,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,不计空气阻力,下列说法正确的是(　　)
[A] 小球在C点时所受合力为零
[B] 小球在A点时绳子拉力等于mg
[C] 小球摆动到C点时具有的机械能等于在B点具有的机械能
[D] 小球摆动的周期为π(2+)
3.(6分)(2025·江西萍乡模拟)(多选)如图所示,竖直面内的绝缘半圆弧轨道BC与绝缘水平轨道AB相切于B点,匀强电场电场强度E=2×104 N/C,方向与水平方向成θ=37°。一个电荷量q=+1×10-4 C的小物块以初速度v0=16 m/s从A点开始向右运动,已知AB间距L=10 m,物块在运动过程中电荷量不变,物块质量m=0.2 kg,圆弧半径R=1 m,重力加速度g取
10 m/s2,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,摩擦阻力忽略不计。则(　　)
[A] 物块从A到B过程中,电势能增加了16 J
[B] 物块通过C点时速度大小为20 m/s
[C] 物块在C点处受到的轨道压力大小为79.2 N
[D] 物块从C点抛出后的加速度大小为10 m/s2
对点2.电场中的力电综合问题
4.(4分)(2024·四川成都三模)如图所示,竖直平面内足够长的光滑绝缘倾斜杆底端固定有一点电荷Q,M、N为杆上的两点。套在杆上的绝缘带电小球从某点静止释放后,沿杆向上运动,先后通过了M、N两点。由此可以判断(　　)
[A] 点电荷Q在M点处产生的电场强度方向一定沿杆向上
[B] 小球在M点的加速度一定大于在N点的加速度
[C] 小球在M点的电势能一定大于在N点的电势能
[D] 小球在M点的动能一定大于在N点的动能
5.(6分)(2025·河南许昌阶段练习)(多选)如图所示的装置静止在水平向右的匀强电场中,轻质的细绳与竖直方向的夹角为θ,绝缘轻质弹簧与竖直方向的夹角为φ,A、B两小球均可视为质点,小球A的质量为m且带电,小球B的质量为2m且不带电,重力加速度为g,下列说法正确的是(　　)
[A] 一定有φ<θ
[B] 小球A一定带正电
[C] 剪断细绳瞬间,小球B的加速度大小为
[D] 从与B相连处剪断弹簧瞬间,小球B的加速度大小为gsin φ
6.(4分)(2025·北京昌平模拟)如图所示,在水平向右且电场强度大小为E的匀强电场中,两个半径相同、质量均为m的小球A、B静止放置在光滑的水平面上,且A、B所在直线与电场线平行。A带电荷量为q(q>0),B不带电,A、B之间的距离为L。t=0时刻开始,A在静电力的作用下开始沿直线运动,并与B发生弹性碰撞。碰撞过程中A、B之间没有电荷量转移,仅碰撞时才考虑A、B之间的相互作用,下列说法正确的是(　　)
[A] 两球第一次碰撞到发生第二次碰撞的时间间隔为
[B] 两球第n次碰撞到发生第n+1次碰撞的时间间隔为2n
[C] 两球连续两次碰撞的时间间隔均为
[D] 两球连续两次碰撞的时间间隔均为2
7.(10分)(2025·福建泉州模拟)空间存在一方向竖直向下的匀强电场,O、P是电场中的两点。从O点沿水平方向以不同速度先后发射两个质量均为m的小球A、B。A不带电,B的电荷量为q(q>0)。A从O点发射时的速度大小为v0,到达P点所用时间为t;B从O点到达P点所用时间为。重力加速度为g,求:
(1)O点到P点的高度差;
(2)小球B的加速度大小和电场强度的大小;
(3)B运动到P点时的动能。
8.(12分)(2024·四川绵阳阶段练习)如图所示,圆心为O、半径为R的圆形区域内存在一个平行于该区域的匀强电场,MN为圆的一条直径。质量为m、电荷量为+q的粒子从M点以速度v射入电场,速度方向与MN夹角θ=30°,一段时间后粒子运动到N点,速度大小也为v,不计粒子重力。求:
(1)匀强电场的电场强度大小E;
(2)仅改变粒子速度大小,当粒子离开圆形区域的电势能最小时,粒子动量改变量的大小Δp。
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高中总复习·物理
第6讲　
小专题:带电粒子(带电体)在电场中的力电综合问题
1.等效重力场
物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动,但是对于处在匀强电场和重力场中物体的运动问题就会变得复杂一些。此时可以将重力场与电场合二为一,用一个全新的“复合场”来代替,可形象称之为“等效重力场”。
2.概念解释
3.举例
[例1] 【“等效重力场”中的抛体运动模型】 (2024·湖南长沙阶段练习)如图所示,在水平向右的匀强电场中,质量为m的带电小球,以初速度v从M点竖直向上运动,通过N点时,速度大小为v,方向与电场方向相反,则小球从M运动到N的过程中,动量大小的最小值为(　　)
A
[例2] 【“等效重力场”中的圆周运动】 (2025·河北保定模拟)(多选)如图所示,绝缘粗糙的水平轨道AB与处于竖直平面内的半圆形光滑绝缘轨道BC平滑连接,
BC为竖直直径,半圆形轨道的半径R=0.5 m,所在空间存在水平向右的匀强电场,电场线平行于AB,电场强度大小E=1×104 N/C。现有一电荷量q=+3×10-4C、质量m=0.2 kg的带电体甲(可视为质点)与水平轨道的动摩擦因数μ=0.5,在P点由静止释放,之后与位于B点的另一质量m=0.2 kg不带电的绝缘体乙(可视为质点)发生正碰并瞬间粘在一起,P点到B点的距离xPB=5 m,g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,
cos 37°=0.8。
则下列说法正确的是( 　　)
[A] 甲、乙粘在一起后在半圆形轨道上运动过程中机械能守恒
[C] 甲、乙整体在半圆形轨道上运动过程的最大动能为5.5 J
[D] 甲、乙整体在半圆形轨道上运动过程的最大动能为5 J
BC
[例3] 【“等效重力场”中的单摆类模型】 (2024·海南海口期中)空间有如图所示的匀强电场,电场强度大小为E,与水平方向的夹角为θ=30°。一根绝缘轻绳一端固定在O点,另一端系一个质量为m的带电小球,OA水平。将小球自A点由静止释放,当摆到轻绳与竖直方向夹角也为θ的B位置时,小球的速度恰好为零,轻绳始终伸直。已知重力加速度为g,小球从A到B的过程中,下列说法正确的是(　　)
[A] 小球带负电
[C] 小球的机械能先增加后减小
[D] 小球在B点时轻绳的拉力最大
B
1.动力学的观点
(1)由于匀强电场中带电粒子所受静电力和重力都是恒力,可用正交分解法。
(2)综合运用牛顿运动定律和匀变速直线运动规律,注意受力分析要全面,特别注意重力是否需要考虑的问题。
2.能量的观点
(1)运用动能定理时注意过程分析要全面,准确求出过程中所有力做的功,判断是对分过程还是对全过程使用动能定理。
(2)运用能量守恒定律时注意题目中有哪些形式的能量出现。
3.动量的观点
(1)运用动量定理时要注意动量定理的表达式是矢量式,在一维情况下,各个矢量必须选同一个正方向。
(2)运用动量守恒定律时除了要注意动量守恒定律的表达式是矢量式,还要注意题目表述是否为某方向上动量守恒。
(1)初始状态弹簧储存的弹性势能;
(2)e点与a点的距离。
