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第3讲　小专题:“玻璃管液封”与“汽缸—活塞”模型　关联气体问题
考点一　“玻璃管液封”模型
“玻璃管液封”模型
求液柱封闭的气体压强时,一般以液柱为研究对象分析受力、列平衡方程求解,要注意:
(1)液体因重力产生的压强为p=ρgh(其中h为液体的竖直高度)。
(2)不要漏掉大气压强,同时又要平衡掉某些气体产生的压力。
(3)有时注意应用连通器原理——连通器内静止的液体,同一液体在同一水平面上各处压强相等。
(4)当液体为水银时,可灵活应用压强单位“cmHg”,使计算过程简捷。
[例1] 【单独气体】 (2024·湖南永州三模)一根粗细均匀、长度L=90 cm的导热玻璃管开口向下竖直放置,管中水银柱的长度l1=15 cm,封闭的理想气体柱的长度l2=75 cm,如图甲所示;现将玻璃管缓慢转动180°至开口向上并固定,如图乙所示。已知外界大气压强恒为75 cmHg,环境的热力学温度始终为T0=300 K。
(1)求图乙中水银到管口的距离h;
(2)对图乙中的封闭气体加热,要使水银全部从玻璃管顶端溢出,则封闭气体的热力学温度不能低于多少
【答案】 (1)25 cm　(2)453.75 K
【解析】 (1)题图甲中气体的长度为l2=75 cm,
气体的压强为p1=p0-ρgh=75 cmHg-15 cmHg=60 cmHg,
题图乙中气体的长度为l3=L-l1-h=90 cm-15 cm-h=75 cm-h,
气体的压强为p2=p0+ρgh=75 cmHg+15 cmHg=90 cmHg,
环境的热力学温度不变,根据玻意耳定律有p1l2=p2l3,
解得h=25 cm。
(2)设封闭理想气体的水银柱长度为x cm时,理想气体的热力学温度为T,则由理想气体状态方程有=,
其中p3=p0+x cmHg,l4=L-x cm,
代入可得数值关系有=,
根据数学关系,当75+x=90-x,
即x=7.5,
温度T有最大值,此时有T=453.75 K,
所以封闭气体的热力学温度不能低于453.75 K。
[例2] 【关联气体】 (2023·全国乙卷,33)如图,竖直放置的封闭玻璃管由管径不同、长度均为20 cm的A、B两段细管组成,A管的内径是B管的2倍,B管在上方。管内空气被一段水银柱隔开。水银柱在两管中的长度均为10 cm。现将玻璃管倒置使A管在上方,平衡后,A管内的空气柱长度改变1 cm。求B管在上方时,玻璃管内两部分气体的压强。(气体温度保持不变,以 cmHg为压强单位)
【答案】 74.36 cmHg　54.36 cmHg
【解析】 设B管在上方时上部分气体压强为pB,则此时下方气体压强为pA,此时有pA=pB+20 cmHg,
倒置后A管气体压强变小,即空气柱长度增加1 cm,A管中水银柱减小1 cm,A管的内径是B管的2倍,则SA=4SB,
可知B管水银柱增加4 cm,空气柱减小4 cm;设此时两管的压强分别为pA′、pB′,所以有
pA′+23 cmHg=pB′,
倒置前后温度不变,根据玻意耳定律对A管气体有pASALA=pA′SALA′,
对B管气体有pBSBLB=pB′SBLB′,
其中LA′=10 cm+1 cm=11 cm,
LB′=10 cm-4 cm=6 cm,
联立以上各式解得pA=74.36 cmHg,pB=54.36 cmHg。
[拓展] 【“液封”模型中的动态分析】 (2024·安徽蚌埠期末)(多选)如图所示,一粗细均匀的U形玻璃管开口向上竖直放置,左、右两管都封有一定质量的理想气体A、B,水银面a、b间的高度差为h1,水银柱cd的长度为h2,且h2=h1,a面与c面恰处于同一高度。若在右管开口端取出少量水银,系统重新达到平衡,则(　　)
[A] A气体的压强大于外界大气压强
[B] B气体的压强变化量大于A气体的压强变化量
[C] 水银面c上升的高度小于水银面a下降的高度
[D] 水银面a、b间新的高度差大于右管上段新水银柱的长度
【答案】 BD
【解析】 取出水银前,A气体压强pA=p0+ρgh2 -ρgh1=p0,B气体压强pB=p0+ρgh2,当在右管开口端取出少量水银时,即h2减小,A、B气体压强均变小,即A气体的压强小于外界大气压强;设右管开口端取出的水银高度为Δh,则B气体的压强变化量为ΔpB=ρgΔh,而此时,设水银面a下降的高度为Δh′,则此时A气体的压强为pA′=p0+ρg(h2-Δh)-ρg(h1-2Δh′),即 ΔpA=ρgΔh-2ρgΔh′<ΔpB;当右管口取出少量水银后气体A的压强一定小于pA,即pA′h3,A错误,B、D正确。由玻意耳定律p1V1=p2V2可知,A、B气体体积均变大,假设B气体体积不变,则水银面a下降的高度等于水银面c上升的高度,等于水银面b上升的高度;由于B气体体积同时要变大,故水银面c上升的高度大于水银面a下降的高度,C错误。
考点二　“汽缸—活塞”类模型
解决“汽缸”类问题的一般思路
(1)确定研究对象。
研究对象分两类:
①热学研究对象(一定质量的理想气体)。
②力学研究对象(汽缸、活塞或某系统)。
(2)分析物理过程。
①对热学研究对象分析清楚初、末状态及状态变化过程,根据气体实验定律列出方程。
②对力学研究对象要正确地进行受力分析,根据力学规律列出方程。
(3)挖掘题目的隐含条件,如几何关系等,列出辅助方程。
(4)多个方程联立求解,注意检验求解结果的合理性。
