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期末达标测试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．的算术平方根是（ ）
A. B. C. D.
2．如图，直线，下列判断正确的是（ ）
（第2题）
A. B.
C. D.
3．在平面直角坐标系中，下列坐标对应的点位于第三象限的是（ ）
A. B. C. D.
4．水稻科研人员为了比较甲、乙两种水稻秧苗谁出苗更整齐，每种秧苗各随机抽取60株，分别量出每株秧苗的高度，发现两种秧苗高度的平均数和中位数均相同，甲、乙两种秧苗的方差分别是，，则下列说法正确的是（ ）
A. 甲种秧苗出苗更整齐
B. 乙种秧苗出苗更整齐
C. 甲、乙两种秧苗出苗一样整齐
D. 无法确定甲、乙两种秧苗谁出苗更整齐
5．如图，一次函数和的图象相交于点，根据图象可知关于的方程的解是（ ）
（第5题）
A. B. C. D.
6．在中，,,的对边分别是,,,下列命题中是假命题的是（ ）
A. 如果,那么是直角三角形
B. 如果,那么是直角三角形,且
C. 如果,那么是直角三角形
D. 如果,那么是直角三角形
7．如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ）
（第7题）
A. 50 B. 16 C. 25 D. 41
8．如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点处绕着点经过最低点，最终荡到最高点处，若 ，点与点的高度差米，水平距离米，则点与点的高度差为（ ）
（第8题）
A. 4米 B. 4.5米 C. 5米 D. 5.5米
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
9．已知整数满足，则_ _ _ _ 。
10．已知,满足方程组则的值为_ _ _ _ 。
11．已知，是一次函数的图象上的两个点，则_ _ （填“ ”“ ”或“”）。
12．某小组开展了关于笔记本电脑的张角大小的实践探究活动。如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与之间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（点 是点 的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为_ _ _ _ _ _ _ _ 。
（第12题）
13．[［2025西安交大附中期中］]如图，是直线在第二象限上的一个点，点关于轴对称的点为，关于轴对称的点为，连接，则线段的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ 。
（第13题）
三、解答题（共13小题，共81分）
14．（5分）计算：。
15．（5分）解方程组：
，：。
17．（5分）某市政府准备对金鱼公园进行小范围绿化。如图，现计划在公园一块四边形空地上种植草皮，测得 ，，，，，求该四边形的面积。
18．（5分）为了解学生的体温情况，班主任张老师根据全班学生某天上午的体温监测记录表，绘制了如下不完整的扇形统计图和频数分布表。
学生体温频数分布表
体温/ 频数（人数）
36.3 6
36.4
36.5 20
36.6 4
请根据以上信息，解答下列问题：
（1） 频数分布表中，该班学生体温的众数是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，中位数是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 扇形统计图中，对应的扇形的圆心角是度；
（3） 求该班学生的平均体温（结果保留一位小数）。
19．（5分）如图是的正方形网格，小正方形的边长均为1，请在所给网格中按下列要求操作。
注：（2）、（3）在（1）所建立的平面直角坐标系中进行操作。
（1） 请在网格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，点的坐标为；
