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第7讲　小专题:带电粒子在组合场中的运动
考点一　磁场与磁场的组合
磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题,带电粒子在两个磁场中的速度大小相等,但轨迹半径和运动周期往往不同。解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心共线的特点,进一步寻找边角关系。
[例1]
【磁场与磁场的组合】 (2024·陕西西安阶段练习)(多选)如图所示,边长为L的正方形abcd内以对角线ac为界,在△abc区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场,磁场的磁感应强度大小为B1;在△adc区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场,磁场的磁感应强度大小为B2。一质量为m、带电荷量为q(q>0)的带电粒子在b点以速度大小v=沿bc方向射入磁场,粒子最后垂直于cd方向射出磁场,不计粒子重力,以下说法正确的是(　　)
[A] =
[B] =-1
[C] 粒子先后在两个磁场中的运动时间之比为 =1
[D] 粒子先后在两个磁场中的运动时间之比为 =+1
【答案】 BD
【解析】 根据带电粒子在磁场中运动半径公式 r=,代入得粒子在第一个磁场中运动的半径为r1=L,以a为圆心画出轨迹图可知粒子垂直对角线ac进入第二个磁场,可知在第二个磁场中的轨迹的圆心肯定在直线ac上,由题可知粒子垂直cd边射出,所以圆心肯定在dc边上,所以在第二个磁场中轨迹的圆心一定在c点,由几何关系可知,运动半径 r2=(-1)L,联立解得==-1,选项A错误,B正确;粒子在两个磁场中运动的圆心角之比为1∶1,根据T=,所以运动时间t=T=∝,运动时间之比==+1,选项C错误,D正确。
考点二　电场与磁场的组合
1.先电场后磁场
先电场后磁场的几种常见情形:
(1)带电粒子先在匀强电场中做匀变速直线运动,然后垂直磁场方向进入匀强磁场做匀速圆周运动,如图甲。
(2)带电粒子先在匀强电场中做类平抛运动,然后垂直磁场方向进入磁场做匀速圆周运动,如图乙。
2.先磁场后电场
常见 情境 进入电场时粒子速度方向与电场方向平行 进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直 进入电场时粒子速度方向与电场方向成一定角度(非直角)
运动 示意图
在电场 中的运 动性质 匀变速直线运动 类平抛运动 类斜抛运动
分析 方法 动能定理或牛顿运动定律结合运动学公式 平抛运动知识,运动的合成与分解 斜抛运动知识,运动的合成与分解
[例2] 【从电场进入磁场】 (2024·广东卷,15)如图甲所示,两块平行正对的金属板水平放置,板间加上如图乙所示幅值为U0、周期为t0的交流电压。金属板左侧存在一水平向右的恒定匀强电场,右侧分布着垂直纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B。一带电粒子在t=0时刻从左侧电场某处由静止释放,在 t=t0时刻从下板左端边缘位置水平向右进入金属板间的电场内,在t=2t0时刻第一次离开金属板间的电场、水平向右进入磁场,并在t=3t0时刻从下板右端边缘位置再次水平进入金属板间的电场。已知金属板的板长是板间距离的倍,粒子质量为m。忽略粒子所受的重力和场的边缘效应。
(1)判断带电粒子的电性并求其所带的电荷量q;
(2)求金属板的板间距离D和带电粒子在t=t0时刻的速度大小v;
(3)求从t=0时刻开始到带电粒子最终碰到上金属板的过程中,电场力对粒子做的功W。
【答案】 (1)正电　　(2)　π
(3)(16+π2)
【解析】 (1)粒子在左侧电场中由静止做加速运动,可知粒子带正电,粒子在磁场中做匀速圆周运动,根据牛顿第二定律有qvB=m,T=,
得T=,
根据粒子在磁场中的运动轨迹可知T=2t0,
解得q=。
(2)设金属板的板间距离为D,则板长为,粒子在板间运动时,=vt0,
粒子在板间运动时,由牛顿第二定律可知
a==,
出电场时竖直方向速度为零有
y=2×a()2,
在磁场中有qvB=m,
其中y=2R,
联立解得D=,v=π。
(3)由(1)(2)结果可知金属板的板间距离
D=3R,
可知粒子运动情况如图所示,
即全过程电场力做功为左侧加速电场做功W1和交变偏转电场做功W2,
W1=mv2,W2=U0q,
联立解得W=W1+W2=(16+π2)。
[例3]
【从磁场进入电场】 (2024·湖南卷,14)如图,有一内半径为2r、长为L的圆筒,左右端面圆心O′、O处各开有一小孔。以O为坐标原点,取O′O方向为x轴正方向建立xyz坐标系。在筒内x≤0区域有一匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向沿x轴正方向;筒外x≥0区域有一匀强电场,场强大小为E,方向沿y轴正方向。一电子枪在O′处向圆筒内多个方向发射电子,电子初速度方向均在xOy平面内,且在x轴正方向的分速度大小均为v0。已知电子的质量为m、电量为e,设电子始终未与筒壁碰撞,不计电子之间的相互作用及电子的重力。