[例3] 【单独气体】 (2024·全国甲卷,33)如图,一竖直放置的汽缸内密封有一定量的气体,一不计厚度的轻质活塞可在汽缸内无摩擦滑动,移动范围被限制在卡销a、b之间,b与汽缸底部的距离 =10,活塞的面积为1.0×10-2 m2。初始时,活塞在卡销a处,汽缸内气体的压强、温度与活塞外大气的压强、温度相同,分别为1.0×105 Pa 和300 K。在活塞上施加竖直向下的外力,逐渐增大外力使活塞缓慢到达卡销b处(过程中气体温度视为不变),外力增加到200 N并保持不变。
(1)求外力增加到200 N时,卡销b对活塞支持力的大小;
(2)再将汽缸内气体加热使气体温度缓慢升高,求当活塞刚好能离开卡销b时气体的温度。
【答案】 (1)100 N　(2) K
【解析】 (1)设汽缸内气体的初始压强为p0,活塞移动到b处时,汽缸内气体压强为p1,设卡销a、b间距为d,由玻意耳定律有p0×11dS=p1×10dS,
设卡销b对活塞支持力大小为FN,对活塞受力分析,有p0S+F=p1S+FN,
联立解得FN=100 N。
(2)设温度升高到T时,活塞恰好能离开卡销b,此时汽缸内气体压强为p2,对活塞受力分析,有p0S+F=p2S,
由查理定律有=,
联立解得T= K。
[例4] 【关联气体】 (2024·河北卷,9)(多选)如图,水平放置的密闭绝热汽缸被导热活塞分成左右两部分,左侧封闭一定质量的理想气体,右侧为真空,活塞与汽缸右壁中央用一根轻质弹簧水平连接。汽缸内壁光滑且水平长度大于弹簧自然长度,弹簧的形变始终在弹性限度内且体积忽略不计。活塞初始时静止在汽缸正中间,后因活塞密封不严发生缓慢移动,活塞重新静止后(　　)
[A] 弹簧恢复至自然长度
[B] 活塞两侧气体质量相等
[C] 与初始时相比,汽缸内气体的内能增加
[D] 与初始时相比,活塞左侧单位体积内气体分子数减少
【答案】 ACD
【解析】 初始状态活塞受到左侧气体向右的压力和弹簧向左的弹力处于平衡状态,弹簧处于压缩状态。因活塞密封不严,可知左侧气体向右侧真空漏出。左侧气体压强变小,右侧出现气体,对活塞有向左的压力,最终左、右两侧气体压强相等,且弹簧恢复原长,故A正确。由题知活塞初始时静止在汽缸正中间,但由于活塞向左移动,左侧气体体积小于右侧气体体积,则左侧气体质量小于右侧气体质量,故B错误。密闭的汽缸绝热,与外界没有能量交换,但弹簧弹性势能减少了,可知气体内能增加,故 C正确。初始时气体在左侧,最终气体充满整个汽缸,则与初始时相比,左侧单位体积内气体分子数减少,故D正确。
“汽缸—活塞”模型关联气体问题的解题思路
汽缸封闭着几部分气体,并且各部分气体之间相互关联的问题,解答时应分别研究各部分气体,找出它们各自遵循的规律,并写出相应的方程,还要写出各部分气体之间压强或体积的关系式,最后联立求解。
(满分:60分)
对点1.“玻璃管液封”模型
1.(6分)(2024·安徽宿州模拟)(多选)如图所示,在两端开口、竖直放置的U形玻璃管内,封闭着长度为L的空气柱,a、b两水银面的高度差为h,现保持温度不变,则(　　)
[A] 若再向左管注入些水银,稳定后h变大
[B] 若再向左管注入些水银,稳定后h不变
[C] 若两管同时注入等量的水银,稳定后h变大
[D] 若两管同时注入等量的水银,稳定后h不变
【答案】 BC
【解析】 管内封闭气体的压强为p=p0+ρgh=p0+ρgh′,即右侧管上部分水银柱长度等于a、b两水银面的高度差h,若再向左管注入些水银,稳定后气体的压强不变,则h不变,故A错误,B正确;若两管同时注入等量的水银,稳定后管内气体的压强变大,则h变大,气体体积减小,则L减小,故C正确,D错误。
2.(6分)(2024·山西晋中模拟)(多选)如图所示,两端封闭、粗细均匀的玻璃管内的理想气体被一段水银柱隔开,当玻璃管水平放置时,甲端气体的体积小于乙端气体的体积,甲端气体的温度高于乙端气体的温度,水银柱处于静止状态。下列说法正确的有(　　)
[A] 若管内两端的气体都升高相同的温度,则水银柱向左移动
[B] 若管内两端的气体都升高相同的温度,则水银柱向右移动
[C] 当玻璃管水平自由下落时,管内两端的气体的压强将变为零
[D] 微观上气体的压强是由大量气体分子频繁碰撞器壁而产生的
【答案】 AD
【解析】 管内两端的气体都升高相同的温度ΔT时,假设水银柱不动,由等容变化有=,解得 Δp=,因左侧管内气体的温度高于右侧管内气体的温度T1左>T1右,则左侧气体压强的增加量小于右侧气体压强的增加量,Δp1左<Δp1右,而初态两侧的压强相等,故水银柱要向左移动,A正确,B错误;当玻璃管水平自由下落时,只是竖直方向上完全失重,水平方向上依然压强相等,C错误;气体压强的微观解释就是大量气体分子频繁碰撞器壁而产生的,单位体积内分子数越多,气体对容器壁的压强就越大,D正确。
3.(4分)(2024·河北保定阶段练习)如图所示,在柱形容器中装有部分水,容器上方有一可自由移动的活塞。容器水面浮有一个木块和一个一端封闭、开口向下的玻璃管,玻璃管中有部分空气(视为理想气体),系统稳定时,玻璃管内空气柱在管外水面上方的长度为a,在管外水面下方的长度为b,木块在水面上方的高度为c,在水面下方的高度为d。现在活塞上方施加一竖直向下且缓缓增大的力F,使活塞下降一小段距离(未碰及玻璃管和木块),下列说法正确的是(　　)
[A] d和b都减小 [B] c和b都减小
[C] a减小 [D] a和c都减小
【答案】 C
