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2024-2025 学年湖南省衡阳市祁东县第一中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 ′ 0 = 4, lim
0+ 0
2 的值是( ) →0
A. 2 B. 1 C. 12 D. 2
2.国庆长假过后学生返校，某学校为了做好防疫工作组织了 6 个志愿服务小组，分配到 4 个大门进行行李
搬运志愿服务，若每个大门至少分配 1 个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在 1 个大门进行服务，则
不同的分配方法种数为( )
A. 65 B. 125 C. 780 D. 1560
3.已知[ 3,5]上的可导函数 ( )的图象如图所示，则不等式( 2) ′( ) > 0 的解集为( )
A. ( 3, 1) ∪ (4,5) B. (1,2) ∪ (4,5) C. (1,2) ∪ (3,5) D. ( 1,1) ∪ (2,3)
4.现从男、女共 8 名学生中选出 2 名男生和 1 名女生分别参加学校“资源”“生态”和“环保”三个夏令
营活动，已知共有 90 种不同的方案，那么男、女学生的人数分别是( )
A. 2，6 B. 3，5 C. 5，3 D. 6，2
5. ( ) = 在区间[ 1,1]上的最大值是( )
A. 1 + 1 B. 1 C. + 1 D. 1
6.已知 = 12 ln2 +
1 = 2 ln +14， ， = ，则 ， ， 之间的大小关系为( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
7.已知( 2)10 = 2 100 + 1( 1) + 2( 1) + . . . + 10( 1) ，则下列结论正确的有( )
A. 0 = 1 B. 6 = 210
C. 1 + 22 22 +
3 10 1
23 + . . . + 210 = 1024 D. 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 512
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8 ( ) = ( + 3)
2, ( 0)
.已知函数 |ln |, ( > 0) , ( ) = 有 5 个不相等的实数根，从小到大依次为 1， 2， 3， 4，
1 2 35，则 的取值范围为( )4 5
A. (0,4) B. (0,2) C. ( 2,0) D. ( 4,0)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件不合格品，从这 100 件产品中任意抽出 3 件，则( )
A.恰好有 1 件是不合格品的抽取方法有C1C22 98种
B.恰好有 2 件是不合格品的抽取方法有C12C298 + C2C12 98种
C.至少有 1 件是不合格品的抽取方法有C12C2 2 198 + C2C98种
D.至少有 1 件是不合格品的抽取方法有C3100 C398种
10.已知函数 ( ) = 3 3 1，则( )
A. ( )的极大值为 0
B.曲线 = ( )在(1, (1))处的切线为 轴
C. ( )的最小值为 0
D. ( )在定义域内单调
11.已知函数 ( ) = ( 1)3e ，则以下结论正确的是( )
A. ( )在( ∞, 2)上单调递增，在( 2, + ∞)上单调递减
B. e 3 < lnπ < (2)
C.函数 = ( )只有 1 个零点
D.存在实数 ，使得方程 ( ) = ( 1)有 4 个实数解
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.曲线 = ln 在点(e, 1)的切线方程为 ．
13.中国北京第 24 届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观
众.某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“惊蛰”“清明”“立夏”“芒种”“小暑”
六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻，且“清明”与
“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有 种(要求：用数字填空，用式子填空不给分)
14.若不等式e + ( ln + e2) ≥ 0 在 > 0 上恒成立，则实数 的取值范围是
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 3 + 2 2 + + 3在 = 1 233处取得极小值27．
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(1)求 ， 的值;
(2)当 ∈ [ 1,1]时，求 ( )的最大值．
16.(本小题 15 分)
在( 2 + 2 )
的展开式中，第 4 1项的系数与倒数第 4 项的系数之比为2．
(1)求 的值；
(2)求展开式中所有的有理项；
(3)求展开式中系数最大的项．
17.(本小题 15 分)
某城镇在规划的一工业园区内架设一条 16 千米的高压线，已知该段线路两端的高压线塔已经搭建好，余下
的工程只需要在已建好的两高压线塔之间等距离的再修建若干座高压电线塔和架设电线．已知建造一座高
压线电塔需 2 万元，搭建距离为 千米的相邻两高压电线塔之间的电线和人工费用等为 4 [ln( + 0.48)
0.125]万元，所有高压电线塔都视为“点”，且不考虑其他因素，记余下的工程费用为 万元．
(1)试写出 关于 的函数关系式．
(2)问：需要建造多少座高压线塔，才能使工程费 有最小值？最小值是多少？(参考数据：ln2 ≈ 0.69, ln10 ≈
2.30)
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = e ．
(1)求曲线 = ( )在点 0, (0) 处的切线方程；
(2)求函数 ( )的单调区间和极值；
(3) 1若 ( ) > 22 + + 1 在 ∈ (1, + ∞)上恒成立，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
设 = sin + cos , = 2 + 4．
(1)讨论 在 , 上的单调性；
(2)令 = 4 ，试证明 在 上有且仅有三个零点．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. e = 0