(1)若所有电子均能经过O进入电场,求磁感应强度B的最小值;
(2)取(1)问中最小的磁感应强度B,若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ,求tan θ的绝对值;
(3)取(1)问中最小的磁感应强度B,求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。
【答案】 (1)　(2)　(3)
【解析】 (1)电子在匀强磁场中运动时,将其分解为沿x轴的匀速直线运动和在yOz平面内的匀速圆周运动,设电子入射时沿y轴的分速度大小为vy,由电子在x轴方向做匀速直线运动得 L=v0t,
在yOz平面内,设电子做匀速圆周运动的半径为R,周期为T,由牛顿第二定律知
Bevy=m,
可得R=,
T==,
由题意可知所有电子均能经过O进入电场,则有
t=nT(n=1,2,3,…),
且R≤r,
联立得B=,
当n=1时,B有最小值,可得Bmin=。
(2)
如图所示,tan θ=,
当tan θ有最大值时,vy最大,
R最大,此时R=r,
又B=,R=,
联立可得vym=,
tan θ=。
(3)当vy最大时,电子在电场中运动时沿y轴正方向有最大位移ym,根据匀变速直线运动规律有ym=,
由牛顿第二定律知a=,
又vym=,
联立得ym=。
考点三　多个电场和磁场的组合
带电粒子在多个组合场的运动
(1)多个组合场:电场与磁场各位于一定的区域内,并不重叠,或在同一区域,电场、磁场交替出现。
(2)分析思路。
①画运动轨迹:根据受力分析和运动学分析,大致画出带电粒子的运动轨迹图。
②找关键点:确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键。
③划分过程:将带电粒子运动的过程划分为几个不同的阶段,对不同的阶段选取不同的规律处理。
[例4] 【多个电场和磁场的组合】 (2024·黑吉辽卷,15)现代粒子加速器常用电磁场控制粒子团的运动及尺度。简化模型如图:Ⅰ、Ⅱ区宽度均为L,存在垂直于纸面的匀强磁场,磁感应强度等大反向;Ⅲ、Ⅳ区为电场区,Ⅳ区电场足够宽,各区边界均垂直于x轴,O为坐标原点。甲、乙为粒子团中的两个电荷量均为+q,质量均为m的粒子。如图,甲、乙平行于x轴向右运动,先后射入Ⅰ区时速度大小分别为v0和v0。甲到P点时,乙刚好射入Ⅰ区。乙经过Ⅰ区的速度偏转角为30°,甲到O点时,乙恰好到P点。已知Ⅲ区存在沿+x方向的匀强电场,电场强度大小E0=。不计粒子重力及粒子间相互作用,忽略边界效应及变化的电场产生的磁场。
(1)求磁感应强度的大小B;
(2)求Ⅲ区宽度d;
(3)Ⅳ区x轴上的电场方向沿x轴,电场强度E随时间t、位置坐标x的变化关系为E=ωt-kx,其中常系数ω>0,ω已知、k未知,取甲经过O点时t=0。已知甲在Ⅳ区始终做匀速直线运动,设乙在Ⅳ区受到的电场力大小为F,甲、乙间距为Δx,求乙追上甲前F与Δx间的关系式(不要求写出Δx的取值范围)。
【答案】 (1)　(2)πL　(3)F=·Δx
【解析】 (1)乙粒子在Ⅰ区的运动轨迹如图所示。
由洛伦兹力提供向心力有qv0B=m,
由几何关系有sin 30°=,
联立解得B=。
(2)由题意可知,根据对称性,乙粒子在磁场中运动的时间为t1=2××=,
对甲粒子,由对称性可知,甲粒子沿着直线从P点到O点,由运动学公式有d=v0t1+a,
由牛顿第二定律有a==,
联立可得Ⅲ区宽度为d=πL。
(3)甲粒子经过O点时的速度为
v甲=v0+at1=3v0,
因为甲在Ⅳ区始终做匀速直线运动,则
ωt=kx=k×3v0t,
可得k=,
设乙粒子经过Ⅲ区的时间为t2,乙粒子在Ⅳ区运动时间为t0,则上式中t=t0+t2,
对乙可得=ω(t0+t2)-kx2,
整理可得x2=3v0(t0+t2)-,
对甲可得x1=3v0(t0+t2),
则Δx=x1-x2=,
可得乙追上甲前F与Δx间的关系式为
F=·Δx。
常见带电粒子的运动及解题方法
(满分:50分)
对点1.磁场与磁场的组合
1.
(4分)(2024·湖北武汉期中)如图所示,竖直放置的PQ板左侧为垂直于纸面向里的匀强磁场,右侧为垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小均为B=0.332 T,一质量m=6.64×10-27 kg,带电荷量q=3.2×10-19 C的粒子(不计重力)从小孔1位置以垂直板方向、大小为v=3.2×106 m/s的速度开始运动,依次通过小孔2、3、4,已知相邻两孔间的距离相等。则(　　)
[A] 粒子带负电
[B] 相邻两孔间的距离为0.2 m
[C] 带电粒子从小孔1运动到小孔4所需时间约为5.89×10-7 s
[D] 带电粒子在PQ板右侧匀强磁场中运动的时间约为1.95×10-7 s
【答案】 C
【解析】
由左手定则可判断出粒子带正电,故A错误;画出粒子的运动轨迹如图所示,由洛伦兹力提供向心力得qvB=m,可得R==0.2 m,则相邻两孔间的距离d=2R=0.4 m,故B错误;圆周运动周期为T=,带电粒子从小孔1运动到小孔4所需时间等于1.5T,即t=≈5.89×10-7 s,故C正确;带电粒子在PQ板右侧匀强磁场中运动的时间等于T,T=≈3.93×10-7 s,故D错误。
2.
