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2025年福建省厦门市中考数学适应性模拟练习试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题只有一项是符合要求的．
1．2025年是春意盎然，生机勃勃的“双春年”，2025的相反数是（ ）
A． B． C．2025 D．
2．下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
根据某网站统计数据，截至至2025年1月，的总访问量达到了278000000次，
其中278000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
如图，等腰直角三角形的顶点A、C分别在直线a、b上，
若a∥b，∠1=30°，则∠2的度数为（　 　）
A．30° B．15° C．10° D．20°
5．下列计算正确的是（ ）
A．(a－1)2＝a2－1 B．4a·2a＝8a2
C．2a－a＝2 D．a8÷a2＝a4
6． 2025年春节档热映多部精彩电影．小明、小亮分别从如图所示的三部影片中随机选择一部观看，
则小明、小亮选择的影片相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，
且被水面截得弦长为4米，半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，
则点C到弦所在直线的距离是（ ）

A．1米 B．2米 C．米 D．米
如图，四边形OABC是菱形，CD⊥x轴，垂足为D，函数的图象经过点C，
若CD＝4，则菱形OABC的面积为（ ）
A．15 B．20 C．29 D．24
如图，在 ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，
若BF＝6，AE＝8，则AB的长为（ 　 　）
A．5 B．6 C．8 D．10
10．已知二次函数的图象过两点，下列选项正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．因式分解：x2+x= ．
某产品进价为每件200元，商店标价为每件300元．现商店准备将这批服装打折出售，
但要保证毛利润不低于5%，则商店最低可按 折出售．
13．围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，
每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，
则盒子中棋子的总个数是_________．
14．如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴B到地面的距离．
乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到的距离，
点A到地面的距离，当他从A处摆动到处时，若，到的距离是 ．

如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，
且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，
则当取最大值时，点A的坐标为 ．

16．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=12，AD=10，点E是CD的中点．将这张纸片依次折叠两次；
如图2，第一次折叠纸片使点A与点E重合，折痕为MN，连接ME、NE；
如图3，第二次折叠纸片使点N与点E重合，点B落在处，折痕为HG，
连接HE，则 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．计算：
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，在四边形中，，在上取两点E，F，使，连接．

