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2025年浙江省杭州市中考数学模拟训练试卷
满分为120分．考试时间为120分钟 ．
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下图是杭州市2025年4月7~11日的天气情况，
这5天中最低气温（单位：℃）的中位数与众数分别是（ ）
A．19，19 B．19，18 C．18，19 D．20，19
（3分）“二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动所形成的知识体系，
被誉为“中国的第五大发明”，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，
其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　 　）
A． B． C． D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4.（3分）如果点在平面直角坐标系的第三象限内，
那么的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
5.（3分）．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，
小陶家有一个菱形中国结装饰，测得，，直线EF⊥AB交两对边于点E，F，
则的长为（ ）

A．8cm B．10cm C． D．
6．（3分）2025年春节档热映多部精彩电影．小明、小亮分别从如图所示的三部影片中随机选择一部观看，则小明、小亮选择的影片相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
7.（3分）如图，为驾驶员盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，
车头近似看成一个矩形，且满足，
若车宽的长为米，则盲区的长是（ ）
A．米 B．6米 C．米 D．8米
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，
若点在函数的图象上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）图，在中，，以点A为圆心，以的长为半径作弧交于点D，
连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，
作射线交于点E，连接，则下列结论中不正确的是（ ）

A． B． C． D．
10．（3分）如图，已知矩形纸片，其中，现将纸片进行如下操作：
第一步，如图①将纸片对折，使与重合，折痕为，展开后如图②；
第二步，再将图②中的纸片沿对角线折叠，展开后如图③；
第三步，将图③中的纸片沿过点的直线折叠，使点落在对角线上的点处，
如图④．则的长为（　　 ）

A． B． C． D．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11．（3分）因式分解： ．
（3分）边长均为5的正五边形与一个正六边形按如图所示的方式拼接在一起，连接，
则以为半径的与六边形及重叠部分图形的面积之和为 （结果保留）．
（3分） 2025年元旦期间，小华和家人到西湖公园景区游玩，湖边有大小两种游船，
小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，
1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为 ．
（3分）如图，的两条中线相交于点，过点作交于点，
则的值为 ．
（3分）如图，已如在等腰直角中，，点D在线段上，
绕着点C顺时针方向旋转后得到，点B和点D的对应点分别是点A和点E．
点M在线段上，且与恰好关于直线成轴对称，
如果，的面积为36，那么的面积为 ．

16．（3分）.如图， 将长方形沿折叠后展开， 折痕，点P为边上一点，
再将纸片分别沿，折叠，点A 的对称点与点 D的对称点重合于点 F，
折痕 ，交于点E， 若， 则 ．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）计算：．
18．（8分）先化简再求值： 其中
（8分）设中学生体质健康综合评定成绩为分，满分为分．
规定：为级，为级，为级，为级．
现随机抽取某中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据图中的信息，解答下列问题：
(1)在这次调查中，一共抽取了 名学生，图中等级为的扇形的圆心角等于 ；
(2)补全条形统计图；
(3)根据调查结果可知，综合评定成绩中位数落在 组．
(4)若该校共有名学生，请你估计该校等级为的学生有多少名？
20（10分）．图1是某种手机支架在水平桌面上放置的实物图，图2是其侧面的示意图，
其中支杆，可绕支点调节角度，为手机的支撑面，，
支点A为的中点，且．
(1)若支杆与桌面的夹角，求支点到桌面的距离．
(2)在（1）的条件下，若支杆与的夹角，求支撑面下端到桌面的距离．
（10分）甲、乙两人相约一同登山，甲、乙两人距地面的高度与登山时间
之间的函数图像如图所示，根据图像所提供的信息解答下列问题：
(1)图中t=___________．
(2)若乙提速后，乙登山的上升速度是甲登山的上升速度3倍，
①则甲登山的上升速度是___________；
②请求出甲登山过程中，距地面的高度与登山时间之间的函数关系式；
③当甲、乙两人距地面高度差为时，请直接写出满足条件的x值．
22.（10分）根据如表所示素材，探索完成任务．
如何确定图书销售单价及怎样进货以获取最大利润
素材一 某书店决定购进，两种新书，两种图书的进价分别是每本18元、每本12元．