(4分)(2024·辽宁沈阳一模)如图,xOy平面内有两个相邻的矩形匀强磁场Ⅰ和匀强磁场Ⅱ,方向垂直于xOy平面向下,磁感应强度大小分别为B和2B,磁场区域宽度分别为L1和L2,一电荷量为+q、质量为m的带电粒子从y轴P点以与y轴夹角θ1的方向进入磁场Ⅰ,经过磁场Ⅰ和磁场Ⅱ后从磁场Ⅱ右边界以与边界夹角θ2的方向离开磁场Ⅱ,若不计重力,则下列说法正确的是(　　)
[A] 粒子在匀强磁场Ⅰ运动的轨迹半径是在匀强磁场Ⅱ运动轨迹半径的3倍
[B] 粒子在匀强磁场Ⅱ运动的轨迹半径是在匀强磁场Ⅰ运动轨迹半径的2倍
[C] 粒子的入射速度为
[D] 粒子的入射速度为
【答案】 C
【解析】 粒子在磁场中运动时,洛伦兹力提供向心力,则有qvB=m,解得r=,所以粒子在匀强磁场Ⅰ运动的轨迹半径是在匀强磁场Ⅱ运动轨迹半径的2倍,故A、B错误;设带电粒子在磁场Ⅰ中做匀速圆周运动的半径为r1,在磁场Ⅱ中做匀速圆周运动的半径为r2,过P点作入射速度的垂线,设圆心为O1,以O1为圆心、r1为半径作圆弧交于两磁场分界线的M点,连接MO1,设MO1与磁场分界线的夹角为α,过Q点作出射速度的垂线交MO1于O2点,如图,
由几何关系可知L1=r1cos θ1-r1sin α,L2=r2cos θ2+r2sin α,由于r1=2r2,联立解得L1+2L2=2r2(cos θ1+cos θ2),根据洛伦兹力提供向心力有qv×2B=m,解得v=,故C正确,D错误。
对点2.电场与磁场的组合
3.
(4分)(2025·贵州安顺模拟)如图,在平面直角坐标系xOy的第一、四象限存在方向沿x轴正方向的匀强电场,在第二、三象限的区域存在方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B。一个带负电的粒子(重力不计)从x轴上的A点以大小为v0的初速度沿y轴正方向射出,粒子在电场和磁场中运动后回到A点。则电场强度E的大小为(　　)
[A] Bv0 [B] Bv0 [C] 2Bv0 [D] 4Bv0
【答案】 B
【解析】
依题意,粒子的运动轨迹如图,设粒子从y轴进入磁场时速度方向与y轴夹角为θ,则进入磁场时的速度大小v=,沿x轴方向的速度大小vx=v0tan θ=t,其中y=v0t,粒子在磁场中运动的半径r==,联立解得E=Bv0,故B 正确。
4.
(6分)(2024·山东烟台开学考试)(多选)如图所示,纸面内存在上下宽度均为L的匀强电场与匀强磁场,匀强电场方向竖直向下,匀强磁场方向垂直于纸面向里,现有一比荷为k的带正电粒子(不计重力)从电场的上边界的a点由静止释放,运动到磁场的下边界的b点时正好与下边界相切,下列说法正确的是(　　)
[A] 粒子离开电场时的速度为BkL
[B] 匀强电场的电场强度为B2kL
[C] a、b两点之间的距离为2L
[D] 粒子从a到b的运动时间为
【答案】 AD
【解析】 设粒子的质量为m,带电荷量为q,则有k=,设粒子离开电场时的速度即粒子进入磁场的速度为v,粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R,由几何关系可得R=L,由洛伦兹力提供向心力可得Bqv=,解得v=BkL,故A正确;由牛顿第二定律可得EqL=mv2,解得E=,故B错误;由几何关系可得a、b两点之间的距离为s==L,故C错误;粒子从a到b的运动时间为t=+,结合v=,可得t=,故D正确。
对点3.多个电场和磁场的组合
5.