(1)若，试说明；
(2)在（1）的条件下，连接，，试判断与有怎样的数量关系，并说明理由．
为讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，继承革命先烈的优良传统，某中学开展了建党知识测试，
该校七、八年级各有300名学生参加，从中各随机抽取了50名学生的成绩（百分制），
并对数据（成绩）进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息：
a . 八年级的频数分布直方图如下：
（数据分为5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
b . 八年级学生成绩在80≤x＜90的这一组是：
80 、81、 82 、83、 84、 84、84、84、84、85、85、 86、86.5、87、88、89.5
c． 七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 87.2 85 91
八年级 85.3 m 90
根据以上信息，回答下列问题：
表中m的值为 ；
(2) 在随机抽样的学生中，建党知识成绩为84分的学生，
在 年级排名更靠前，理由是 ；
若各年级建党知识测试成绩前90名将参加线上建党知识竞赛，
预估八年级分数至少达到 分的学生才能入选；
若成绩85分及以上为“优秀”，请估计八年级达到“优秀”的人数．
21．如图，内接于，是的直径，过点作的切线交的延长线于点，
过点作，交直线于点，交于点．
求证：平分；
若，求线段的长．
如图，是一名摄影爱好者记录下的无人机表演的“凤凰涅槃”全过程．
摄影爱好者在水平地面上的点处测得无人机位置点的仰角为；
当摄影爱好者沿着倾斜角（即）的斜坡从点走到点时，
无人机的位置恰好从点水平飞到点，此时，摄影爱好者在点处测得点的仰角为．
已知米，米，且四点在同一竖直平面内．
求点到地面的距离；
求无人机在点处时到地面的距离．（结果精确到0.01米，测角仪的高度忽略不计，
参考数据：，
23．【问题背景】2025年4月23日是第30个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，
某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍，
【素材呈现】
素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高；
素材二：用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个；
素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的；
【问题解决】
问题一：求出A，B两种书架的单价；
问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，
求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案．
综合与探究：如图，二次函数的图象与轴交于，两点，
与轴交于点，连接为抛物线上的一个动点（与点不重合），
设点的横坐标为，的面积为．
(1)求二次函数的表达式；
(2)当点在第二象限内时，求关于的函数表达式；
(3)抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图Ⅰ，已知和均为等腰直角三角形，点，分别在线段，上，．
【观察猜想】
将图Ⅰ中的，绕点A逆时针旋转，连接，，且的延长线交于点，得到图Ⅱ．
若的延长线恰好经过点（即点，重合），直接写出与间的数量关系；
【类比探究】
继续旋转图Ⅱ中的，连接，，且的延长线交于点（此时点，不重合），
得到图Ⅲ．
①（1）中的结论是否改变？若不变，请证明；若改变，写出新的结论并证明；
②求的度数；
【拓展延伸】
若，，在旋转过程中，当所在的直线垂直于时，
求线段的长．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2025年福建省厦门市中考数学适应性模拟练习试卷解答
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题只有一项是符合要求的．
1．2025年是春意盎然，生机勃勃的“双春年”，2025的相反数是（ ）
A． B． C．2025 D．
【答案】A
【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的数互为相反数，进行作答即可．
【详解】解：2025的相反数是，
故选：A
2．下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图即可解答．
【详解】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆，
故选：D．
根据某网站统计数据，截至至2025年1月，的总访问量达到了278000000次，
其中278000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：278000000用科学记数法表示为．
故选：B．
如图，等腰直角三角形的顶点A、C分别在直线a、b上，
若a∥b，∠1=30°，则∠2的度数为（　 　）
A．30° B．15° C．10° D．20°
【答案】B
【详解】分析：由等腰直角三角形的性质和平行线的性质求出∠ACD=60°，即可得出∠2的度数．
详解：如图所示：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=90°，∠ACB=45°，
∴∠1+∠BAC=30°+90°=120°，
∵a∥b，
∴∠ACD=180°-120°=60°，
∴∠2=∠ACD-∠ACB=60°-45°=15°；
故选B．
5．下列计算正确的是（ ）
A．(a－1)2＝a2－1 B．4a·2a＝8a2
C．2a－a＝2 D．a8÷a2＝a4
【答案】B
【分析】直接利用完全平方公式、同底数幂的乘除法运算法则、合并同类项的知识分别判断得出答案．
【详解】A．，此选项错误，不符合题意；
B．，此选项正确，符合题意；
C．，此选项错误，不符合题意；
D．，此选项错误，不符合题意；
故选：B．
6． 2025年春节档热映多部精彩电影．小明、小亮分别从如图所示的三部影片中随机选择一部观看，
则小明、小亮选择的影片相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是正确解答此题的关键．
列表得出所有等可能的结果数以及小明和小亮选择的影片相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：将这三部春节档影片分别记为A，B，C，列表如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小亮选择的影片相同的结果有3种，
小明、小亮选择的影片相同的概率为，
故答案为：D．
7．如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，
且被水面截得弦长为4米，半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，
则点C到弦所在直线的距离是（ ）

A．1米 B．2米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
连接，交于D，由垂径定理得（米），再由勾股定理得（米），然后求出的长即可．
【详解】连接，交于D，