素材二 已知种图书的标价是种图书标价的1.5倍，若顾客用540元按标价购买图书，能单独购买种图书的数量恰好比单独购买种图书的数量少10本．
素材三 书店准备用不超过1680元购进，两种图书共100本，且种图书不少于70本，经市场调查后调整销售方案为：种图书按照标价的8折销售，种图书按标价销售．
问题解决
任务一 探求图书的标价 请运用适当方法，求出，两种图书的标价．
任务二 如何获得最大利润 书店应怎样进货才能获得最大利润？
23.（12分）如图，已知抛物线的图象与x轴交于点和，
与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．
求抛物线的解析式；
(2) 如图1，在抛物线的对称轴上求作一点M，使的周长最小，
并求出点M的坐标和周长的最小值；
如图2，点P是x轴上动点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线和直线于点F、G．
设点P的横坐标为m，是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？
若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
（12分）如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，于点F，
延长至点Q，连接，，
求证：是的切线；
若点P是上的一点，连接．
① 求的值；
② 若为的角平分线，求的长．
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2025年浙江省杭州市中考数学模拟训练试卷解答
满分为120分．考试时间为120分钟 ．
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下图是杭州市2025年4月7~11日的天气情况，
这5天中最低气温（单位：℃）的中位数与众数分别是（ ）
A．19，19 B．19，18 C．18，19 D．20，19
【答案】A
【分析】本题考查众数和中位数，解答本题的关键是明确题意，利用众数和中位数的知识解答．根据这5天的最低气温，先按照从低到高排列，然后即可得到这组数据的中位数和众数，本题得以解决．
【详解】解：这5天中最低气温从低到高排列是：18，19，19，20，23，
故这组数据的中位数是19，众数是19，
故选：A．
（3分）“二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动所形成的知识体系，
被誉为“中国的第五大发明”，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，
其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　 　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了轴对称图形，中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义，和轴对称图形的定义，即可判断答案．关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解： A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、是轴对称图形，是中心对称图形，故D符合题意；
故选：D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了合并同类项、单项式乘以多项式、同底数幂乘法、完全平方公式等知识，根据运算法则进行计算即可作出判断即可．
【详解】A. ，故选项错误，不符合题意；
B. ，故选项错误，不符合题意；
C. ，故选项正确，符合题意；
D. ，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
4.（3分）如果点在平面直角坐标系的第三象限内，
那么的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据点的位置得出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出选项．
【详解】解：∵在平面直角坐标系的第三象限内，
∴，
解得：，
在数轴上表示为：

故选D．
5.（3分）．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，
小陶家有一个菱形中国结装饰，测得，，直线EF⊥AB交两对边于点E，F，
则的长为（ ）

A．8cm B．10cm C． D．
【答案】C
【分析】根据菱形的性质与勾股定理可求出菱形的边长，再根据菱形的面积为对角线乘积的一半，或底乘以高可求出高．
【详解】∵四边形是菱形
∴
∴在中，
∵或
∴，即
∴
故选：C
6．（3分）2025年春节档热映多部精彩电影．小明、小亮分别从如图所示的三部影片中随机选择一部观看，则小明、小亮选择的影片相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是正确解答此题的关键．
列表得出所有等可能的结果数以及小明和小亮选择的影片相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：将这三部春节档影片分别记为A，B，C，列表如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小亮选择的影片相同的结果有3种，
小明、小亮选择的影片相同的概率为，
故答案为：D．
7.（3分）如图，为驾驶员盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，