（2） 在第二象限内的格点中找一点，使点与线段构成一个以为底的等腰三角形，且腰长是无理数，画出，则点的坐标是_ _ _ _ _ _ _ _ ,的周长是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （结果保留根号）;
（3） 作出关于轴对称的图形。
20．（5分）2024年12月，中国航空工业迎来了一个历史性的时刻——两款新型战斗机相继试飞成功，这一壮举让国人热血沸腾。受此消息影响，两种型号的飞机模型在网上爆火。下表是近两天某玩具店的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
种型号 种型号
第一天 4件 5件 955元
第二天 2件 6件 810元
求，两种型号飞机模型的销售单价。
测量步骤如下：
①如图①，底座截面是长方形，测出长方形的长，宽，旗杆正好在底座的正中间（即 是 的中点，旗杆的直径忽略不计）。将旗杆的绳子拉直垂直于底座时，发现拖在底座上的绳子长度恰好为的长；
②如图②，将刚才拖到地上的绳子拉直至地面处，使绳子底端恰好接触地面，测量出长为。请用以上数据计算出该校操场上旗杆的高度。
22．（7分）为了解某一路口汽车流量情况，小明同学在10天的早、晚高峰时间段统计通过该路口的汽车数量（单位：辆），将统计结果整理如下：
：早高峰：
：晩高峰：192，189，200，190，180，192，185，173，192，181。
（1） 晚高峰10个数据的众数是_ _ 辆；
（2） 若某时段的汽车数量方差越小，则认为该时段车流量越稳定，则早、晩高峰时段车流量更稳定的是（填“早”或“晩”）；
（3） 若早高峰时段该路口通过的汽车数量高于200辆则视为“拥堵”，试估计该路口一个月（30天）早高峰时段拥堵的天数为多少天？
23．（7分）如图，在中， ， ，于点，为上一点，连接，与交于点。
（1） 求的度数；
（2） 若平分，平分交于点，求证：。
24．（8分）如图，已知点，。
（1） 点在直线上，连接，若将的面积分成相等的两部分，求点的坐标；
（2） 点从点向轴负半轴运动，同时，点以每秒3个单位长度的速度从点向轴正半轴运动，设点，运动的时间为秒。直线，交于第四象限的点，已知点的坐标是，求点，运动的时间以及点的速度。
厚进装共60套进行销售，已知购进3套甲种剪纸和2套乙种剪纸共需230元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元。
（1） 求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元；
（2） 设购进甲种剪纸套，购买甲、乙两种剪纸共花费元，求与之间的函数关系式；
（3） 在（2）的条件下，若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套，该商家计划购进这批剪纸所花的总费用不超过2 800元，要使这批剪纸全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润。
） 如图①，在等腰直角三角形中， ，，直线经过点，过点作于点，过点作于点。请直接写出图中相等的线段（除）；
【模型应用】
（2） 如图②，在平面直角坐标系中，直线与，轴分别交于，两点，为第一象限内的点，若是以为直角边的等腰直角三角形，请求出点的坐标和直线的表达式；
【探究提升】
（3） 如图③，在平面直角坐标系中，，点在轴上运动，将绕点顺时针旋转 至，连接，请求出的最小值以及此时点的坐标。
期末达标测试卷 答案版
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．的算术平方根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
2．如图，直线，下列判断正确的是（ ）
（第2题）
A. B.
C. D.
【答案】C
3．在平面直角坐标系中，下列坐标对应的点位于第三象限的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
4．水稻科研人员为了比较甲、乙两种水稻秧苗谁出苗更整齐，每种秧苗各随机抽取60株，分别量出每株秧苗的高度，发现两种秧苗高度的平均数和中位数均相同，甲、乙两种秧苗的方差分别是，，则下列说法正确的是（ ）