【解析】 设木块的重力为Mg,横截面积为S1,根据平衡条件得Mg=ρ水gdS1,活塞下降一小段距离,容器中的气体体积减小,压强增大,但d不变,所以c也不变;设玻璃管的横截面积为S2,重力为mg,根据平衡条件得mg=ρ水gbS2,活塞下降一小段距离,容器中的气体体积减小,压强增大,但b不变;设容器内气体压强为p,则玻璃管中气体的压强为p + ρ水gb,对玻璃管中的气体,根据玻意耳定律得(p+ρ水gb)(a+b)S2=C(常量),活塞下降一小段距离,容器中的气体体积减小,压强p增大,a减小。综上所述,a减小,b、c、d都不变。
4.(4分)(2024·江西景德镇二模)如图所示,一下端封闭、上端开口的粗细均匀的玻璃管竖直静止,长度l2=16 cm的水银柱封闭了一段空气(视为理想气体)柱,空气柱的长度l1=10 cm。外界大气压强恒为p0=76 cmHg。使玻璃管向上做加速度大小a=5 m/s2的匀加速直线运动时,管内空气温度保持不变,重力加速度大小g取10 m/s2。和竖直静止时相比较,下列说法正确的有(　　)
[A] 管内空气的压强减少了8 cmHg
[B] 管内空气柱的长度减少了1.6 cm
[C] 管内空气的压强增加了10 cmHg
[D] 管内空气柱的长度减少了0.8 cm
【答案】 D
【解析】 根据题意,设静止时管内空气的压强为p1,则有p1=p0+ρgl2=92 cmHg,设玻璃管向上加速时管内空气的压强为p2,管的横截面积为S,则有p2S-p0S-ρgl2S=ρl2Sa,解得p2=100 cmHg,可知管内空气的压强增加了Δp=p2-p1=8 cmHg,故A、C错误;由于空气温度保持不变,由玻意耳定律有p1l1S=p2l1′S,解得l1′=9.2 cm,可知,管内空气柱的长度减少了0.8 cm,故B错误,D正确。
对点2.“汽缸—活塞”类模型
5.(4分)(2024·湖南湘潭期末)如图所示,一定质量的理想气体用轻质活塞封闭在容器中,活塞与容器间光滑接触且气密性良好,在图示三种稳定状态下的温度分别为 T1、T2、T3,活塞到容器底部的高度分别为h1、h2、h3且 h1[A] T1=T2=T3 [B] T1[C] T1>T2>T3 [D] T1【答案】 B
【解析】 题图中三种稳定状态之下的压强分别为p甲=p0,p乙=p0,p丙=p0+,根据理想气体状态方程有==,由于h16.(6分)(2024·重庆渝北二模)(多选)如图甲是一底面积为S且导热性能良好的圆柱形薄壁汽缸,汽缸内距其水平底部高L0处有可视为质点的卡点,汽缸上端有一密封良好且可无摩擦滑动的轻质活塞,汽缸内封闭有一定质量的理想气体。缓慢改变汽缸内的温度,使缸内封闭气体由状态A经状态B变化到状态C,该过程中,活塞到汽缸底部的高度L与汽缸内热力学温度T的关系如图乙所示,整个过程中缸内封闭气体吸收的热量为Q。已知外界环境气体压强始终为p0,汽缸内初始热力学温度为T0,则(　　)
[A] 在状态A时,缸内封闭气体的压强为0.5p0
[B] 在状态C时, LC=1.5L0
[C] 状态B变化至状态C的过程中,封闭气体的体积增大是因为压强增大
[D] 直线BC一定不过坐标原点
【答案】 AB
【解析】 由L-T图像可知,从状态A到状态B,缸内封闭气体发生等容变化,活塞位于卡点处,从状态B到状态C,缸内封闭气体发生等压变化,缸内封闭气体的压强恒为p0,从状态A到状态B,由 =,解得pA=0.5p0,故A正确,C错误;从状态B到状态C,由=,VB=SL0,VC=SLC,联立解得LC=1.5L0,故B正确;从状态B到状态C为等压变化,对于L-T图像,直线BC一定过坐标原点,故D错误。
7.(4分)(2024·山东临沂二模)某品牌自行车的气压避震装置主要由活塞、汽缸组成,可将其简化成如图所示结构,该自行车共有4个完全相同的避震器。自行车车架通过支架连接活塞,汽缸底部固定安装在车轴上,自行车车架、支架、活塞的总质量为M,活塞横截面积为S,质量为m的骑行爱好者在水平路面匀速骑行时汽缸内气体的长度为h1,重力加速度为g,外界大气压强为p0,活塞内气体视为理想气体且温度不变,不计一切摩擦,则骑行者在与水平面成θ=37°(cos 37°=0.8)夹角的斜坡上匀速向下骑行时汽缸内气体的长度为(　　)
[A] h1
[B] h1
[C] h1
[D] h1
【答案】 A
【解析】 在水平路面时,由平衡条件可知(m+M)g+4p0S=4p1S,在水平路面汽缸内气体的体积V1=h1S,斜坡上由平衡条件可知(m+M)gcos θ+4p0S=4p2S,斜坡上汽缸内气体的体积V2=h2S,根据玻意耳定律p1V1=p2V2,解得h2=h1。
8.(6分)(2024·湖南长沙期末)(多选)如图,U形玻璃管两端封闭竖直静止,管内水银柱把管内气体分成两部分,此时两边气体温度相同,管内水银面高度差为h。若要使左右水银面高度差变大,则可行的方法是(　　)
[A] 同时升高相同的温度
[B] 玻璃管竖直减速下落
[C] 同时降低相同的温度
[D] 玻璃管竖直加速下落
【答案】 BC
【解析】 假设两部分气体做等容变化,则根据=,可得压强变化Δp==p0,则Δp左=p左,Δp右=p右,而其中p左=p右+h,若同时升高相同的温度,则左侧气体压强增加得多,所以左侧水银面上升,右侧水银面下降,左右水银面高度差变小;同理若同时降低相同的温度,则左侧气体压强减少得多,所以左侧水银面下降,右侧水银面上升,左右水银面高度差变大,故A错误,C正确;玻璃管竖直减速下落,水银柱处于超重状态,则有(p左′-p右′-
ph′)S=ma,假设左右水银面高度差不变,则可知左侧压强增大,右侧压强减小,由p0V0=pV,可知左侧气体体积减小,右侧气体体积增大,则左右水银面高度差变大,故B正确,D错误。
