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2024-2025 学年广东省广州市执信中学高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 = { 2, 1,1,2}，集合 = { 1,2}， = { 2,2}，则{ 2} =( )
A. ( ∩ ) B. ( ∪ ) C. ( ) ∩ D. ( ) ∪
2.已知角 终边过点 ( 1,2)，则 2 =( )
A. 3 3 4 45 B. 5 C. 5 D. 5
3.已知| | = 3，| | = 4， = 12，则向量 在 方向上的投影向量为( )
A. 3 B. 3 C. 4 D. 44 4 3 3
4.平行六面体 1 1 1 1中，既与 共面也与 1共面的棱的条数为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5.如图，正方形 中， 是 的中点，若 = + ，则 =( )
A. 4 53 B. 3 C. 1 D. 1
1
6.设 = 2， = cos 32， = 2
sin2，则下列关系正确的是( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
7 2 2.如图所示，在三棱柱 1 1 1中，若点 ， 分别满足 = , = 3 3 ，平面 1 1 将三棱柱
分成的左、右两部分的体积分别为 1和 2，则 1： 2 =( )
A. 19：8
B. 2：1
C. 17：10
D. 16：11
8.在△ 中，内角 9， ， 所对边分别为 ， ， ，若 = ， 23 = 4 ，则 + =( )
A. 32 B. 2 C.
7
2 D.
3
2
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设 1， 2是复数，则下列说法正确的是( )
A.若复数 = 3 + 4 ， 2 = 3 + 4 ，则 1 > 2
B. = 1 3 若复数 1+ ，则复数 在复平面内对应的点在第三象限
C.若复数( 2 4) + ( 2 + 3 + 2) 是纯虚数，则实数 = 2
D.若 21 + 22 = 0，则 1 = 2 = 0
10.已知△ 中， = 4， = 3 .则( )
A.若 = 2 3，则△ 有两解
B.若△ 是钝角三角形，则 0 < < 2
C.若△ 是锐角三角形，则 2 3 < < 4 3
D. 2 3 的最大值是 3
11.已知函数 ( ) = 1 1| |+ | |，下列说法正确的是( )
A. ( )为偶函数 B. ( )的最小正周期为
C. ( ) 关于 = 4对称 D. ( )的值域为[2 2, + ∞)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 .已知 sin( 2 + ) = 2 ，则 tan(

4 ) = ______．
13.已知一个底面半径为 的圆锥的侧面积与半径为 的球的表面积相等，则圆锥
侧面展开图的圆心角为______．
14.在△ 中， 是边 的中点， 是线段 的中点.设 = ， = ，若
∠ = 6，△ 的面积为 3，则当| | = ______时， 取得最小值．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 = (3, 4)， = (1,2)， = ( 2, 2)， ∈ ．
(1)若( + )//( + )，求实数 的值．
(2)若 + 与 垂直，求实数 的值．
(3)求向量 + 模的最小值．
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16.(本小题 15 分)
由直四棱柱 1 1 1 1截去三棱锥 1 1 1后得到的几何体如图所示，四边形 为平行四边形，
为 与 的交点．
(1)求证： 1 / /平面 1 1；
(2)求证：平面 1 / /平面 1 1；
(3)设平面 1 1与底面 的交线为 ，求证： 1 1// ．
17.(本小题 15 分)
在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 3 = 4 ， = 3 2．
(1)求 ；
(2) 如图，点 为边 上一点， = ，∠ = 2，求△ 的面积．
18.(本小题 17 分)