由题意得：米，，
米，，
在中
米，
米，
即点C到弦所在直线的距离是米，
故选：C．
如图，四边形OABC是菱形，CD⊥x轴，垂足为D，函数的图象经过点C，
若CD＝4，则菱形OABC的面积为（ ）
A．15 B．20 C．29 D．24
【答案】B
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得到S△COD＝×12＝6，得到OD＝3，根据勾股定理得到OC＝＝5，根据菱形的性质得到OC＝OA＝5，则可求解菱形OABC的面积．
【详解】解：∵函数的图象经过点C，CD⊥x轴，
∴S△COD＝×12＝6．
∵CD＝4，
∴OD＝3．
∴由勾股定理得OC＝＝5．
∵四边形OABC是菱形，
∴OC＝OA＝5．
∴S菱形OABC＝OA CD＝5×4＝20．
故选：B．
如图，在 ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，
若BF＝6，AE＝8，则AB的长为（ 　 　）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【分析】连接EF，设AE交BF于点O．证明四边形ABEF是菱形，再利用勾股定理求解．
【详解】解：连接EF，设AE交BF于点O．
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠DAG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAG，
∴∠BAG＝∠AEB，
∴AB＝BE，
由作图可知：AB＝AF，
∴BE＝AF，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AO＝OE＝4，OB＝OF＝3，AE⊥BF，
∴AB＝，
故选：A．
10．已知二次函数的图象过两点，下列选项正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】根据根据二次函数的解析式得到对称轴为直线，再利用二次函数的性质对各项判断即可解答．
【详解】解：∵二次函数的图象过两点，
∴二次函数的顶点式为：，
∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；
∵，
∴，
∴，
∴，
故错误；
∵二次函数的顶点式为：，
∴抛物线的对称轴为直线，
若，
∴解得：，
∴当时，和关于对称，
∴当时，；当时，，
故错误，正确；
当时，随的增大而增大，
∵，
∴，
故错误；
故选．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．因式分解：x2+x= ．
【答案】
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式x即可．
【详解】解：
某产品进价为每件200元，商店标价为每件300元．现商店准备将这批服装打折出售，
但要保证毛利润不低于5%，则商店最低可按 折出售．
【答案】7
【分析】设售价可以按标价打x折，根据“保证毛利润不低于5%”列出不等式，解之可得．
【详解】解：设售价可以按标价打x折，
根据题意，得：200+200×5%≤300×，
解得：x≥7，
答：售价最低可按标价的7折．
故答案为：7．
13．围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，
每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，
则盒子中棋子的总个数是_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用概率公式，得出黑色棋子的数量除以对应概率，即可算出棋子的总数．
【详解】解：，
∴盒子中棋子的总个数是．
故答案为：．
14．如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴B到地面的距离．
乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到的距离，
点A到地面的距离，当他从A处摆动到处时，若，到的距离是 ．

【答案】/1米
【分析】作，垂足为F，根据全等三角形的判定和性质解答即可．
【详解】解：作，垂足为F，．

∵，
∴
在中，；
又∵，
∴，
∴；
在和中，
，
∴；
∴，
∵∵
∴，
∵，
∴；
∴，
∴，
即到的距离是．
故答案为：．
如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，
且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，
则当取最大值时，点A的坐标为 ．

【答案】
【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，勾股定理，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最小值时点的位置．
由中知要使取得最大值，则需取得最大值，连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，据此求解可得．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵点、点关于原点对称，
∴，
∴，
若要使取得最大值，则需取得最大值，
连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，
过点作轴于点，

则、，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∴，
即点A的坐标为，
故答案为：．
16．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=12，AD=10，点E是CD的中点．将这张纸片依次折叠两次；
如图2，第一次折叠纸片使点A与点E重合，折痕为MN，连接ME、NE；
如图3，第二次折叠纸片使点N与点E重合，点B落在处，折痕为HG，
连接HE，则 ．
【答案】
【分析】根据折叠的性质可知，是的中点，是斜边上的中线，故有，设，则，在中，由勾股定理得，可求 的值，如图，作，四边形是矩形，，有即，可求的值，进而可求的值，根据，求的值，进而可求的值．
【详解】解：由折叠的性质可知，，，，是线段的垂直平分线
∴，
∴
∴是的中点
∴是斜边上的中线
∴
∴
设，则
在中，由勾股定理得即
解得
∴
如图，作
∵
∴四边形是矩形
∵
∴
∴
∴即
解得
∴
∴
∴
故答案为：．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．计算：
【答案】
【分析】首先根据绝对值的性质、零指数幂运算法则、负整数指数幂运算法则、特殊角的三角形函数进行运算，再进行乘除运算，然后进行加减运算即可．
【详解】解：原式
．
18．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先根据分式混合运算法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【详解】
∵
∴原式．
19．如图，在四边形中，，在上取两点E，F，使，连接．

(1)若，试说明；
(2)在（1）的条件下，连接，，试判断与有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)详见解析
(2)，详见解析
【分析】（1）根据，得到，，由证明全等即可．
（2）由全等的性质得到，由证明，即可得到答案．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）
证明：连接、，