(6分)(2024·河南商丘阶段练习)(多选)如图为一种质谱仪的示意图,由加速电场、静电分析器和磁分析器组成。若静电分析器通道中心线的半径为R,通道内为均匀辐射电场,在中心线处的电场强度大小为E,磁分析器有范围足够大的有界匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外。一质量为m、电荷量为q的粒子从静止开始经加速电场加速后沿中心线通过静电分析器,由P点垂直边界进入磁分析器,最终打到胶片上的Q点。不计粒子重力。下列说法正确的是(　　)
[A] 极板M比极板N的电势高
[B] 加速电场的电压U=ER
[C] 直径PQ=2B
[D] 若一群粒子从静止开始经过题述过程都落在胶片上的同一点,则该群粒子具有相同的比荷
【答案】 AD
【解析】 粒子在磁分析器内由P点打到Q点,由左手定则可知,粒子带正电荷,则极板M比极板N的电势高,故A正确;由qU=mv2和qE=可得,加速电场的电压U=,故B错误;在磁场中,由牛顿第二定律得qvB=m,即r=,直径PQ=2r==,可见只有比荷相同的粒子才能打在胶片上的同一点,故C错误,D正确。
6.(4分)(2024·辽宁大连模拟)利用电场和磁场可以控制微观粒子的运动。如图所示,金属板AB和CD水平放置,中间开有小孔O1、O2,两板之间加有加速电压U0。金属板EF和GH均是以O点为圆心,半径分别为3R和R的同心圆弧板,O3O4也是以O点为圆心的圆弧,且到两金属板距离相等。长为2R的金属板MN、PQ水平放置,点M、P分别和点F、H对齐,两板之间加有偏转电压。质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子从粒子源中飘进加速电场,初速度忽略不计。经电场加速,粒子恰好能沿图示O1→O2→O3→O4→O5虚线轨迹运动,最后到达PQ板的中点K。不计场的边界效应,不计粒子重力。下列说法正确的是(　　)
[A] 若EF、GH板之间加电压,两板间圆弧O3O4处的电场强度大小为
[B] 若EF、GH板之间加电压,粒子打在K点的速度大小为
[C] 若EF、GH两板之间加磁场,磁场一定不是匀强磁场
[D] 若MN、PQ两板之间加垂直于纸面向外的匀强磁场,粒子到达PQ板时将打在K点左侧
【答案】 B
【解析】 带电粒子在电场中加速,有qU0=m,带电粒子从O3到O4做匀速圆周运动,有qE=m,联立可得E=,故A错误。粒子进入MN、PQ间做类平抛运动,根据平抛运动的推论可知,粒子速度方向和水平方向夹角的正切值等于位移与水平方向夹角正切值的2倍,则tan α===2,所以粒子打在K点的速度大小为v==,故B正确。若EF、GH两板之间加磁场,且粒子仍能做匀速圆周运动,则磁场一定是匀强磁场,故C错误。若MN、PQ两板之间加垂直于纸面向外的匀强磁场,则qv0B=m,解得B=,当磁感应强度等于B时,粒子到达PQ时打在K点;当磁感应强度小于B时,粒子到达PQ时可能打在K点右侧,也可能打不到PQ板上;当磁感应强度大于B时,粒子到达PQ时可能打在K点左侧,也可能打不到PQ板上,故D错误。
7.
(6分)(2025·湖北荆州模拟)(多选)如图所示的xOy坐标系中,y轴的左侧存在垂直于纸面向外、磁感应强度大小未知的匀强磁场,y轴右侧的匀强磁场方向垂直于纸面,大小未知,一带正电的粒子由y轴上(0,-L)处沿与y轴正方向成30°角的方向以速度v射入磁场,已知粒子的比荷为k,粒子在y轴右侧的轨道半径为L,最终粒子经过O点,粒子重力不计。下列说法正确的是(　　)
[A] 若y轴右侧的磁场垂直于纸面向里,则y轴右侧的磁感应强度大小为
[B] 若y轴右侧的磁场垂直于纸面向里,则粒子从射入到运动至O点的时间为
[C] 若y轴右侧的磁场垂直于纸面向外,则粒子从射入到运动至O点的时间可能为
[D] 若y轴右侧的磁场垂直于纸面向外,则粒子从射入到运动至O点的时间可能为
【答案】 AD
【解析】 若y轴右侧的磁场垂直于纸面向里,由题意作出粒子的运动轨迹,如图甲所示,
根据qvB=m,解得B=,又有R=L,则有B=,A正确。由几何关系可知粒子在y轴右侧偏转的角度为60°,则粒子从射入到运动至O点的时间t=,由于T=,解得t=,B错误。若y轴右侧的磁场垂直于纸面向外,粒子可能在y轴左右两侧各偏转一次经过O点,如图乙所示,由几何关系可知粒子在y轴左侧的轨道半径R1=2L,则y轴左侧磁场的磁感应强度大小B1==,粒子运动的时间t1=T+,由于T1=,解得t1=;若y轴右侧的磁场垂直于纸面向外,粒子可能在y轴的左侧偏转一次、在y轴的右侧偏转两次后经过O点,如图丙所示,
由几何关系可知粒子在y轴左侧的轨道半径 R2=3L,则y轴左侧磁场的磁感应强度大小B2==,粒子运动的时间t2=T+,由于T2=,解得t2=,C错误,D正确。
8.(16分)(2025·河南高考适应性考试)如图,在水平虚线上方区域有竖直向下的匀强电场,电场强度大小为E,在虚线下方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场。质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子从距虚线高度为h的a点向右水平发射,当粒子进入磁场时其速度方向与水平虚线的夹角为45°。不计重力。
(1)求粒子进入磁场时的速度大小。
(2)若粒子第一次回到电场中高度为h时,粒子与a点的距离为x=2h,求磁场的磁感应强度大小的可能值。
(3)若粒子第一次回到电场中高度为h时,粒子在电场中运动的时间与在磁场中运动的时间相等,求粒子此时与a点的距离。
【答案】 (1)2　(2)或
(3)4h-
【解析】 (1)竖直方向上
qE=ma,=2ah,vy=v·sin 45°,
联立得v=2。
(2)若粒子第一次回到电场中高度为h时,在a点右侧,由平抛运动规律得x=2h,此时R1=h,
由洛伦兹力提供向心力有qvB=,
得B1=;
若粒子第一次回到电场中高度为h时,在a点左侧,由几何关系得R2=3h,
得B2=。
(3)在电场中,h=a,t=2t0=2,
在磁场中,t′=T=·,t′=t,
得B′=,
此时半径r==,