9.(4分)(2024·安徽合肥阶段练习)气压传动是工业中常见的传动方式。导热良好、气密性良好、不计摩擦的汽缸中有面积为2S的轻质活塞A和面积为S的轻质活塞B,活塞重力均可忽略不计。初始状态如图甲所示,活塞A与汽缸右端相距L1,处于平衡状态。现用力缓慢向右移动活塞A,最终如图乙所示,活塞B和液体上升L2。已知大气压强为p0,液体密度为ρ、高度为h,弯管中的气体体积可忽略,下列说法正确的是(　　)
[A] 图中液体不浸润竖直管道
[B] 初始时封闭气体压强为p0+ρgh
[C] 最终活塞上升的高度为L2=
[D] 该过程中外界对封闭气体做功W,则W=ρgh(SL1-SL2)
【答案】 C
【解析】液面呈凹液面,题图中液体浸润竖直管道,故A错误;初始时,活塞A静止,封闭气体的压强为p1=p0,故B错误;最终封闭气体的压强大小为p2=p0+ρgh,活塞缓慢移动过程中,气体温度保持不变,由玻意耳定律可得p1L1×2S=p2L2S,解得 L2=,故C正确;活塞向右移动过程中,当封闭气体的压强为p0+ρgh时,此过程为等温变化过程,当继续向右移动时,气体压强、体积均不发生变化,即外界不对气体做功,因为活塞A面积为2S,故此过程活塞A向右移动的距离,p-V图像如图所示,外界对气体做正功,且功的大小等于图中阴影部分面积,小于ρgh(SL1-SL2),故D错误。
10.(16分)(2024·安徽宿州期末)如图是一种由汽缸、活塞柱、弹簧和上下支座构成的汽车氮气减震装置,汽缸内的气体可视为理想气体。该装置未安装到汽车上时,弹簧处于原长状态。封闭气体和活塞柱长度均为0.20 m,气体压强等于大气压强p0=1.0×105 Pa。将四台减震装置安装在汽车上,稳定时汽车的重力由四台减震装置支撑,且封闭气体被压缩了0.12 m。已知活塞柱横截面积S=1.0×10-2 m2,弹簧的劲度系数k=1.0×104 N/m。该装置的质量、活塞柱与汽缸摩擦均可忽略不计,汽缸导热性和气密性良好,环境温度不变,g取 10 m/s2。求:
(1)压缩后汽缸内氮气的压强;
(2)汽车的质量M。
【答案】 (1)2.5×105 Pa　(2)1 080 kg
【解析】 (1)当汽车装上减震装置后,设汽缸压缩后的体积为V1,压强为p1,由玻意耳定律可得p0V0=p1V1,
解得p1=2.5×105 Pa。
(2)设汽车对一个减震装置的压力为F,以减震装置汽缸上表面为研究对象,受力分析可知
p0S+F=p1S+kΔx,
解得F=2 700 N,
以汽车为研究对象,有Mg=4F,
解得汽车的质量为M=1 080 kg。
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考点一　“玻璃管液封”模型
“玻璃管液封”模型
求液柱封闭的气体压强时,一般以液柱为研究对象分析受力、列平衡方程求解,要注意:
(1)液体因重力产生的压强为p=ρgh(其中h为液体的竖直高度)。
(2)不要漏掉大气压强,同时又要平衡掉某些气体产生的压力。
(3)有时注意应用连通器原理——连通器内静止的液体,同一液体在同一水平面上各处压强相等。
(4)当液体为水银时,可灵活应用压强单位“cmHg”,使计算过程简捷。
[例1] 【单独气体】 (2024·湖南永州三模)一根粗细均匀、长度L=90 cm的导热玻璃管开口向下竖直放置,管中水银柱的长度l1=15 cm,封闭的理想气体柱的长度l2=75 cm,如图甲所示;现将玻璃管缓慢转动180°至开口向上并固定,如图乙所示。已知外界大气压强恒为75 cmHg,环境的热力学温度始终为T0=300 K。
(1)求图乙中水银到管口的距离h;
(2)对图乙中的封闭气体加热,要使水银全部从玻璃管顶端溢出,则封闭气体的热力学温度不能低于多少
[例2] 【关联气体】 (2023·全国乙卷,33)如图,竖直放置的封闭玻璃管由管径不同、长度均为20 cm的A、B两段细管组成,A管的内径是B管的2倍,B管在上方。管内空气被一段水银柱隔开。水银柱在两管中的长度均为10 cm。现将玻璃管倒置使A管在上方,平衡后,A管内的空气柱长度改变1 cm。求B管在上方时,玻璃管内两部分气体的压强。(气体温度保持不变,以 cmHg为压强单位)
[拓展] 【“液封”模型中的动态分析】 (2024·安徽蚌埠期末)(多选)如图所示,一粗细均匀的U形玻璃管开口向上竖直放置,左、右两管都封有一定质量的理想气体A、B,水银面a、b间的高度差为h1,水银柱cd的长度为h2,且h2=h1,a面与c面恰处于同一高度。若在右管开口端取出少量水银,系统重新达到平衡,则(　　)
[A] A气体的压强大于外界大气压强
[B] B气体的压强变化量大于A气体的压强变化量
[C] 水银面c上升的高度小于水银面a下降的高度
[D] 水银面a、b间新的高度差大于右管上段新水银柱的长度
考点二　“汽缸—活塞”类模型
解决“汽缸”类问题的一般思路
(1)确定研究对象。
研究对象分两类:
①热学研究对象(一定质量的理想气体)。
②力学研究对象(汽缸、活塞或某系统)。
(2)分析物理过程。
①对热学研究对象分析清楚初、末状态及状态变化过程,根据气体实验定律列出方程。
②对力学研究对象要正确地进行受力分析,根据力学规律列出方程。
(3)挖掘题目的隐含条件,如几何关系等,列出辅助方程。
(4)多个方程联立求解,注意检验求解结果的合理性。
[例3] 【单独气体】 (2024·全国甲卷,33)如图,一竖直放置的汽缸内密封有一定量的气体,一不计厚度的轻质活塞可在汽缸内无摩擦滑动,移动范围被限制在卡销a、b之间,b与汽缸底部的距离 =10,活塞的面积为1.0×10-2 m2。初始时,活塞在卡销a处,汽缸内气体的压强、温度与活塞外大气的压强、温度相同,分别为1.0×105 Pa 和300 K。在活塞上施加竖直向下的外力,逐渐增大外力使活塞缓慢到达卡销b处(过程中气体温度视为不变),外力增加到200 N并保持不变。