[例5] 【带电体在斜面上的运动】 (2024·山东卷,10)(多选)如图所示,带电量为+q的小球被绝缘棒固定在O点,右侧有固定在水平面上、倾角为30°的光滑绝缘斜面。质量为m、带电量为+q的小滑块从斜面上A点由静止释放,滑到与小球等高的B点时加速度为零,滑到C点时速度为零。已知AC间的距离为s,重力加速度大小为g,静电力常量为k,下列说法正确的是( 　　)
AD
对点1.带电体在重力场和电场中的运动
1.(4分)(2024·陕西西安模拟)如图所示,电场强度为E的匀强电场方向竖直向下,所带电荷量为-q、质量为m的带电小球用长为L的绝缘细线拴住,小球可以在竖直平面内绕O做圆周运动,A、B分别是轨迹的最高点和最低点。已知小球静止时的位置是A点,重力加速度大小为g,小球可以看成质点,下列说法正确的是(　　)
基础对点练
A
D
3.(6分)(2025·江西萍乡模拟)(多选)如图所示,竖直面内的绝缘半圆弧轨道BC与绝缘水平轨道AB相切于B点,匀强电场电场强度E=2×104 N/C,方向与水平方向成θ=37°。一个电荷量q=+1×10-4 C的小物块以初速度v0=16 m/s从A点开始向右运动,已知AB间距L=10 m,物块在运动过程中电荷量不变,物块质量m=0.2 kg,圆弧半径R=1 m,重力加速度g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,摩擦阻力忽略不计。则(　 　)
[A] 物块从A到B过程中,电势能增加了16 J
[B] 物块通过C点时速度大小为20 m/s
[C] 物块在C点处受到的轨道压力大小为79.2 N
BC
对点2.电场中的力电综合问题
4.(4分)(2024·四川成都三模)如图所示,竖直平面内足够长的光滑绝缘倾斜杆底端固定有一点电荷Q,M、N为杆上的两点。套在杆上的绝缘带电小球从某点静止释放后,沿杆向上运动,先后通过了M、N两点。由此可以判断(　　)
[A] 点电荷Q在M点处产生的电场强度方向一定沿杆向上
[B] 小球在M点的加速度一定大于在N点的加速度
[C] 小球在M点的电势能一定大于在N点的电势能
[D] 小球在M点的动能一定大于在N点的动能
C
BC
5.(6分)(2025·河南许昌阶段练习)(多选)如图所示的装置静止在水平向右的匀强电场中,轻质的细绳与竖直方向的夹角为θ,绝缘轻质弹簧与竖直方向的夹角为φ,A、B两小球均可视为质点,小球A的质量为m且带电,小球B的质量为2m且不带电,重力加速度为g,下列说法正确的是( 　　)
[A] 一定有φ<θ
[B] 小球A一定带正电
6.(4分)(2025·北京昌平模拟)如图所示,在水平向右且电场强度大小为E的匀强电场中,两个半径相同、质量均为m的小球A、B静止放置在光滑的水平面上,且A、B所在直线与电场线平行。A带电荷量为q(q>0),B不带电,A、B之间的距离为L。t=0时刻开始,A在静电力的作用下开始沿直线运动,并与B发生弹性碰撞。碰撞过程中A、B之间没有电荷量转移,仅碰撞时才考虑A、B之间的相互作用,下列说法正确的是(　　)
综合提升练
D
(1)O点到P点的高度差;
(2)小球B的加速度大小和电场强度的大小;
(3)B运动到P点时的动能。
8.(12分)(2024·四川绵阳阶段练习)如图所示,圆心为O、半径为R的圆形区域内存在一个平行于该区域的匀强电场,MN为圆的一条直径。质量为m、电荷量为+q的粒子从M点以速度v射入电场,速度方向与MN夹角θ=30°,一段时间后粒子运动到N点,速度大小也为v,不计粒子重力。求:
(1)匀强电场的电场强度大小E;
(2)仅改变粒子速度大小,当粒子离开圆形区域的电势能最小时,粒子动量改变量的大小Δp。

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