A. 甲种秧苗出苗更整齐
B. 乙种秧苗出苗更整齐
C. 甲、乙两种秧苗出苗一样整齐
D. 无法确定甲、乙两种秧苗谁出苗更整齐
【答案】A
5．如图，一次函数和的图象相交于点，根据图象可知关于的方程的解是（ ）
（第5题）
A. B. C. D.
【答案】A
6．在中，,,的对边分别是,,,下列命题中是假命题的是（ ）
A. 如果,那么是直角三角形
B. 如果,那么是直角三角形,且
C. 如果,那么是直角三角形
D. 如果,那么是直角三角形
【答案】B
7．如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ）
（第7题）
A. 50 B. 16 C. 25 D. 41
【答案】A
8．如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点处绕着点经过最低点，最终荡到最高点处，若 ，点与点的高度差米，水平距离米，则点与点的高度差为（ ）
（第8题）
A. 4米 B. 4.5米 C. 5米 D. 5.5米
【答案】B
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
9．已知整数满足，则_ _ _ _ 。
【答案】2
10．已知,满足方程组则的值为_ _ _ _ 。
【答案】5
11．已知，是一次函数的图象上的两个点，则_ _ （填“ ”“ ”或“”）。
【答案】
12．某小组开展了关于笔记本电脑的张角大小的实践探究活动。如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与之间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（点 是点 的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为_ _ _ _ _ _ _ _ 。
（第12题）
【答案】
13．[［2025西安交大附中期中］]如图，是直线在第二象限上的一个点，点关于轴对称的点为，关于轴对称的点为，连接，则线段的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ 。
（第13题）
【答案】
三、解答题（共13小题，共81分）
14．（5分）计算：。
解：原式
。
15．（5分）解方程组：
解：原方程组整理变形为
,得。
把代入②,得,
解得。
所以原方程组的解为
16．（5分）如图，已如，。求证：。
证明：，。
。
，
。
，。
17．（5分）某市政府准备对金鱼公园进行小范围绿化。如图，现计划在公园一块四边形空地上种植草皮，测得 ，，，，，求该四边形的面积。
解：连接。
因为 ，，,
所以。
又因为，,
所以易得。
所以是直角三角形，且 。
所以。
18．（5分）为了解学生的体温情况，班主任张老师根据全班学生某天上午的体温监测记录表，绘制了如下不完整的扇形统计图和频数分布表。
学生体温频数分布表
体温/ 频数（人数）
36.3 6
36.4
36.5 20
36.6 4
请根据以上信息，解答下列问题：
（1） 频数分布表中，该班学生体温的众数是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，中位数是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 扇形统计图中，对应的扇形的圆心角是度；
（3） 求该班学生的平均体温（结果保留一位小数）。
【答案】（1） 10；；
（2） 15；36
（3） 解：该班学生的平均体温为
。
19．（5分）如图是的正方形网格，小正方形的边长均为1，请在所给网格中按下列要求操作。
注：（2）、（3）在（1）所建立的平面直角坐标系中进行操作。
（1） 请在网格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，点的坐标为；
（2） 在第二象限内的格点中找一点，使点与线段构成一个以为底的等腰三角形，且腰长是无理数，画出，则点的坐标是_ _ _ _ _ _ _ _ ,的周长是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （结果保留根号）;
（3） 作出关于轴对称的图形。
【答案】
（1） 解：建立平面直角坐标系如图所示。
（2） ；；如图所示，即为所作。
（3） 如图所示，即为所求作。
20．（5分）2024年12月，中国航空工业迎来了一个历史性的时刻——两款新型战斗机相继试飞成功，这一壮举让国人热血沸腾。受此消息影响，两种型号的飞机模型在网上爆火。下表是近两天某玩具店的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
种型号 种型号
第一天 4件 5件 955元
第二天 2件 6件 810元
求，两种型号飞机模型的销售单价。
解：设种型号的飞机模型的销售单价为元，种型号的飞机模型的销售单价为元。
根据题意可得
解得
答：种型号的飞机模型的销售单价为120元，种型号的飞机模型的销售单价为95元。
21．（6分）如图是某校操场上的旗杆，小明和小华想测量旗杆高度，他们设计的测量步骤如下：
①如图①，底座截面是长方形，测出长方形的长，宽，旗杆正好在底座的正中间（即 是 的中点，旗杆的直径忽略不计）。将旗杆的绳子拉直垂直于底座时，发现拖在底座上的绳子长度恰好为的长；
②如图②，将刚才拖到地上的绳子拉直至地面处，使绳子底端恰好接触地面，测量出长为。请用以上数据计算出该校操场上旗杆的高度。