(1)求外力增加到200 N时,卡销b对活塞支持力的大小;
(2)再将汽缸内气体加热使气体温度缓慢升高,求当活塞刚好能离开卡销b时气体的温度。
[例4] 【关联气体】 (2024·河北卷,9)(多选)如图,水平放置的密闭绝热汽缸被导热活塞分成左右两部分,左侧封闭一定质量的理想气体,右侧为真空,活塞与汽缸右壁中央用一根轻质弹簧水平连接。汽缸内壁光滑且水平长度大于弹簧自然长度,弹簧的形变始终在弹性限度内且体积忽略不计。活塞初始时静止在汽缸正中间,后因活塞密封不严发生缓慢移动,活塞重新静止后(　　)
[A] 弹簧恢复至自然长度
[B] 活塞两侧气体质量相等
[C] 与初始时相比,汽缸内气体的内能增加
[D] 与初始时相比,活塞左侧单位体积内气体分子数减少
“汽缸—活塞”模型关联气体问题的解题思路
汽缸封闭着几部分气体,并且各部分气体之间相互关联的问题,解答时应分别研究各部分气体,找出它们各自遵循的规律,并写出相应的方程,还要写出各部分气体之间压强或体积的关系式,最后联立求解。
(满分:60分)
对点1.“玻璃管液封”模型
1.(6分)(2024·安徽宿州模拟)(多选)如图所示,在两端开口、竖直放置的U形玻璃管内,封闭着长度为L的空气柱,a、b两水银面的高度差为h,现保持温度不变,则(　　)
[A] 若再向左管注入些水银,稳定后h变大
[B] 若再向左管注入些水银,稳定后h不变
[C] 若两管同时注入等量的水银,稳定后h变大
[D] 若两管同时注入等量的水银,稳定后h不变
2.(6分)(2024·山西晋中模拟)(多选)如图所示,两端封闭、粗细均匀的玻璃管内的理想气体被一段水银柱隔开,当玻璃管水平放置时,甲端气体的体积小于乙端气体的体积,甲端气体的温度高于乙端气体的温度,水银柱处于静止状态。下列说法正确的有(　　)
[A] 若管内两端的气体都升高相同的温度,则水银柱向左移动
[B] 若管内两端的气体都升高相同的温度,则水银柱向右移动
[C] 当玻璃管水平自由下落时,管内两端的气体的压强将变为零
[D] 微观上气体的压强是由大量气体分子频繁碰撞器壁而产生的
3.(4分)(2024·河北保定阶段练习)如图所示,在柱形容器中装有部分水,容器上方有一可自由移动的活塞。容器水面浮有一个木块和一个一端封闭、开口向下的玻璃管,玻璃管中有部分空气(视为理想气体),系统稳定时,玻璃管内空气柱在管外水面上方的长度为a,在管外水面下方的长度为b,木块在水面上方的高度为c,在水面下方的高度为d。现在活塞上方施加一竖直向下且缓缓增大的力F,使活塞下降一小段距离(未碰及玻璃管和木块),下列说法正确的是(　　)
[A] d和b都减小 [B] c和b都减小
[C] a减小 [D] a和c都减小
4.(4分)(2024·江西景德镇二模)如图所示,一下端封闭、上端开口的粗细均匀的玻璃管竖直静止,长度l2=16 cm的水银柱封闭了一段空气(视为理想气体)柱,空气柱的长度l1=10 cm。外界大气压强恒为p0=76 cmHg。使玻璃管向上做加速度大小a=5 m/s2的匀加速直线运动时,管内空气温度保持不变,重力加速度大小g取10 m/s2。和竖直静止时相比较,下列说法正确的有(　　)
[A] 管内空气的压强减少了8 cmHg
[B] 管内空气柱的长度减少了1.6 cm
[C] 管内空气的压强增加了10 cmHg
[D] 管内空气柱的长度减少了0.8 cm
对点2.“汽缸—活塞”类模型
5.(4分)(2024·湖南湘潭期末)如图所示,一定质量的理想气体用轻质活塞封闭在容器中,活塞与容器间光滑接触且气密性良好,在图示三种稳定状态下的温度分别为 T1、T2、T3,活塞到容器底部的高度分别为h1、h2、h3且 h1[A] T1=T2=T3 [B] T1[C] T1>T2>T3 [D] T16.(6分)(2024·重庆渝北二模)(多选)如图甲是一底面积为S且导热性能良好的圆柱形薄壁汽缸,汽缸内距其水平底部高L0处有可视为质点的卡点,汽缸上端有一密封良好且可无摩擦滑动的轻质活塞,汽缸内封闭有一定质量的理想气体。缓慢改变汽缸内的温度,使缸内封闭气体由状态A经状态B变化到状态C,该过程中,活塞到汽缸底部的高度L与汽缸内热力学温度T的关系如图乙所示,整个过程中缸内封闭气体吸收的热量为Q。已知外界环境气体压强始终为p0,汽缸内初始热力学温度为T0,则(　　)
[A] 在状态A时,缸内封闭气体的压强为0.5p0
[B] 在状态C时, LC=1.5L0
[C] 状态B变化至状态C的过程中,封闭气体的体积增大是因为压强增大
[D] 直线BC一定不过坐标原点
7.(4分)(2024·山东临沂二模)某品牌自行车的气压避震装置主要由活塞、汽缸组成,可将其简化成如图所示结构,该自行车共有4个完全相同的避震器。自行车车架通过支架连接活塞,汽缸底部固定安装在车轴上,自行车车架、支架、活塞的总质量为M,活塞横截面积为S,质量为m的骑行爱好者在水平路面匀速骑行时汽缸内气体的长度为h1,重力加速度为g,外界大气压强为p0,活塞内气体视为理想气体且温度不变,不计一切摩擦,则骑行者在与水平面成θ=37°(cos 37°=0.8)夹角的斜坡上匀速向下骑行时汽缸内气体的长度为(　　)
[A] h1
[B] h1
[C] h1
[D] h1
8.(6分)(2024·湖南长沙期末)(多选)如图,U形玻璃管两端封闭竖直静止,管内水银柱把管内气体分成两部分,此时两边气体温度相同,管内水银面高度差为h。若要使左右水银面高度差变大,则可行的方法是(　　)