由（1）可知
，
在和中
．
为讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，继承革命先烈的优良传统，某中学开展了建党知识测试，
该校七、八年级各有300名学生参加，从中各随机抽取了50名学生的成绩（百分制），
并对数据（成绩）进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息：
a . 八年级的频数分布直方图如下：
（数据分为5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
b . 八年级学生成绩在80≤x＜90的这一组是：
80 、81、 82 、83、 84、 84、84、84、84、85、85、 86、86.5、87、88、89.5
c． 七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 87.2 85 91
八年级 85.3 m 90
根据以上信息，回答下列问题：
表中m的值为 ；
(2) 在随机抽样的学生中，建党知识成绩为84分的学生，
在 年级排名更靠前，理由是 ；
若各年级建党知识测试成绩前90名将参加线上建党知识竞赛，
预估八年级分数至少达到 分的学生才能入选；
若成绩85分及以上为“优秀”，请估计八年级达到“优秀”的人数．
【答案】(1)83.5
(2)①八，②该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数；
(3)88
(4)八年级达到优秀的人数为120人．
【分析】(1)根据八年级共有50名学生，第25， 26名学生的成绩为83分，84分，即可求出m的值；
(2)根据八年级的中位数是83.5分，七年级的中位数是85分，可得该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数，进而可得结论；
(3)根据题意可得在抽取的50名学生中，必须有15人参加线上建党知识竞赛，观察直方图成绩是90至100分的有13人，进而可作出判断；
(4)用样本的优秀率估计总体的优秀率，根据总人数和优秀率求得优秀人数．
【详解】（1）八年级共有50名学生，第25， 26名学生的成绩为83分，84分，
∴m= = 83.5(分)；
故答案为： 83.5；
（2）在八年级排名更靠前，理由如下：
∵八年级的中位数是83.5分，七年级的中位数是85分，
∴该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数，
∴在八年级排名更靠前；
故答案为：八，该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数；
（3）根据题意得： ×50=15(人)
则在抽取的50名学生中，必须有15人参加建党知识竞赛，
所以至少达到88分；
故答案为： 88；
（4）因为成绩85分及以上有20人，
所以300= 120(人)，
所以八年级达到优秀的人数为120人．
21．如图，内接于，是的直径，过点作的切线交的延长线于点，
过点作，交直线于点，交于点．
求证：平分；
若，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的性质定理，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）连接，根据切线的性质定理得到，根据平行线的判定定理得到，得到，得到，即可得到结论；
（2）证明，求出，证明，求出．
【详解】（1）证明：连接，
与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
平分．
（2）解：，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
如图，是一名摄影爱好者记录下的无人机表演的“凤凰涅槃”全过程．
摄影爱好者在水平地面上的点处测得无人机位置点的仰角为；
当摄影爱好者沿着倾斜角（即）的斜坡从点走到点时，
无人机的位置恰好从点水平飞到点，此时，摄影爱好者在点处测得点的仰角为．
已知米，米，且四点在同一竖直平面内．
求点到地面的距离；
求无人机在点处时到地面的距离．（结果精确到0.01米，测角仪的高度忽略不计，
参考数据：，
【答案】(1)1.645米
(2)14.26米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
过作与F，得米，米，过作地面于，交于，过作地面，交于，交于，设米，则米，四边形为矩形，是等腰直角三角形，然后由锐角三角函数定义求出，即可解决问题．
【详解】（1）过作于，如图所示：
∵，
（米）；
（2）过作地面于，交于，过作地面，交于，交于，
，
∴，设米，则米，
∵，且，
∴四边形为矩形，是等腰直角三角形，
米，
则米，
又∵米，
∵，
（米）；
即
解得：，
，
（米）
答：无人机距水平地面的高度约为14.26米．
23．【问题背景】2025年4月23日是第30个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，
某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍，
【素材呈现】
素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高；
