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第一章 勾股定理达标测试卷
时间：60分钟 满分：100分
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列各组长度的线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A. 3，5，7 B. 5，7，9 C. 3，5，4 D. 2，2，3
2．在中，，，分别是，，的对边，下列不能确定为直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
3．如图，在中， ，平分交于点，若，，，则的长为（ ）
（第3题）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
4．将直角三角形三条边的长度都扩大同样的倍数后，得到的三角形（ ）
A. 仍是直角三角形 B. 可能是锐角三角形
C. 可能是钝角三角形 D. 不可能是直角三角形
5．如图，在中， ，，，点，在上，且，，则的长为（ ）
（第5题）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
6．如图，海天号、顺艺号两艘轮船同时从港口出发，海天号轮船以20海里/时的速度向南偏东 方向航行，顺艺号轮船向南偏西 方向航行，已知它们离开港口两小时后，两艘轮船相距50海里，则顺艺号轮船平均每小时航行（ ）
（第6题）
A. 15海里 B. 16海里 C. 17海里 D. 18海里
7．学过《勾股定理》后，老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆的高度，得到如下信息：
（第7题）
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米；
②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图）。
根据以上信息，得旗杆的高度为（ ）
A. 10米 B. 13米 C. 15米 D. 17米
8．如图，在四边形中， ，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形。若,,则等于（ ）
（第8题）
A. 136 B. 64 C. 50 D. 81
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
9．一个三角形的三条边长分别为8，15，17，那么其最短边上的高是。
10．如图，在中，，， ，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为_ _ _ _ 。
（第10题）
11．如图，在正方形网格图中有，，，四条线段，从中任取三条线段所构成的三角形中，恰好是直角三角形的个数为_ _ _ _ 。
（第11题）
12．[［2025陕西师大附中期中］]消防车上的云梯如图①，已知云梯最多只能伸长到25米，消防车高3.5米。如图②，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，即米，此时消防车的位置与楼房的距离米。完成处的救援后，消防员发现在处的正上方5米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，且救援时消防车上的云梯仍伸至最长，即米，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为_ _ _ _ 米。
（第12题）
13．对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线,交于点.若,，则。
（第13题）
三、解答题（共6小题，共61分）
14．（6分）在中，,,的对边分别为,,且 。
（1） 若,，求的值；
（2） 若,，求的值；
（3） 若,，求,的值。
15．[［2025西工大附中期中］]（8分）如图，在中，，，。
（1） 判断的形状，并说明理由；
（2） 若点为线段上一点，连接，且，求的面积。
16．（10分） 在我国古代数学著作《九章算术》的“勾股”章中，有一题：“今有开门去阃一尺，不合二寸，问门广几何。”大意如下：如图，推开两扇门和，门边缘，两点到门槛的距离为1尺（1尺 寸），两扇门间的缝隙为2寸，问门的宽度（两扇门宽度的和）为多少尺？
17．（12分）城市绿化是城市重要的基础设施，是城市现代化建设的重要内容，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业。某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，如图，，，，。
（1） 技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离，便快速确定了 。请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定的依据；
（2） 现计划在空地内种草，若每平方米草地造价30元，这块地全部种草的费用是多少元？
18．（12分）如图，长方体的长、宽、高分别为，，。若一只蚂蚁从点开始经过4个侧面爬行一圈到达点，则蚂蚁爬行的最短路径长为多少？画出侧面展开图，并解答。
19．（13分）【问题背景】图①为著名的赵爽弦图，其中四个直角三角形较长的直角边长都为，较短的直角边长都为，斜边长都为，则大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，那么。
【探索求证】
（1） 图②为勾股定理的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中 ，请你利用图②推导勾股定理；
【问题解决】
（2） 如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点，，在同一条直线上，并新修一条路，且。测得千米，千米，求新路比原路少多少千米；
【延伸扩展】
（3） 在第（2）问中，若，千米，千米，千米，设千米，求的值。
第一章 勾股定理达标测试卷 答案版
时间：60分钟 满分：100分
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列各组长度的线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A. 3，5，7 B. 5，7，9 C. 3，5，4 D. 2，2，3
【答案】C
2．在中，，，分别是，，的对边，下列不能确定为直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
3．如图，在中， ，平分交于点，若，，，则的长为（ ）
（第3题）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