已知函数 ( ) = ( + )(其中 > 0， > 0，| | < 2 )的图象过点 ( 3 , 0)，且图象上与点 最近的一
7
个最低点的坐标为( 12 , 2)．
(1)求函数 ( )的解析式并用“五点法”作出函数在[ , 5 6 6 ]的图象简图；
(2)将函数 ( )的图象向右平移 ( > 0)个单位长度得到的函数 = ( )是偶函数，求 的最小值；
(3) = ( ) ∈ [ 利用上一问 的结果，若对任意的 1， 2 3 , 12 ]，恒有| ( 1) ( 2)| ≤ 4
2 3 ，求 的取
值范围．
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19.(本小题 17 分)
现有长度分别为 1，2，3，4 的线段各 1 条，将它们全部用上，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为
10 的三角形或四边形．
(1)求出所有可能的三角形的面积．
(2)如图，在平面凸四边形 中， = 1， = 3， = 2， = 4．
①当∠ 大小变化时，求四边形 面积的最大值，并求出面积最大时| |的值．
②当 = 12时，△ 所在平面内是否存在点 ，使得| | + | | + | |达到最小？若有最小值，则求出
该值；否则，说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 13
13. 2
14.2
15.解：(1)因为 = (3, 4)， = (1,2)， = ( 2, 2)，
所以 + = (4, 2)， + = ( 1 2 , 2 2 )，
又( + )//( + )，
所以 4( 2 2 ) = 2( 1 2 )，
= 5解得： 6；
(2)由题可得， + = (3 + 1, 4 + 2)， = (3,4)，
因为 + 与 垂直，
所以(3 + 1) × 3 + ( 4 + 2) × 4 = 0，
11
解得： = 7；
(3)由题可得， + = (3 + 1, 4 + 2)，
所以| + |2 = (3 + 1)2 + ( 4 + 2)2 = 25 2 10 + 5
= 25( 1 )25 + 4 ≥ 4，
= 1所以当 5时，| +
|最小，最小模为： 4 = 2．
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16.证明：(1)取 1 1的中点 1，连接 1， 1 1，
∵ 1 1 1 1是直四棱柱，
∴ 1 1// 且 1 1 = ，
∴四边形 1 1为平行四边形，
∴ 1 // 1 ，
又 1 平面 1 1， 1 平面 1 1，
∴ 1 //平面 1 1．
(2) ∵ 1// 1且 1 = 1， 1// 1且 1 = 1，
∴ 1// 1且 1 = 1，
∴四边形 1 1 是平行四边形，∴ // 1 1，
∵ 平面 1 1， 1 1 平面 1 1，
∴ //平面 1 1，
由(1)得 1 //平面 1 1，
∵ ∩ 1 = ， 、 1 平面 1 ，
∴平面 1 //平面 1 1．
(3)由(2)得 // 1 1，
∵ 1 1 平面 ， 平面 ，
∴ 1 1//平面 ，
∵ 1 1 平面 1 1，平面 1 1 ∩平面 = ，
∴ 1 1// ．
17.解：(1)由 3 = 4 及正弦定理，得 3 = 4 ，
因为 ≠ 0，所以 3 = 4 ，即 9 2 = 16 2 ，
又cos2 = 1 sin2 ，
所以 9 2 = 16(1 sin2 )，即 25 2 = 16，
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4
因为 > 0，所以 = 5．
(2)设 = = ，
因为∠ = 2，
所以 cos∠ = cos∠ = = 45，sin∠ =
3
5，
在△ 中，由余弦定理，得 2 = 2 + 2 2 ∠ ，
4
所以 18 = 2 2 2 2 ( 5 )，解得 =± 5(舍负)，
所以 1 1 3 3△ = 2 ∠ = 2 × 5 × 5 = 2，
△ 4 4在 中，因为 = 5，所以 = 3，
所以 = = 5 = 3 5 4 4 ，
3
所以 △ =
1
2 =
15
8，
= + = 3 + 15 27所以 △ △ △ 2 8 = 8．
18.解：(1)设函数 ( ) = ( + )的最小正周期为 ，由题意， = 2，
= 7 2 且4 12 3 = 4，解得 = ，则 = = 2，即有 ( ) = 2 (2 + )，
( 7 将点 12 , 2)
7
代入，化简可得 cos( 6 + ) = 1，
7
则 6 + = + 2