[A] 同时升高相同的温度
[B] 玻璃管竖直减速下落
[C] 同时降低相同的温度
[D] 玻璃管竖直加速下落
9.(4分)(2024·安徽合肥阶段练习)气压传动是工业中常见的传动方式。导热良好、气密性良好、不计摩擦的汽缸中有面积为2S的轻质活塞A和面积为S的轻质活塞B,活塞重力均可忽略不计。初始状态如图甲所示,活塞A与汽缸右端相距L1,处于平衡状态。现用力缓慢向右移动活塞A,最终如图乙所示,活塞B和液体上升L2。已知大气压强为p0,液体密度为ρ、高度为h,弯管中的气体体积可忽略,下列说法正确的是(　　)
[A] 图中液体不浸润竖直管道
[B] 初始时封闭气体压强为p0+ρgh
[C] 最终活塞上升的高度为L2=
[D] 该过程中外界对封闭气体做功W,则W=ρgh(SL1-SL2)
10.(16分)(2024·安徽宿州期末)如图是一种由汽缸、活塞柱、弹簧和上下支座构成的汽车氮气减震装置,汽缸内的气体可视为理想气体。该装置未安装到汽车上时,弹簧处于原长状态。封闭气体和活塞柱长度均为0.20 m,气体压强等于大气压强p0=1.0×105 Pa。将四台减震装置安装在汽车上,稳定时汽车的重力由四台减震装置支撑,且封闭气体被压缩了0.12 m。已知活塞柱横截面积S=1.0×10-2 m2,弹簧的劲度系数k=1.0×104 N/m。该装置的质量、活塞柱与汽缸摩擦均可忽略不计,汽缸导热性和气密性良好,环境温度不变,g取 10 m/s2。求:
(1)压缩后汽缸内氮气的压强;
(2)汽车的质量M。
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高中总复习·物理
第3讲　
小专题:“玻璃管液封”与“汽缸—活塞”模型
关联气体问题
“玻璃管液封”模型
求液柱封闭的气体压强时,一般以液柱为研究对象分析受力、列平衡方程求解,要注意:
(1)液体因重力产生的压强为p=ρgh(其中h为液体的竖直高度)。
(2)不要漏掉大气压强,同时又要平衡掉某些气体产生的压力。
(3)有时注意应用连通器原理——连通器内静止的液体,同一液体在同一水平面上各处压强相等。
(4)当液体为水银时,可灵活应用压强单位“cmHg”,使计算过程简捷。
[例1] 【单独气体】 (2024·湖南永州三模)一根粗细均匀、长度L=90 cm的导热玻璃管开口向下竖直放置,管中水银柱的长度l1=15 cm,封闭的理想气体柱的长度l2=75 cm,如图甲所示;现将玻璃管缓慢转动180°至开口向上并固定,如图乙所示。已知外界大气压强恒为75 cmHg,环境的热力学温度始终为T0=300 K。
(1)求图乙中水银到管口的距离h;
【答案】 (1)25 cm　
【解析】 (1)题图甲中气体的长度为l2=75 cm,
气体的压强为p1=p0-ρgh=75 cmHg-15 cmHg=60 cmHg,
题图乙中气体的长度为l3=L-l1-h=90 cm-15 cm-h=75 cm-h,
气体的压强为p2=p0+ρgh=75 cmHg+15 cmHg=90 cmHg,
环境的热力学温度不变,根据玻意耳定律有p1l2=p2l3,
解得h=25 cm。
(2)对图乙中的封闭气体加热,要使水银全部从玻璃管顶端溢出,则封闭气体的热力学温度不能低于多少
【答案】 (2)453.75 K
[例2] 【关联气体】 (2023·全国乙卷,33)如图,竖直放置的封闭玻璃管由管径不同、长度均为20 cm的A、B两段细管组成,A管的内径是B管的2倍,B管在上方。管内空气被一段水银柱隔开。水银柱在两管中的长度均为10 cm。现将玻璃管倒置使A管在上方,平衡后,A管内的空气柱长度改变1 cm。求B管在上方时,玻璃管内两部分气体的压强。(气体温度保持不变,以 cmHg为压强单位)
【答案】 74.36 cmHg　54.36 cmHg
【解析】 设B管在上方时上部分气体压强为pB,则此时下方气体压强为pA,
此时有pA=pB+20 cmHg,
倒置后A管气体压强变小,即空气柱长度增加1 cm,A管中水银柱减小1 cm,
A管的内径是B管的2倍,则SA=4SB,
可知B管水银柱增加4 cm,空气柱减小4 cm;设此时两管的压强分别为pA′、pB′,所以有pA′+23 cmHg=pB′,
倒置前后温度不变,根据玻意耳定律对A管气体有pASALA=pA′SALA′,
对B管气体有pBSBLB=pB′SBLB′,
其中LA′=10 cm+1 cm=11 cm,
LB′=10 cm-4 cm=6 cm,
联立以上各式解得pA=74.36 cmHg,pB=54.36 cmHg。
[拓展] 【“液封”模型中的动态分析】 (2024·安徽蚌埠期末)(多选)如图所示,一粗细均匀的U形玻璃管开口向上竖直放置,左、右两管都封有一定质量的理想气体A、B,水银面a、b间的高度差为h1,水银柱cd的长度为h2,且h2=h1,
a面与c面恰处于同一高度。若在右管开口端取出少量水银,系统重新达到
平衡,则(　 　)
[A] A气体的压强大于外界大气压强
[B] B气体的压强变化量大于A气体的压强变化量
[C] 水银面c上升的高度小于水银面a下降的高度
[D] 水银面a、b间新的高度差大于右管上段新水银柱的长度
BD