【答案】B
4．将直角三角形三条边的长度都扩大同样的倍数后，得到的三角形（ ）
A. 仍是直角三角形 B. 可能是锐角三角形
C. 可能是钝角三角形 D. 不可能是直角三角形
【答案】A
5．如图，在中， ，，，点，在上，且，，则的长为（ ）
（第5题）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】C
6．如图，海天号、顺艺号两艘轮船同时从港口出发，海天号轮船以20海里/时的速度向南偏东 方向航行，顺艺号轮船向南偏西 方向航行，已知它们离开港口两小时后，两艘轮船相距50海里，则顺艺号轮船平均每小时航行（ ）
（第6题）
A. 15海里 B. 16海里 C. 17海里 D. 18海里
【答案】A
7．学过《勾股定理》后，老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆的高度，得到如下信息：
（第7题）
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米；
②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图）。
根据以上信息，得旗杆的高度为（ ）
A. 10米 B. 13米 C. 15米 D. 17米
【答案】B
8．如图，在四边形中， ，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形。若,,则等于（ ）
（第8题）
A. 136 B. 64 C. 50 D. 81
【答案】B
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
9．一个三角形的三条边长分别为8，15，17，那么其最短边上的高是。
【答案】15
10．如图，在中，，， ，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为_ _ _ _ 。
（第10题）
【答案】4
11．如图，在正方形网格图中有，，，四条线段，从中任取三条线段所构成的三角形中，恰好是直角三角形的个数为_ _ _ _ 。
（第11题）
【答案】2
12．[［2025陕西师大附中期中］]消防车上的云梯如图①，已知云梯最多只能伸长到25米，消防车高3.5米。如图②，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，即米，此时消防车的位置与楼房的距离米。完成处的救援后，消防员发现在处的正上方5米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，且救援时消防车上的云梯仍伸至最长，即米，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为_ _ _ _ 米。
（第12题）
【答案】5
13．对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线,交于点.若,，则。
（第13题）
【答案】17
三、解答题（共6小题，共61分）
14．（6分）在中，,,的对边分别为,,且 。
（1） 若,，求的值；
（2） 若,，求的值；
（3） 若,，求,的值。
【答案】
（1） 解：因为 ，,，
所以，所以。
（2） 因为 ，,，
所以,
所以。
（3） 因为 ，，
所以。
因为，所以，。
15．[［2025西工大附中期中］]（8分）如图，在中，，，。
（1） 判断的形状，并说明理由；
（2） 若点为线段上一点，连接，且，求的面积。
【答案】
（1） 解：是直角三角形。
理由如下：
因为，，，
，所以，所以是直角三角形。
（2） 因为，，
所以设，则，
。
由（1）知，是直角三角形，且 ，
所以，
即，解得，
所以，所以。
16．（10分） 在我国古代数学著作《九章算术》的“勾股”章中，有一题：“今有开门去阃一尺，不合二寸，问门广几何。”大意如下：如图，推开两扇门和，门边缘，两点到门槛的距离为1尺（1尺 寸），两扇门间的缝隙为2寸，问门的宽度（两扇门宽度的和）为多少尺？
解：如图，过点作于点，则寸，寸。
设寸，则寸。
在中，，即，解得，
所以寸尺。； 答：门的宽度（两扇门宽度的和）为10.1尺。
17．（12分）城市绿化是城市重要的基础设施，是城市现代化建设的重要内容，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业。某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，如图，，，，。
（1） 技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离，便快速确定了 。请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定的依据；
（2） 现计划在空地内种草，若每平方米草地造价30元，这块地全部种草的费用是多少元？
【答案】
（1） 解：测量的是点，之间的距离。
依据是：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形（或勾股定理的逆定理）。
（2） 如图，连接。
由（1）得 ，
所以在中，，所以。
在中，，。
因为，
所以，
所以 。
。
因为（元），所以这块地全部种草的费用是1 080元。
18．（12分）如图，长方体的长、宽、高分别为，，。若一只蚂蚁从点开始经过4个侧面爬行一圈到达点，则蚂蚁爬行的最短路径长为多少？画出侧面展开图，并解答。
解：长方体侧面展开图如图所示。
由题意，得，。
在中，,所以。
所以蚂蚁爬行的最短路径长为。
19．（13分）【问题背景】图①为著名的赵爽弦图，其中四个直角三角形较长的直角边长都为，较短的直角边长都为，斜边长都为，则大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，那么。
【探索求证】
（1） 图②为勾股定理的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中 ，请你利用图②推导勾股定理；
【问题解决】
（2） 如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点，，在同一条直线上，并新修一条路，且。测得千米，千米，求新路比原路少多少千米；
【延伸扩展】
（3） 在第（2）问中，若，千米，千米，千米，设千米，求的值。
【答案】
（1） 解：因为，
，
所以，即。
（2） 设千米，则千米。
在中，由勾股定理,
得，
所以，解得，即千米，
所以（千米），
所以新路比原路少0.05千米。
（3） 因为千米，千米，所以千米。
在中，由勾股定理得
，
在中，由勾股定理得
，
所以，
即，解得。
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