车头近似看成一个矩形，且满足，
若车宽的长为米，则盲区的长是（ ）
A．米 B．6米 C．米 D．8米
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，如图，根据，可得，作，交于点，交于点，根据矩形的性质可得四边形是矩形，可得，可证，根据相似三角形对应表的比等于对应高的比，由此即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：如图所示，过点作，交于点，交于点，则，
∵，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，且，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C ．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，
若点在函数的图象上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了余角性质，相似三角形的判定和性质，过点作轴于点，证明，得到，得到，，进而求出点的坐标为，即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：过点作轴于点，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标为，
∴，
故选：．
9．（3分）图，在中，，以点A为圆心，以的长为半径作弧交于点D，
连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，
作射线交于点E，连接，则下列结论中不正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可以判断①的正确；利用等边三角形的性质结合①的结论和等腰三角形的三线合一的性质可以判断②正确；利用直有三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半判断③的正确；利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可判断④的错误．
【详解】解：由题意得：，为的平分线，
，，
，
为等边三角形，
为的垂直平分线，
，故A的结论正确；
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
．
，，
，
，
，
垂直平分线段，
，故B的结论正确；
中，，
，
，
，故C的结论正确．
，，
，
，
，
，
，
故D的结论错误；
故选：D．
10．（3分）如图，已知矩形纸片，其中，现将纸片进行如下操作：
第一步，如图①将纸片对折，使与重合，折痕为，展开后如图②；
第二步，再将图②中的纸片沿对角线折叠，展开后如图③；
第三步，将图③中的纸片沿过点的直线折叠，使点落在对角线上的点处，
如图④．则的长为（　　 ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据折叠的性质得出，，等面积法求得，根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，

∵折叠，
∴
∴在以为圆心，为直径的圆上，
∴，
∴
∵矩形，其中，
∴
∴，
∴，
∵
∴，
故选：D．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11．（3分）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查的是用提公因式法、平方差公式分解因式，能够熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先提取公因式，再用平方差公式来分解因式．
【详解】解∶ ．
故答案为∶ ．
（3分）边长均为5的正五边形与一个正六边形按如图所示的方式拼接在一起，连接，
则以为半径的与六边形及重叠部分图形的面积之和为 （结果保留）．
【答案】
【分析】本题考查了正多边形的内角与外角、等腰三角形的性质，求扇形面积，熟练正五边形的内角，正六边形的内角是解题的关键．
根据正五边形的内角和和正六边形的内角和公式求得正五边形的内角和正六边形的内角，然后根据周角的定义和等腰三角形性质求出，然后利用扇形面积公式求解即可．
【详解】解：如图所示，
由题意得：正六边形的每个内角都等于，
正五边形的每个内角都等于，
∴，
∵，
∴，
∴
∴．
故答案为：．
（3分） 2025年元旦期间，小华和家人到西湖公园景区游玩，湖边有大小两种游船，
小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，
1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为 ．
【答案】人
【分析】设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，由题意：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，
依题意得：，
解得：，
即1艘大船可以满载游客的人数为人，
故答案为：人．
（3分）如图，的两条中线相交于点，过点作交于点，
则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了与三角形中位线有关的三角形相似问题，利用三角形中位线性质与平行线的性质得到相似三角形是解题关键．根据题意得，和，可证，有，由得，设，则，，即可求得比值．
【详解】解：∵、是的中线，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∴．
故答案为：．
（3分）如图，已如在等腰直角中，，点D在线段上，