【解析】 取出水银前,A气体压强pA=p0+ρgh2 -ρgh1=p0,B气体压强pB=p0+ρgh2,当在右管开口端取出少量水银时,即h2减小,A、B气体压强均变小,即A气体的压强小于外界大气压强;设右管开口端取出的水银高度为Δh,则B气体的压强变化量为ΔpB=ρgΔh,而此时,设水银面a下降的高度为Δh′,则此时A气体的压强为pA′=p0+ρg(h2-Δh)-ρg(h1-2Δh′),即 ΔpA=ρgΔh-2ρgΔh′<ΔpB;当右管口取出少量水银后气体A的压强一定小于pA,即pA′h3,A错误,B、D正确。由玻意耳定律p1V1=p2V2可知,A、B气体体积均变大,假设B气体体积不变,则水银面a下降的高度等于水银面c上升的高度,等于水银面b上升的高度;由于B气体体积同时要变大,故水银面c上升的高度大于水银面a下降的高度,C错误。
解决“汽缸”类问题的一般思路
(1)确定研究对象。
研究对象分两类:
①热学研究对象(一定质量的理想气体)。
②力学研究对象(汽缸、活塞或某系统)。
(2)分析物理过程。
①对热学研究对象分析清楚初、末状态及状态变化过程,根据气体实验定律列出方程。
②对力学研究对象要正确地进行受力分析,根据力学规律列出方程。
(3)挖掘题目的隐含条件,如几何关系等,列出辅助方程。
(4)多个方程联立求解,注意检验求解结果的合理性。
(1)求外力增加到200 N时,卡销b对活塞支持力的大小;
【答案】 (1)100 N
【解析】 (1)设汽缸内气体的初始压强为p0,活塞移动到b处时,汽缸内气体压强为p1,设卡销a、b间距为d,由玻意耳定律有p0×11dS=p1×10dS,
设卡销b对活塞支持力大小为FN,对活塞受力分析,有p0S+F=p1S+FN,
联立解得FN=100 N。
(2)再将汽缸内气体加热使气体温度缓慢升高,求当活塞刚好能离开卡销b时气体的温度。
[例4] 【关联气体】 (2024·河北卷,9)(多选)如图,水平放置的密闭绝热汽缸被导热活塞分成左右两部分,左侧封闭一定质量的理想气体,右侧为真空,活塞与汽缸右壁中央用一根轻质弹簧水平连接。汽缸内壁光滑且水平长度大于弹簧自然长度,弹簧的形变始终在弹性限度内且体积忽略不计。活塞初始时静止在汽缸正中间,后因活塞密封不严发生缓慢移动,活塞重新静止后(　 　 )
[A] 弹簧恢复至自然长度
[B] 活塞两侧气体质量相等
[C] 与初始时相比,汽缸内气体的内能增加
[D] 与初始时相比,活塞左侧单位体积内气体分子数减少
ACD
【解析】 初始状态活塞受到左侧气体向右的压力和弹簧向左的弹力处于平衡状态,弹簧处于压缩状态。因活塞密封不严,可知左侧气体向右侧真空漏出。左侧气体压强变小,右侧出现气体,对活塞有向左的压力,最终左、右两侧气体压强相等,且弹簧恢复原长,故A正确。由题知活塞初始时静止在汽缸正中间,但由于活塞向左移动,左侧气体体积小于右侧气体体积,则左侧气体质量小于右侧气体质量,故B错误。密闭的汽缸绝热,与外界没有能量交换,但弹簧弹性势能减少了,可知气体内能增加,故 C正确。初始时气体在左侧,最终气体充满整个汽缸,则与初始时相比,左侧单位体积内气体分子数减少,故D正确。
方法点拨
“汽缸—活塞”模型关联气体问题的解题思路
汽缸封闭着几部分气体,并且各部分气体之间相互关联的问题,解答时应分别研究各部分气体,找出它们各自遵循的规律,并写出相应的方程,还要写出各部分气体之间压强或体积的关系式,最后联立求解。
对点1.“玻璃管液封”模型
1.(6分)(2024·安徽宿州模拟)(多选)如图所示,在两端开口、竖直放置的U形玻璃管内,封闭着长度为L的空气柱,a、b两水银面的高度差为h,现保持温度不变,则(　 　)
[A] 若再向左管注入些水银,稳定后h变大
[B] 若再向左管注入些水银,稳定后h不变
[C] 若两管同时注入等量的水银,稳定后h变大
[D] 若两管同时注入等量的水银,稳定后h不变
基础对点练
BC
【解析】 管内封闭气体的压强为p=p0+ρgh=p0+ρgh′,即右侧管上部分水银柱长度等于a、b两水银面的高度差h,若再向左管注入些水银,稳定后气体的压强不变,则h不变,故A错误,B正确;若两管同时注入等量的水银,稳定后管内气体的压强变大,则h变大,气体体积减小,则L减小,故C正确,D错误。
2.(6分)(2024·山西晋中模拟)(多选)如图所示,两端封闭、粗细均匀的玻璃管内的理想气体被一段水银柱隔开,当玻璃管水平放置时,甲端气体的体积小于乙端气体的体积,甲端气体的温度高于乙端气体的温度,水银柱处于静止状态。下列说法正确的有(　 　)
[A] 若管内两端的气体都升高相同的温度,则水银柱向左移动
[B] 若管内两端的气体都升高相同的温度,则水银柱向右移动
[C] 当玻璃管水平自由下落时,管内两端的气体的压强将变为零
[D] 微观上气体的压强是由大量气体分子频繁碰撞器壁而产生的
AD
3.(4分)(2024·河北保定阶段练习)如图所示,在柱形容器中装有部分水,容器上方有一可自由移动的活塞。容器水面浮有一个木块和一个一端封闭、开口向下的玻璃管,玻璃管中有部分空气(视为理想气体),系统稳定时,玻璃管内空气柱在管外水面上方的长度为a,在管外水面下方的长度为b,木块在水面上方的高度为c,在水面下方的高度为d。现在活塞上方施加一竖直向下且缓缓增大的力F,使活塞下降一小段距离(未碰及玻璃管和木块),下列说法正确的是(　　)
[A] d和b都减小 [B] c和b都减小
[C] a减小 [D] a和c都减小
C
【解析】 设木块的重力为Mg,横截面积为S1,根据平衡条件得Mg=ρ水gdS1,活塞下降一小段距离,容器中的气体体积减小,压强增大,但d不变,所以c也不变;设玻璃管的横截面积为S2,重力为mg,根据平衡条件得mg=ρ水gbS2,活塞下降一小段距离,容器中的气体体积减小,压强增大,但b不变;设容器内气体压强为p,则玻璃管中气体的压强为p + ρ水gb,对玻璃管中的气体,根据玻意耳定律得(p+ρ水gb)(a+b)S2=C(常量),活塞下降一小段距离,容器中的气体体积减小,压强p增大,a减小。综上所述,a减小,b、c、d都不变。