， ∈ ，即 = 6 + 2 ， ∈ ，因| | <

2，
故得 = 6，即 ( ) = 2 (2

6 )，
取函数 ( ) = 2 (2 5 6 )在一个周期 6 , 6 ]上的五点列表如下：

0 7 5 12 3 12 6

2 6 0
3 11
6 2 2 6
( ) 3 2 0 2 0 3
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在直角坐标系中作图如下：
(2)依题意 ( ) = 2 [2( ) 6 ] = 2 (2 2

6 )是偶函数，
故 cos( 2 6 ) =± 1
1
，解得 2 + 6 = ， ∈ ，即 = 12 + 2 ， ∈ ，
因 > 0 1 5 ，则得 > 6，则 = 1 时， 取得最小值为12．
(3)由(2)分析可得 ( ) = 2 2 ∈ [ , 2 ，因 3 12 ]，则 2 ∈ [ 3 , 6 ]，
1
结合余弦函数的性质可得 2 ≤ 2 ≤ 1，
故得 2 ≤ ( ) ≤ 1，0 ≤ | ( 1) ( 2)| ≤ 3，
因对任意的． ∈ [ 3 , 12 ]，
恒有| ( 1) ( 2)| ≤ 4 2 3 成立，故得 4 2 3 ≥ 3，
解得 ≤ 3 57或 3+ 57，8 ≥ 8
即 的取值范围为( ∞, 3 57 ] ∪ [ 3+ 578 8 , + ∞)．
19.解：(1)根据三角形两边之和大于第三边，由题意可知，
所有可能符合情况的三角形的三边长为 1 + 2，3，4 和 2，3 + 1，4，
当三角形三边为 1 + 2，3，4 时，由余弦定理知，
2 2
= 3 +3 4
2
= 1 = 1 ( 1 4 5等腰三角形顶角的余弦值 22×3×3 9，则 9 ) = 9 ，
所以 =
1
2 × 3 × 3 ×
4 5
9 = 2 5；
当三角形三边为 2，3 + 1，4 时，由余弦定理知，
42+42 22 7
等腰三角形顶角的余弦值 = 2×4×4 = 8，则 = 1 (
7 )28 =
15
8 ，
则 =
1
2 × 4 × 4 ×
15
8 = 15；
(2)①连接 ，由余弦定理知：
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2 2 2 2
= + 2 =
17
8 ，
2 2 2 2
= + = 13 2 12 ，
∴ 2 = 17 8 ， 2 = 13 12 ，
∴ 17 8 = 13 12 ，∴ 2 3 = 1，
又 = △ + △ =
1
2 × 1 × 4 × +
1
2 × 2 × 3 × = 2 + 3 ，
∴ (2 + 3 )2 = 4 2 + 9 2 + 12 ，
又∵ 2 3 = 1，3(2 3 )2 = 1，
∴ 4 2 + 9 2 12 = 1.，
故 2 2 2 = 4(1 cos ) + 9(1 cos ) + 12
= 13 (4 2 + 9 2 ) + 12
= 13 1 12 + 12
= 12 12 ( + ) ≤ 24，
当且仅当 + = 时， 2 = 24， 取得最大值 2 6，
此时 + = ，2 3 = 1，
∴ 2 + 3 = 1，解得 = 15， =
1
5，
则 2 = 13 12 = 77 3855，解得 = 5 ；
1
②假设存在符合条件的点 ，由 = 2，可得∠ =

3，
如图，把△ 绕点 逆时针旋转 60°，
则 → 1， → 1，连接 1，
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显然△ 1为等边三角形，则 = 1， = 1 1， = 1 = 4，
∠ = ∠ + ∠ = + 1 1 3 3 =
2
3，
∴ | | + | | + | | = | 1| + | | + | 1 1| ≥ | 1|，
当且仅当 1， 1， ， 共线时取得最小值，
此时 2 = 21 + 21 2| || |cos
2
1 3 = 1 + 16 + 4 = 21，
故| | + | | + | |的最小值为 21．
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