粒子与a点的距离x′=4h-r=4h-。
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)第7讲　小专题:带电粒子在组合场中的运动
考点一　磁场与磁场的组合
磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题,带电粒子在两个磁场中的速度大小相等,但轨迹半径和运动周期往往不同。解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心共线的特点,进一步寻找边角关系。
[例1]
【磁场与磁场的组合】 (2024·陕西西安阶段练习)(多选)如图所示,边长为L的正方形abcd内以对角线ac为界,在△abc区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场,磁场的磁感应强度大小为B1;在△adc区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场,磁场的磁感应强度大小为B2。一质量为m、带电荷量为q(q>0)的带电粒子在b点以速度大小v=沿bc方向射入磁场,粒子最后垂直于cd方向射出磁场,不计粒子重力,以下说法正确的是(　　)
[A] =
[B] =-1
[C] 粒子先后在两个磁场中的运动时间之比为 =1
[D] 粒子先后在两个磁场中的运动时间之比为 =+1
考点二　电场与磁场的组合
1.先电场后磁场
先电场后磁场的几种常见情形:
(1)带电粒子先在匀强电场中做匀变速直线运动,然后垂直磁场方向进入匀强磁场做匀速圆周运动,如图甲。
(2)带电粒子先在匀强电场中做类平抛运动,然后垂直磁场方向进入磁场做匀速圆周运动,如图乙。
2.先磁场后电场
常见 情境 进入电场时粒子速度方向与电场方向平行 进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直 进入电场时粒子速度方向与电场方向成一定角度(非直角)
运动 示意图
在电场 中的运 动性质 匀变速直线运动 类平抛运动 类斜抛运动
分析 方法 动能定理或牛顿运动定律结合运动学公式 平抛运动知识,运动的合成与分解 斜抛运动知识,运动的合成与分解
[例2] 【从电场进入磁场】 (2024·广东卷,15)如图甲所示,两块平行正对的金属板水平放置,板间加上如图乙所示幅值为U0、周期为t0的交流电压。金属板左侧存在一水平向右的恒定匀强电场,右侧分布着垂直纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B。一带电粒子在t=0时刻从左侧电场某处由静止释放,在 t=t0时刻从下板左端边缘位置水平向右进入金属板间的电场内,在t=2t0时刻第一次离开金属板间的电场、水平向右进入磁场,并在t=3t0时刻从下板右端边缘位置再次水平进入金属板间的电场。已知金属板的板长是板间距离的倍,粒子质量为m。忽略粒子所受的重力和场的边缘效应。
(1)判断带电粒子的电性并求其所带的电荷量q;
(2)求金属板的板间距离D和带电粒子在t=t0时刻的速度大小v;
(3)求从t=0时刻开始到带电粒子最终碰到上金属板的过程中,电场力对粒子做的功W。
[例3]
【从磁场进入电场】 (2024·湖南卷,14)如图,有一内半径为2r、长为L的圆筒,左右端面圆心O′、O处各开有一小孔。以O为坐标原点,取O′O方向为x轴正方向建立xyz坐标系。在筒内x≤0区域有一匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向沿x轴正方向;筒外x≥0区域有一匀强电场,场强大小为E,方向沿y轴正方向。一电子枪在O′处向圆筒内多个方向发射电子,电子初速度方向均在xOy平面内,且在x轴正方向的分速度大小均为v0。已知电子的质量为m、电量为e,设电子始终未与筒壁碰撞,不计电子之间的相互作用及电子的重力。
(1)若所有电子均能经过O进入电场,求磁感应强度B的最小值;
(2)取(1)问中最小的磁感应强度B,若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ,求tan θ的绝对值;
(3)取(1)问中最小的磁感应强度B,求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。
考点三　多个电场和磁场的组合
带电粒子在多个组合场的运动
(1)多个组合场:电场与磁场各位于一定的区域内,并不重叠,或在同一区域,电场、磁场交替出现。
(2)分析思路。
①画运动轨迹:根据受力分析和运动学分析,大致画出带电粒子的运动轨迹图。
②找关键点:确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键。
③划分过程:将带电粒子运动的过程划分为几个不同的阶段,对不同的阶段选取不同的规律处理。
[例4] 【多个电场和磁场的组合】 (2024·黑吉辽卷,15)现代粒子加速器常用电磁场控制粒子团的运动及尺度。简化模型如图:Ⅰ、Ⅱ区宽度均为L,存在垂直于纸面的匀强磁场,磁感应强度等大反向;Ⅲ、Ⅳ区为电场区,Ⅳ区电场足够宽,各区边界均垂直于x轴,O为坐标原点。甲、乙为粒子团中的两个电荷量均为+q,质量均为m的粒子。如图,甲、乙平行于x轴向右运动,先后射入Ⅰ区时速度大小分别为v0和v0。甲到P点时,乙刚好射入Ⅰ区。乙经过Ⅰ区的速度偏转角为30°,甲到O点时,乙恰好到P点。已知Ⅲ区存在沿+x方向的匀强电场,电场强度大小E0=。不计粒子重力及粒子间相互作用,忽略边界效应及变化的电场产生的磁场。
(1)求磁感应强度的大小B;
(2)求Ⅲ区宽度d;
(3)Ⅳ区x轴上的电场方向沿x轴,电场强度E随时间t、位置坐标x的变化关系为E=ωt-kx,其中常系数ω>0,ω已知、k未知,取甲经过O点时t=0。已知甲在Ⅳ区始终做匀速直线运动,设乙在Ⅳ区受到的电场力大小为F,甲、乙间距为Δx,求乙追上甲前F与Δx间的关系式(不要求写出Δx的取值范围)。
常见带电粒子的运动及解题方法
(满分:50分)
对点1.磁场与磁场的组合
1.