4.(4分)(2024·江西景德镇二模)如图所示,一下端封闭、上端开口的粗细均匀的玻璃管竖直静止,长度l2=16 cm的水银柱封闭了一段空气(视为理想气体)柱,空气柱的长度l1=10 cm。外界大气压强恒为p0=76 cmHg。使玻璃管向上做加速度大小a=5 m/s2的匀加速直线运动时,管内空气温度保持不变,重力加速度大小g取10 m/s2。和竖直静止时相比较,下列说法正确的有(　　)
[A] 管内空气的压强减少了8 cmHg
[B] 管内空气柱的长度减少了1.6 cm
[C] 管内空气的压强增加了10 cmHg
[D] 管内空气柱的长度减少了0.8 cm
D
【解析】 根据题意,设静止时管内空气的压强为p1,则有p1=p0+ρgl2=92 cmHg,设玻璃管向上加速时管内空气的压强为p2,管的横截面积为S,则有p2S-p0S-ρgl2S=ρl2Sa,解得p2=100 cmHg,可知管内空气的压强增加了Δp=p2-p1=8 cmHg,故A、C错误;由于空气温度保持不变,由玻意耳定律有p1l1S=p2l1′S,解得
l1′=9.2 cm,可知,管内空气柱的长度减少了0.8 cm,故B错误,D正确。
对点2.“汽缸—活塞”类模型
5.(4分)(2024·湖南湘潭期末)如图所示,一定质量的理想气体用轻质活塞封闭在容器中,活塞与容器间光滑接触且气密性良好,在图示三种稳定状态下的温度分别为 T1、T2、T3,活塞到容器底部的高度分别为h1、h2、h3且 h1[A] T1=T2=T3 [B] T1[C] T1>T2>T3 [D] T1B
6.(6分)(2024·重庆渝北二模)(多选)如图甲是一底面积为S且导热性能良好的圆柱形薄壁汽缸,汽缸内距其水平底部高L0处有可视为质点的卡点,汽缸上端有一密封良好且可无摩擦滑动的轻质活塞,汽缸内封闭有一定质量的理想气体。缓慢改变汽缸内的温度,使缸内封闭气体由状态A经状态B变化到状态C,该过程中,活塞到汽缸底部的高度L与汽缸内热力学温度T的关系如图乙所示,整个过程中缸内封闭气体吸收的热量为Q。已知外界环境气体压强始终为p0,汽缸内初始热力学温度为T0,
则(　 　)
[A] 在状态A时,缸内封闭气体的压强为0.5p0
[B] 在状态C时, LC=1.5L0
[C] 状态B变化至状态C的过程中,封闭气体的体积增大是因为压强增大
[D] 直线BC一定不过坐标原点
AB
7.(4分)(2024·山东临沂二模)某品牌自行车的气压避震装置主要由活塞、汽缸组成,可将其简化成如图所示结构,该自行车共有4个完全相同的避震器。自行车车架通过支架连接活塞,汽缸底部固定安装在车轴上,自行车车架、支架、活塞的总质量为M,活塞横截面积为S,质量为m的骑行爱好者在水平路面匀速骑行时汽缸内气体的长度为h1,重力加速度为g,外界大气压强为p0,活塞内气体视为理想气体且温度不变,不计一切摩擦,则骑行者在与水平面成θ=37°(cos 37°=0.8)夹角的斜坡上匀速向下骑行时汽缸内气体的长度为(　　)
A
综合提升练
8.(6分)(2024·湖南长沙期末)(多选)如图,U形玻璃管两端封闭竖直静止,管内水银柱把管内气体分成两部分,此时两边气体温度相同,管内水银面高度差为h。若要使左右水银面高度差变大,则可行的方法是(　　 )
[A] 同时升高相同的温度
[B] 玻璃管竖直减速下落
[C] 同时降低相同的温度
[D] 玻璃管竖直加速下落
BC
9.(4分)(2024·安徽合肥阶段练习)气压传动是工业中常见的传动方式。导热良好、气密性良好、不计摩擦的汽缸中有面积为2S的轻质活塞A和面积为S的轻质活塞B,活塞重力均可忽略不计。初始状态如图甲所示,活塞A与汽缸右端相距L1,处于平衡状态。现用力缓慢向右移动活塞A,最终如图乙所示,活塞B和液体上升L2。已知大气压强为p0,液体密度为ρ、高度为h,弯管中的气体体积可忽略,下列说法正确的是(　　)
[A] 图中液体不浸润竖直管道
[B] 初始时封闭气体压强为p0+ρgh
C
10.(16分)(2024·安徽宿州期末)如图是一种由汽缸、活塞柱、弹簧和上下支座构成的汽车氮气减震装置,汽缸内的气体可视为理想气体。该装置未安装到汽车上时,弹簧处于原长状态。封闭气体和活塞柱长度均为0.20 m,气体压强等于大气压强p0=1.0×105 Pa。将四台减震装置安装在汽车上,稳定时汽车的重力由四台减震装置支撑,且封闭气体被压缩了0.12 m。已知活塞柱横截面积S=1.0×10-2 m2,弹簧的劲度系数k=1.0×104 N/m。该装置的质量、活塞柱与汽缸摩擦均可忽略不计,汽缸导热性和气密性良好,环境温度不变,g取 10 m/s2。求:
(1)压缩后汽缸内氮气的压强;
【答案】 (1)2.5×105 Pa　
【解析】 (1)当汽车装上减震装置后,设汽缸压缩后的体积为V1,压强为p1,由玻意耳定律可得p0V0=p1V1,
解得p1=2.5×105 Pa。
(2)汽车的质量M。
【答案】 (2)1 080 kg
【解析】 (2)设汽车对一个减震装置的压力为F,以减震装置汽缸上表面为研究对象,受力分析可知p0S+F=p1S+kΔx,
解得F=2 700 N,
以汽车为研究对象,有Mg=4F,
解得汽车的质量为M=1 080 kg。

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