素材二：用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个；
素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的；
【问题解决】
问题一：求出A，B两种书架的单价；
问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，
求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案．
【答案】问题一：A种书架的单价是600元，B种书架的单价是500元
问题二：，费用最少时的购买方案为：购买5个A种书架，15个B种书架
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用．
问题一：设B种书架的单价是x元，则A种书架的单价是元，利用数量总价单价，结合用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B种书架的单价），再将其代入中，即可求出A种书架的单价；
问题二：由购买总数量及购买A种书架的数量，可得出购买个B种书架，结合购买A种书架数量不少于B种书架数量的，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，利用总价单价数量，可找出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】解：问题一：设B种书架的单价是x元，则A种书架的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
，
答：A种书架的单价是600元，B种书架的单价是500元；
问题二：∵现需购进20个书架用于摆放书籍，且购买a个A种书架，
∴购买个B种书架，
∵购买A种书架数量不少于B种书架数量的，
，
解得：，
∵购买总费用为w元，A种书架的单价是600元，B种书架的单价是500元，
，
即，
，
∴w随a的增大而增大，
∴当时，w取得最小值，此时，
答：费用最少时的购买方案为：购买5个A种书架，15个B种书架．
综合与探究：如图，二次函数的图象与轴交于，两点，
与轴交于点，连接为抛物线上的一个动点（与点不重合），
设点的横坐标为，的面积为．
(1)求二次函数的表达式；
(2)当点在第二象限内时，求关于的函数表达式；
(3)抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在；或
【分析】（1）利用待定系数法将坐标代入解析式即可；
（2）过点作轴于点，则；分别用的代数式表示出相应线段的长度，利用梯形，三角形的面积公式计算即可得出结论；
（3）分两种情况讨论解答：当点在上方时，利用平行线的判定与性质可得点，的纵坐标相等，利用抛物线的解析式即可求得结论；当点在下方时，设交轴于点，设，利用等腰三角形的判定与性质和勾股定理求得值，则点坐标可求；利用待定系数法求得直线的解析式，与抛物线解析式联立即可求得点坐标．
【详解】（1）解：二次函数的图象与轴交于、两点，
，
，
二次函数的表达式为数；
（2）解：过点作轴于点，如图，
则，
令，则，
，
，
，
，
点的横坐标为，
，
点在第二象限内，
，，
，
，
，
关于的函数表达式为：；
（3）解：①当点在上方时，如图，
，
，
点，的纵坐标相等，
点的纵坐标为，
令，则，
解得：或，
；
当点在下方时，如图，
设交轴于点，
，
，
设，
，
在中，
，
，
解得：，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
联立，
解得：，，
，
综上所述，点的坐标为或．
25．如图Ⅰ，已知和均为等腰直角三角形，点，分别在线段，上，．
【观察猜想】
将图Ⅰ中的，绕点A逆时针旋转，连接，，且的延长线交于点，得到图Ⅱ．
若的延长线恰好经过点（即点，重合），直接写出与间的数量关系；
【类比探究】
继续旋转图Ⅱ中的，连接，，且的延长线交于点（此时点，不重合），
得到图Ⅲ．
①（1）中的结论是否改变？若不变，请证明；若改变，写出新的结论并证明；
②求的度数；
【拓展延伸】
若，，在旋转过程中，当所在的直线垂直于时，
求线段的长．
【答案】（1）；
（2）①不变；②；
（3）或
【分析】本题属于几何变换综合题，考查了应用特殊角三角函数解等腰直角三角形，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识．
（1）根据，都是等腰直角三角形得到，，，即可证明，从而得到；
（2）①如图Ⅲ中，设交于点．证明，即可得到；
②根据，得到，根据，即可得到；
（3）分两种情形：如图中，当于时，先求出，进而得到，，，根据（2）结论即可得到；如图中，当时，延长交于．同理求出，，，即可求出，问题得解．
【详解】解：（1）
理由：如图Ⅱ，
∵，都是等腰直角三角形，
，，，
，，
，
，
；
（2）①结论不变．
理由：如图Ⅲ中，设交于点．
∵，都是等腰直角三角形，
，，，
，，
，
，
；
②，
，
∵，
，
；
（3）如图中，当于时，
∵，，，
，
∵，
，
，
，
∵，
．
如图中，当时，延长交于．
同理可得，，，
，
综上所述，的长为或．
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