(4分)(2024·湖北武汉期中)如图所示,竖直放置的PQ板左侧为垂直于纸面向里的匀强磁场,右侧为垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小均为B=0.332 T,一质量m=6.64×10-27 kg,带电荷量q=3.2×10-19 C的粒子(不计重力)从小孔1位置以垂直板方向、大小为v=3.2×106 m/s的速度开始运动,依次通过小孔2、3、4,已知相邻两孔间的距离相等。则(　　)
[A] 粒子带负电
[B] 相邻两孔间的距离为0.2 m
[C] 带电粒子从小孔1运动到小孔4所需时间约为5.89×10-7 s
[D] 带电粒子在PQ板右侧匀强磁场中运动的时间约为1.95×10-7 s
2.
(4分)(2024·辽宁沈阳一模)如图,xOy平面内有两个相邻的矩形匀强磁场Ⅰ和匀强磁场Ⅱ,方向垂直于xOy平面向下,磁感应强度大小分别为B和2B,磁场区域宽度分别为L1和L2,一电荷量为+q、质量为m的带电粒子从y轴P点以与y轴夹角θ1的方向进入磁场Ⅰ,经过磁场Ⅰ和磁场Ⅱ后从磁场Ⅱ右边界以与边界夹角θ2的方向离开磁场Ⅱ,若不计重力,则下列说法正确的是(　　)
[A] 粒子在匀强磁场Ⅰ运动的轨迹半径是在匀强磁场Ⅱ运动轨迹半径的3倍
[B] 粒子在匀强磁场Ⅱ运动的轨迹半径是在匀强磁场Ⅰ运动轨迹半径的2倍
[C] 粒子的入射速度为
[D] 粒子的入射速度为
对点2.电场与磁场的组合
3.
(4分)(2025·贵州安顺模拟)如图,在平面直角坐标系xOy的第一、四象限存在方向沿x轴正方向的匀强电场,在第二、三象限的区域存在方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B。一个带负电的粒子(重力不计)从x轴上的A点以大小为v0的初速度沿y轴正方向射出,粒子在电场和磁场中运动后回到A点。则电场强度E的大小为(　　)
[A] Bv0 [B] Bv0 [C] 2Bv0 [D] 4Bv0
4.
(6分)(2024·山东烟台开学考试)(多选)如图所示,纸面内存在上下宽度均为L的匀强电场与匀强磁场,匀强电场方向竖直向下,匀强磁场方向垂直于纸面向里,现有一比荷为k的带正电粒子(不计重力)从电场的上边界的a点由静止释放,运动到磁场的下边界的b点时正好与下边界相切,下列说法正确的是(　　)
[A] 粒子离开电场时的速度为BkL
[B] 匀强电场的电场强度为B2kL
[C] a、b两点之间的距离为2L
[D] 粒子从a到b的运动时间为
对点3.多个电场和磁场的组合
5.
(6分)(2024·河南商丘阶段练习)(多选)如图为一种质谱仪的示意图,由加速电场、静电分析器和磁分析器组成。若静电分析器通道中心线的半径为R,通道内为均匀辐射电场,在中心线处的电场强度大小为E,磁分析器有范围足够大的有界匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外。一质量为m、电荷量为q的粒子从静止开始经加速电场加速后沿中心线通过静电分析器,由P点垂直边界进入磁分析器,最终打到胶片上的Q点。不计粒子重力。下列说法正确的是(　　)
[A] 极板M比极板N的电势高
[B] 加速电场的电压U=ER
[C] 直径PQ=2B
[D] 若一群粒子从静止开始经过题述过程都落在胶片上的同一点,则该群粒子具有相同的比荷
6.(4分)(2024·辽宁大连模拟)利用电场和磁场可以控制微观粒子的运动。如图所示,金属板AB和CD水平放置,中间开有小孔O1、O2,两板之间加有加速电压U0。金属板EF和GH均是以O点为圆心,半径分别为3R和R的同心圆弧板,O3O4也是以O点为圆心的圆弧,且到两金属板距离相等。长为2R的金属板MN、PQ水平放置,点M、P分别和点F、H对齐,两板之间加有偏转电压。质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子从粒子源中飘进加速电场,初速度忽略不计。经电场加速,粒子恰好能沿图示O1→O2→O3→O4→O5虚线轨迹运动,最后到达PQ板的中点K。不计场的边界效应,不计粒子重力。下列说法正确的是(　　)
[A] 若EF、GH板之间加电压,两板间圆弧O3O4处的电场强度大小为
[B] 若EF、GH板之间加电压,粒子打在K点的速度大小为
[C] 若EF、GH两板之间加磁场,磁场一定不是匀强磁场
[D] 若MN、PQ两板之间加垂直于纸面向外的匀强磁场,粒子到达PQ板时将打在K点左侧
7.