绕着点C顺时针方向旋转后得到，点B和点D的对应点分别是点A和点E．
点M在线段上，且与恰好关于直线成轴对称，
如果，的面积为36，那么的面积为 ．

【答案】6
【分析】此题考查了旋转的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识．证明，得到，则设，则，得到，在直角三角形中，根据勾股定理得到 由得到即可求出答案．
【详解】解：由题意知，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
在直角三角形中，根据勾股定理 得
（负值舍去）
故答案为：6
16．（3分）.如图， 将长方形沿折叠后展开， 折痕，点P为边上一点，
再将纸片分别沿，折叠，点A 的对称点与点 D的对称点重合于点 F，
折痕 ，交于点E， 若， 则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查折叠的性质和相似三角形的判定和性质，有折叠得，，，，则点P为的中点，可证明，有，利用平行可证得，有，设，则，即可求得，，，结合即可求得答案．
【详解】解：根据折叠得，，，，，
则点P为的中点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
则，
∵，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，即，
∴，，
∵，
∴，解得，
∴，
故答案为：．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）计算：．
【答案】37
【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算二次根式、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可，熟练掌握运算顺序以及运算方法是解此题的关键．
【详解】解：
．
18．（8分）先化简再求值： 其中
【答案】， 6
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式
（8分）设中学生体质健康综合评定成绩为分，满分为分．
规定：为级，为级，为级，为级．
现随机抽取某中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据图中的信息，解答下列问题：
(1)在这次调查中，一共抽取了 名学生，图中等级为的扇形的圆心角等于 ；
(2)补全条形统计图；
(3)根据调查结果可知，综合评定成绩中位数落在 组．
(4)若该校共有名学生，请你估计该校等级为的学生有多少名？
【答案】(1)50；
(2)见解析
(3)B
(4)240名
【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图、中位数，画条形统计图，样本所占百分比估计总体，熟练掌握样本所占百分比估计总体是解题的关键．
（1）用级的学生数除以其所占百分比即可求得抽样的学生数，进而求得级所对应圆心角的度数；
（2）用抽样人数减去其余各部分人数，得级学生数，从而不全条形统计图即可；
（3）根据中位数的定义求解即可；
（4）用级所占百分比乘以即可得解．
【详解】（1）解：在这次调查中，一共抽取的学生数是：（人），
∵，
∴扇形统计图中级对应的圆心角为；
故答案为：，；
（2）解：等级人数为，
补全条形图如下：
（3）解：在这组数据中，从小到大排列，第位、第位都在级，所以这组数据的中位数落在组,
故答案为：B．
（4）解：（名），
答：估计该校等级为的学生有名．
20（10分）．图1是某种手机支架在水平桌面上放置的实物图，图2是其侧面的示意图，
其中支杆，可绕支点调节角度，为手机的支撑面，，
支点A为的中点，且．
(1)若支杆与桌面的夹角，求支点到桌面的距离．
(2)在（1）的条件下，若支杆与的夹角，求支撑面下端到桌面的距离．
【答案】(1)支点到桌面的距离
(2)支撑面下端到桌面的距离为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的判定与性质，
（1）过点B作，则，在中，，，，，进行计算即可得；
（2）过点A作于点G，过点B作于点H，过点E作于点K，则，，根据题意和平行线的性质得，根据角之间的关系和三角形内角和定理得，，，在中，，，，，计算得，根据，支点A为的中点得，根据三角形内角和定理得，在中，，，，，计算得，根据，得四边形是矩形，则，即可得，
掌握锐角三角形函数，平行线的判定与性质，构造直角三角形是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，过点B作，
∴，
在中，，，，，
即，
，
即支点到桌面的距离．
（2）解：如图所示，过点A作于点G，过点B作于点H，过点E作于点K，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，，，，
即，
，
∵，支点A为的中点，
∴，
∵，，
∴，
在中，，，，，
即，
，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
则支撑面下端到桌面的距离：
，
即支撑面下端到桌面的距离为．
（10分）甲、乙两人相约一同登山，甲、乙两人距地面的高度与登山时间
之间的函数图像如图所示，根据图像所提供的信息解答下列问题：
(1)图中t=___________．
(2)若乙提速后，乙登山的上升速度是甲登山的上升速度3倍，
①则甲登山的上升速度是___________；
②请求出甲登山过程中，距地面的高度与登山时间之间的函数关系式；
③当甲、乙两人距地面高度差为时，请直接写出满足条件的x值．
【答案】(1)2
(2)①10；②；③当的值是4，9，15，甲乙两人距地面高度差为50
【分析】（1）根据题意和函数图象可以求得的值；