解：根据题意得,,
延长，交于点，易得,，
。
设旗杆的高度，则，。
在中，，
，
解得，。
答：该校操场上旗杆的高度为。
22．（7分）为了解某一路口汽车流量情况，小明同学在10天的早、晚高峰时间段统计通过该路口的汽车数量（单位：辆），将统计结果整理如下：
：早高峰：
：晩高峰：192，189，200，190，180，192，185，173，192，181。
（1） 晚高峰10个数据的众数是_ _ 辆；
（2） 若某时段的汽车数量方差越小，则认为该时段车流量越稳定，则早、晩高峰时段车流量更稳定的是（填“早”或“晩”）；
（3） 若早高峰时段该路口通过的汽车数量高于200辆则视为“拥堵”，试估计该路口一个月（30天）早高峰时段拥堵的天数为多少天？
【答案】（1） 192
（2） 晚
（3） 解：由题意，得（天），
估计该路口一个月（30天）早高峰时段拥堵的天数为12天。
23．（7分）如图，在中， ， ，于点，为上一点，连接，与交于点。
（1） 求的度数；
（2） 若平分，平分交于点，求证：。
【答案】
（1） 解： ， ，
。
， ，
。
（2） 证明：平分，
，
，
。
平分，
。
，
，。
24．（8分）如图，已知点，。
（1） 点在直线上，连接，若将的面积分成相等的两部分，求点的坐标；
（2） 点从点向轴负半轴运动，同时，点以每秒3个单位长度的速度从点向轴正半轴运动，设点，运动的时间为秒。直线，交于第四象限的点，已知点的坐标是，求点，运动的时间以及点的速度。
【答案】
（1） 解：设直线的表达式为，
则解得
所以直线的表达式为。
设点，
由题意可得，
解得，所以。
（2） 设所在直线的表达式为，
因为，，
所以解得
所以。当时，，所以，所以。
因为点的速度为每秒3个单位长度，所以，所以点，运动的时间为1.5秒。
设所在直线的表达式为，
因为，，
所以
解得所以，
当时，，
所以，所以。
因为点运动的时间为1.5秒，所以点的速度为每秒2个单位长度。
25．[［2025西安高新一中期中］]（8分）剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚。某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进3套甲种剪纸和2套乙种剪纸共需230元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元。
（1） 求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元；
（2） 设购进甲种剪纸套，购买甲、乙两种剪纸共花费元，求与之间的函数关系式；
（3） 在（2）的条件下，若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套，该商家计划购进这批剪纸所花的总费用不超过2 800元，要使这批剪纸全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润。
【答案】
（1） 解：设甲种剪纸购进时的单价为元，乙种剪纸购进时的单价为元，
根据题意，得
解得
答：甲种剪纸购进时的单价为50元，乙种剪纸购进时的单价为40元。
（2） 由题可知，购进甲种剪纸套，则购进乙种剪纸套。
根据题意，得，
即，
所以与之间的函数关系式为。
（3） 设甲、乙两种剪纸全部售完时商家获得的利润为元，根据题意，得
，即。
因为，
所以随的增大而增大。
因为该商家计划购进这批剪纸所花的总费用不超过2 800元，
所以，即，
解得，所以。
因为为非负整数，
所以当时，取最大值，，
此时。
答：购进甲种剪纸40套，乙种剪纸20套时，所获利润最大，最大利润为800元。
26．（10分）【模型建立】
（1） 如图①，在等腰直角三角形中， ，，直线经过点，过点作于点，过点作于点。请直接写出图中相等的线段（除）；
【模型应用】
（2） 如图②，在平面直角坐标系中，直线与，轴分别交于，两点，为第一象限内的点，若是以为直角边的等腰直角三角形，请求出点的坐标和直线的表达式；
【探究提升】
（3） 如图③，在平面直角坐标系中，，点在轴上运动，将绕点顺时针旋转 至，连接，请求出的最小值以及此时点的坐标。
【答案】（1） 解：，。
（2） ①以点为直角顶点，即时，如图①所示，过点作轴于点，
易知，
，。
对于，
当时，，
点的坐标为，；
当时，可得，
解得，
点的坐标为，。
，，
，
点的坐标为。
设直线的表达式为，
易得解得
直线的表达式为。
②以点为直角顶点，即时，如图②所示，过点作轴于点，
易知，
，，
，
点的坐标为。
设直线的表达式为，
易得解得
直线的表达式为。
综上所述，点的坐标为，直线的表达式为，或点的坐标为，直线的表达式为。
（3） 如图③所示，过点作轴于点，
，
。
，
，
，
。
在和中，
，
,。
设，
点的坐标为，
，则，
点的坐标为，
。
设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
则，，
则有，
则求的最小值可看作求点到点和点的距离之和的最小值。
如图④，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，
则。易知此时取得最小值。
设直线的表达式为，把的坐标代入，
得，，。
当时，，
， 此时，的最小值为，此时。
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