(6分)(2025·湖北荆州模拟)(多选)如图所示的xOy坐标系中,y轴的左侧存在垂直于纸面向外、磁感应强度大小未知的匀强磁场,y轴右侧的匀强磁场方向垂直于纸面,大小未知,一带正电的粒子由y轴上(0,-L)处沿与y轴正方向成30°角的方向以速度v射入磁场,已知粒子的比荷为k,粒子在y轴右侧的轨道半径为L,最终粒子经过O点,粒子重力不计。下列说法正确的是(　　)
[A] 若y轴右侧的磁场垂直于纸面向里,则y轴右侧的磁感应强度大小为
[B] 若y轴右侧的磁场垂直于纸面向里,则粒子从射入到运动至O点的时间为
[C] 若y轴右侧的磁场垂直于纸面向外,则粒子从射入到运动至O点的时间可能为
[D] 若y轴右侧的磁场垂直于纸面向外,则粒子从射入到运动至O点的时间可能为
8.(16分)(2025·河南高考适应性考试)如图,在水平虚线上方区域有竖直向下的匀强电场,电场强度大小为E,在虚线下方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场。质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子从距虚线高度为h的a点向右水平发射,当粒子进入磁场时其速度方向与水平虚线的夹角为45°。不计重力。
(1)求粒子进入磁场时的速度大小。
(2)若粒子第一次回到电场中高度为h时,粒子与a点的距离为x=2h,求磁场的磁感应强度大小的可能值。
(3)若粒子第一次回到电场中高度为h时,粒子在电场中运动的时间与在磁场中运动的时间相等,求粒子此时与a点的距离。
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)(共41张PPT)
高中总复习·物理
第7讲　
小专题:带电粒子在组合场中的运动
磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题,带电粒子在两个磁场中的速度大小相等,但轨迹半径和运动周期往往不同。解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心共线的特点,进一步寻找边角关系。
BD
考点二
电场与磁场的组合
1.先电场后磁场
先电场后磁场的几种常见情形:
(1)带电粒子先在匀强电场中做匀变速直线运动,然后垂直磁场方向进入匀强磁场做匀速圆周运动,如图甲。
(2)带电粒子先在匀强电场中做类平抛运动,然后垂直磁场方向进入磁场做匀速圆周运动,如图乙。
2.先磁场后电场
常见 情境 进入电场时粒子速度方向与电场方向平行 进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直 进入电场时粒子速度方向与电场方向成一定角度
(非直角)
运动 示意图
在电场中的运动性质 匀变速直线运动 类平抛运动 类斜抛运动
分析 方法 动能定理或牛顿运动定律结合运动学公式 平抛运动知识,运动的合成与分解 斜抛运动知识,运动的合成与分解
(1)判断带电粒子的电性并求其所带的电荷量q;
(2)求金属板的板间距离D和带电粒子在t=t0时刻的速度大小v;
(3)求从t=0时刻开始到带电粒子最终碰到上金属板的过程中,电场力对粒子做的功W。
[例3] 【从磁场进入电场】 (2024·湖南卷,14)如图,有一内半径为2r、长为L的圆筒,左右端面圆心O′、O处各开有一小孔。以O为坐标原点,取O′O方向为x轴正方向建立xyz坐标系。在筒内x≤0区域有一匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向沿x轴正方向;筒外x≥0区域有一匀强电场,场强大小为E,方向沿y轴正方向。一电子枪在O′处向圆筒内多个方向发射电子,电子初速度方向均在xOy平面内,且在x轴正方向的分速度大小均为v0。已知电子的质量为m、电量为e,设电子始终未与筒壁碰撞,不计电子之间的相互作用及电子的
重力。
(1)若所有电子均能经过O进入电场,求磁感应强度B的最小值;
(2)取(1)问中最小的磁感应强度B,若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ,求tan θ的绝对值;
(3)取(1)问中最小的磁感应强度B,求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。
带电粒子在多个组合场的运动
(1)多个组合场:电场与磁场各位于一定的区域内,并不重叠,或在同一区域,电场、磁场交替出现。
(2)分析思路。
①画运动轨迹:根据受力分析和运动学分析,大致画出带电粒子的运动轨迹图。
②找关键点:确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的
关键。
③划分过程:将带电粒子运动的过程划分为几个不同的阶段,对不同的阶段选取不同的规律处理。
(1)求磁感应强度的大小B;
(2)求Ⅲ区宽度d;