（2）①根据乙提速后，乙登山的上升速度是甲登山的上升速度3倍，可以求得甲的速度；
②根据题意和函数图象中的数据可以求得甲登山过程中，距地面的高度与登山时间之间的函数关系式；
③根据函数图象可以求得段乙的函数解析式，从而可以求得的值．
【详解】（1）在段，乙每分钟走的路程为米分，
则，
故答案为：2；
（2）①乙提速后的速度为：米分，
甲的速度为：，
故答案为：10；
②甲登山用的时间为：（分钟），
设甲登山过程中，距地面的高度与登山时间之间的函数关系式，
，得，
即甲登山过程中，距地面的高度与登山时间之间的函数关系式是：
；
③设乙在段对应的函数解析式为，
，得，
，
，
解得，或，
当时，，
解得，
综上所述，当的值是4，9，15，甲乙两人距地面高度差为50．
22.（10分）根据如表所示素材，探索完成任务．
如何确定图书销售单价及怎样进货以获取最大利润
素材一 某书店决定购进，两种新书，两种图书的进价分别是每本18元、每本12元．
素材二 已知种图书的标价是种图书标价的1.5倍，若顾客用540元按标价购买图书，能单独购买种图书的数量恰好比单独购买种图书的数量少10本．
素材三 书店准备用不超过1680元购进，两种图书共100本，且种图书不少于70本，经市场调查后调整销售方案为：种图书按照标价的8折销售，种图书按标价销售．
问题解决
任务一 探求图书的标价 请运用适当方法，求出，两种图书的标价．
任务二 如何获得最大利润 书店应怎样进货才能获得最大利润？
【答案】任务一：种图书标价27元，种图书标价18元；任务二：购进种图书70本、种图书30本才能获得最大利润．
【分析】本题考查一次函数和分式方程的应用、一元一次不等式的应用，掌握分式方程的解法和一次函数的增减性是解题的关键．
任务一：设种图书标价元，则种图书标价元，根据题意列方程并求解即可；
任务二：设购进种图书本，则购进种图书本，求出的范围，设获得的总利润为元，根据“总利润（种图书的售价种图书的进价）种图书的数量+（种图书的售价种图书的进价）种图书的数量”写出关于的关系式，根据该函数的增减性和的取值范围，确定当时的值最大，再求出此时的值即可．
【详解】解：任务一：设种图书标价元，则种图书标价元．
根据题意，得，
解得，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
此时，
所以种图书标价27元，种图书标价18元，
答：种图书标价27元，种图书标价18元；
任务二：设购进种图书本，则购进种图书本．
依题意得，，
∴，
又∵，
∴，且为整数，
设获得的总利润为元，
则，
∵，
∴随的增大而减小，
∵，且为整数，
∴当时，取最大值，此时购进种图书（本），
答：购进种图书70本、种图书30本才能获得最大利润．
23.（12分）如图，已知抛物线的图象与x轴交于点和，
与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，在抛物线的对称轴上求作一点M，使的周长最小，
并求出点M的坐标和周长的最小值；
(3)如图2，点P是x轴上动点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线和直线于点F、G．设点P的横坐标为m，是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)的周长的最小值，点M的坐标为
(3)存在，或或
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）连接交于点M，此时最小，进而求解；
（3）分、两种情况，然后分别求解即可．
【详解】（1）解：将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：如图，连接交于点M，此时最小，
又因为是定值，所以此时的周长最小．
令时，则有，即，
∴，
，同理，
∴此时的周长；
是抛物线的对称轴，抛物线与x轴交点和，
，对称轴为，
由，得，
，
又∵点M在第四象限，且在抛物线的对称轴上，
；
（3）解：存在这样的点P，使是以为腰的等腰三角形．
设直线的解析式为，把点B、C坐标代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵点P的横坐标为m，
∴点，点，
则，，，
当时，则，解得（舍去）或4；
当时，则，解得（舍去）或；
综上，或或．
（12分）如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，于点F，
延长至点Q，连接，，
求证：是的切线；
若点P是上的一点，连接．
① 求的值；
② 若为的角平分线，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)①；②
【分析】（1）根据，证明，再根据圆周角定理得出，即可证明，即可证明；
（2）①连接，证明，设的半径为，利用相似三角形的性质得，，由勾股定理求得，得到，即可得到；
②过点作交于点，证明是等腰直角三角形，解直角三角形得到，由得到，解得，由即可求解．
本题考查圆的综合应用，主要考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理及推论，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键．
【详解】（1）证明：如图，连接，
．
，
，
，
，
为的直径，
，
，
是的切线；
（2）解：①如图，连接，
是的中点，
，
，
为的直径，
，
，
，
．
，
设的半径为，则，
解得，
经检验，是方程的解，
，
，
，
，
．
②如图，过点作交于点，
，
，是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
．
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