13.192
14. ≤ e2
15.(1)因为 ( ) = 3 + 2 2 + + 3，则 ′( ) = 3 2 + 4 + ，
′ 1 = 1 4 3 3 3 + = 0 = 1由题意可得：
1 = 1 + 2 + 3 = 23
，解得 = 1 ,
3 27 9 3 27
当 = = 1 时，则 ( ) = 3 + 2 2 + + 1， ′( ) = 3 2 + 4 + 1 = (3 + 1)( + 1)，
当 < 1 或 > 1时， ′3 ( ) > 0；当 1 < <
1
3时，
′( ) < 0；
可知 ( )在 1, 1 13 内单调递减，在( ∞, 1), 3 , + ∞ 内单调递增，
则函数 ( )在 = 1 233处取得极小值27，符合题意，
所以 = = 1．
(2)因为 ∈ [ 1,1] 1 1，由(1)可知： ( )在 1, 3 内单调递减，在 3 , 1 内单调递增，
且 ( 1) = 1, (1) = 5，即 ( 1) < (1)，
所以当 ∈ [ 1,1]时，求 ( )的最大值为 (1) = 5．
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5
16. (1) 2解： 由题意知： 2 +1 = ( ) ( ) = 2
2 2 ，
则第 4 项的系数为 3 3 3 3 2 ，倒数第 4 项的系数为 2 ，
323 1 1 1
则有 32 3
= 2即2 6 = 2，
∴ = 7．
5
(2)由(1)可得 14 +1 = 72 2 ( = 0,1, , 7)，
当 = 0,2,4,6 时所有的有理项为 1, 3, 5, 7，
即 = 020 14 = 141 7 ，
2 2 9 93 = 72 = 84 ，
= 4245 7 4 = 560 4，
6 6 1 17 = 72 = 448 ．
(3)设展开式中第 + 1 项的系数最大，
+1 +172 7 2 + 1 2(7 )则 1 1 72 7 2 2(8 )
13 163 3，∴ = 5，
3 3
故系数最大项为 5 56 = 72 2 = 672 2．
17.解：(1) 16由题意知，需要新建的高压线塔为 1(0 < ≤ 16)座．
所以 = 2( 16 1) +
16
× 4 [ln( + 0.48) 0.125]，
32
即 = + 64 ( + 0.48) 10 (0 < ≤ 16)．
2
(2) (1) = 32由 ，得 ′ 2 +
64 32(2 0.48)
+0.48 = 2( +0.48) ，
令 ′ = 0 得 = 0.8 或 = 0.3(舍去)．
由 ′ < 0，得 0 < < 0.8；由 ′ > 0，得 0.8 < ≤ 16，
所以函数 在区间(0,0.8)上单调递减；在区间(0.8,16)上单调递增．
所以当 = 0.8 时，函数 取得最小值，
且 =
32
0.8 + 64 1.28 10 = 30 + 64(7 2 2 10) ≈ 44.72，
16
此时应建高压线塔为0.8 1 = 19(座)．
故需建 19 座高压线塔可使得余下的工程费用最低，且最小值为 44.72 万元．
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18.(1)由题意知函数 ( ) = e ，故 ′( ) = ( + 1)e
故 ′(0) = 1, (0) = 0，
故曲线 = ( )在点 0, (0) 处的切线方程为 = ；
(2)由(1)可知：令 ′( ) < 0，解得 < 1，
故 ( )的单调递减区间为( ∞, 1)；
令 ′( ) > 0，解得 > 1，
故 ( )的单调递增区间为( 1, + ∞)；
则 = 1 1为函数的极小值点，则函数极小值为 ( 1) = e，无极大值；
(3) ( ) > 1 22 + + 1 在 ∈ (1, + ∞)上恒成立，
e > 1 2 + + 1 1 2 + > 0 < e
1
即 2 ，此时2 ，即 1 2 在 ∈ (1, + ∞)上恒成立，
2 +
e 1 (1+ )e (
1 2
2 + ) ( e
1)( +1) (1+ )(1 2e +1)
令 ( ) = 1 2 , ( > 1)，则
′( ) = = 21 > 0，
2 + (2
2+ )2 (1 22 + )
2
故 ( )在(1, + ∞)上单调递增；
( ) > (1) = e 1 2故 3 = 3 (e 1)，
2
2
故 ≤ 3 (e 1)．
19.解：(1) ′( ) = sin + sin = ，
令 ′( ) = 0 1，则 = 0，或 =± 2 ，
∈ ( , 12 )时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
∈ ( 12 , 0)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
∈ (0, 12 )时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
∈ ( 12 , )时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
证明：(2) ( ) = 2 + 4 4( + )，则 (0) = 0，
故 = 0 是 ( )的一个零点，
∵ ( ) = ( )，
∴ ( )是偶函数，
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要确定 ( )在 上的零点个数只需确定 > 0 时， ( )的零点个数即可，
5
①当 3 > > 0 时， ′( ) = 2 (1 2 )，
令 ′( ) = 0 1 1，即 = 2， = 3 ，( ∈ )
∈ (0, 13 )时， ′( ) < 0， ( )
1
单调递减， ( 3 ) < 0，
∈ ( 1 , 5 ) ( ) > 0 ( ) 5 = 25 10 33 3 时， ′ ， 单调递增，
2
3 9 + 3 + 2 > 0，
∴ ( )在(0, 5 3 )有唯一零点．
≥ 5 ②当 3 时，由于 ≤ 1， ≤ 1， ( ) =
2 + 4 4 4 ≥ 2 + 4 4 4 = 2 4 =
( )，
而 ( ) 5 5 在[ 3 , + ∞ )单调递增， ( ) ≥ ( 3 ) > 0，故 ( ) > 0 恒成立，
故 ( ) [ 5 在 3 , + ∞ )无零点，
∴ ( )在(0, + ∞)有一个零点，
由于 ( )是偶函数，则 ( )在( ∞,0)只有一个零点，而 (0) = 0，
故 ( )在 上有且仅有三个零点．
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