(3)Ⅳ区x轴上的电场方向沿x轴,电场强度E随时间t、位置坐标x的变化关系为E=ωt-kx,其中常系数ω>0,ω已知、k未知,取甲经过O点时t=0。已知甲在Ⅳ区始终做匀速直线运动,设乙在Ⅳ区受到的电场力大小为F,甲、乙间距为Δx,求乙追上甲前F与Δx间的关系式(不要求写出Δx的取值范围)。
方法总结
常见带电粒子的运动及解题方法
基础对点练
C
对点1.磁场与磁场的组合
1.(4分)(2024·湖北武汉期中)如图所示,竖直放置的PQ板左侧为垂直于纸面向里的匀强磁场,右侧为垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小均为B=0.332 T,一质量m=6.64×
10-27 kg,带电荷量q=3.2×10-19 C的粒子(不计重力)从小孔1位置以垂直板方向、大小为v=3.2×106 m/s的速度开始运动,依次通过小孔2、3、4,已知相邻两孔间的距离相等。则
(　　)
[A] 粒子带负电
[B] 相邻两孔间的距离为0.2 m
[C] 带电粒子从小孔1运动到小孔4所需时间约为5.89×10-7 s
[D] 带电粒子在PQ板右侧匀强磁场中运动的时间约为1.95×10-7 s
C
2.(4分)(2024·辽宁沈阳一模)如图,xOy平面内有两个相邻的矩形匀强磁场Ⅰ和匀强磁场Ⅱ,方向垂直于xOy平面向下,磁感应强度大小分别为B和2B,磁场区域宽度分别为L1和L2,一电荷量为+q、质量为m的带电粒子从y轴P点以与y轴夹角θ1的方向进入磁场Ⅰ,经过磁场Ⅰ和磁场Ⅱ后从磁场Ⅱ右边界以与边界夹角θ2的方向离开磁场Ⅱ,若不计重力,则下列说法正确的是(　　)
[A] 粒子在匀强磁场Ⅰ运动的轨迹半径是在匀强磁场Ⅱ运动轨迹半径的3倍
[B] 粒子在匀强磁场Ⅱ运动的轨迹半径是在匀强磁场Ⅰ运动轨迹半径的2倍
对点2.电场与磁场的组合
3.(4分)(2025·贵州安顺模拟)如图,在平面直角坐标系xOy的第一、四象限存在方向沿x轴正方向的匀强电场,在第二、三象限的区域存在方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B。一个带负电的粒子(重力不计)从x轴上的A点以大小为v0的初速度沿y轴正方向射出,粒子在电场和磁场中运动后回到A点。则电场强度E的大小为(　　)
B
4.(6分)(2024·山东烟台开学考试)(多选)如图所示,纸面内存在上下宽度均为L的匀强电场与匀强磁场,匀强电场方向竖直向下,匀强磁场方向垂直于纸面向里,现有一比荷为k的带正电粒子(不计重力)从电场的上边界的a点由静止释放,运动到磁场的下边界的b点时正好与下边界相切,下列说法正确的是
(　 　)
[A] 粒子离开电场时的速度为BkL
[B] 匀强电场的电场强度为B2kL
[C] a、b两点之间的距离为2L
AD
对点3.多个电场和磁场的组合
5.(6分)(2024·河南商丘阶段练习)(多选)如图为一种质谱仪的示意图,由加速电场、静电分析器和磁分析器组成。若静电分析器通道中心线的半径为R,通道内为均匀辐射电场,在中心线处的电场强度大小为E,磁分析器有范围足够大的有界匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外。一质量为m、电荷量为q的粒子从静止开始经加速电场加速后沿中心线通过静电分析器,由P点垂直边界进入磁分析器,最终打到胶片上的Q点。不计粒子重力。下列说法正确的是(　 　)
[A] 极板M比极板N的电势高
[B] 加速电场的电压U=ER
[D] 若一群粒子从静止开始经过题述过程都落在胶片上的同一点,则该群粒子具有相同的比荷
AD
B
综合提升练
7.(6分)(2025·湖北荆州模拟)(多选)如图所示的xOy坐标系中,y轴的左侧存在垂直于纸面向外、磁感应强度大小未知的匀强磁场,y轴右侧的匀强磁场方向垂直于纸面,大小未知,一带正电的粒子由y轴上(0,-L)处沿与y轴正方向成30°角的方向以速度v射入磁场,已知粒子的比荷为k,粒子在y轴右侧的轨道半径为L,最终粒子经过O点,粒子重力不计。下列说法正确的是(　　 )
AD
8.(16分)(2025·河南高考适应性考试)如图,在水平虚线上方区域有竖直向下的匀强电场,电场强度大小为E,在虚线下方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场。质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子从距虚线高度为h的a点向右水平发射,当粒子进入磁场时其速度方向与水平虚线的夹角为45°。不计重力。
(1)求粒子进入磁场时的速度大小。
(2)若粒子第一次回到电场中高度为h时,粒子与a点的距离为x=2h,求磁场的磁感应强度大小的可能值。
(3)若粒子第一次回到电场中高度为h时,粒子在电场中运动的时间与在磁场中运动的时间相等,求粒子此时与a点的距离。

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